极化恒等式

专题23 极化恒等式【方法点拨】极化恒等式：221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦.说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点D 是△ABC 边的中点，则22221||||4AB AC AD BC AD BD ⋅=-=-，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．【典型例题】例1 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ． 【答案】78【解析】设BD x =，DF y =由极化恒等式得222294BA CA AB AC AD BD y x ⋅=⋅=-=-=， 22221BF CF FB FC FD BD y x ⋅=⋅=-=-=-解之得可得2294a b -=，221a b -=-，因此2138x =，258y =，因此222451374888BE CE EB EC ED BD y x ⨯⋅=⋅=-=-=-=．点评：紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.例2 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则(2)PA PB PC +的BC最小值为 ． 【答案】73-【分析】本题的难点在于如何将2PB PC +“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式. 【解析】设23PB PC PD +=，则2133PD PB PC =+，D 在BC 上 所以(2)=3PA PB PC PA PD +如图，取BC 中点为E ，由极化恒等式得221=4PA PD PE AD -在ABD ，由余弦定理得22242128=+2cos 422=9329AD AB BD AB BD ABD -⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅ 所以当=0PE ，即P 为AD 中点时，()min7=9PA PD-所以(2)PA PB PC +的最小值73-，此时P 为AD 中点.例3 如图所示，矩形ABCD 的边AB =4，AD =2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧(含端点B 、E )上的一点，则P A → ·PB →的取值范围是 .【答案】【分析】取AB 的中点设为O ，则，然后利用平几知识确定PO 的取值范围，代入即可.【解析】取AB 的中点设为O ，则，当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为222PO =-；当P 与B （或E ）重合时，POEB [882,0]-2221=44PA PB PO AB PO ⋅-=-2221=44PA PB PO AB PO ⋅-=-EBCAP D取得最大值为PO =2，所以的取值范围是.例4 半径为2的圆O 上有三点A ，B ，C ，满足++0OA AB AC =，点P 是圆内一点，则++PA PO PB PC ⋅的取值范围是（ ）A . [)4,14-B . (]4,14-C . [)4,4-D . (]4,4-【答案】A【分析】直接两次使用极化恒等式即可. 【解析】由++0OA AB AC =得+AB AC AO = 在平行四边形ABOC 中，OB OC =， 故易知四边形ABOC是菱形，且BC =设四边形ABOC 对角线的交点为E由极化恒等式得222114PA PO PE AO PE ⋅=-=-222134PB PC PE BC PE ⋅=-=-所以2++24PA PO PB PC PE ⋅=- 因为P 是圆内一点，所以03PE ≤<所以242414PE -≤-<，即4++14PA PO PB PC -≤⋅<，选A .例5 在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠AC B 为钝角，M ，＝1，若CM CN ⋅的N 是边AB 上的两个动点，且MN 最小值为34，则cos ∠ACB ＝ ．【分析】取MN 的中点P ，由极化恒等式将“CM CN ⋅的最小值为34”转化为AB 边上的PA PB⋅[8-高CH =1，然后利用两角差的的余弦公式求解.【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=- ∵CM CN ⋅的最小值为34∴min 1CP =由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH =1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sin A =14所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1358-.例6 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A ．161655+ B ．16855+ C ．165D ．565【答案】D【解析】设BC 中点为D ，则22221120544PB PC PD BC PD PD =-=-⨯=-，又因为max 49555PD AD r =+=+=，所以()max8156555PB PC =-=， 故选：D.例7 正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是四边形11AA D D 内一点（包含边界），且34FE FD ⋅=-，当三棱锥F AED -的体积最大时，EF 与平面11ABB A 所成H角的正弦值为（ ） A ．23B ．53C ．255D ．52【答案】A【分析】由条件34FE FD ⋅=-及极化恒等式入手，设DE 的中点为G ，则222153444FE FD FG DE FG ⋅=-=-=-，所以212FG =，故点F 的轨迹是以G 为球心，22为半径的球被面11AA D D 所截得的半圆，当点F 在半圆弧的最高点时，三棱锥F AED -的体积最大，此时易求得EF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为23. 【解析】设DE 的中点为G ，则由极化恒等式得222153444FE FD FG DE FG ⋅=-=-=-，所以212FG =， 故点F 的轨迹是以G 为球心，22为半径的球被面11AA D D 所截得的半圆， 当点F 在半圆弧的最高点时，三棱锥F AED -的体积最大， 此时易求得EF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为23.【巩固练习】1. 