第7讲循环群和置换群

群论是数学中的重要分支，研究群及其性质。

在群论中，循环群和置换群是两个重要的概念。

本文将介绍循环群和置换群的定义及其性质。

循环群是群论中最简单的一类群。

循环群的定义是由一个元素生成的群。

换句话说，循环群是由一个元素通过重复进行群运算得到的。

考虑一个群G和其中的一个元素a，如果我们用a对自身进行重复的群运算，直到得到的结果覆盖了G中的所有元素，那么我们可以说G是由元素a生成的循环群。

这样的元素a称为循环群G的一个生成元。

循环群可以用符号⟨a⟩来表示，其中⟨a⟩表示由元素a生成的循环群。

循环群有一个重要的性质，即循环群的阶（群中元素的个数）等于生成元素的次数。

例如，考虑一个由整数1生成的循环群，那么这个循环群的阶就是正整数的个数，即无穷大。

另一个例子是由元素a生成的循环群，如果a的次数为n，那么这个循环群的阶就是n。

与循环群相对应的是置换群。

置换群是指由有限个元素进行交换操作得到的群。

换句话说，置换群是由元素的排列组合形成的。

例如，考虑一个由4个元素{1, 2, 3, 4}构成的集合，通过对元素的交换操作，我们可以获得所有可能的排列组合，形成一个置换群。

置换群的元素可以表示为如下形式的置换：(1 2)(3 4)，其中数字表示被交换的元素的位置。

置换群也有一些特殊的性质。

首先，每个置换群都有一个单位元，即空置换，不对任何元素进行置换。

其次，对置换群中的两个置换进行群运算，结果仍然是一个置换。

最后，置换群中每个置换都有一个逆元，即将置换中的每个元素的位置进行逆置。

循环群与置换群之间有一个重要的联系，即每个循环群都可以用置换群的形式表示。

例如，考虑一个由元素a生成的循环群⟨a⟩，我们可以定义一个置换群S，其中元素的排列由元素a的次幂定义。

换句话说，置换群S中的元素就是元素a进行有限次幂运算得到的结果。

由此可见，循环群和置换群是紧密相关的。

综上所述，循环群和置换群是群论中的重要概念。

循环群由一个元素生成，其阶等于生成元素的次数；置换群由有限个元素的排列组合生成，具有单位元、群运算封闭性和逆元等性质。

1
置换群的元素都是一一对应的，即每个元素都有 一个唯一的逆元素。
2
置换群中的元素可以相乘，满足结合律和单位元 存在性。
3
置换群中的元素可以相逆，满足逆元存在性。
置换群的例子
01
02
03
置换群的一个简单例子 是$S_n$，即所有$n$个 元素的排列组成的群。
置换群也可以是有限集 合上的自同构群，例如 有限环上的模运算构成
定义
通过同态映射将置换群映射到另一个群或半 群上，从而将问题转化为更易于处理的形式 。
优点
能够将复杂问题简化，便于理解和分析。
缺点
同态映射的选择需要具备一定的理论基础和 实践经验，且可能引入额外的复杂性。
05
CATALOGUE
置换群的应用
在对称性物理中的应用
量子力学
置换群在量子力学中用于描述粒子的 对称性，例如在描述原子或分子的电 子排布时，置换群可以用来描述电子 的对称性。
在密码学中的应用
密码算法
置换群在密码学中被广泛应用于各种密码算法，例如AES、DES等对称加密算 法中都涉及到置换群的概念。
密钥管理
置换群可以用于密钥管理，例如通过对称加密算法中的置换操作来生成密钥， 保证通信的安全性。
THANKS
感谢观看
晶Hale Waihona Puke 结构在晶体物理学中，置换群被用来描述 晶体的对称性，例如空间群可以描述 晶体在三维空间中的对称性。
在组合数学中的应用
组合问题
置换群在组合数学中用于解决各种组合问题，例如排列、组合、划分等问题。
组合恒等式
置换群可以用来证明和推导组合恒等式，例如在证明帕斯卡恒等式时，置换群被用来证明组合数的对称性。

（V ）循环群·变换群和置换群一、定义及例子1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】2、例子：（1）Z =（1）（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11])注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】（3）n 次单位根群Un 【Unit 】)(),(},1|{0ω=⨯⊆∈==∈≠*C C x x x U Nn n nn n i ππω22sin cos +=二、生成元，循环群1、循环群的元素⎩⎨⎧∞=∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元（1）1,)(±=⇔∞=r a a o r是生成元（2）1),(,)(=⇔=n r a n a o r 是生成元 {}xi x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。

的数中与：小于欧拉数ϕϕ如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])三、循环群的子群1、循环群的子群是循环群2、循环群子群的分类 }|1|){(G ),(,0)()2(}0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为则设的所有子群为则设≤≤=>=≥=∞=变换群和置换群·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。

·(ij)=(1i)(1j)(1i)·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质)()...()()...(6],...,,[)()(5/*/*)...)(...()...)( (4)...()...(3))...((2)...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i rr r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i ri i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====⋅⋅⋅======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、。

对于列也可同样证明。
7
一、群的定义和性质
定理4：群〈G ,*〉的运算表中的每一行或每一列都是G中 证： iii)最后, 因为〈G, *〉中含有么元, 所以没有两行
综合以上结果便得出: 运算表中每一行都是G的元素的
一个置换, 并且每一行都是不同的置换。同样的结论适合 于列。证毕。 定理5：群中没有零元。
(3)对任意 a、b∈S, ∵ b-1 ∈S , ∴ a *(b-1 )-1 ∈S, ∵ a *(b-1 )-1 = a *b , ∴ a *b∈S 。
得证。
21
四、群同态
定义8:设〈G , *〉和〈H , *′〉是两个群, 映射h:G →H
称为从〈G , *〉到〈H, *′〉的群同态, 如果对任
④ 代数〈Nk, +k, -1, 0〉是群, 这里x-1 =k-x 代数〈Nk, ×k 不是群, 因为0元素没有逆元
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一、群的定义和性质
群是半群和独异点的特定情况, 有关半群和独异点的性 质在群中也成立, 群的性质还有：
定理1: 如果〈G , *〉是一个群, 则对于任何a、b∈G, (a) 存在一个唯一的元素x, 使得a * x=b (b) 存在一个唯一的元素y, 使得y * a=b
任意群〈G ,*〉均有两个平凡子群：〈{e},*〉和〈G ,*〉。
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三、子群
定理12：设〈G , *〉是个群, S⊆G, 如果(1)若a、b∈S, 则a * b∈S, (2)若a∈S, 则a-1 ∈S。那么〈S , *〉 是〈G, *〉
证： 对任意元素a∈S, 由(2)得a-1 ∈S, 再由(1)得a * a-1 =e∈S。 所以, 〈S , *〉是〈G , *〉的子群。
推论： (a1