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六章节置换群Snpermutationgrouporsymmetricgroup

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群论 第5章 置换群

群论 第5章 置换群

2． 杨算符
行(row)置换
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对同一行的数字的任意置换。对上图，
������(������) = {(1), (12), (15), (25), (125), (152), (34), (12)(34), (15)(34), (25)(34), (125)(34), (152)(34)},
列(column)置换
(23)������2 = (123)������1 = ������2, (123)������2 = (23)������1 = −������1 − ������2, (132)������2 = (12)������1 = ������1. 从而读出表示矩阵为1：
������[21]((1)) = (10 01) , ������[21]((12)) = (10 −−11) , ������[21]((13)) = (01 10), ������[21]((23)) = (−−11 01) , ������[21]((123)) = (01 −−11) , ������[21]((132)) = (−−11 10).
���������[���������������]((������ − 1, ������)) = −������,
���������[���������������]((������ − 1, ������)) = √1 − ρ2,
���������[���������������]((������ − 1, ������)) = √1 − ρ2, ���������[���������������]((������ − 1, ������)) = +������.
������2 = ⋮

2.6 置 换 群

2.6 置 换 群

2.6 置 换 群上一节：任何n 阶群都与n S 的一个子群同构。

n S 的每一个子群都叫一个次置换群。

n S 中的每个元素都叫一个置换。

σ如果把1i 变成2i ，2i 变成3i ， ， 1k i -变成k i ，k i 变成1i ，其余元素保持不变，则称σ是一个k - 循环，记成()121k k i i i i σ-= 。

注意：()121k k i i i i σ-= 也可以写成()()231112k k k k i i i i i i i i σ--=== 。

例如(123)(231)(312)==。

当1k =时叫做1-循环，也就是恒等置换，记作(1)(2)()n ε==== 。

当2k =时叫做对换。

一般形式()12i i 。

无公共元素的循环称为不相交循环。

例如(135)与(24)不相交。

3S 的6个置换可以写成：1123(1)123ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 2123(23)132ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3123(12)213ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 4123(123)231ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 5123(132)312ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6123(13)321ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 于是{}3(1),(12),(13),(14),(123),(132)S =，注意这样写的好处是避免了对置换编号。

4S 的24个置换可以写成：(1)— 1-循环，1个；(12),(13),(14),(23),(24),(34)—2-循环，共6个；(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)—3-循环，共8个； (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)—4-循环，共6个；(12)(34),(13)(24),(14)(23)—2-循环乘2-循环，共3个。

合起来正好24个。

（1）不相交循环与不相交循环可以交换相乘；例如，12345(123)(45)(45)(123)23154⎛⎫== ⎪⎝⎭。

循环群与置换群

循环群与置换群
② n=∞，在G ={ gk | k ∈ Z }中，假若 gs= gt，则有gs-t=e因 此 G没有相同的元素，故 G的阶 m=∞ 。
• 循环群是交换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G的生成元，则G的结构
在同构的意义下完全由 g的阶所确定：
（1）若 g的阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g的阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
例. (GF ,∘) 和 (AF ,∘)都是平面上的变换群。
例7.3.4 在已建立平面直角坐标系的平面上，
用σp表示平移：σp (Q)= Q +P；
用τθ表示绕坐标原点的旋转。 一般地， σp∘τθ ≠τθ∘σp 。
比如取P =(0,1)，θ =½π ，则有：
( 0 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) 而 ( 0 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 )
证. 设群 G的阶=m, G的生成元 g的阶=n。分二种情形： ① n<∞，在G ={ gk | k ∈ Z }中, gs = gt ⇔ s≡t (mod n) . ∵ 若 gs= gt，即 gs-t=e，则s-t=nq。 反之，若s-t=nq，则 gs= gnq+t = gt。 因此 G ={ g0, g, g2,···, gn-1}，故m=n；
e 112233,1 122331,2 132123, 3 113223,4 122133,5 132231。
7.3 循环群与置换群
一、循环群
定义7.3.1 设(G ,◦)是一个群，H ⊆G, 若G的元素均 可由H中的若干元素经过有限次的二元运算◦而得 到，则称子集 H生成群(G,◦)，并将生成群的子集 中最小的称为群(G,◦)的生成元集。

对置换群教学的新处理

对置换群教学的新处理

对置换群教学的新处理作者：杜海霞潘燕玲来源：《价值工程》2016年第07期摘要：讨论在教学中处理置换群的一种新的处理方法，以利于学生更好地理解教材内容。

Abstract： In this paper， a new method of permutation group teaching is introduced， which makes the student to understand these concept easily.关键词：置换群；k-轮换；奇（偶）置换；阶Key words： permutation group；K-rotation；odd （even） replacement；order 中图分类号：O152.1 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）07-0186-020 引言置换群是人类最早研究的一类群，利用这种群，迦罗瓦成功的解决了高次代数方程是否可用根式求解的问题[1]。

