§2变换群、置换群与循环群

群论中的置换群及其应用群论是数学中非常重要的一个分支，它主要研究群的性质及其应用。

而置换群作为群论中的一个基本概念，是群论研究的一个重要方向。

置换群是指某个集合中的所有元素在不同情况下的排列和变换所构成的一种群结构。

接下来，我将从置换群的概念、性质和应用三个方面进行详细介绍。

一、置换群的概念置换群的概念来源于群上的置换操作。

在数学中，置换指的是对于一个集合中的所有元素进行排列的一种操作。

这种操作可以看做是一个把集合内的所有元素重新排列的变化。

而一个置换群就是由集合中所有可能的置换操作构成的群结构。

在置换群中，每个置换操作都是一个置换元，而群结构就是由所有置换元的集合组成的。

置换群中的元素有两种表示方法，一是环形表达式，二是秩序表达式。

环形表达式指的是将元素描绘成一个环，按照环上的顺序进行排列，而秩序表达式则是按元素的秩序进行排列。

例如，一个置换群 {1, 2, 3} 就可以表示为 {(1 2 3), (1 3 2), (2 3), (1), (2), (3)}。

置换群有许多基本的性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等，同时还有一些特殊的性质，如循环群、置换群的阶等。

二、置换群的性质置换群不仅有基本性质，还有一些比较特殊的性质：1、置换群的循环群如果一个置换群中的元素可以由一个或多个置换循环所表示，那么这个置换群就是一个循环群。

循环群在加密算法中有着广泛的应用，可以支持数字签名、身份验证等多种功能。

2、置换群的阶置换群的阶指的是每个置换元的阶的最小公倍数。

其中，置换元的阶是指执行该置换元所需的最小步骤数。

阶在加密算法中也有很大的作用，例如可以用于求模运算的模数选择和随机数的生成。

3、可逆性置换群中的置换元有可逆和不可逆之分。

可逆的置换元可以通过执行逆置换来回到原始状态，而不可逆的置换元则无法回到原始状态。

可逆性在密码学中也有重要的应用，例如对称加密算法中使用的置换矩阵通常是可逆的。

三、置换群的应用置换群有着广泛的应用，特别是在密码学中。

§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。

（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

（V ）循环群·变换群和置换群一、定义及例子1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】2、例子：（1）Z =（1）（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11])注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】（3）n 次单位根群Un 【Unit 】)(),(},1|{0ω=⨯⊆∈==∈≠*C C x x x U Nn n nn n i ππω22sin cos +=二、生成元，循环群1、循环群的元素⎩⎨⎧∞=∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元（1）1,)(±=⇔∞=r a a o r是生成元（2）1),(,)(=⇔=n r a n a o r 是生成元 {}xi x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。

的数中与：小于欧拉数ϕϕ如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])三、循环群的子群1、循环群的子群是循环群2、循环群子群的分类 }|1|){(G ),(,0)()2(}0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为则设的所有子群为则设≤≤=>=≥=∞=变换群和置换群·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。

·(ij)=(1i)(1j)(1i)·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质)()...()()...(6],...,,[)()(5/*/*)...)(...()...)( (4)...()...(3))...((2)...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i rr r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i ri i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====⋅⋅⋅======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、。

§ 1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么 A 同 B = {x x = A 且x = B}。

( )1.2 A ×B = B ×A ( )1.3 只要f 是 A 到 A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f - 1 。

