最新数系的扩充和复数的概念教案

《数系的扩充和复数的概念》教案及说明教学目标：1.了解数系的扩充，并能够理解自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数之间的关系。

2.掌握复数的定义、运算规则和表示方法。

3.能够应用复数解决实际问题。

教学重点：1.数系的扩充和复数的定义。

2.复数的运算规则和表示方法。

教学难点：1.理解数系的扩充对于数学的意义。

2.掌握复数的运算规则和应用技巧。

教学内容：一、数系的扩充1.自然数：正整数，用于计数。

2.整数：包括正整数、负整数和0。

3.有理数：可表示为两个整数之比的数。

4.无理数：不可表示为两个整数之比的数。

5.实数：包括有理数和无理数。

6. 复数：形如a+bi的数，其中a和b为实数，i为虚数单位。

二、复数的定义和表示1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2.复数的表示：复数可以用平面直角坐标系中的点表示，a为横坐标，b为纵坐标。

3.复数的运算：复数的加减乘除法规则同实数运算，注意i的平方为-1三、复数的应用1.解方程：复数可以解决一些实数无解的方程。

2.代数表达式：复数可以简化代数表达式，并且在求根过程中十分有用。

3.物理问题：在电路、波动等问题中，复数有着广泛的应用。

教学步骤：一、引入复数的概念2.解释为什么需要引入复数。

3.引导学生构建复数概念。

二、复数的定义和表示1.讲解复数的定义和表示方法。

2.给出几个例子，让学生练习表示复数。

3.带领学生画出复数在平面直角坐标系中的位置。

三、复数的运算1.讲解复数的加减乘除法规则。

2.演示如何计算复数的运算。

3.给出一些练习题，让学生巩固运算技巧。

四、复数的应用1.解方程：举例说明复数如何解决一些实数无解的方程。

2.代数表达式：展示复数简化代数表达式的过程。

3.物理问题：讲解复数在物理问题中的应用实例。

五、综合练习和实践1.设计一些综合性的练习题，包括复数的定义、表示和运算。

2.提供一些实际问题，让学生尝试用复数解决。

§3.1.1数系的扩充和复数的概念引导2:复数的有关概念：（1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做 虚数单位 ， 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．．字母 C 表示。

（2）复数的代数形式：复数通常用小写字母z 表示，即bi a z +=()R b a ∈,，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部。

例1请说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部。

.120)12(5;23212314066300024884)1(--+-+-，虚部是的实部是）（，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是）（；，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是解：i i i 请说出复数)12(,231,0,6,84-++-i i i 的实部和虚部。

探究二、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系对于复数(),z a bi a b R =+∈：当且仅当0=b 时，复数z 表示 实数当0≠b 时，复数z 叫做 虚数当0,0≠=b a 时，复数z 叫做 纯虚数你能用图表的形式将复数、实数、纯虚数的关系形象的表示出来吗？复数集 （ 虚数集 ） （ 实数集 ） （纯虚数集）例2 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ 72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293- 实数：虚数：纯虚数：例3 实数m 分别取什么值时，复数()i m m z 11-++=是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？变式再练1：当取何实数时，复数i m m z )1(12-+-=是：（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零变式再练2：若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试求实数m 的值.探究三、复数集与其它数集之间的关系： N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C .QN Z N R C。

数系的扩充和复数的概念教案第一章：数系的扩充1.1 有理数和无理数学习目标：1. 理解有理数和无理数的定义及其性质。

2. 学会有理数和无理数的运算方法。

教学内容：1. 有理数的定义：整数和分数的统称，包括正整数、负整数、正分数、负分数。

2. 无理数的定义：不能表示为两个整数比的实数，如π和√2。

3. 有理数和无理数的性质：有理数和无理数都是实数的一部分，有理数可以表示为分数，无理数不能表示为分数。

4. 有理数和无理数的运算方法：加、减、乘、除和乘方。

教学活动：1. 引入有理数和无理数的定义，让学生通过实例理解有理数和无理数的概念。

2. 通过练习题，让学生熟悉有理数和无理数的性质。

3. 讲解有理数和无理数的运算方法，并通过练习题巩固。

1.2 实数和虚数学习目标：1. 理解实数和虚数的定义及其性质。

2. 学会实数和虚数的运算方法。

教学内容：1. 实数的定义：包括有理数和无理数。

2. 虚数的定义：形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。

3. 实数和虚数的性质：实数和虚数统称为复数，复数可以表示为a+bi的形式。

4. 实数和虚数的运算方法：加、减、乘、除和乘方。

教学活动：1. 引入实数和虚数的定义，让学生通过实例理解实数和虚数的概念。

2. 通过练习题，让学生熟悉实数和虚数的性质。

3. 讲解实数和虚数的运算方法，并通过练习题巩固。

1.3 复数的表示学习目标：1. 理解复数的表示方法及其性质。

2. 学会复数的运算方法。

教学内容：1. 复数的定义：实数和虚数的统称，形如a+bi的形式，其中a和b是实数，i 是虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的性质：复数可以表示为a+bi的形式，实部a和虚部b可以相加、相减、相乘、相除和相乘方。