由于每个有限的抽象群都与一个置换群同构，也就是说，在同构意义下，若把置换群研究清楚了，那么所有的有限群即完全被了解，故置换群是一类非常重要的群。

正是由于它的重要性，引起了学术界的广泛关注，文献[2]研究了置换群群的循环指数，文献[3]研究有有界运动的置换群，给出了非单位元恰有两个运动的有极大次数的传递置换群的结构和分类，文献[4]给出了计算置换的乘法、置换的逆、置换的阶、置换的幂、置换的轮换分解、置换的奇偶性判断的C语言程序，文献[5]利用O’Nan-Scott定理刻画了3次自由次的拟本原置换群和二部拟本原置换群，并给出了一般3次自由置换群的描述，文献[6]研究了给定生成元集、给定群、给定阶的置换群的群图的作图方法，并给出若干计算机作图的实例，文献[7]确定Sn的元素的阶的集合On的第二种方法，同时给出了例子，文献[8]对素数幂次的本原置换群给出一个清晰明了的刻画。

教材[1]是目前各高校近世代数课程选用较多的一本优秀教材，它对置换群一节的处理是，先给出定义，再以定理形式给出相关性质，但对于初学者来说，总感觉逻辑性不是那么强，不知为什么介绍完定理1，介绍定理2，所以本人试着以例子引入并贯穿整节课的方式，给出一种新的处理方法。

2：置换群和子群及其陪集

2：置换群和子群及其陪集

1 2 3 4 5 6 例6.3.3 σ = 3 2 4 1 5 6
=(1 3 4)=(3 4 1)=(4 1 3）。
定义6.3.3 M的两个轮换 σ=（a1…ar）和 τ=（b1…bs）说是不相杂或不相交， 如果 a1，… ， ar和b1，…，bs都不相同。
结论：若σ和τ是两个不相杂的轮换，则其乘法 适合交换律： στ=τσ
1
3
2
4
在该表示法中，我们从a向b引一箭头，就表示在 该置换下，a变到b。
总之，一个n元置换σ有一图形表达式 Gσ =α1z1 +α2z2 + … +αrzr 其中α1+2α2+…+rαr = n称为该置换的图型； 反之，给一个图型，即如上的图形表达式，就 相应有一个n元置换σ。因为n元置换最多只能出 现１个最长的圈zn，也最多只能出现n个最短的 圈z1，所以对于上列的图形表达式Gσ，总可写成
6.3.1 置换的定义
定义6.3.1 设M是一个非空的有限集合，M的一个一对一 变换称为一个置换。 设M的元素为a1，a2，…，an，则M的置换σ可以简记为
σ＝
a1 a 2 a n ,bi=σ（ai）,i=1,2…,n b b b n 1 2
因为置换按定义是一对一的，所以b1,b2,…,bn是 a1,a2,…,an的一个排列，由此可见，Ｍ的每个置 换对应a1,a2,…,an的一个排列，不同的置换对应 不同的排列,此外，a1,a2,…,an的任意排列也确 定M的一个置换，所以，M的置换共有n！个，其 中n是M的元数，M上的置换也称为n元置换。以下 用Sn表示这n！个置换作成的集合。
(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)。

D2-6置换群

D2-6置换群

4、每个恒等置换写成循环置换时，习惯上写成(1)。
定义2 S n中的一个将i1变到i2，i2变到i 3， , i k变回到i1 , 叫做k — 循环置换（或称k — 循环）记为 i1 , i2 , i3 , , i k ). (
而其余文字（如果还有其它文字）不发生变化的置换，
例4 在S5中， 1 2 3 4 5 1 2 3 叫做3 — 循环置换. 2 3 1 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 叫做5 — 循环置换. 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 叫做1 — 循环置换.
jk 1 jn , ( jk( 2 )1 jn2 )
(1)
j1 jk jk 1 jn 试证明： . 1 2 (1 ) j j (1) j ( 2 ) j ( 2 ) 1 k k 1 n
证明：因为 1 是 a j , a j , , a j
的变换过程为 4 2 3 5 1， 1
而其它元素都不改变，
若将不发生改变的文字 都删掉，那么上述置换 可写成循环置换的形式 1 4 2 3 5 ： （ ）
定义： 将一个n元置换π中不产生变化的元素删去， 而产生变化的元素按次序先后构成一个数组，这就将 作成一个循环置换（或轮换）。
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 1 2 3 3 1 2 3 1 2
2
例： 对于两个特殊的置换 1， 2：
j1 jk 1 (1) j j (1) 1 k jk 1 jn j1 jk , 2 j j jk 1 jn k 1

第7讲 置换群及群的同构和同态


3 4
7
6
5
20
Calay定理
• Calay定理：每个有限群都与一个置换群 同构
21
置换群应用模型

给定n头牛，每头牛的“grumpiness”值 为g[i]，最终要将n头牛按照 “grumpiness”值从小到大有序排好， 交换两头牛的代价为两头牛的g值之和， 问如何安排交换，使得代价最小？
2018/6/29
29
同态核性质

