四川省岳池县第一中学高中数学 1.1.2 余弦定理学案 新人教A版必修5

高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理学案【课前自主学习】预习课本P5～6，思考并完成以下问题(1)余弦定理的内容是什么？(2)已知三角形的两边及其夹角，如何解三角形？(3)已知三角形的三边，如何解三角形？【新知探究•夯实知识基础】余弦定理[点睛]余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．【学练结合】(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(2)正确．当a2>b2＋c2时，cos A＝b2＋c2－a22bc<0.因为0<A<π，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形．(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．答案：(1)√(2)√(3)×2．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于()A.39B．8 3C．10 2 D．7 3解析：选D由余弦定理得：c＝92＋(23)2－2×9×23×cos 150°＝147＝7 3.3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°解析：选C由cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于()A.14 B.34C.24 D.23解析：选B由b2＝ac且c＝2a得cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a·2a＝34.故选B.【学以致用•探究解题方法】题型一已知两边与一角解三角形[典例](1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 3 cm，A＝π6，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________.[解析](1)由余弦定理得：a＝602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝4×602－3×602＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC2－2×5×BC×910，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.[答案](1)60(2)4或5[解题规律总结][活学活用]在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，∴b＝2 2.又∵cos A＝b2＋c2－a22bc＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.题型二已知三角形的三边解三角形[典例]在△ABC中，已知a＝23，b＝6，c＝3＋3，解此三角形．[解]法一：由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A＝45°.同理可求B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.法二：由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A＝45°.由正弦定理asin A＝bsin B知23sin 45°＝6sin B，得sin B＝6·sin 45°23＝12.由a>b知A>B，∴B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°. [解题规律总结][活学活用]已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：选C ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－(a 2＋b 2＋ab )2ab ＝－ab 2ab ＝－12， ∵0°<C <180°，∴C ＝120°，故选C.题型三 利用余弦定理判断三角形形状[典例] 在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：[法一 化角为边] 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab ，∴b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a 2＝a 2.∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形． [法二 化边为角]由正弦定理，已知条件可化为sin 2C sin 2B ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sin C cos B cos C . 又sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又∵0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．[解题规律总结][活学活用]在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以a cos A ＝b cos B 可化为sin Acos A ＝sin B cos B ，sin 2A ＝sin 2B ，又△ABC 中，A ，B ，C ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 的形状为等腰或直角三角形．[活学活用]在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.题型四 正、余弦定理的综合应用命题点一：利用正、余弦定理解三角形1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sinB.(1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B. 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故由正弦定理得a ＝b ·sin Asin B ＝1＋ 3. 由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°， c ＝b ·sin Csin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.命题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2．在△ABC 中，求证a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C . 证明：法一：(化为角的关系式)a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝(2R ·sin A )2·2sin B ·cos B ＋(2R ·sin B )2·2sin A ·cos A ＝8R 2sin A ·sin B (sin A ·cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2ab sin C .∴原式得证．法二：(化为边的关系式)左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A cos A ＝a 2·2b 2R ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2·2a2R ·b 2＋c 2－a 22bc＝ab 2Rc (a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2)＝ab 2Rc ·2c 2＝2ab ·c2R ＝2ab sin C ＝右边，∴原式得证．命题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用3．已知△ABC 的周长为4(2＋1)，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有sin B ＋sin C ＝2sin A .(1)求边长a的值；(2)若△ABC的面积为S＝3sin A，求AB·AC的值．解：(1)由正弦定理，得b＋c＝2a.①又a＋b＋c＝4(2＋1)，②联立①②，解得a＝4.(2)∵S△ABC＝3sin A，∴12bc sin A＝3sin A，即bc＝6.又∵b＋c＝2a＝42，∴由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(b＋c)2－2bc－a22bc＝13.∴AB·AC＝bc cos A＝2.[解题规律总结]高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理同步检测基础达标题1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于() A．30°B．60°C．120°D．150°2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝1314，则最大角的余弦值是()A．－15B．－16C．－17D．－183．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2－a2－b22ab>0，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.43B．8－4 3C．1 D.2 35．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为()A.π6 B.π3或2π3C.π3 D.π6或5π66．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.7．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－14，则b＝________.9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.10．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.能力达标题1．在△ABC中，有下列关系式：①a sin B＝b sin A；②a＝b cos C＋c cos B；③a2＋b2－c2＝2ab cos C；④b＝c sin A＋a sin C.一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则a，b的大小关系为()A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定3．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，则△ABC是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＋c2＋bc－a2＝0，则a sin (30°－C)b－c＝()A.12 B.32 C．－12D．－325．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin Bsin C的值为________．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－ab.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，△ABC的周长为5，求b的长．8．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC＝3DC.(1)若∠DAC＝30°，求B；(2)若BD＝2DC，且AD＝22，求DC.高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理同步检测解析基础达标题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18 解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9， 所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形 解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3或2π3 C.π3D.π6或5π6解析：选B 因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， 所以2ac cos B tan B ＝3ac ，即sin B ＝32， 所以B ＝π3或B ＝2π3，故选 B.6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：07．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3， ∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0， ∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1. 答案：18．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：49．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C .解：∵a >c >b ，∴A 为最大角． 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°<A <180°， ∴A ＝120°，∴sin A ＝sin 120°＝32.由正弦定理，得sin C ＝c sin A a ＝5×327＝5314. ∴最大角A 为120°，sin C ＝5314.能力达标题1．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C .一定成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B＝sin C sin A＋sin A sin C＝2sin A sin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos C sin A＋cos A sin C，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则a，b的大小关系为()A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定解析：选A在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2 a，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.3．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，则△ABC是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：选B∵cos2B2＝a＋c2c，∴cos B＋12＝a＋c2c，∴cos B＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＋c2＋bc－a2＝0，则a sin (30°－C)b－c＝()A.12 B.32C．－12D．－32解析：选A由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc，又b2＋c2＋bc－a2＝0，则cos A＝－12，又0°<A<180°，则A＝120°，有B＝60°－C，所以a sin (30°－C)b－c＝sin A sin (30°－C )sin (60°－C )－sin C ＝34cos C －34 sin C 32cos C －32sin C＝12.故选A. 5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝22，∴sin C ＝22， ∴AD ＝AC sin C ＝ 3. 答案： 36．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得： AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案：357．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －ab .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2， 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.8．如图，D 是直角三角形△ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求B ；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC . 解：(1)在△ADC 中，根据正弦定理， 有AC sin ∠ADC ＝DC sin ∠DAC， ∵AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32， 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°， ∴∠ADC ＝120°，∴∠C ＝180°－120°－30°＝30°，∴∠B ＝60°. (2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x ， ∴sin B ＝AC BC ＝33，cos B ＝63，AB ＝6x ， 在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ， 即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×63＝2x 2， 得x ＝2.故DC ＝2.。