3. 复数的运算方法：加、减、乘、除和乘方。

教学活动：1. 引入复数的定义，让学生通过实例理解复数的概念。

2. 通过练习题，让学生熟悉复数的性质。

数系的扩充和复数的概念教学设计1. 引言在数学的世界里，数系就像是一条漫长的河流，我们每个人都是这条河流上的小船。

今天，我们要聊的是这条河流的扩展，尤其是复数的概念。

让我们一起“扬帆起航”，探寻数系的奥秘吧！2. 数系的扩充2.1 从自然数到整数首先，我们来回顾一下，数系的起点是自然数，也就是大家熟悉的1、2、3、4……这就是我们平时用来计数的基本数字。

可是，当我们遇到像1、2这种情况时，自然数就显得有些“力不从心”了。

这时，整数登场啦！整数包括了自然数和它们的负数，比如1、0、1、2、3等等。

这样一来，我们的数系就更加全面了。

2.2 从整数到有理数接下来，我们来看看有理数。

有理数的概念其实不难理解，它就是可以表示成两个整数之比的数。

举个例子，1/2、3/4这些都是有理数。

有理数的出现，让我们不仅可以处理整数量，还可以处理分数。

它就像是为我们的数系加上了一层新色彩。

2.3 从有理数到无理数不过，有时候我们还会遇到一些数，它们不能用两个整数之比来表示，比如√2、π。

这些数叫做无理数。

无理数的出现，就像给我们的数系带来了些许“神秘感”，它们让我们感受到数学的无限与奇妙。

3. 复数的引入3.1 复数的由来现在，我们进入了今天的重头戏：复数。

复数的诞生，是为了应对一些我们无法用实数解决的问题。

比如，方程x² + 1 = 0就没有实数解。

于是，复数的“英雄”——虚数单位i登场啦！i的平方等于1，这个看似“疯狂”的设定，让我们能够解决更多数学难题。

3.2 复数的基本概念复数其实很简单，它由两个部分组成：实数部分和虚数部分。

比如，3 + 4i就是一个复数，它的实数部分是3，虚数部分是4i。

这样一来，我们就可以用复数处理更多复杂的数学问题了。

复数的引入，犹如为数学的“工具箱”增加了新工具，让它变得更加全面。

4. 教学设计建议4.1 形象化教学为了让学生们更好地理解复数，可以使用一些形象化的教学方法。

比如，使用图像将复数表示在平面上，直观地展示复数的实部和虚部。

数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.2.内容解析复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识．复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础. 复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用.在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则．复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，发现数系扩充中体现出的“规则”；进而在“规则”的引导下，考虑为使方程有解，引入新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集．这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.复数的概念是整个复数内容的基础.复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b). 通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备. 因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用.基于以上分析，确定本节课的教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.二、目标和目标解析1. 目标（1）了解引入复数的必要性；（2）了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养；（3）理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的含义.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用.达成目标（2）的标志是：学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用.达成目标（3）的标志是：学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题.三、教学问题诊断分析学生在学习本节课内容之前，在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识，知道数系扩充后，新的数系能够解决在原有数系中无法解决的一些解方程问题（如引入无理数，把有理数系扩充到实数系后，可以解决方程的解这样的问题等），因此当遇到像这样的方程的解的问题时，通过引导启发，学生能够联想到对现有的实数系进行进一步扩充，从而使方程有解.学生在前面的学习中，也已多次利用过类比的方法来研究数学问题，这为本节课类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，将实数系扩充到复数系提供了可能.学生在学习时可能出现的障碍为：（1）因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中,如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味,学生不易接受.（2）由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难.（3）学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示.突破难点的策略：（1）适当介绍数的发展简史，增强学生学习的趣味性和生动性.（2）通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性.（3）引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程.四、教学过程设计（一）创设情境，引出研究内容创设情境：我们知道，对于实系数一元二次方程时没有实数根. 因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决. 事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避. 直到1545年，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，用求根公式、因式分解法两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果，于是再也无法回避这个问题.