如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→＝________.2．矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为 .ABCD P ABCD 3,4PA PC ==6AC =PB PD ⋅3.若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________.4.已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，那么a ·b 的最大值为________．5.在中，已知，，则面积的最大值是 ．6.已知单位向量PA ，PB ，PC 满足2330PA PB PC ++=，则AB AC ⋅的值为（ ） A ．89B ．23C ．59D ．17. 已知2OA OB ==，且向量OA 与OB 的夹角为120°，又1PO =，则AP BP ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]3,3-8.已知平面向量,a b c ,满足1a =，12a b ⋅=，2a c ⋅=，22b c -=，那么b c ⋅的最小值为________．9.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．10.在ABC ∆中，︒=∠==60,4,3BAC AC AB ，若P 是ABC ∆所在平面内的一点，且2=AP ，则PC PB ⋅的最大值为_____.11.已知点P 是边长为32的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PB PA ⋅的取值范围为_____.12.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN → 的最小值为__________. 13.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当P A → ·PC →取得最小值时，sin ∠P AC 的值为________．14.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足P A → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．15.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC → ＋BC →2的最小值是__________．16.在半径为1的扇形AOB 中，若∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．ABC ∆2BC =1AB AC •=ABC ∆ABC ∆6B π∠=BA BC ⋅17. 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．18. 已知球O 的半径为1， ,A B是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案或提示】1.【答案】9【提示】两次使用极化恒等式，由224BD AB AD OA ⋅=-得=8BD ，2294BD BC DC OC ⋅=-=.2.【答案】 【提示】设矩形的对角线交点为O ，由222222346942AC PA PC PO PO +-⋅=-=-=，得272PO =，227119422BD PB PD PO ⋅=-=-=-.3.【答案】98-【解析】根据极化恒等式得：2228(2)(2)(2)99⋅=+--=+--≥a b a b a b a b ，故98⋅≥-a b ，所以⋅a b 的最小值为98-．4.【答案】－54【提示】 由a ·e ＝1，b ·e ＝－2得: a ·e －b ·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b |cos θ＝3 a ·b=14[|a ＋b |2－|a －b |2]≤－54 5.112-【提示】取BC 的中点为D ，则224BC AB AC AD •=-，所以2AD =因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值． 6.【答案】A【解析】∵2330PA PB PC ++=，∴23PB PC PA +=-， 如图，设BC 中点为D ，则()1123PD PB PC PA =+=-，且1PA PB PC ===， ∴,,P A D 三点共线，PD BC ⊥，1133PD PC ==，43AD =， ∴ABC 为等腰三角形， ∴22223CD PC PD =-=， ∴22224228339AB AC AD CD ⎛⎫⎛⎫⋅=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A. 7. 【答案】C【解析】连结A B 、，则=23AB 设AB 的中点为T ， 由222134PT AB PT AP BP ⋅==--，易知02PT ≤≤，所以2331PT -≤-≤ 故31AP BP -≤⋅≤，故选：C 8.【答案】58【解析】由12a b ⋅=，2a c ⋅=得23a b a c ⋅⋅=+，即(23a b c ⋅+)= 又(22cos a b c a b c θ⋅+)=+（其中θ为向量a 与2b c +的夹角） 所以32cos b c θ+= 所以2221195(2)(2)488cos 8b c b c b c θ⎛⎫⎡⎤⋅=+--=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭. ABC ∆29.【答案】 10.【答案】10237+ 【提示】方法同上. 11.【答案】[]3,6-12.【答案】716-13.【答案】392614.【答案】31,31⎡⎤-+⎣⎦15.【答案】4316.【解析】如图，取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →则PD 2则OD 2则PD 2则14则即求PD 的最小值．由图可知，当PD ⊥OB 时，PD min ＝34， 则OP →·BP →的最小值是－116.17.【答案】[0,2]【解析】 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0,2]． 18.【答案】B【解析】设,A B 的中点为C ，则12OC =33,32⎛⎤+ ⎥⎝⎦由极化恒等式得22213·44 PA PB PC AB PC=-=-因为12OC=，点P是球面上任意一点所以13 22PC≤≤所以13·,22PA PB⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,故选B.。

