两点间的距离公式

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.2两点间的距离

【教材导读】

一、情景导入

已知平面上点A（1,3），你能求出A点与原点之间的距离吗？若已知平面上任意两点的坐标，又该如何求得这两点之间的距离？

二、教材导读

1.两点间距离公式的推导

已知平面上点A（1,3），在平面直角坐标系中建立直角三角形，

由勾股定理可求得A点与原点O之间的距离：

223110d

那么已知平面上任意两点),(111yxP，),(222yxP，是否能用相同方法求得21PP的距离呢？

阅读教材P104内容，掌握应用几何方法推导出两点间距离公式的过程.

2.两点间的距离公式

平面上两点),(111yxP，),(222yxP间的距离公式：

21221221)()(yyxxPP

由公式可知，原点)0,0(O与任一点),(yxP的距离22yxOP；

3.在《平面向量》一章中我们通过向量的模也得到了两点间的距离公式：平面上两点),(111yxP，),(222yxP，则： （1）122121(,)PPxxyyuuuur

（2）22122121||()()PPxxyyuuuur

注意比较两种情形下推证方法.

4. 沙尔定理:设A、B是x轴上任意一条有向线段，O是原点，OA=1x，OB=2x，那么有ABOBOAuuuruuuruuur：21(,0),ABxxuuur

12(,0),BAxxuuur于是21||||ABxxuuur

显然，在直角坐标系内，与坐标轴平行的直线上的有向线段也符合沙尔定理.

由此我们理解两点间距离公式的特例：

（1）当21PPy轴时，21yy，

1221xxPP；

（2）当21PPx轴时，21xx，

1221yyPP.

请完成自主评价1

【课堂点金】

一、重难点突破

1. 熟悉两点间距离公式

例1．在直线20xy上求一点P，使它到点(5,8)M的距离为５，并求直线PM的方程.

【解析】利用两点间的距离公式建立关系.

∵ 点P在直线20xy上，

∴ 可设(,2)Paa，

根据两点的距离公式得：

22225)82()5(aaPM

即0644252aa

解得3225aa或，∴3264(2,4)(,)55P或．

∴直线PM的方程为

8585643248258555yxyx或，

即4340247640xyxy或

【评析】通过运算熟练掌握两点间距离公式.

【变式1】求与A（32，10），B（42，0），BAOyxC（0，0）等距离点的坐标.

【解析】

2.两点间距离公式的应用

例2.以点A（1，3），B（－2，8），C（7，5）为顶点的ABC是

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

【解析】方法一（综合法）：根据两点的距离公式及余弦定理可以判断三角形的形状.

只需判断最大角，由余弦定理，：

∴

为钝角.

故ABC为钝角三角形，选C.

方法二（向量法）：由题意：

(3,5),(6,2)ABACuuuruuur,故

(3,5)(6,2)181080ABACuuuruuur为钝角, ABC为钝角三角形，选C.

【变式2】已知两点5cos,5sin,M

4cos,4sinN， 求的最大值.

【解析】

例3．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y–6=0上，顶点A的坐标是(1, –1)，求边AB, AC所在的直线方程.

【解析】从确定直线AB, AC

的条件入手，直线AC满足:经过点A且垂直于直线2x+y–6=0,直线AB满足:经过点A且与直线2x+y–6=0成4角，（或|AB|等于点A到直线2x+y–6=0的距离的2倍）

解法1（从距离入手）AC垂直于直线2x+y–6=0，设直线AC的方程为x-2y+c=0,

把A(1, –1)代入得c=-3, 故直线AC的方程为x-2y-3=0,

10||555||ABAC，设B(x,y),则22(1)(1)10260xyxy，

解得)2,2(B或)2,4(B，所以直线AB的方程为043yx或023yx

解法2（从角度入手）: 直线AC的斜率为21，由点斜式并化简得，直线AC的方程为x-2y-3=0.