( )1.4 如果Q 是 A 到 A 的一一映射,则Q [Q (a)]=a 。

( )1.5 集合 A 到 B 的可逆映射一定是 A 到 B 的双射。

( )1.6 设A 、 B 、 D 都是非空集合，则 A 根 B 到D 的每个映射都叫作二元运算。

( )1.7 在整数集 Z 上， 定义“o ”：a o b=ab(a,b∈Z)，则“ o ”是 Z 的一个二元运算。

( )1.8 整数的整除关系是 Z 的一个等价关系。

( )2 填空题：2.1 若 A={0,1} , 则 A A= __________________________________ 。

2.2 设 A = {1， 2}， B = {a ， b}， 则 A×B =_________________ 。

2.3 设={1,2,3} B={a,b}, 则 A 根 B=_______。

2.4 设 A={1,2}, 则 A A=_____________________ 。

2.5 设集合 A = {- 1,0,1}； B = {1,2} ，则有 B 根 A = 。

2.6 如果 f 是A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f - 1 [f(a)] = 。

2.7 设 A = { a 1, a 2 ,…a 8 }， 则 A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设 A 、B 是集合， | A | ＝ | B |＝3， 则共可定义 个从 A 到 B 的映射， 其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设 A 是 n 元集， B 是 m 元集，那么 A 到 B 的映射共有____________个.2.10 设 A={a,b,c}，则 A 到 A 的一一映射共有__________个.2.11 设 A={a,b,c,d,e}，则 A 的一一变换共有______个.2.12 集 合 A 的 元 间 的 关 系~ 叫 做 等 价 关 系， 如 果 ~ 适 合 下 列 三 个 条 件： _____________________________________________ 。

近世代数第二章群论答案§.群的定义1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律。

例如3- 2-1 =3-仁2 3-2 -1 =1-1=03 - 2-1 3-2 -12. 举一个有两个元的群的例。

解：令G=「e,",G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1) xy z =x yz x,y,z G因为，由于ea二ae二a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。

(参考第一章，§4，习题3。

)若是e不在(1)中出现，那么有aa a = ea = a a aa = ae = a而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。

所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3•证明，我们也可以用条件以及下面的条件IV , V来做群的定义：IV G里至少存在一个右逆元a J，能让ae = a对于G的任何元a都成立；V 对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元a-1，能让aa A = e解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。

§2.单位元、逆元、消去律1. 若群G的每一个元都适合方程x2 = e，那么G是交换群。

解：令a和b是G的任意两个元。

由题设2ab ab = ab = e另一方面2 2ab ba = ab a = aea = a = e于是有ab ab = ab ba。

利用消去律，得ab= ba所以G是交换群。

2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。

解：令G是一个有限群。

设G有元a而a的阶n> 2。

考察a，。

我们有af ) = e e(a，) =(a^ f = e设正整数m<n而a4 m=e,那么同上可得a m = e，与n是a的阶的假设矛盾。

这样，n也是a J的阶，易见a J=a否贝卩a2 = aa 1 = e与n > 2的假设矛盾。

11.7 循环群与置换群一、循环群1. 循环群的定义定义11.14 设G 是群，若a G ∃∈使得{|}k G a k Z =∈, 则称G 是循环群，记作G a =<>，称a 为G 的生成元。

注意：(1) 对于任何群G ，由G 中元素a 生成的子群是循环群。

(2) 任何素数阶的群都是循环群。

设G 是循环群，若a 是n 阶元，则0121{,,,,}n G a e a a a -== ， 那么|G|=n ，称G 为n 阶循环群。

若a 是无限阶元，则012{,,,}G a e a a ±±== ， 这时称G 为无限阶循环群。

例如 (1)G=<Z,+>是无限阶循环群。

(2)G=<Z 6,⊕>是6阶循环群。

2.循环群的性质定理 11.20 设G a =<>是循环群.(1)若G 是无限循环群，则G 只有两个生成元，即a 和a -1.(2)若G 是n 阶循环群，则G 含有()n ϕ个生成元，对于任何小于等于n 且与n 互质的正整数r ，a r 是G 的生成元。

证 (1)显然1a G -<>⊆，为了证明1G a -⊆<>，只须证明对任何k a G ∈，a k 都可以表达成a -1的幂。

由定理11.1有11()k a a --=，从而得到1G a -=<>，1a -是G 的生成元。

再证明G 中只有a 和a -1这两个生成元，假设b 也是G 的生成元，则G b =<>。

由a G ∈可知存在整数t 使得ta b =，又由b G a ∈=<>可知存在整数m 使得m b a =。

从而得到()t m t mt a b a a === 则由消去律得1mt a e -=。

因为G 是无限群，必有mt-1=0。

从而证明了m=t=1或m=t=-1，即b=a 或b=a -1。

(2) 只须证明：()r Z r n ∀∈≤，a r 是G 的生成元当且仅当n 与r 互质。