1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理预习案【学习目标】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握余弦定理及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.通过独立思考，合作探究，使学生学会在方程思想指导下处理解三角形问题的思想方法.3.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.通过本节的探究学习，培养学生的创新意识，不断提高自身的文化修养.重点：余弦定理的发现、证明过程及基本应用.难点：用向量方法证明余弦定理.【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握余弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.正弦定理是如何证明的？2.正弦定理是 = = = =2R（R为△ABC的外接圆半径）.3.由正弦定理可解决给出或三角形问题。

4.向量的夹角如何定义的？及向量夹角公式Ⅱ.教材助读1.已知两边和他们的夹角能否解三角形？2.余弦定理：三角形中任何一边的平方和等于减去这两边与他们的的的的3.余弦定理的符号表达式是：2a= ，2b= ，2c= 。

4．余弦定理中有个量，已知其中能求出那能否已知三边求出一角？5．余弦定理推论：Acos = ，Bcos = ，Ccos = 。

【预习自测】1.在△ABC 中，3=a，7=b，2=c，那么B等于（）30=A45=B60=C120=D2.在△ABC中，33=a，2=c，150=B，则b= .3. 若△ABC的两边a,b大小固定，角C 增大，边c 角C确定，边c【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：课本中余弦定理是用（）法证明的，也就是说，在△ABC中，已知BC=a，AC=b 及边BC，AC的夹角C，则=（），所以2BA=（）=（），即2c=（）探究二：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【归纳总结】1.熟悉余弦定理的（ ），注意（ ）, （ ），（ ）等。

