《空间向量的数乘运算》教案
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《空间向量的加减法与数乘运算》
②结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
2.空间向量的数乘运算
（1）数乘运算法则与平面向量类似，实数 与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作
a.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量a的长度和方向满足：
① | a || || a |
②当 >0时，向量 a与向量a方向相同；当 <0时，向量a与向量a方向相反；当
（1）. AB AD AA'
（2）.DD AB BC （3）. AB AD 1 (DD' BC)
2
解 （1）. AB AD AA AC AA AC CC AC
（2）. DD AB BC BB BA
（3）设点M为CB'的中点，则AB
AC 1 CB AM
ADBC1(DBAD
设计意图
师生互动，通过教师讲解、学生板演等方式研究例题，突破重难点，提升学生的直观想 象、数学运算及逻辑推理核心素养.
学而优 · 教有方
归纳小结
教学内容
1.基本知识 （1）空间向量的加减法运算法则； （2）加法运算律； （3）空间向量的数乘运算及其运算律； （4）共线向量基本定理. 2.数学核心素养 （1）直观想象； （2）数学运算； （3）逻辑推理.
学而优 · 教有方
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
归纳小结
师生互动
教师引导学生分组回答，小组评价.
设计意图
培养学生的概括总结能力.
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
学而优 · 教有方
布置作业
教学内容
教材第100页练习第1，2题.
师生互动
学生独立完成，教师批改.
《向量数乘运算》课件
《向量数乘运算》ppt课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
高中数学空间向量相乘教案
高中数学空间向量相乘教案
一、教学目标
1. 理解空间向量相乘的概念和运算规则。
2. 掌握空间向量相乘的方法和技巧。
3. 能够解决空间向量相乘的相关问题。
二、教学重点
1. 理解空间向量相乘的定义和运算规则。
2. 掌握空间向量相乘的运算方法。
三、教学难点
1. 理解空间向量相乘的几何意义。
2. 掌握空间向量相乘的运算技巧。
四、教学内容
1. 空间向量相乘的概念和定义。
2. 空间向量相乘的运算规则和性质。
3. 空间向量相乘的几何意义及应用。
五、教学过程
1. 导入：通过一个实际问题引入空间向量相乘的概念，引起学生的兴趣。
2. 解释：介绍空间向量相乘的定义和运算规则，让学生理解其意义。
3. 练习：让学生通过练习掌握空间向量相乘的运算方法和技巧。
4. 拓展：引导学生思考空间向量相乘的几何意义及应用，拓展他们的思维。
5. 总结：对空间向量相乘的相关知识进行总结归纳，确保学生掌握。
六、教学资源
1. 教材、课件等教学用具。
2. 习题集、试卷等练习材料。
七、教学评估
1. 课堂练习：通过课堂练习检查学生对空间向量相乘的掌握情况。
2. 作业考查：布置相关作业，检查学生对空间向量相乘的应用能力。
八、教学反思
1. 总结教学过程中存在的不足，进一步完善教学内容和方法。
2. 汲取教学经验，提高教学效果，促进学生的学习进步。
以上是一份高中数学空间向量相乘的教案范本，希朥对您有所帮助。
高二数学空间向量的数乘运算第1课时02
7
证明:⑴充分性
∵ OP xOA yOB zOC 可变形为OP (1 y z)OA yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP m AB nAC
为什么?