中线定理和极化恒等式中线定理和极化恒等式是数学中的两个重要定理，它们在不同的领域中都有着广泛的应用。

本文将分别介绍这两个定理的概念、证明和应用。

一、中线定理中线定理是指在一个三角形中，连接三角形两边中点的线段被称为中线，三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。

中线定理指出，三角形的重心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形三边长之和的三分之一。

证明：设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，三角形的重心为G，连接AG、BG、CG，分别交BC、AC、AB于D、E、F。

由于AD=BD=BC/2，BE=CE=AC/2，CF=AF=AB/2，所以三角形DEF是三角形ABC的中心三角形，且DEF的周长等于ABC的周长的一半。

因此，AG+BG+CG=2(GD+GE+GF)=2(DE+EF+FD)=3(AD+BE+CF)=3(a+b+c)/ 2。

应用：中线定理可以用于计算三角形的重心坐标，以及求解三角形的面积和周长等问题。

二、极化恒等式极化恒等式是指任意两个向量的内积可以表示为它们的模长和夹角的三角函数的乘积之和。

具体地，设向量a和b的模长分别为|a|和|b|，夹角为θ，则有a·b=|a||b|cosθ。

证明：设向量a和b的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，则有a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|(a1/|a|b1/|b|+a2/|a|b2/|b|+a3/|a|b3/|b|)cosθ=|a||b|cosθ。

应用：极化恒等式可以用于计算向量的内积、向量的模长和夹角等问题，也可以用于证明向量的正交性和判断向量的方向等问题。

中线定理和极化恒等式是数学中的两个重要定理，它们在不同的领域中都有着广泛的应用。

熟练掌握这两个定理的概念、证明和应用，对于提高数学水平和解决实际问题都有着重要的意义。

初中数学极化恒等式向量公式
初中数学学习有许多的公式需要记住，那么极化恒等式向量公式是什么？大家一起来看看吧。

极化恒等式向量公式简介
极化恒等式是联系内积与范数的一个重要的等式，是用范数表示内积的公式。

设H是内积空间，‖·‖是由内积(·，·)导出的范数，下列等式常被称为极化恒等式：当H是实空间时，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2)；当H是复空间时，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2+i‖x+iy‖2-i‖x-iy‖2)。

对于实内积空间上的双线性埃尔米特泛函以及复内积空间上的双线性泛函φ(x，y)也分别有类似于上述的恒等式。

极化恒等式向量公式应用。

高中数学极化恒等式(初中物理公式及其变形式)
极化恒等式？
极化恒等式是联系内积与范数的一个重要的等式，是用范数表示内积的公式。

极化恒等式设H是内积空间，‖·‖是由内积(·，·)导出的范数。

范数是具有“长度”概念的函数。

范数在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。

半范数反而可以为非零的向量赋予零长度。

极化恒等式公式是什么？
设H是内积空间，‖·‖是由内积（·，·)导出的范数，下列等式常被称为极化恒等式：
1、当H是实空间时，（x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2)；当h是复空间时，（x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2+i‖x+iy‖2-i‖x-iy‖2)。

对于实内积空间上的双线性Hermitian函数和复内积空间上的双线性φ（x，y)函数，有类似的恒等式。

2、当H是实内积空间时
3、当H是复内积空间时
著名恒等式
1、欧拉恒等式：
eiπ＋1=0，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。

它来源于eix=cosx+isinx(复数的三角表示）,令x=π就得。

2、牛顿恒等式：
设F(X)=0的n个根X1,X2,……，Xn.对于k∈N，记Sk=X1k+X2k +……＋Xnk.则有
C0Sk+C1Sk-1+……＋CnSk-n=0，当k>0(N1)
C0Sk+C1Sk-1+……＋Ck-1S1+kCk=0，当1≤k≤n(N2)。

极化恒等式
1极化恒等式的推导：
(如图，有向量OA与向量OB,两向量之和为OD,其中E为AB,OD的中点) 2使用条件：共起点内积
3适用于：平面向量，空间向量
3使用方法：找斜边中点，再使用公式代入
4
例1：
解析：取BC的中点E，AD的中点为F
=
−→
−
⋅
−→
−
OC
OB
2
2−→
−
-
−→
−
EC
OE
=2
−→
−
OE
-
2
2
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
由三角形两边和大于第三边可以得到：
OE ≤OF+EF
OF 为直角三角形OAD 的中线，所以OF=2
1 EF=1
所以：−→−⋅−→−OC OB 的最大值为2
例2：
我们在此题的基础上增加一点难度：求−→−⋅−→−PD
PC 的最小值和最大值 解答：根据“极化恒等式”的方法，我们找到斜边CD 的中点O 点，则 −→−⋅−→−PD PC =22−→−-−→−OD
PO 其中OD=1
故我们只需要判断PO 的最大值与最小值
根据三角形两边和大于第三边，我们得到：
1）PO ≤AP+AO 2）PO+AO ≥AO
(其中AP=1,AO=5)
所以PO 的最大值为（5+1），最小值为（5-1）
故：−→−⋅−→−PD
PC 的最大值为（5+25），最小值为（5+25）。