§1.2应用举例（练习）学习目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；2．三角形的面积及有关恒等式．教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题学习过程一、课前准备复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．复习2：基本解题思路是：①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；④进行作答，并注意近似计算的要求．二、新课导学※典型例题例1. 某观测站C在目标A的南偏西25 方向，从A出发有一条南偏东35 走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人在D 处距A还有多远？例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADCAB的长．B C※动手试试练1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？三、总结提升※学习小结1. 解三角形应用题的基本思路，方法；2．应用举例中测量问题的强化.※知识拓展秦九韶“三斜求积”公式：※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 某人向正东方向走x km 后，向右转150 ，然后朝新方向走3km km ，则x 等于（ ）.A ． C D ．32.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60 ，则塔高为（ ）米．A ．2003 B C ．4003 D3. 在∆ABC 中，60A ∠=︒，16AC =，面积为BC 的长度为（ ）.A ．25B ．51C ．．494. 从200米高的山顶A 处测得地面上某两个景点B 、C 的俯角分别是30º和45º，且∠BAC ＝45º，则这两个景点B 、C 之间的距离 ．5. 一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45︒，则货轮的速度 ．1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.2. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m 1-），n ＝（cos A ，sin A ）. 若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，求角B .。

备课资料 一、向量方法证明三角形中的射影定理在△ABC 中,设三内角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C . ∵AB CB AC =+, ∴AC AB CB AC AC •=+•)(. ∴AC AB CB AC AC AC •=•+•.∴A AC AB C CB AC AC cos )180cos(2=-︒+.∴.cos cos A AB C CB AC •=-.∴b -aco s C =ccos A ,即B =cco s A +aco s C .类似地有C =aco s B +bco s A ,a =bcos C +cco s B .上述三式称为三角形中的射影定理.二、解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素,如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边),那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法,根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型:(1)已知两角及其中一个角的对边,如A 、B 、A ,解△ABC .解：①根据A +B +C =π,求出角C ;②根据Cc A a B b A a sin sin sin sin ==及,求B 、C . 如果已知的是两角和它们的夹边,如A 、B 、C ，那么先求出第三角C ,然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.(2)已知两边和它们的夹角,如A 、B 、C ,解△ABC .解：①根据C 2=A 2+B 2-2abco s C ,求出边C ;②根据co s A =bca cb A 2cos 222-+,求出角A ; ③由B =180°-A -C ,求出角B .求出第三边C 后,往往为了计算上的方便,应用正弦定理求角,但为了避免讨论角是钝角还是锐角,应先求A 、B 较小边所对的角(它一定是锐角),当然也可以用余弦定理求解.(3)已知两边及其中一条边所对的角,如a 、b 、A ,解△ABC .解：①Bb A a sin sin =,经过讨论求出B ; ②求出B 后,由A +B +C =180°，求角C ;③再根据C c A a sin sin ,求出边C . (4)已知三边A 、B 、C ,解△ABC .解：一般应用余弦定理求出两角后,再由A +B +C =180°,求出第三个角.另外,和第二种情形完全一样,当第一个角求出后,可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然需注意要先求较小边所对的锐角. (5)已知三角,解△ABC .解：满足条件的三角形可以作出无穷多个,故此类问题解不唯一.三、“可解三角形”与“需解三角形”解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容,也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具．但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题,往往不知如何下手．至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量．但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念，则情形就不一样了．所谓“可解三角形”,是指己经具有三个元素(至少有一边)的三角形；而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形．当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角,从而使“需解三角形”可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型,合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素，并确定解的情况．“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间．一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底．分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘，去探究．。