例如，求解时，利用三次方程的求根公式可以得出三个根或；而通过因式分解，得，因此方程的三个根为这个在当时无法理解的等式，数学家们就去尝试研究诸如的问题.在解决这些问题的过程中，他们遇到的最大困扰就是，负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？师生活动：以教师引导为主，主要介绍历史上，数学家们经过了反复的研究探索，将实数系进一步扩充，引入了一种新的数——复数，从而将实数系扩充到复数系，解决了负数开平方的问题，本章我们就来研究复数. 本节课我们先类比自然数集逐步扩充到实数集的过程和方法，研究如何把实数集扩充到复数集，学习复数的有关概念，后续我们还要继续研究复数的几何意义，复数的四则运算以及复数的三角表示等.设计意图：通过对复数发展历史的简要介绍，特别是三次方程根的问题的介绍，引发学生的认知冲突，激发学生对数系扩充过程的兴趣，并点出本节课的主要内容，进而简要介绍本章的学习内容，使学生对本章的知识脉络有大致认识.（二）归结为方程求解问题，梳理数系扩充的“规则”问题1从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程是否有解，也就是是否有解的问题．思考一下，能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程是否有解的问题呢？追问我们知道，在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，是否能引入新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？师生活动：教师进一步引导：下面，我们就类比从自然数集到实数集的扩充过程，尝试引入新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解．引入什么数，如何扩充实数集？这就是我们今天所要研究的问题.设计意图：通过问题1，将历史上的负数能否开平方的问题转化为方程是否有解的问题，为后续从解方程的角度研究数系的扩充做好铺垫，同时也让学生认识到数学中的复杂问题都可以通过转化与化归的方法，转化为基本问题.通过追问，点出本节课的主要任务，以及研究的思路和方法．问题2 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系. 回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？（1）在自然数集中求方程x+1=0的解；（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；（3）在有理数集中求方程的解；师生活动：教师提出问题，学生分组讨论，从两个角度思考问题，可让一半学生侧重讨论解决的实际问题，另一半学生侧重讨论解决的数学问题，教师参加到讨论之中，对学生讨论中的不足之处教师补充说明，讨论后，学生交流互动，师生共同归纳总结出结论.预设答案：（1）从社会实践来看，数系的扩充是为了满足生活和生产实践的需要.计数的需要产生了自然数，有了自然数系；自然数系中不能刻画具有相反意义的量，于是引入了负整数，将自然数系扩充到了整数系；整数系中不能解决测量中的一些等分等问题，于是引入了分数，将整数系扩充到了有理数系；有理数系中无法解决正方形对角线长的度量等问题，于是引入了无理数，这样便将有理数系扩充到了实数系.（2）从数学发展本身来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要．方程x+1=0在自然数集N内无解，引入负整数后，它在整数集Z 内便有解x=-1；方程2x-1=0在整数集Z内无解，引入分数后，它在有理数集Q内便有解在有理数集Q内无解，引入无理数后，它在实数集R内便有解.教师板书：设计意图：通过数的发展历史，抓住知识的“生长点”和学生的“最近发展区”，使学生了解数的产生以及数系的不断扩充是基于两方面原因：社会生产实践的需要和数学自身发展的需要.问题3可以看出，数集的每一次扩充，都是在原来数集的基础上添加“新数”得到的，引入新数就要引入新运算，如果没有运算，数集中的数只是一个个孤立的符号. 加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算（减法、除法运算分别可以转化成加法、乘法运算）．梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的＂性质＂有一致性吗？由此你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗？师生活动：教师引导分析，从自然数集扩充到整数集时，原来在自然数集中规定的加法和乘法运算法则和运算律在整数集中仍然成立；进而学生小组讨论，探求从整数集到有理数集以及从有理数集到实数集的扩充中，加法和乘法满足的“性质”，教师要特别强调从有理数集扩充到实数集满足的“性质”.师生共同总结这些性质的一致性，得出数系扩充的＂规则＂：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.教师继续板书：设计意图：梳理数系扩充过程和方法的“一致性”，总结数系扩充的一般“规则”，为后续实数系的进一步扩充提供方法，进而突破本节课的难点.（三）依据规则，扩充实数集，引入复数问题4方程在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的扩充过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？师生活动：学生思考回答：可以添加新数，对实数集进行扩充，并且添加新数后的新的数集中的加法和乘法运算，与实数集中加法和乘法运算协调一致，并且运算律保持不变.追问：引入一个什么样的数呢？师生活动：教师通过信息技术制作的课件介绍虚数的引入历史，并给出虚数的概念. 我们可以引入一个数“i”，使，这样x=i就是方程的解. 因为历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.所以，我们把这个数称为“虚数单位”.设计意图：教师介绍与虚数单位i有关的历史，激发学生的学习兴趣，强化对i的认识．问题5把新引进的数i添加到实数集中后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充．那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？师生活动：教师引导，可以类比有理数系扩充到实数系的过程与方法，以及实数系新数的形式，如等具体的数.教师引导学生归纳：新数集中的数是由原来的实数和新引入的虚数i经过适当“组合”而成的，构成的方法就是将实数和i进行运算，组成新数，这里主要进行的是i和实数之间的加法、乘法运算，因为按照我们前面总结的规则：新数集中规定的加法和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且运算律仍然成立. 