考虑直线AB, AC的夹角为4，设直线AB,

AC的方向向量分别为),1(),1,2(knm

则22)1(5|2||,cos|2kknm，解得3k或31k，所以直线AB的方程为043yx或023yx BAPOyx【评析】求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线的满足的两个条件；(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组；(3)列方程组求解.

【变式3】过点P（2，1）作直线l分别交x,y轴于A,B两点，求|PA||·|PB|取得最小值时直线l的方程.

【解析】

【评析】设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示|PA||·|PB|和|OA||·|OB|,本题用点斜式设出方程或用设倾斜角的补角最简便.

二、教材挖掘

1.利用向量的模推导两点间的距离公式：

若向量),(yxa，则22yxa.

若已知平面上两点),(111yxP，),(222yxP，则向量，),(121221yyxxPP

21221221)()(yyxxPP

即：平面上两点),(111yxP，),(222yxP的距离公式为

21221221)()(yyxxPP.

【例3】在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)ABC，求以线段,ABAC为邻边的平行四边形两条对角线的长.

【解析】方法一:

由题设知(3,5),(1,1)ABACuuuruuur，则

(2,6),(4,4).ABACABACuuuruuuruuuruuur ∴||210,||42.ABACABACuuuruuuruuuruuur

故所求的两条对角线的长分别为42、210.

方法二:设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，

所以D（1，4）.

故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210.

【评析】体会向量是解决几何问题的一种工具，使用向量解决问题有时能使问题简单化.

2.坐标法

教材P105例4揭示了解析几何最基本的方法——坐标法（或称解析法），即将几何问题转化为坐标平面内的代数问题求解. 坐标法既是解析几何学的基本方法，更是代数与几何紧密结合的桥梁.这里要注意两点：

（1）如何根据图形恰当建立坐标系？要注意图形的对称性、是否有垂直关系或定值线段等，恰当建系可以简化运算.

（2）坐标法的基本步骤:

例4.求证：平行四边形的两条对角线的平方和等于各边平方的和。 第一步：建第三步：把第二步：进【解析】这是教材P105例4，我们另证如下，旨在帮助大家理解建系方法及解析法：

证明：以平行四边形ABCD对角线BD所在直线为x轴，BD中点O为原点建立平面直角坐标系，设A（b,

c），D（a, 0），则B（－a, 0）

可得222||()ABabc

∴22222||||2()ABADabc

∴2222|||||||ABADCDBC

2224abc

2222222|||4||4||4ACBDAOODabc

因此， ACBDABADCDBC222222

【评析】要理解上述解决问题的基本步骤，对每一步要细究之：

(1)常见建系方法有三：定值线段法（条件中有定值线段）、定角法（条件中有定角）、垂线法（条件中有垂直关系）.

（2）解析几何的运算是数学学习的拦路虎，需认真对待.

三、总结提升

1.本课知识结构框图

2.拓展性知识

（1）直线上两点间的距离公式：设A、B是斜率为k的直线l上的两点，求证：

212||1||ABkxx

【解析】由直线AB的斜率为k，可设直线AB的方程为ykxb，由于直线经过A

和B ，

故1122,ykxbykxb，从而

221212221212||()()()()ABxxyyxxkxbkxb

2221212(1)()1||kxxkxx

【评析】（1）本题结论揭示了利用直线斜率等元素进行刻画直线上两点间的距离，请大家记住这一结论，在后续学习中大大的有用！

（2）这一结论的几何意义如下：如图，斜率为k的直线l有两点A 和B

，分别过点A作y轴垂线、过B作x轴垂线，两垂线交于点C,设直线l的倾斜角为.在Rt△ABC中，21||||ACxx||cosAB

或21||||||cos()ACxxAB

||cosAB，故21|||||cos|xxAB.

事实上，2211tank 直角三角形

勾股定理 两点间的距离公式

用代数方法解决几何问题 lOCBAyx-lOCBAyx