1 数理统计知识小结
------缪晓丹 20114041056
第五章 统计量及其分布
§5.1总体与样本
一、 总体与样本
在一个统计问题中，把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。对于实际问题，总体中的个体是一些实在的人或物。这样，抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现机会多，有的出现机会小，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是合适的，从这个意义上说：
总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。
例5.1.1考察某厂的产品质量，将其产品分为合格品和不合格品，并以0记合格品，以1记不格品，若以p表示不合格品率，则各总体可用一个二点分布表示：
X 0 1
p 1-p p
不同的p反映了总体间的差异。
在有些问题中，我们对每一研究对象可能要观测两个或更多个指标，此时可用多维随机向量及其联合分布来描述总体。这种总体称为多维总体。
若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体。实际中总体中的个体数大多是有限的，当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理抽象。
二、样本与简单随机样本
1、样本
为了了解总体的分布，从总体中随机地抽取n个个体，记其指标值为 nxxx,,,21,
则nxxx,,,21 称为总体的一个样本，n称为样本容量或简称为样本量，样本中的个体称为样品。当30n时，称nxxx,,,21为大样本，否则为小样本。
首先指出，样本具有所谓的二重性：一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此样本是随机变量，用大写字母 nXXX,,,21 表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此样本又是一组数值，此时用小写字母nxxx,,,21 表示。简单起见，无论是样本还是其观测值，本书中均用nxxx,,,21 表示，从上下文我们能加以区别。 2 每个样本观测值都能测到一个具体的数值，则称该样本为完全样本，若样本观测值没有具体的数值，只有一个范围，则称这样的样本为分组样本。从而知道分组样本与完全样本相比在信息上总有损失，但在实际中，若样本量特别大，用分组样本既简明扼要，又能帮助人们更好地认识总体。
材料# 1 抽样分布
根据样本统计量去估计总体参数，必须知道样本统计量分布。
定义6.2 某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对数频数分布或概率分布。
由于现实中我们不可能将所有的样本都抽出来，因此，统计的抽样分布实际上是一种理论分布。
（一）样本均值的抽样分布
从单位数为N的总体中抽取样本容量为n的随机样本，在重复抽样的条件下共有nN个可能的样本，在不重复抽样条件下，共有!!()!nNNCnNn个可能样本。对于每一个样本，我们都可以计算出样本的均值2()xs或或p，因此，样本均值是一个随机变量。所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。
[例6.4]设一个总体含有4个个体（元素），即N=4，取值分别为：
12341234xxxx
总体分布为均匀分布，如图6.1所示。
图6.1
总体均值：102.54X 0.1 0.2 0.25 0.3
1 2 3 y
0 x
材料# 2 总体方差：22()1.25xxn
若重复抽样，n=2 则共有2416个可能样本。具体列示如表5.1.1。
表6.1 可能的样本及其均值
每个样本被抽中的概率相同，均值为116
样本均值的抽样分布如表5.1.2和图5.1.2所示。
样本均值x抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分布，样本均值也服从正态分布。
如果总体分布是非正态分布，当x为大样本（30n）时，样本均值的分布趋于服从正态分布；当x为小样本时，其分布不是正态分布。
下面再让我们来看看样本均值x抽样分布的特征：数学期望和方差。
设总体共有N个元素，其均值为，方差为2，从中抽取容量为n的样本。
E()xxX （6.1）
22xn（重复抽样） （6.2）
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第6章 抽样分布理论
样本与统计量
抽样分布
样本均值和样本方差的分布
1
引 言
随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机
现象的统计性规律。
概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常
是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都
是在这已知是基础上得出来的。
但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所
服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概
型，但是其中的某些参数是未知的。
2
2
例如：
某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的；
电视机的使用寿命服从什么分布是未知的；
产品是否合格服从两点分布，但参数——合格率p是
未知的；
数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验
所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合
理的推断。
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从第6章开始，我们学习数理统计的基础知识。
数理统计的任务是以概率论为基础，根据试验所得到
的数据，对研究对象的客观统计规律性作出合理的推
断.数理统计所包含的内容十分丰富，本书介绍其中
的参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等内容.
第6章主要介绍数理统计的一些基本术语、基本概念、
重要的统计量及其分布，它们是后面各章的基础。 学习的基本内容
4
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第1节
样本与统计量
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样本与统计量
总体与样本
在数理统计中，把研究对象的全体称为总体
（population)或母体，而把组成总体的每个单元
称为个体。
抽样
要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往
是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽
样。
6
4
样本与统计量
子样
子样 是n个随机变量，抽取之后
的观测数据 称为样本值或子样观察值。
12,,,
nxxx12,,,
nXXX 在抽取过程中，每抽取一个个体，就是对总体X进
行一次随机试验，每次抽取的n个个体 ，
称为总体X的一个容量为n的样本（sample）或子
样；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。 12,,,
求真务实 引路育人
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统计量及其分布习题知识点精析与应用
一、填空题(将正确答案的序号填在括号内，共5小题，每小题2分，共10分)
1、简单随机抽样样本均值X的方差取决于 和_________，要使X的标准差降低到原来的50％，则样本容量需要扩大到原来的 倍。
2、设1217,,,XXX是总体(,4)N的样本，2S是样本方差，若2()0.01PSa，则a____________。
（注：20.99(17)33.4, 20.995(17)35.7, 20.99(16)32.0, 20.995(16)34.2）
3、若(5)Xt，则2X服从_______分布。
4、已知0.95(10,5)4.74F，则0.05(5,10)F等于___________。
5、中心极限定理是说：如果总体存在有限的方差，那么，随着 的增加，不论这个总体变量的分布如何，抽样平均数的分布趋近于 。
，
二、选择题(将正确答案的序号填在括号内，共5小题，每小题2分，共10分)
1、中心极限定理可保证在大量观察下
A 样本平均数趋近于总体平均数的趋势 B 样本方差趋近于总体方差的趋势
C 样本平均数分布趋近于正态分布的趋势 D 样本比例趋近于总体比例的趋势
2、设随机变量()(1)Xtnn，则21/YX服从21/YX 。
A 正态分布 B卡方分布 C t分布 D F分布
3、根据抽样测定100名4岁男孩身体发育情况的资料，平均身高为95cm，，标准差为0.4cm。求真务实 引路育人
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至少以 的概率可确信4岁男孩平均身高在93.8cm到96.2cm之间。
A 68.27% B 90%