这样我们就可以把实数a与新引入的数i相加，得到a+i；把实数b与i相乘，得到bi；把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到a+bi. 因为我们是要得到新数集中所有数的基本表示形式（即a+bi的形式），所以这里都只进行最基本的形式上的运算即可，至于等形式，它们不是最基本的形式，在后续的复数运算中再去研究，它们也能化为a+bi的形式.追问1你能写出一个形式，把刚才大家所说的数都包含在内，并说明理由吗？师生活动：学生思考回答，所有新数集中的数都可以写成a+bi（a，b∈R）的形式，因为.追问2 你能写出新数集的集合吗？师生活动：学生口述，教师板书：C={a+bi|a，b∈R}.设计意图：通过问题5和追问1，2，引导学生类比自然数到实数不断扩充过程中所遵循的规则，根据“运算”和“运算律”，由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式和复数集，让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用，以及数学形式化、符号化的过程，突破本节课的难点，提升学生逻辑推理、抽象概括素养．问题6阅读教科书，回答以下问题：（1）复数a+bi（a，b∈R）的虚数单位、实部、虚部分别是指什么？（2）什么是虚数和纯虚数？试举出具体例子．师生活动：教师提出问题，学生独立阅读教科书，阅读之后回答问题．（1）学生口答：a是复数的实部，b是复数的虚部．教师强调应注意限制条件a，b∈R，另外复数a+bi的虚部是b而不是bi．（2）学生口答，当.设计意图：通过问题引导，指导学生阅读教科书，思考并回答问题，明确复数的基本概念，培养阅读教科书的习惯和阅读理解能力.问题7 我们知道复数集是由形如a+bi（a，b∈R）的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，请阅读教科书，说说两个复数a+bi和c+di(a，b,c,d∈R)相等的含义．师生活动：学生阅读教科书后作答．教师引导：一个复数由实部和虚部唯一确定，所以判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等.进而教师给出两个复数相等的定义并板书. 复数a+bi与c+di相等当且仅当a=c 且b=d.追问1 由复数相等的含义知，两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部都分别相等，也就是：复数由它的实部和虚部唯一确定．回忆一下，复数的这个特征与你以前遇到过什么数学对象类似？由此，你能进一步刻画复数的特征吗？师生活动：教师引导，学生思考、讨论，得出：复数的这个特征与平面上点的坐标，平面向量的坐标等类似，因此复数a+bi（a，b∈R），可以看成是一个有序实数对(a,b).追问2 复数是实数的充要条件是什么？a+bi的充要条件是什么？师生活动：学生思考回答，教师补充完善. 对于复数a+bi（a，b∈R），易得当且仅当b=0时，它是实数；a+bi=0即a+bi=0+0i，由复数相等的含义，推导可得：当且仅当a=0,b=0时，复数a+bi=0.教师总结：实际上，复数相等的含义，不仅是判断两个复数相等的依据，也是求某些复数值的依据，即利用复数相等的定义，可以得到关于实数的方程（组），通过解方程（组）得到a,b的值. 教师在此处也可以指出：一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数都是实数时才能比较大小.设计意图：从保证集合中元素的互异性（确定性）出发，引出在实数集中引入新对象后，要研究两个新数相等的含义，进而给出两个复数相等的含义，并由复数相等的定义出发，得到复数实质上是一个有序实数对，为研究复数的几何意义以及复数的三角表示奠定基础.问题8 我们已经将实数集扩充到复数集，那么复数集C和实数集R之间有什么关系？你能对复数a+bi（a，b∈R）进行分类，并用Venn图表示吗？师生活动：学生思考并写在练习本上，教师巡视指导，用多媒体等设备交流展示学生作品.教师指出实数集R是复数集C的真子集，也体现了数系扩充的规律之一：新数集包含原来的数集.设计意图：引导学生弄清楚复数集和实数集之间的关系以及复数的分类，深化学生对复数集是实数集的“扩充”以及对复数的理解．（四）精选例题，强化理解应用例1请你说出下列集合之间的关系：N，Z，Q，R，C．例2写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．例3当实数m取什么值时，复数是下列各数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.例4已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x,y的值．师生活动：教师用PPT展示例题. 例1，例2学生思考、口答，教师点评.例3，例4，学生思考，独立完成后用多媒体交流展示，教师点评并规范解题步骤.设计意图：例1主要让学生巩固数集之间的关系，完善认知结构；例2，例3主要是帮助学生巩固复数的分类标准，加深对复数概念的理解；例4主要是强化复数相等的含义，让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效．（五）反思总结，提炼学习收获问题10通过本节课的学习，你有哪些收获？试着从知识、方法、数学思想、经验等方面谈一谈.师生活动：学生思考回答，教师补充完善.预设答案：知识方面：了解了数系扩充的基本“规则”，复数的基本概念（复数、实部、虚部、虚数、纯虚数等）、两个复数相等的含义、复数的分类等；思想方法方面：实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法，解决复数相等问题运用了转化的数学思想等；经验：研究新的数学问题可以类比已学过的问题.设计意图：通过对数系扩充规则、扩充过程以及复数相关概念等知识和方法的总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识，一方面深化对复数知识的理解，另一方面总结研究方法，积累研究数学问题的经验.（六）布置作业教科书习题7.1第1，2，3题.五、目标检测设计1.a=0是复数（a，b∈R）为纯虚数的（）.（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分条件也非必要条件设计意图：考查学生对复数概念的理解.2.当实数m取什么值时，复数是下列数？（1）实数；（2）纯虚数；（3）0.设计意图：考查学生对复数基本概念和复数相等含义的理解.3.求适合下列方程的实数x与y的值：（1）(x+y-3)+(x-4)i=0；（2）(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i．设计意图：考查学生利用两个复数相等的含义解决简单数学问题的能力．。

