04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式(供参考)

04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式（供参考）同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（****************），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。

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1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究轴向拉压和扭转的应力公式和变形公式。

........................... 2 3 1.1 轴向拉压杆的应力公式推导 ............................................................................................ 2 4 1.2 轴向拉压杆的变形公式推导 ............................................................................................ 4 5 1.3 轴向拉压杆应力公式和变形公式的简要推导 ................................................................ 4 6 1.4 轴向拉压杆的强度条件、刚度条件的建立 .................................................................... 4 7 2.1 扭转轴的应力公式推导 .................................................................................................... 5 8 2.2 扭转轴的变形公式推导 .................................................................................................... 7 9 2.3 扭转轴应力公式和变形公式的简要推导 ........................................................................ 7 10 2.4 扭转的强度条件、刚度条件的建立 ............................................................................ 8 11 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。

强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆≤∆l l l l 许用变形工作变形、⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤l l ϕϕ。

如，轴向拉压杆强度条件：[]σσ≤=AF N max,max ；刚度条件：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆≤=∆=l l EA F ll N maxmax ε 又如，扭转杆 强度条件：[]ττρ≤=W T max max ；刚度条件：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆≤=∆l GI T lϕϕρmax这里带方括号的，是材料的某种许用值。

由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数，即得。

显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。

如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。

杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。

它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。

其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。

2下面就用统一的步骤，研究轴向拉压和扭转的应力公式和变形公式。

一般来说，多按静力、几何、物理的顺序分析和讲解这三个方面的问题。

力是看不见、摸不着的，只能够感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以外的物体所承受的力（这是力学难学的根本之所在）。

变形是可以观测的，或者借助易变形的橡胶模型观测到。

由于物体运动可以观测到，速度、加速度不难理解，而绝大部分物体的变形很难肉眼观测，研究平衡状态下的内力和变形的难度进一步加深。

物理方面是指材料的力学性质，主要是应力应变关系，这必须试验确定。

在材料力学中主要用到线弹性材料胡克定律，基本上没有难度。

故，本文按先易后难的顺序（几何、物理、静力）展开分析和研究。

1 轴向拉压杆 31.1 轴向拉压杆的应力公式推导1.1.1 几何学方面——变形协调：连续介质在变形后仍然是连续介质。

考察一端固定，一端受轴向外力F 作用的拉杆。

根据“平截面假设”，其变形图示如下：FF图1-1 在平截面假设下，同一横截面上各点应变相等由图1-1，各纵向纤维的单位长度伸长量ε（线应变、正应变）等于Δl/l ，且各条纵向纤维的单位长度伸长量ε是一样大的。

表示轴向拉压杆同一横截面上各点的应变ε是均匀分布的。

1.1.2 物理学方面——应力应变关系（物质本构关系）：假设组成杆件的材料是均匀的。

根据材料的均匀性假设，各点应力应变关系是同一个函数关系，即()()()()211 C C f f ===εσ，表示轴向拉压杆同一横截面上各点的应力σ是均匀分布的。

1.1.3 静力学方面——合力定理：合力等于分力之和。

设某横截面的轴力为F N （合力）。

把该横截面划分为若干个微小的截面dA ，设作用在dA 截面的平均轴力为σ（正应力，它是单位面积上的内力（轴力）），则一个微截面上的轴力为dA dF N σ=。

根据“合力等于分力之和”，则∑==ni iiN dA F 1σ。

如果有无穷个微小面积，则和式改写为积分形式，⎰∑≡=∝=Ai iiN dA dA F σσ1。

这样，由合力定理，得到轴向拉压杆横截面上，轴力（合力）与应力（分力）的积分关系式：()3 ⎰=AN dA F σ1.1.4 由上述三个关系式可以推导出轴向拉压杆的横截面应力公式。

为了方便推导和阅读，把上面几何学、物理学、静力学三个方面的公式汇集如下：为了求得应力公式，推导如下;()()()()4211123 A A C dA C dA C dA F AAAN σσ=====⎰⎰⎰将（4注1：推导（4）式的目的是把含有非几何量的积分式()3 ⎰=AN dA F σ，恒等变形为不显含积分的表达式()4 A F N σ=，积分⎰AdA σ，则隐含在面积的定义式中，⎰≡AdA A ，而且该积分仅仅是横截面形状、大小的函数，与轴向外力F 和内力（轴力F N ）无关。