1.1.2 余弦定理（第一课时）教学目标知识与技能：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题过程与方法：1. 学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系——余弦定理2. 在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力情感、态度与价值观：1. 通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识2. 在运用余弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界3. 通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养教学重点：余弦定理的证明及应用教学难点：向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程 教学过程一，创设情境，课题导入1.复习：已知30,45,16A C b ===，解三角形（学生板演）2.若将条件45C =改成8c =如何解三角形？设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知,,ABC BC a AC b ∆==和角C ，求解c ,,B A引出课题：余弦定理二．设置问题，知识探究1.探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理 师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理3.设a b -，22()()2cos c c c a b a b a b ab C ∴=⋅=-⋅-=+-即2222cos c a b ab C =+- 引导学生证明：2222cos a b c bc A =+-3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍三．典型例题剖析 1.例1.在ABC ∆中，已知120,2,2,A b cm c cm ===解三角形分析：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其各角变式引申：在ABC ∆中，已知30,5,A b c ===2.探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式做某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？设计意图：（1）引入余弦定理的推论；（2）对一个数学式子做某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题的方法，这是一种研究问题的方法师生活动：对余弦定理做某些变形，研究变形后所得关系式的应用，因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题 引入余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-= 公式作用：（1） 已知三边求三角（2） 若A 为直角，则cos 0A =,从而222b c a +=；若A 为锐角，则cos 0A >，从而222b c a +>；若A 为钝角，则cos 0A <，从而222b c a +<例2.已知在ABC ∆中，a b c ===,,A B C先让学生自己分析、探索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角变式引申：在ABC ∆中，::21)a b c =，求,,A B C让学生板演，师生共同评判3.三角形形状的判定例3.在ABC ∆中，cos cos a A b B =,试确定此三角形的形状求解思路：判断三角形的形状可有两种思路：一是利用边之间的关系来判断，在运算过程中，尽可能把角的关系转化为边的关系；二是利用角之间的关系来判断，将边转化为角变式引申：在ABC ∆中，若()()3a b c b c a bc +++-=，并且sin 2sin cos A B C =，判断三角形的形状四．课堂检测反馈1．已知在ABC ∆中，60,8,3A b c ===，则a = （ ）2. 在ABC ∆中,若1,1,a b c ===，则ABC ∆的最大角的度数为（ ）3.在ABC ∆中，5,6,8AB BC AC ===,则ABC ∆的形状是（ ）.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 非钝角三角形五．课时小结1.学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结2.运用向量方法推导出余弦定理，并能灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题六．课后作业课本第10页A 组3（2），4（2）B 组第2题。

§1.1.2 余弦定理1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．一、课前准备复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC ∙=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ．[理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC 中，a =2c =，150B =，求b ．（2）△ABC 中，2a =，b =，1c ，求A ．※ 典型例题例1. 在△ABC 中，已知a =b =45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB ，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2. 在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．三、总结提升※ 学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．※ 知识拓展在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角；若222a b c +<，则角C 是钝角； 222是锐角．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）.A.B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.A ．60B ．75C ．120D ．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.A x<B x＜5C．2＜x D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222b ac ab+-=，则∠C等于．1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC⋅的值.。

课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。

1.1.2余弦定理（二）一、教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

二、教学重、难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

四、教学设想[复习引入] 余弦定理及基本作用①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C=+-②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba练习]1。

教材P8面第2题2．在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）思考。

解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？（1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角； 例如 ︒===120,5,12A b a （先由正弦定理求B ，由三角形内角和求C ，再由正、余弦定理求C 边）（2）已知三角形的任意两角及其一边； 例如 10,50,70=︒=︒=a B A （先由三角形内角和求角C ，正弦定理求a 、b ）（3）已知三角形的任意两边及它们的夹角； 例如 ︒===50,13,12C b a（先由余弦定理求C 边，再由正、余弦定理求角A 、B ）（4）已知三角形的三条边。

高中数学《1.1.2余弦定理》学案新人教A版必修1、1、2余弦定理编者：校审：组长：一、[学习关键词]1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理、2、能运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题、二、[课前自主梳理]如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C()、利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？解三、[课堂合作研习]例1 （1）中，已知，求边、（2）已知中，，求最大角和、例2 在中，,,分别是角的对边，已知，且，求的大小及的值。

