三大抽样分布及常用统计量的分布.

i 1 i
2

2
~ (n 1)
2
(4.1)
与以下补充性质的结论比较： 性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(X i ) i 1
n
2

2
~ (n)
2
2分布的上侧分位点
定义2：设 2～ 2 (n), 对于给定的正数 （0 1 ） ,称
2 1 n X X i ~ N , n i 1 n
——分布
2
定义
设总体 X ~ N 0,1 ， X1, X 2 ,..., X n 是 X
2 服从自 Xn
2 的一个样本, 则称统计量 2 X12 X 2
由度为n的 2 分布，记作 2 ~ 2 (n) 自由度是指独立随机变量的个数， df
X n X T ~ t(n 1) 2 S n (n 1)S (n 1) 2
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N( ， 2)的样本，则统计量
由定义3得

别是来自正态总体N(1 ，2)和N(2 ，2)的样本，且 它们相互独立，则统计量
定理5 设(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2) 分
例如，当n=21，=0.05时，由附表3(P254)可查得，
(21) 32.67
2 0.05
即 P
(21) 32.67 0.05.
2
定义3
二、t分布 设随机变量X～N(0，1)，Y～ 2(n) ，
且X与Y相互独立，则称统计量 记作 服从自由度为n的t分布， t分布的概率密度函数为
定理1 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N( ， 2)
的样本，则
(X i ) i 1
n
2
证明 由已知，有

2
~ (n)
2
Xi～N( ， 2)且X1，X2，…，Xn相互独立，
则
Xi X i 相互独立， ~ N(0,1)且各
n
由定义1 :得
Xi i 1
T X Y n T ～t(n).
n1 2
其图形如图5-6所示(P106)， 其形状类似标准正态分布 的概率密度的图形. 当n较大时， t分布近似于标准正态分布.
( n 1) 2 2 (1 t ) f(t) n n ( n) 2
, ( t )
定理4
证
X T ～t(n-1) S/ n 由于 X 与S 2相互独立，且 2 (n 1)S X 2 ~ (n 1) U ~ N(0,1), 2 n
n=1 n=4 n=10 x
图5-4
其图形随自由度的 不同而有所改变.
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17
性质1： 2分布的数学期望与方差
设 2～ 2(n)，则E( 2)=n，D( 2)=2n.
性质2： 2分布的可加性
设
2 1
~ (n1), ~ (n2), 且 ,
2
2
(X i ) i 1
n
2

2
~ (n).
2
定理3 :
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N( ， 2)的样本，则 2相互独立； (1) 样本均值 X 与样本方差 S n (2)
(4.1)式的自由度为什么是 n- 1 ？ n
从表面上看，
n
2 i 1 i
(n 1)S 2
t-分布的密度函数的图形相似于标准正态分布的密 度函数.当n较大时， t分布近似于标准正态分布.
F分布
与相互独立，则称随机变量 F X n1 定义5.5 设随机变量X～ 2(n1)、Y～ 2(n2)，且
Y n2
服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布， 记作
F～F(n1，n2).
（n1) n1 ~ F n1, n2 2 （n2) n2
但当n>45时，如无详细表格可查，可以用标准 正态分布代替t分布查t(n)的值. n>45. 即 t(n)≈u ， 一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当
n>30就用标准正态分布N(0, 1)来近似.
与相互独立，则称随机变量 F X n1
三、F分布 定义5.5 设随机变量X～ 2(n1)、Y～ 2(n2)，且
Y n2
服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布， 记作
F～F(n1，n2).
概率密度函数
n1 n1 n2 1 Ay 2 (1 n1 y) 2 , y 0 f(y) n2 y0 0, n1 n2 ( ) n n1 2 其中 A ( 1 ) 2 , 其图形见图5-9.(P108) n1 n2 n2 ( )( ) 2 2
2 2 2 2 2 1
2 2 相互独立，
则
~ (n1 n2)
2 1 2 2 2
性质3：设 2～ 2 (n),则对任意实数 x有 n 1 lim P x n 2 2n
2

x

e dt
t2 2
这个性质说明当 n很大时，自由度为 n的 2分布近似 于正态分布 N（n,2n） .
2
(X X )
i 1 i
2

2
~ (n 1)
2
(4.1)
(X X ) 是n个正态随机变量 Xi X 的平方和，
n i i 1 i
但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系：
这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下
(X X ) X nX =0
f(y )
其中f(y)是F分布的概率密度.
O 图5-7

F(n1, n2) x
F 分布的上侧分位点 F(n1, n2)的值可由F 分布表查得. 附表5、6、7(P258～P266 )分 =0.1、 =0.05、 =0.01给出了F分布的上分位数.
查表时应先找到相应的值的表.
当时n1=2, n2=18时，有 F
满足条件
P (n)
2 2 2 2



2
( n )
f ( x)dx
的点 (n)为 (n)分布的上侧分位点。
其几何意义见图5-5所示.
f(x )

2 (n) x
其中f(x)是 2-分布的概率密度. O
图5-5 2 (n)的值只与有关. 显然，在自由度n取定以后，
第四节 三大抽样分布及常用统计量的分布
数理统计中常用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布，即
t 分布 F分布
2分布
数理统计的三大分布(都是连续型). 它们都与正态分布有密切的联系.
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2分布、
t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们
是后面各章的基础.
2
例1 设总体X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn为简单 随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？ 3
X1 X 2 (1) ; (2) 2 2 X3 X4
n 1X1
i 2
n
; (3)
其几何意义如图5-8所示.


(5.12)
f(t)
的数t/2(n)为t分布的双侧分位点。
/2 - t/2(n)
/2
O t/2(n) 图5-8
t
在附表4 (P256)中给出了t分布的临界值表. 例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，
t0.05(15)=1.753 t0.05/2(15)= 2.131 其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.
2 （卡方）——分布
定义1:设总体X ~ N 0,1 ， X1, X 2 ,..., X n 是X 的一
2 2 2 个样本,则统计量 X1 X 2 2 Xn
的概率密度函数为
n x 1 1 2 2 x e x 0 n 2 n f ( x ) 2 ( ) 2 x0 0
n
n个相互独立的标准正态分布之平方和
服从自由度为n的 2 分布
2(n) ， 设随机变量 X ～ N (0 ， 1) ， Y ～ 定义5.4
t—分布
且X与Y相互独立，则称统计量 T
X Y n
记作T 服从自由度为n的t分布或学生氏分布，
～t(n).
N 0,1 ~ t(n) 2 (n) n
t 分布的上侧分位点 对于给定的 (0< <1)，称满足条件 P T t(n) f(t)dt
t(n)
的点t(n)为t分布的上分位点。 其几何意义见图5-7.
f(t)

O 图5-7
t(n) t
由于t分布的对称性，称满足条件
t 分布的双侧分位点
P T t 2(n)
X Y (1 2) T ~ t(n1 n2 2) Sn 1 1 n1 n2
其中Sn
(5.10)

2 (n1 1)S1
2 2 S1、S2 分别为两总体的样本方差.
n1 n2 2

2 (n2 1)S2
,
X Y ( 1 2 ) 证明：由例知 ～N（0,1 ）
0.01(2,
18)= 6.01
在附表5、6、7中所列的值都比较小，当 较大 时，可用下面公式 F1(n1, n2)
1 F(n2, n1) 1 1 例如， F0.99(18, 2) ≈0.166 F0.01(2,18) 6.01