注2：在推导（4）式的过程中，没有直接用的几何关系（1），因为它已经隐含在（2）里（详见1.1.2节的推导）。

故要推导出任何应力公式，都必须全面考虑几何、物理和静力三个方面，缺一不可。

41.2 轴向拉压杆的变形公式推导。

为了得到表现形式简单的变形公式，假设材料是线弹性的，即材料服从胡克定律（线弹性应力应变关系）()6 εσE =()()()()7165 l l E E A F N ∆===εσ，整理（7 51.3 轴向拉压杆应力公式和变形公式的简要推导为了方便读者理清上述推导的思路，将其浓缩如下： 1.3.1 ；静力关系：()3 ⎰=AN dA F σ1.3.2 推导应力公式()()()()4211123 A A C dA C dA C dA F AAAN σσ=====⎰⎰⎰将（41.3.3 推导变形公式()()()()7165 l l E E A F N ∆===εσ，整理（7 61.4 轴向拉压杆的强度条件、刚度条件的建立强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤；刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆≤∆l l l l 许用变形工作变形、⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤l l ϕϕ。

强度条件：[]σσ≤=AF N max,max刚度条件：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆≤=∆l l EA F ll N max,max2 扭转轴 72.1 扭转轴的应力公式推导2.1.1 几何学方面——变形协调：连续介质在变形后仍然是连续介质。

考察一端固定，一端受外扭矩M e 作用的圆截面杆。

根据“平截面假设”，其变形图示如下：如图2-1，假设x 截面不动，x+dx 截面转过角度d φ，则半径为ρ的点，其半径和柱面线（实线）移动到图示虚线位置，对应移动弧长为s ，则有几何关系ϕργd s dx ==，整理得扭转时，剪应变γ和扭率（单位轴长的相对扭转角）d φ/dx 的关系式：C 。

2.1.2 物理学方面——应力应变关系（物质本构关系）：假设组成杆件的材料是线弹性的。

线弹性材料的应力应变关系是剪切胡克定律，即()2 γτG =，G 表示材料的剪切弹性模量，对Q235钢，G=80Gpa ，而线弹性模量图2-1 横截面上距圆心半径为ρ点的剪应变和横截面扭转角φ的关系在直径为D 的圆轴dx 微段内取出一个半径为ρ的圆轴的来研究，并放大图示如下：E=200Gpa 。

公式（2）表示剪应力和剪应变成正比。

2.1.3 静力学方面——合力偶定理：合力偶等于分力偶之和。

设某横截面的内扭矩（简称扭矩）为T （合力偶）。

把该横截面划分为若干个微小的截面dA ，设作用在dA 截面的平均剪应力为τ（切应力，它是单位面积上的剪力），则一个微截面dA 上的剪力为dA dF Q τ=，该剪力dA dF Q τ=对横截面形心O 的力矩，则为 dA dF dT Q ρτρ=⋅=。

根据“合力偶等于分力偶之和”，则∑∑====ni iii n i idA dT T 11τρ。

如果横截面A 由无穷个微小面积dA 组成，则和式改写为积分形式，⎰∑≡=∝=Ai iii dA dA T ρττρ1。

这样，由合力偶定理，得到扭转轴横截面上扭矩T （合力）与剪应力τ（分力）的积分关系式：()3 ⎰=AdA T ρτ2.1.4 由上述三个关系式可以推导出扭转杆的横截面应力公式。

为了方便推导和阅读，把上面几何学、物理学、静力学三个方面的公式汇集如下：，()2 γτG =，()3 ⎰=A dA T ρτ为了求得应力公式，推导如下;()()()()422123 ρϕρϕϕργρρτI dxd GdA dxd G dA dx d G dA G dA T AAAA=====⎰⎰⎰⎰，式中引入与横截面形状、大小有关的量“极惯性矩”，它定义为()52 ⎰≡AdA I ρρ，这是截面的一个新几何量，由（5）可知其单位为长度的四次方。