5
例1(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB, OG kOC ,OH kOD , 求证： 四点E、F、G、H共面；
6
例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
3.1.2空间向量的数乘运算（2）
录课教师：华洁
空间向量的基本定理——共面向量定理
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。
空间共面向量基本定理：
如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b 共面 的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使p＝xa＋yb
求证：四点E、F、G、H共面；
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA
k(OC OA) kAC
（﹡）代入
k( AB AD)
k(OB OA OD OA)
D
A
H
C
B
G
OF OE OH OEBiblioteka EFEF EH
所以 E、F、G、H共面。
探究： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C 满足向量关系式 OP xOA yOB zOC
空间向量的数乘运算说课
《空间向量的数乘运算》说课宾县第二中学高二数学组一、教材分析1、教学内容：空间向量的数乘运算是人教版选修2-1第三章第二节课。
是在学习平面向量的基础上运用类比是思想方法推广到空间向量。
数乘运算以及分配律和结合律，进而分别给出空间向量的共线及共面的定义，进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
本节课的主要内容是空间向量的数乘运算，以及共线共面的定理及其推论，并运用它们证明空间向量的共线和共面问题。
2、地位和作用空间向量的引入除了在平面几何、立体几何中产生较大的影响外，对于中学教材的其它章节来讲，有着不同程度的影响，如在三角函数，解析几何中应用，可以改善其教材结构，优化解题方法；又如在物理学和力学中也有许多应用。
对一些高考创新题也常围绕向量和其他章节的知识交汇点命题。
二、教材目标的确定1、教情、学情分析：高一“平面向量”的学习是学习空间向量的前提。
高二年级学生的身心发展的鼎盛时期，思维活跃，善于探索，所以他们对于向量从平面到空间的推广不难接受。
2、教学目标（1）经历由平面向量的数乘运算推广到空间向量的数乘运算。
类比平面中的共线的定义推广空间中共线向量的充要条件和共面向量的充要条件；（2）认识到事物是不断发展变化的，会用联系的观点看待问题3、教学重、难点教学重点：空间向量的共线、共面问题教学难点：空间向量的四点共面问题三、教法与学法教法分析：启发式提问类比式探索点拨式讲解学法指导：自主探索观察发现类比猜想教学手段的运用：四、教学过程的设计教学流程设计自主回顾，夯实基础Ppt展示实物空间向量，理解空间向量的数乘运算、运算律理解共线向量的定理推广共面向量定理应用感悟归纳练习巩固，点拨讲解反馈评价课堂小结，布置作业1、自主回顾，夯实基础方式：由学生自主回顾平面向量数量积及共线向量的有关知识，激发学生的兴趣，尽快熟悉空间向量的有关内容。
问题：知道的平面向量的运算律有哪些？（加、减、及数乘运算）意图：有效的学习应以学生已有的知识为基础，平面向量是空间向量的基础，学生学习的时间较长，必要的复习很重要。
空间向量的数乘运算教学课件
②判断向量共线的关键：找到实数λ.
(2)证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线. ①存在实数 λ，使P→A＝λP→B成立. ②对空间任一点 O，有O→P＝O→A＋tA→B(t∈R). ③对空间任一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1).
跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F 分别是 AB，CD 的中点，请判断向量E→F与A→D＋B→C是否共线？ 解 设AC的中点为G，连接EG，FG， ∴G→F＝12A→D，E→G＝12B→C， 又∵G→F，E→G，E→F共面， ∴E→F＝E→G＋G→F＝12B→C＋12A→D＝12(A→D＋B→C)， ∴E→F与A→D＋B→C共线.
问题导学
知识点一 空间向量的数乘运算
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一 定义 个 向量 ，称为向量的数乘
λ＞0
λa与向量a的方向_相__同__
几何
λ＜0
λa的长度是a的 λa与向量a的方向相__反__
定义
长度的|λ|倍
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
分配律 结合律
λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λb__ λ(μa)＝_(_λ_μ_)a__
＝O→A＋18A→B＋18A→C， ∴O→P－O→A＝18A→B＋18A→C，∴A→P＝18A→B＋18A→C.
由共面的充要条件，知P，A，B，C四点共面.
12345
解析 答案
3.下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是
A.A→B＋B→C＝A→C
B.A→B－B→C＝A→C
√C.A→B＝B→C
解答
②点M是否在平面ABC内？ 解 由①知向量M-→A，M-→B，M-→C共面， 又它们有共同的起点M， 且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C四点共面， 即点M在平面ABC内.