普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-2[人教版A]3.1.1实数系教学目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

教学重点：了解数系的扩充过程教学过程一、引入新课（一）认识数的概念的发展的动力从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面。

①解决实际问题的需要由于计数的需要产生了自然数；为了表示具有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生了无理数（既无限不循环小数）。

②解方程的需要。

为了使方程有解，就引进了负数；为了使方程有解，就要引进分数；为了使方程有解，就要引进无理数。

引进无理数后，我们已经能使方程永远有解，但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解。

为了使方程（）有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数。

（二）注意数的概念在扩大时要遵循的原则第一，要能解决实际问题中或数学内部的矛盾。

现在要解决的就是在实数集中，方程无解这一矛盾。

第二，要尽量地保留原有数集（现在是实数集）的性质，特别是它的运算性质。

（三）正确确认识数集之间的关系①有理数就是一切形如的数，其中，所以有理数集实际就是分数集．②“循环节不为0的循环小数也都是有理数”．③｛有理数｝=｛分数｝=｛循环小数｝，｛实数｝=｛小数｝．④自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C之间有如下的包含关系：课堂练习：第93页练习课后作业：略3.1.2复数的概念教学目标：理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件教学重点：理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件教学过程二、复习：实数系三、引入新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i !3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7、例子例1实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.解：(1)当m －1=0，即m =1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m +1=0，且m －1≠0时，即m =－1时，复数z 是纯虚数.例2 已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .解：根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以x =25，y =4 课堂练习：第96页练习课后作业：第100页习题A:1,2,33.1.3复数的几何意义教学目标：了解复数的代数表示法及其几何意义教学重点：了解复数的代数表示法及其几何意义教学过程一、复习： 1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i !3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小二、引入新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数课堂练习：第99页练习课后作业：第100页习题A:4,5,8。

数系的扩充和复数的概念［教学目标］1.理解数系的扩充过程并明白引进复数单位的必要性2.理解在数系扩充中的实数集拓展到复数集出现的一些概念3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充分必要条件［教学重难点］重点：复数的概念难点：复数的相等与分类［学法］教师引导小组合作交流，自主学习归纳［教具］PPT、黑板、课本、导学案教学环节教师活动学生活动设计意图根据学习目标自我预习在PPT展示学习目标学生通过自我预习，白我标记，圈出重点，对新内容有了一些理解体现先学后教的教学思想设疑导入1 .什么是自然数集？0,1,2,3…2.在自然数集中解X + 2 = 0, 无解，添加负整数，得X = -23 •在整数集内解3X + 2 = 0, 无解，添加分数，得x = |4.在有理数集内解X2 - 2 = 0 无解，添加无理数，X = ±25 •在实数集内解X2 + 1 = 0 无解，我们应该怎么解？学生循序渐进完成黑板的问题，逐渐明白数系扩充的过程，集体参与冋答，问题虽然简单，但限制了了解数系的扩充过程，反映了牛活实际的需求与数学内部的矛盾复数＜实数＜V(有理数＜1r (白杪務(正整数整数自然数1零(负整数、分数无理数虚数条件，就会引导学生思考多元互动对这个在实数集内解/+1=0怎么解？规定：①* = -1②实数与i可以进行四则运算，让学生进行举例，加减乘除法分别举一个例子i+1 写成1+bi2i写成0+2i1-i 写成1-1-i93写成0+扌i请同学们思考一下，以上可以写成什么形式呢？有些学生就喊道写成“a+bi”形势小组讨论，提问冋答问题从这个过程中理解复数的概念，加深预习过后的理解二、复数的概念定义：把形如a+bi (a, b€R)的数叫作复数，通常用字母Z表示，全体复数组成的集合叫做复数集，记作C, C二{a + bi|a,b G R}通过以上推理得出复数概念，是师生互动，集思广益的结果，体现了课堂的高协同.Z = a + bi其中a表示复数Z的实部，b表示复数Z 的虚部.立即叫学生举例子，另一个学生回答实部虚部分别是什么，例如学生举例3+2i,-0・2i,学生自己当老师，体会出题的快乐，另一个学生答题，增进学生参与及积极性，提高学习兴趣，提问式参与学习学生在参与过程中也学会了复数的基本概念另一个学生回答实部分别为3,0:；虚部分别为2, -0. 2.练习是课本的104页，练习第…题：说出下列的复数的实部和虚部-2 + § i, V2 + i, —»—V3i, i, 0问题：复数相等，在复数集中任找两个复数分别为a+bi和c+di,当满足什么条件的吋候这两个复数相等呢？立即进行练习在课本的104页，练习3(x + y) + (y — l)i = (2x + 3y) + (2y + l)i, 求实数x, y的值. 每个小组经过讨论后安排一个人把这个结果讲出来和上黑板写出来，之后通过对比比较引导得出正确的结论，学牛上黑板板演.让每一个学生参与小组合作学习，体骑参与的快乐思考：复数集C和实数集RZ间有什么关系？两个复数是否可以比较大小？自我思考独立完成，小组讨论，大胆猜想营造轻松愉快的学习气氛并学得知识问题：复数a+bi (a, beR)如何分类教师活动：复数a( 实数(b = 0)+ "虚数(b胡纯虚数(―1 1非纯虚数(a工O,b工0)小组讨论，师共同总结合作交流，自主探究，加深对复数的分类理解下面打开课本104页做练习2,哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？2 + V7, 0.618,扌i,0,i」2,5i + 8,3—9V2i,i(l-V3),V2-V2i,学生自主完成习题加深对复数分类的理解总结提升一.复数的概念二.复数相等三.复数的分类学生分组讨论，总结提升小组讨论合作学习，在参与中学到知识，让明白参与合作学习的意义和好处反思：简易的问题的开篇，让学生立刻感到良好的学习气氛，已经激情，融情于景，根据历史发展的一般规律通过问题的形式探究数系扩充过程，激发学生的求知欲，将课堂还给学牛，学牛才是课堂的主人，教师引导小组活动合作交流，最大限度调动学生的主动性和积极性，让学生学会参与，乐于参与.。