同态核 kerf = { x | x∈G1, f(x)=e2 } (1)kerf={e1} ⇔ f 为单同态 (2)kerf⊴G1，∀a,b∈G1, f(a)=f(b) ⇔ akerf = bkerf
2018/6/29
30
同态核性质的证明
(2)证： (i)显然e1∈kerf ,非空. ∀a,b∈kerf, f(ab−1) = f(a)f(b)−1 = e2e2−1=e2 ⇒ ab−1∈kerf kerf 为G1 的子群，下面证明正规性. (ii)∀g∈G1, ∀a∈kerf, f(gag−1) = f(g)f(a)f(g−1)= f(g)f(g−1) = f(e1)=e2 (iii)f(a)=f(b) ⇔ f(a)–1f(b)=e2 ⇔ f(a−1b)=e2 ⇔ a−1b∈kerf ⇔ akerf=bkerf
(b1,b2,…,b7) =(6,3,1,2,4,7,5) S=4 (a1,a2,…,an) =(1,4,6,2,7,3,5)，对应轮换(1462735) (x1,x2,…,xn) =(4,7,5,6,1,2,3)
/problem?id=1721
23
群的同态与同构

定义： 群G1 ，G2，映射f: G1→G2． 若∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y) ， 则称 f 为G1 到G2 的同态映射，简称同态．

第6讲 循环群和置换群


12 第十二页，编辑于星期三：十六点12分。
证明思路：
(1) 子群H 中最小正方幂元am 为H 的生成元; (2) 若子群H=<am>有限，a≠e, 则 |a| 有限; (3) <an/d>是d 阶子群，再证唯一性.
2021/12/28 2021/12/28
13 13
第十三页，编辑于星期三：十六点 分。
Lagrange定理
Lagrange 定理： |G| = |H| [G:H] 证明： 令G 的不同的陪集为Ha1, Ha2, …, Har, |G| = |Ha1|+|Ha2|+…+|Har|
= |H| r = |H| [G:H]
2021/12/28 2021/12/28
1
第一页，编辑于星期三：十六点 分。
f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}
11
2 2
33
1 2
2 1
33
f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>} f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}
1 3
2 2
13
11
2 3
3 2
f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>} f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>}
x,y∈ G ，必r,s∈Z, s.t. x=ar ,y=as 而且，
x*y=ar*as=ar+s=as+r=as+ar=y*x

近世代数课件--置换群

p ( 1 2 3 ) ( 4 6 ) ( 5 )
其配分为： 6=3+2+1 或简记为[3 2 1]. 由于相互共轭的元素具有相同的
2019/3/10 数学与计算科学学院 11
循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的. 也 就是说 S n 的一个共轭类中的所有元素对应于n的同 一个配分，所以置换群 S n 的共轭类数目等于n的不 同的配分数. 例1: S 有两个类 配分 [1 1]=[ 1 2 ] , 有一个元素: (1)(2)= p e . 配分 [2], 有一个元素: (1 2). S 有三个类 配分 [1 1 1]=[1 3 ], 有一个元素: (1)(2)(3)= p e . 配分 [2 1], 有三个元素: (1 2)、(1 3)、(2 3). 配分 [3], 有两个元素: (1 2 3)、(1 3 2).
而一般情况下可以证明：
p p p p p p p p p p p 1 2 k 1 k 1 k 1 1 k 2 1 2 ( 3 ) p p p p p p p p 12 2 3 3 4 k 1k
1 4 2 3 6 2 3 6 1 4 1 4 2 3 6 ( 2 3 6 ) 1 4 4 1 3 6 2 3 6 2 4 1
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结
果，如
2 3 6 ( 3 6 2 ) ( 6 2 3 )
1 2 n
1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n

离散数学(第二版)第6章几个典型的代数系统

第六章 几个典型的代数系统
第三篇 幅代数结构
6.1 半群与群 6.2 子群 6.3 循环群和置换群 6.4 陪集与拉格朗日定理 6.5 正规子群、商群和同态基本定理 6.6 环 6.7 域 6.8 有限域 6.9 例题选解 习题六
第六章 几个典型的代数系统
6.1 半 群 与 群
半群与群都是具有一个二元运算的代数系统， 群是半群 的特殊例子。 事实上， 群是历史上最早研究的代数系统， 它比半群复杂一些， 而半群概念是在群的理论发展之后才引 进的。
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
〈P(S), 是独异点，
〈 P(S), , ；
〈Σ*, τ〉是独异点， 幺元是λ(空串)， 〈Σ*, τ, λ〉；
〈SS, 是独异点， 幺元是IS， 〈SS, , IS〉；
但〈 ZE, ×〉不是独异点， 因为无幺元 ， (1 ZE， ZE：
偶数集)。
半群与独异点的差别就在于独异点含有幺元， 但独异点
b2 0
S , 取a2
a1,
则
a1 0
b1 a2 0 0
b2 0
a1 a2 0
b1
b2 0
且a1
a2
0, 所以 a1
a2 0
因此 运算不封闭。
b1 b2 S, 0
所以〈S, +〉不是半群。
证毕
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