(2)证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线. ①存在实数 λ，使P→A＝λP→B成立. ②对空间任一点 O，有O→P＝O→A＋tA→B(t∈R). ③对空间任一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1).
跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F 分别是 AB，CD 的中点，请判断向量E→F与A→D＋B→C是否共线？ 解 设AC的中点为G，连接EG，FG， ∴G→F＝12A→D，E→G＝12B→C， 又∵G→F，E→G，E→F共面， ∴E→F＝E→G＋G→F＝12B→C＋12A→D＝12(A→D＋B→C)， ∴E→F与A→D＋B→C共线.
问题导学
知识点一 空间向量的数乘运算
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一 定义 个 向量 ，称为向量的数乘
λ＞0
λa与向量a的方向_相__同__
几何
λ＜0
λa的长度是a的 λa与向量a的方向相__反__
定义
长度的|λ|倍
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
分配律 结合律
λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λb__ λ(μa)＝_(_λ_μ_)a__
＝O→A＋18A→B＋18A→C， ∴O→P－O→A＝18A→B＋18A→C，∴A→P＝18A→B＋18A→C.
由共面的充要条件，知P，A，B，C四点共面.
12345
解析 答案
3.下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是
A.A→B＋B→C＝A→C
B.A→B－B→C＝A→C
√C.A→B＝B→C
解答
②点M是否在平面ABC内？ 解 由①知向量M-→A，M-→B，M-→C共面， 又它们有共同的起点M， 且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C四点共面， 即点M在平面ABC内.
空间向量的数乘运算(公开课 )完整版.ppt
a // b(b 0) 有且只有一个实数 ，
使 a b
思考1：为什么要强调 b 0 ?
思考2：这个定理有什么作用？
1、判定两个向量是否共线
2、判定三点是否共.精线品课件.
7
推论:如果 l为经过已知点A且平行已知非零
向量 a的直线,那么对任一点O,点P在直线 上l 的
充要条件是存在实数t,满足等式 OP OA ta
(1)OB OC 3OP OA (2)OP 4OAOB OC
解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只
要证明存在有序实数对（x,y）使得 AP xAB y AC
(1)共面，因为OB OC 2OA 3OP 3OA
即(OB OA) (OC OA) 3AP
所以AB AC 3AP,所以AP 1 AB 1 AC 33
.精品课件.
10
那么什么情况下三个向量共面呢？
e
2
a
e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， e是2 平面内的两个不共线的向量，那 么对于这一平面内的任意向量 a，有 且只有一对实数 ， 使 1 2
a 1e1 2e2
如果空间向量 p与两不共线向量 ，a 共b面，那么可将
三个向量平移到同一平面 ，则有
.精品课件.
12
2.共面向量定理：如果两个向量 a
，b 不共线，
则向量 p与向量 ，a 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存
在有序实数对x,y使AP x AB y AC
C
p
P
b
AaB
.精品课件.
13
对空间任一点O,有 OP OA xAB y AC ③
使 a b
思考1：为什么要强调 b 0 ?
思考2：这个定理有什么作用？
1、判定两个向量是否共线
2、判定三点是否共.精线品课件.
7
推论:如果 l为经过已知点A且平行已知非零
向量 a的直线,那么对任一点O,点P在直线 上l 的
充要条件是存在实数t,满足等式 OP OA ta
(1)OB OC 3OP OA (2)OP 4OAOB OC
解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只
要证明存在有序实数对（x,y）使得 AP xAB y AC
(1)共面，因为OB OC 2OA 3OP 3OA
即(OB OA) (OC OA) 3AP
所以AB AC 3AP,所以AP 1 AB 1 AC 33
.精品课件.
10
那么什么情况下三个向量共面呢？
e
2
a
e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， e是2 平面内的两个不共线的向量，那 么对于这一平面内的任意向量 a，有 且只有一对实数 ， 使 1 2
a 1e1 2e2
如果空间向量 p与两不共线向量 ，a 共b面，那么可将
三个向量平移到同一平面 ，则有
.精品课件.