数系的扩充与复数的引入教学目标【知识目标】使学生了解数的发展史，以及数集扩充到复数集的必要性；理解复数的相关概念和复数相等的充要条件。

【能力目标】通过师生共同探索、发现数集扩充的原因，培养学生（通过查阅资料）独立获取数学知识的能力，以及类比思考问题的能力；通过对复数相关概念的自学，培养学生的自学能力和对概念的认知能力。

【情感目标】通过了解数系的扩充过程，使学生感受到人类理性思维在数系扩充过程中的作用，以及数和现实世界的联系，从而激发学生对数学研究的热情。

教学重点和难点【教学重点】复数的相关概念，复数的分类以及复数相等的充要条件。

【教学难点】虚数单位i的引入以及复数的概念的理解。

教学策略教师始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，启发、引导学生自主探究和交流，让学生在师生互动、生生互动的过程中，完成对知识的探索。

学法指导学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探索、发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力。

教学过程一、设置问题情景，导入新课复习回顾：到目前为止，我们都学习过哪些数的集合？它们之间有着怎样的关系？（学生回答）设置问题：数的集合是如何由自然数集扩充为实数集的呢？实数集是否是最大的数集呢？师：带着这两个问题，今天，我们就一起来学习《数系的扩充与复数的引入》二、探究、发现数系扩充的过程和原因问题1：目前，我们所学习的最大数集是什么？实数是如何分类的？（学生回答，教师借助多媒体展示实数的分类过程。

）（教师以实数的分类“逆过程”为主线，引导学生发现数集的扩充过程） 问题2：如果我们逆过来看实数的分类过程，是一个数集的什么过程？（学生回答）问题3：观察实数的分类（图），能否说出哪些数的产生推动了数系的一次次扩充呢？（学生回答）问题4：在数的产生和发展过程中，自然数、分数、负数以及无理数产生的原因是什么？同学们能否根据课下所查找的相关资料，用简练的语言来概述一下呢？（同学之间可以相互交流）活动1：学生之间互动交流活动2：师生之间互动交流通过活动1，活动2，师生共同探讨得出数的产生和发展的原因（多媒体展示）：师：通过了解自然数、分数、负数以及无理数的产生原因，我们不难看出，数系的每一次扩充都是人们生产和生活的需要，而对数学学 而言，数系的每一次扩充，也是数学自身发展和完善的需要。

高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生理解实数和虚数的概念，了解复数的基本形式。

2. 让学生掌握复数的运算规则，包括加、减、乘、除以及共轭复数的概念。

3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 实数和虚数的概念：介绍实数和虚数的定义，举例说明实数和虚数的区别。

2. 复数的基本形式：介绍复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。

3. 复数的运算规则：讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。

4. 共轭复数的概念：介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：实数和虚数的概念，复数的基本形式，复数的运算规则，共轭复数的概念。