例3 在中，若，试判断三角形的形状、[巩固练习]1、在中，，则角为（）A、60B、45或135C、120D、302、在中，的对边分别为a，b，c，若>0，则（）A、一定是锐角三角形B、一定是直角三角形C、一定是钝角三角形D、是锐角或直角三角形3、在中，，则的最小角为（）A、B、C、D、4、在△ABC中，，则三角形的面积等于、5、已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是、6、如图所示，在中，AB=5，AC=3，D为BC的中点，且AD=4，求BC边的长、1、1、2余弦定理[强化训练]1、在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于()A、1B、C、2D、42、在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A、B、C、D、3、在△ABC中，若(a2＋c2－b2)＝ac，则角B的值为( )A、B、C、或D、或4、在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为()A、正三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰三角形5、如下图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD、已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min、若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为()A、50 mB、45 mC、50mD、47 m6、三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________、7、在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120，求三边的长、8、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1、(1)求角C的度数；(2)求AB的长；9、如图，已知圆内接四边形ABCD的各边长分别为AB＝2，BC ＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积、1、1、2余弦定理[强化训练答案]1、答案C解析bcos C＋ccos B＝b＋c＝＝a＝2、2、答案B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cos B＝＝＝、3、答案 D 解析由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得＝，即cos B＝，∴sin B＝，又B为△ABC的内角，所以B为或、4、答案B解析∵sin2＝＝，∴cos A＝＝，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形、5、答案C解析依题意得OD＝100 m，CD＝150 m，连接OC，易知∠ODC＝180－∠AOB＝60，因此由余弦定理有：OC2＝OD2＋CD2－2ODCDcos∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2100150，解得OC＝50(m)、6、答案120解析易知：>a，>b，设最大角为θ，则cos θ＝＝－，又0<θ<180，∴θ＝120、7、解由得∴a>b>c，∴a2＝b2＋c2－2bccos120，即(b ＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)(－)，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10，此时a＝14，c＝6、8、解(1)∵cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝、(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝b2＋a2－2abcos120＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB ＝、9、解连接AC、∵B＋D＝180，∴sin B＝sin D，cos D＝－cosB、∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ABBCsin B＋ADDCsin D＝14sinB、由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B＝AD2＋DC2－2ADDCcos D，∴56cos B＝8，cos B＝、∵0<B<180，∴sin B＝＝、∴S四边形ABCD＝14sin B＝8、。

1.2余弦定理-----学案一、学习目标1．掌握余弦定理及其推论．(重点)2．掌握正、余弦定理的综合应用．(难点)3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)二、自主学习教材整理1 余弦定理及其变形阅读教材P 5～P 6完成下列问题．1．三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .2．余弦定理的变形；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 预习小测1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c ＝________.2．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则B ＝________.教材整理2 余弦定理及其变形的应用阅读教材P 6～P 7，完成下列问题．1．利用余弦定理的变形判定角在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．2．应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．(1)已知三边，求三角．(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．三、合作探究探究1：已知两边及一角解三角形1.在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a .【精彩点拨】 解答本题可先由正弦定理求出角C ，然后再求其他的边和角．也可以由余弦定理列出关于边长a 的方程，首先求出边长a ，再由正弦定理求角A ，角C .【自主解答】 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝6×123＝1. ∴A ＝90°，∴C ＝60°.法二：由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解． 由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°， 由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋3r(32)＝6，当C ＝120°时，A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.归纳总结：已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边．)探究2：已知三边解三角形2. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C .【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角？(2)求sin C 能否应用余弦定理？【自主解答】 ∵a >c >b ，∴A 为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12，∴A ＝120°，∴sin A ＝sin 120°＝32. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得：sin C ＝c sin A a ＝5×327＝5314，∴最大角A 为120°，sin C ＝5314. 归纳总结：1．本题已知的是三条边，根据大边对大角，找到最大角是解题的关键．2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．探究3：正、余弦定理的综合应用3.在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状．【精彩点拨】【自主解答】 法一：∵(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，∴由正、余弦定理可得：⎝⎛⎭⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ， 整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2.∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．法二：根据正弦定理，原等式可化为：(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ，即sin C cos B sin B ＝sin C cos A sin A .∵sin C ≠0，∴sin B cos B ＝sin A cos A .∴sin 2B ＝sin 2A .∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 归纳总结：1．判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．2．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，应注意角的限制范围．四、学以致用1．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，求边c .2．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，求角C .3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.(1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 五、自主小测1．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A.π3B.π6C.π4D.π123.在△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，则cos A ＝________.5．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边c 的长．参考答案1.【解析】 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝－12，∴C ＝120°. 【答案】 C2.【解析】 由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝错误!＝错误!，所以C ＝错误!，故选B.【答案】 B3.【解析】 法一：∵a ＝2b cos C ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a， ∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，即b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．法二：∵a ＝2b cos C ，∴sin A ＝2sin B cos C ，而sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴cos B sin C ＝sin B cos C ，即sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴sin(B －C )＝0.又－180°<B －C <180°，∴B －C ＝0，即B ＝C .∴△ABC 为等腰三角形．【答案】 等腰三角形4.【解析】 由B ＝C,2b ＝3a ，可得b ＝c ＝32a ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a ＝13. 【答案】 135.【解】 5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0，∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)，∴cos C ＝35. 根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16，∴c ＝4，即第三边长为4.。