12
2.共面向量定理：如果两个向量 a
，b 不共线，
则向量 p与向量 ，a 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存
在有序实数对x,y使AP x AB y AC
C
p
P
b
AaB
.精品课件.
13
对空间任一点O,有 OP OA xAB y AC ③
苏教版选修(2-1)3.1《空间向量及其运算》word教案
3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa ＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。
空间向量的数乘运算
O C
D BA OC OD OE c p OB
作 AB // b, BD // a, BC // c
xa yb zc
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a , b, c
即，P、A、B、C四点共面。
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、
17
试证明:对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC (1 z)OA 可变形为 OP y yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP yAB z AC
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
6
空间向量的加减法
C a
+
b
B
b
O
A
a
OB OA AB CA OA OC
A
D
F
B
E
C
10
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
北师大版数学高二-选修2教案 2.2《空间向量及其运算》
2.2《空间向量及其运算》教学设计【教学目标】1.了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。
2.了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
3 .掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。
4 .理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
【导入新课】复习引入1.有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa＝0.3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a新授课阶段一. 空间向量及其加减与数乘运算1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模。
得到： 零向量、 单位向量、 相反向量的概念。
相等向量： 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b，AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa()R λ∈3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b+ c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa+λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a． 4. 推广：⑴ 12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵ 122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶ 空间平行四边形法则．例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.⑴ 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；⑵ 单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD 在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，AC 与BC 共线，虽起点不同，但终点却相同.点评：解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．二、空间向量的数乘运算1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b。
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第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（二）
教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空
间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．
教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．
教学过程：
一、复习引入
1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直
线上，所以平行向量也叫做共线向量．
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理，
二、新课讲授
1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些
向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．
2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
理解：⑴上述定理包含两个方面：
①性质定理：若a∥b（a≠0），则有b＝a，其中是唯一确定的实数。
②判断定理：若存在唯一实数，使b＝a（a≠0），则有a∥b（若用此结论判断a、
b
所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）.
⑵对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为 |a|，当>0时与a同向，
当<0时与a反向的所有向量.
3. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P
在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 OPOAta．
其中向量a叫做直线l的方向向量.
推论证明如下：
∵ l//a ，
∴ 对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得APta．(*)
又∵ 对于空间任意一点O，有APOPOA，
∴ OPOAta ， OPOAta． ①
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若在l上取ABa，则有OPOAtAB．(**)
又∵ ABOBOA
∴ ()OPOAtOBOA(1)tOAtOB．②
当12t时，1()2OPOAOB．③
理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实
上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．
⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．
⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．
空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，
是平面向量相关知识的推广．
4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是
平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）
5. 出示例2：如图O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点，分别用OA、OB表示OC、
OD
.
三、巩固练习：
第三课时3.1.2空间向量的数乘运算（三）
教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共
面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单
问题．
教学重点：点在已知平面内的充要条件．
教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．
教学过程：
一、复习引入
1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的
向量表示式、中点公式．
2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一
平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，
使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
O
A
B
C
D
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二、新课讲授
1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向
量a平行于平面α，记作a//α．
向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．
2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是
在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．
3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．
结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空
间四边形ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．
4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？
5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向
量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb ．
证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．
∵ 向量p与向量a、b共面
∴ 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得 p= xa+yb．
充分性：如图，
∵ xa，yb分别与a、b共线，
∴ xa，yb都在a、b确定的平面内．
又∵ xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此
平行四边形在a、b确定的平面内，
∴ p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．
说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面
的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．
6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，
使得MPxMAyMB，① 或对于空间任意一定点O，有 OPOMxMAyM．②
分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数； ⑵由OPOMxMAyMB得：
()()OPOMxOAOMyOBOM， ∴(1)OPxyOMxOAyOB
③
公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．
7. 例题：课本例1 ，解略． → 小结：向量方法证明四点共面
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三、巩固练习
1. 练习：课本 练习3题.
2. 作业：课本 练习2题.