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北师大实验中学2019届高三第二次模拟考试数学试题(含答案)

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北师大实验中学2019届高三下第二次模拟考试数学试题（文）考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}|1 2 A x x =-<<，{}2|20 B x x x =+≤，则A B =DDDD A. {}|0 2 x x << B. {}|0 2 x x ≤< C. {}|10 x x -<< D.{}|10 x x -<≤2. 在复平面内，复数所对应的点A 的坐标为），（43，则=zz CCCCCA. 4355i -B. i 5354+C. 3455i - D. i 5453+3．设实数x ，y 满足621x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最小值为 CCCCCA．2 C ．-2 D ．1 4.设四边形ABCD 为平行四边形，，.若点M ，N 满足，，则DDDDDD（A ）20 （B ）15 （C ）6 （D ）95．抛物线2(0)y ax a =>的准线与双曲线22:184x y C -=的两条渐近线所围成的三，则a 的值为 AAAAAA A ．8 B ．6C ．4D ．26AB =4AD =3BM MC =2DN NC =AM NM ⋅=6．函数)32sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12(π-中心对称BA ．向左平移12πB ．向右平移12π C ．向左平移6π D ．向右平移6π 7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为c b a ，，，三角形的面积S 可由公式))()((c p b p a p p S ---=求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足812==+c b a ，，则此三角形面积的最大值为 CCCC A. 54 B.154 C.58 D.158 8.已知函数2ln )(x xx f =。

若方程0)(=-a x f 恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 AAAAAA A. e a 210<< B.e a 21< C.e a 2< D.ea 21>第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.方程[]()200,1x x n n ++=∈没有实根的概率为____43______． 10.已知,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则y x z +=2的最大值为_____4_____．11．已知直线:(0)l y kx k =>为圆1)3(:22=+-y x C 的切线，则k____2______．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，当0x >时，()()0xf x f x '->，则不等式0)(>xx f 的解集是____(,1)(1,)-∞-+∞______． 13．已知1,1a b >>，若l o g 2l o g 163a b +=，则2l o g ()ab 的最小值为_____3_____． 14.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =1ln 2-．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令()2114411n n n n n n b a a -++-=-，求数列{}n b 的前n 项和2n T ；（Ⅲ）若对于*n N ∀∈，2222n T λλ<--恒成立，求λ范围. （Ⅰ）1121412,,2,46,d S a S a d S a d ===+=+124,,S S S 成等比2214S S S ∴=，解得11,21n a a n ==-.（Ⅱ）1111(1)(1)()2121n n n b n n --=-+-+-+2111111011335414141n T n n n =++--+--=--++ （3）211141n T n =-<+ 2221λλ--≥； 3λ∴≥或1λ≤-16.中，内角，，的对边分别为，，，的面积为，若． （Ⅰ）求角（Ⅱ）若，．解：（1）∵中，，∴，∴∵，∴；．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵，，∴由得， ∵，且，∴或， ∴或．．．．．．．．．．．．．．．12分17.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行ABC △A B C a b c ABC △S 222b c a =+-A 2a =b =C ABC △2221sin 22b c a bc A bc A +-===222cos 2b c a A A bc+-=tan A =0A <<π6A π=2a =b =6A π=sin sin a bA B=1sin 2sin 2b A B a ===506B π<<B A >3B π=23π2C π=6π调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有%99的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在)15,5[的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？参考数据：050.0)841.3(2=≥K P ，010.0)635.6(2=≥K P ，001.0)828.10(2=≥K P解：（1）2乘2列联表()()()()2250(311729) 6.27372911329711K ⨯⨯-⨯=≈++++＜6.635所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异……6分（2）年龄在[)15,5中支持“生育二胎”的4人分别为d c b a ,,,，不支持“生育二胎”的人记为M ，则从年龄在[)15,5的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(M b d b c b M a d a c a b a ，),(),,(),,(M d M c d c 。

记“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A ，则事件A 所有可能的结果有：),(),,(),,(),,(),,(),,(d c d b c b d a c a b a ，所以53106)(==A P 。