极化恒等式公式高中在高中数学的学习中，有一个不太起眼但却十分实用的工具，那就是极化恒等式公式。

极化恒等式，对于很多同学来说，刚接触时可能会觉得有点陌生和头疼。

但别怕，咱们一起来好好琢磨琢磨它。

先来说说极化恒等式的表达式：对于向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，有\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{1}{4}\left(|\vec{a} + \vec{b}|^2 - |\vec{a}- \vec{b}|^2\right)\)。

这个公式看起来是不是有点复杂？其实呀，它就是在告诉我们向量内积和向量模长之间的一种巧妙关系。

我记得有一次在课堂上，我给同学们讲解极化恒等式。

当时有个同学一脸困惑地问我：“老师，这个公式到底有啥用啊？感觉好抽象。

”我笑了笑，拿起粉笔在黑板上画了一个简单的几何图形。

我说：“同学们，咱们假设这里有一个平行四边形 ABCD，AC 和BD 是它的两条对角线，\(\vec{AB} = \vec{a}\)，\(\vec{AD} = \vec{b}\) 。

那 AC 的长度平方加上 BD 的长度平方等于多少呢？” 同学们都开始思考起来。

我接着引导他们：“我们可以利用极化恒等式来解决这个问题。

AC的长度平方就是\(|\vec{a} + \vec{b}|^2\)，BD 的长度平方就是\(|\vec{a}- \vec{b}|^2\) 。

所以，AC 的长度平方加上 BD 的长度平方，就等于 2（\(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2\)）。

”这时候，同学们的眼睛里开始有了亮光，似乎明白了一些。

再举个例子，假如我们要求一个三角形 ABC 中，边 BC 上中线 AD 的长度。

如果知道了\(\vec{AB}\)和\(\vec{AC}\) ，那我们就可以利用极化恒等式轻松搞定。

极化恒等式在解决一些与向量相关的最值问题、几何问题时，往往能发挥出意想不到的效果。

极化恒等式适用范围
极化恒等式（Polarization Identity）是一个十分重要的概念，也是广泛应用于物理学领域
的关键概念。

它是用来描述和解释两个电场中的电磁波的一种重要的概念。

极化恒等式的公式可以被表达为：
cos ε = (E1 * E2 + H1 * H2) / (E1 * E2 - H1 * H2)
其中E1和E2为两个电场的电场强度，而H1和H2为两个电场的磁场强度，而ε则是称为极化恒等式的角度。

极化恒等式适用范围广泛，它可以用来分析波形的振幅、频率，以及电磁场之间的关系。

极化恒等式还可以用来解释众多的电磁场问题，如偏振、吸收等。

这个恒等式还可以让我们计算两个电磁场之间的相互干涉，以此得出关于电磁波的基本特性。

此外，极化恒等式在真空中的电磁波的研究中也发挥了重要作用。

由极化恒等式，我们可
以确定电磁波的各种特性，如其振幅、频率以及两个电磁场之间是如何相互影响和作用的。

以上就是极化恒等式适用范围的简介。

总之，极化恒等式是一个重要的概念，它可以应用于描述电磁场的能量、振幅、频率等特性。

该方程对研究物理学中真空中的电磁波具有重要的意义，在很多方面都尤为重要。

因此，极化恒等式是一个无以伦比的重要公式，这为许多研究领域都提供了便利，为科学家们研究电磁学提供了重要的基础。

极化恒等式阅读以下材料：.引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。

你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍引例:平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。