2. 教学难点：复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。

2. 利用例题演示，让学生直观地理解复数的运算方法。

3. 设计练习题，让学生巩固所学知识。

五、教学步骤1. 引入实数和虚数的概念，举例说明实数和虚数的区别。

2. 讲解复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。

3. 讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。

4. 介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。

5. 设计练习题，让学生运用所学知识解决问题。

教案仅供参考，具体教学过程中请根据学生的实际情况进行调整。

六、教学评价1. 通过课堂讲解、例题分析和练习题，评价学生对实数、虚数和复数的概念的理解程度。

2. 通过复数运算的练习题，评价学生对复数运算规则的掌握情况。

3. 通过共轭复数相关练习题，评价学生对共轭复数性质和运用的理解程度。

七、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，激发学生学习复数的兴趣。

2. 引导学生思考复数运算的规律，培养学生的逻辑思维能力。

八、教学资源1. PPT课件：实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。

§3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立教具准备：多媒体教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.教学过程：探究过程：“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会．世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉．数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数讲解新课：1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数整数有理数无理数实数2．提出问题我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？3．组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．4．引入新数i ，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12-=i ； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．5．提出复数的概念根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C ．6.复数的分类：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例题讲解：例1.实数m 取什么值时，复数i m m m z )1()1(-+-=是（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）0 （5）6+2i解：（1）当m -1=0，即m =1时，复数z 是实数（2）当m -10≠，即1≠m 时，复数z 是虚数（3）当0)1(=-m m 且01≠-m 即0=m 时，复数z 是纯虚数（4）当0)1(=-m m 且01=-m 即1=m（5）⎩⎨⎧=-=-216)1(m m m 即3=m例2.已知i y x x i y x y x )3()52()2()(++-=-++求实数x 与y解：根据两个复数相等的充要条件，可得方程组⎩⎨⎧+=--=+y x y x x y x 3252解得：⎩⎨⎧-==23y x 练习： 1.若集合A={1,2,(a 2-3a-1)+(a 2-5a-6)i},B={-1,3},且{}3=B A I ，求实数a 的值2.已知R a z z i a a a z i a a a z ∈>++=+++-=其中,,)(2,)32(14212221,求a 的取值集合3.的值求实数若复数m i m m m ,0)43(32<--+-课堂练习：1.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C 2.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )A.x =－21B.x =－2或－21 C.x ≠－2 D.x ≠1且x ≠－2 3.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－14.满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.5.复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______.6.设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值.7.若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值.8.已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i . 【归纳总结】一、数系的扩充；二、复数有关的概念：1、复数的代数形式；2、复数的实部、虚部。

高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生了解数系的扩充过程，理解实数和复数的概念。

2. 培养学生运用数系知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学美的感受，培养学生的创新意识。

二、教学内容1. 数系的扩充过程：有理数、实数、复数。

2. 实数和复数的概念及其性质。

3. 复数的几何意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：数系的扩充过程，实数和复数的概念及其性质。

2. 教学难点：复数的几何意义，复数方程的求解。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究数系的扩充过程。

2. 运用实例讲解法，让学生理解实数和复数的概念。

3. 利用数形结合法，揭示复数的几何意义。

五、教学过程1. 导入新课：通过复习实数的概念，引出数系的扩充过程。

2. 讲解数系的扩充过程：有理数、实数、复数。

3. 讲解实数和复数的概念：实数的定义、性质；复数的定义、性质。

4. 讲解复数的几何意义：复平面、复数的几何表示。

5. 巩固练习：解决一些与实数和复数有关的实际问题。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。

7. 布置作业：布置一些有关实数和复数的练习题，巩固所学知识。

六、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，如电路分析中的复数表示法。

2. 引导学生探究复数的运算规则，如复数的乘法、除法、乘方等。

七、案例分析1. 分析实际问题，如利用复数解决几何问题、信号处理问题等。

2. 引导学生运用复数知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

八、课堂互动1. 组织学生进行小组讨论，探讨复数的几何意义。

2. 开展课堂提问，检查学生对实数和复数概念的理解。

3. 引导学生进行互动交流，分享学习心得和解决问题的方法。

九、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。

3. 课后反馈：收集学生对课堂内容的反馈，了解学生的学习效果。

十、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否符合学生的实际需求。

数系的扩充和复数的概念(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？1．复数的有关概念(1)复数①定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，实部是a，虚部是b.②表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋b i(a，b∈R)．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．[点睛]复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数). [点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系复数的概念及分类[典例] (1)给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.①是虚数；②是纯虚数．[解析] (1)对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部是2，不是2i ，②为假命题；对于③，2i ＝0＋2i ，其实部是0，③为真命题．故选B.[答案] B(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0， 即m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数． ②当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0， 即m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．[一题多变]1．[变设问]本例(2)中条件不变，当m 为何值时，z 为实数？解：当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15＝0，即m ＝5时，z 是实数． 2．[变设问]本例(2)中条件不变，当m 为何值时，z >0.解：因为z >0，所以z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3>0，m 2－2m －15＝0，解得m ＝5.3．[变条件]已知z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R)，若z 是虚数，求m 的取值范围．解：∵z 是虚数，∴log 12(3－m )≠0，且1＋m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m >0，3－m ≠1，1＋m >0，∴－1<m <2或2<m <3.∴m 的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0. 复数相等[典例] (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．[解] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. (2)设方程的实数根为x ＝m ，则3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎨⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715. 复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．。

高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案教案说明1、教学要求在最新修订的《全日制普通高级中学数学教学大纲》中对本节课的要求是了解数系扩充的必要性，理解复数有关概念。

在国家新课程标准下，对本节课的要求为：(1)在问题情境中了解数系扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

因此在讲解本节课时既要通过复数概念的理解体现数学的本质还要通过数系的扩充展现数学的人文价值。

2、教材处理：本节课包含两个内容：数系扩充、复数的概念。

就数系扩充的内容而言，本节课是一节介绍数学史的课程，希望学生体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用与现实的关系。

就复数内容而言，本节课是一堂概念课，因此如何让学生理解相关的概念显得很重要；同时本节课也是一堂全新内容的课——介绍之前从未接触的“虚数”，因此“虚”的理解就成为复数概念理解的难点，但同时也是本节课的重点。