你能用向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.,,b AD a AB ==证明：不妨设C A a b =+则，DB a b=- ()222222C C b b a a ba A A +⋅+=+==（1）()222222bb a a ba DB DB +⋅-=-==（2）（1）（2）两式相加得：⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？()()2214a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦ ————极化恒等式即：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ （平行四边形模式）思考2：在三角形ABC 中（M 为BC 的中点），此恒等式如何表示呢？因为2BC BM =，所以22AB AC AMBM ⋅=-（三角形模式）AB CM2016﹒江苏填空倒2[例1]如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点,E,F 是AD 上的两个三等分点4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78【解析】法一：极化恒等式224BA CA AB AC AD BD ⋅=⋅=-= ，2222119BF CF FD BD AD BD ⋅=-=-=- 解得22451388AD BD == ，，故22224798BE CE EB EC ED CD AD BD ⋅=⋅=-=-= .法二：分点恒等式（拆分，基向量）21113333BF BD BA BC BA =+=+ ，21113333CF CD CA CB CA=+=+12123363BE BD BA BC BA =+=+ ，12123363CE CD CA CB CA=+=+ 211111111133339999BF CF BC BA CB CA BC BC CA BA CB BA CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+⋅+⋅+⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()21111==9999BC CA BA CB BC CA AB BC ⋅+⋅⋅+-，化简得2221131=992BC BA CA BC -+⋅=-⇒()212121147=636336998BE CE BC BA CB CA BC BC CA AB BA CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【方法二点评】：选取的基向量计算有点复杂，可以考虑将B D 和DF作为基向量.[例2]如图，已知等边△ABC 内接于半径为2的⊙O,点P 是⊙O 上的一个动点,则PA PB ⋅取值范围______________.【答案】【解析】2221PA PB PD AD PD ⋅=-=- ,∵3r 33r OD PD OD PD ⎡⎤-≤≤+⇒∈⎢⎥⎣⎦ ，∴2,23PA PB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦[练习]2012北京高考改编1.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点，则DE DA ⋅的值为_______.【答案】1【解析】①投影；②极化恒等式；③拆分；④建系[变式]——等和线复习（参考）如图正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点，若=ED xEA yEC +，则x y +的最小值为_______.【答案】2广东省“百越名校联盟”12月联考第5题2.已知菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，点P 满足()12AP AB AC =+ ，则PA PD ⋅=_______.【答案】3【解析】①极化恒等式；②拆分；③建系3.在锐角ABC △中，已知3B π=，2AB AC -= ，则AB AC ⋅ 的取值范围是．【答案】()0,12【解析】222==1AB AC AM BM AM ⋅-- ,而要使△ABC 为锐角三角形，则A 在线段MN 上，则()113AM ∈ ，，∴()0,12AB AC ⋅∈4.正ABC △边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PB AP ⋅的取值范围是（）A.⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23 C.⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D.⎦⎤⎢⎣⎡-21,21【答案】B。

极化恒等式向量一、引言在数学领域，极化恒等式向量是一个重要的概念。

它在向量空间的研究中扮演着关键角色，被广泛应用于线性代数、函数分析等领域。

本文将深入探讨极化恒等式向量的性质、公式以及应用。

二、极化恒等式的定义极化恒等式是指在向量空间中，通过对向量之间的运算进行分解和组合，可以得到一个等于原向量的表达式。

具体而言，对于任意向量x和y，存在唯一的两个向量u和v，使得以下恒等式成立：x = (u + v)/2y = (u - v)/2其中u被称为x和y的极化向量，v被称为x和y的反极化向量。

三、极化向量的性质极化向量具有以下几个重要的性质：1. 唯一性对于给定的向量x和y，极化向量u和反极化向量v是唯一确定的。

这意味着通过极化恒等式可以唯一地确定原向量的分解。

2. 直交性极化向量和反极化向量是相互垂直的，即u和v的内积为零。

这一性质使得极化向量在许多应用中非常有用，例如在正交变换和傅里叶变换中。

3. 平均性质极化向量可以看作是两个向量平均的结果。

通过将两个向量相加再除以2，可以得到极化向量。

这一性质在向量平均、中心化等问题中起到重要作用。

4. 线性性质极化向量具有线性性质，即对于任意的标量a和b，有：a(x + y) = ax + ayb(x + y) = bx + by这一性质使得极化恒等式在向量空间的运算中非常方便。

四、极化向量的计算方法为了计算极化向量u和反极化向量v，可以利用极化恒等式中的等式关系进行求解。

具体步骤如下：1.根据极化恒等式，将等式两边分别乘以2，得到：2x = u + v2y = u - v2.将上述两个等式相加和相减，得到关于u和v的方程组：2x + 2y = 2u (1)2x - 2y = 2v (2)3.解方程组(1)和(2)，得到u和v的数值解。

这可以通过矩阵求解方法，例如高斯消元法或矩阵逆的计算。

通过以上步骤，我们可以求得给定向量x和y的极化向量u和反极化向量v。

五、极化恒等式的应用极化恒等式在许多数学和工程问题中都有着重要的应用。