对此，本节课由方程无实数解引入，从而引出最开始的形式上的“虚数”；通过与方程在有理数域与实数域解情况的类比，指出扩展数域的必要性。

其后由卡尔丹诺的形式虚数，顺势介绍复数系扩充史，进而得到虚数的单位“i”。

在引入复数之后，根据研究问题的一般思路：新概念的理解——新旧概念的对比——新概念的系统化。

自然引出复数与实数虚数的关系、复数大小、复数的相等等问题。

其间做一些辨析与巩固练习，以此对学过的知识加深理解。

3、教法说明：1、数系扩充这个内容，采取问题引入，教师讲解的方式。

采取问题引入，是为了让学生体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，进一步的感受到人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体现数学的人文价值。

在数学史的介绍中，让学生体会创新，要敢于突破，敢于质疑，敢于提出新的看法，进而渗透德育教育。

通过对复数系的扩张，理解“i”的形成过程，有助于学生了解虚数单位的实质，更深入的了解复数、虚数的概念，从而避免数学的形式化。

数系的扩充和复数的概念【教学目标】1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．【教学难点】复数概念的理解．【教学过程】1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数 有理数 无理数 实数2．提出问题我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？3．组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．4．引入新数i ，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：（1）12-=i ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．5．提出复数的概念根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*NZ Q R C ．【巩固练习】下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m 的值．.1,010131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数；时，，即）当解（z m m m z m m z m m -=⎩⎨⎧≠-=+≠≠-==-6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是由此容易得出：6cos 6sin ,,0,2,7212ππi i i i --+）纯虚数）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z ∈+-+=例2 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．分析：因为x ，y ∈R ，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出x ，y 的值．4,25)3(112==⎩⎨⎧--==-y x y y x 解得解：由复数相等可知练习：.),(023)21(2的值求实数已知m R m i mi x i x ∈=--++【课堂游戏】【想一想】两个复数是否可以比较大小.【归纳总结】一、数系的扩充；二、复数有关的概念：1、复数的代数形式；2、复数的实部、虚部。

《数系的扩充和复数的概念》教案4（新人教A版选修1-2）数系的扩充和复数的概念教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。

教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。

教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：（1）（2）（3）（4）3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到"无解"的答案。

讨论：若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？实数与相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。

出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

规定：，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

②讨论：复数的代数形式中规定，取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：叫做虚数，叫做纯虚数。

④ 数集的关系：上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。

（讨论中，k取何值时是实数？）小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。

典型例题:1．设z＝为实数时，实数a的值是（ A ）A.3B.－5C.3或－5D.－3或52．设关于的方程,若方程有实数根，则锐角和实数根______________________________________.解：，3．设复数，试求m取何值时（1）Z是实数；（2）Z是纯虚数；（3）Z对应的点位于复平面的第一象限解：。

7.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标1.在问题情境中，了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾，在数系的扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示.教学重点1.理解复数的概念及复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示教学难点1.理解复数相等的充要条件.2.理解复数的概念及数系的扩充过程.高考考点课型新授课教具教法诱思探究教学过程教学环节教师活动预设学生活动预设新课引入诱思探究引导学生思考理解数的扩充过程.问题1.昨天新冠状病毒肺炎确诊病例达到40239（14：00），新增病例有3073人，昨天钟南山院士发表的一篇文章中称根据最新的数据病毒致死率约为1.4%。

那么同学们通过上面一段话，得到了哪些信息？答：确诊人数，新增人数，可以进一步的通过运算算出增长率，以及病毒致死率。

希望同学们在家里也要注意个人卫生，少出门，不出门，做好每天的学习。

问题 2.数应用于生活的方方面面，那么咱们这些数在生活中又是如何产生和发展的呢?数学的生活中的发展过程，远古时期人们为了统计捕获的猎物和采集的野果等用手指、石子或刻痕数个数，从而创造了自然数1，2，3，……，后来人们把表示无的0也归入自然数，形成了自然数集。

大约在四千年前，在公平分配物质的时候，人们发现自然数不够用.于是产生了分数.两千年前中国人发现，具有相反意义的两种量，例如收入与支出，上升与下降，学生回答扩充过程，感受数系的扩充在数学中的作用同时也开启了我们这节课所要研究的内容.1.我们把集合{i |,}C a b a b =+∈R 中的数，即形如：i(,)a b a b +∈R 的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，全体复数所组成的集合C 称为复数集. 2.复数的表示形式：复数的代数表示形式：i z a b =+，其中a 和b 分别叫做复数的实部和虚部. 3．复数的分类对于复数i,(,)z a b a b =+∈R 可以分类如下：00.(0,0)b z b a z b z ⇔=⎧⎨⇔≠=≠⎩实数，虚数特别的当时,为纯虚数 填写下图表示现在所学数集,,,,N Z Q R C 以及纯虚数集之间的关系：4.复数相等的充要条件两个不全为实数的复数只能说相等与不相等，不能比较大小. 复数12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，12,z z a c b d =⇔==.【当堂训练】1.说出下列复数的实部和虚部并指出下列各数中那些是实数，那些是虚数，那些是纯虚数.。