所以对年龄在)15,5[的的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是53.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离.解：（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形，所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，EC ==，在PDE ∆中PE =在PDC ∆中PC ==故EQ PC ⊥，EQ AF ==，12PEC S ∆=⨯=，112AEC S ∆=⨯=所以由A PEC P AEC V V --=123d =，解得10d =.19.已知函数)(ln )(R a x xax f ∈-=（Ⅰ）若)(x f 的图像与直线0=y 相切，求.a （Ⅱ）若21e a e <<+且函数x xax f ln )(-=的零点为0x ,设函数00ln ln ,0()ln ln ,ax x x x x xg x a x x x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩试讨论函数()g x 的零点个数.（71828.2≈e 为自然常数） （Ⅰ）设切点)0,(0x P 2'(),a xf x x +=-k ∴.,00200x a x x a -=∴=-+= 又切点在函数()f x 上，0()0,f x ∴=即,1ln 0ln 000-=⇒=-x x x a.1,10ea e x -=∴=∴（Ⅱ）若21e a e <<+且函数x xax f ln )(-=的零点为0x ，则显然01x > 由函数00ln ln ,0()ln ln ,ax x x x x xg x a x x x xx x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩① 当0x x <≤时,222211ln ln (1)()'()a x x x a h x g x x x x x x ---+=---== 011'()10,01;'()10,1.h x x h x x x x x=-><<=-<<< 则()h x 在(0,1)上单调递增，()01x ，上单调递减，则()(1)1(1)0h x h a <=--+<, 所以()g x 在(]0x 0，上单调递减 ② 当0x x >时，22211ln ln (1)'()0a x x x a g x x x x x-++-=+-=> 所以()g x 在区间0(,)x +∞上单调递增 又0000000ln ln ()ln 0x x a g x x x x x =--=-<，且20e x e << 又1()10a g e e e=-->， 222222()220a e g e e e ++=->->所以函数()g x 在区间0(,]e x 上存在一个零点1x ， 在区间20(,)x e 上存在零点2x .综上，()g x 有两个不同的零点.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为3． （1）求椭圆的方程； （2）动直线1:2l y x m =+与椭圆交于A ,B 两点，在平面上是否存在定点P ，使得当直线PA 与直线PB 的斜率均存在时，斜率之和是与m 无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 设椭圆的半焦距为c ，则222c a b =-，且12c e a ==．由2222,1,x c x y ab=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2b y a=±．依题意，223b a =，于是椭圆的方程为22143x y +=． (2)设112211,,,22A x x tB x x t ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1:2l y x t =+，与椭圆方程联立得2230.x tx t ++-=则有21212, 3.x x t x x t +=-=- 直线PA,PB 的斜率之和1221122211()()22()()3232.3PA PBm x t m x n x t m x k k m x m x n m t mn t mt m ⎛⎫⎛⎫---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=--⎛⎫-+-⎪⎝⎭=++-当3,232n m mn ==时斜率的和恒为0，解得1,1,33..22m m n n ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩或综上所述，所有满足条件的定点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．。

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2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷(理科)(一)(3月份)解析版

2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷(理科)(一)(3月份)解析版

2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{x|x2＜10}，则A∩B＝（ ）A．{0，2，4}B．{3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}2．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是（ ）A．B．1C．2D．73．（5分）若实数a满足，则a的取值范围是（ ）A．B．C．D．4．（5分）设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），其中，双曲线半焦距为c，若抛物线y2＝4cx的准线被双曲线C截得的弦长为（e为双曲线C的离心率），则双曲线C的渐近线方程为（ ）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝6．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，若a＝﹣f（3），b＝f[log2（sin）]，c＝f（0.20.3），则a，b，c的大小关系为（ ）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a7．（5分）用一块圆心角为240°、半径为R的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（ ）A．B．C．D．8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（ ）A．三分鹿之一B．三分鹿之二C．一鹿D．一鹿、三分鹿之一二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．（5分）在等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S3＝6，S6＝54，则公比q的值是 ．10．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a3a11+2a72＝4π，则tan（a1a13）的值为 ．11．（5分）已知曲线f（x）＝lnx+nx在x＝x0处的切线方程为y＝2x﹣1，则f（1）+f'（1）＝ ．12．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为 ．13．（5分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为实常数）的导函数为f'（x），若对任意x∈R不等式f（x）≤f'（x）恒成立，则的最大值为 ．14．（5分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且OE＝3OF（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点M（x0，y0），其中x0≠0，使过点M的切线l⊥ME，则切线l在y轴的截距为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知f（x）＝12sin（x+）cos x﹣3，x∈[0，]．（1）求f（x）的最大值、最小值；（2）CD为△ABC的内角平分线，已知AC＝f（x）max，BC＝f（x）min，CD＝2，求∠C．16．（13分）在多面体CABDE中，△ABC为等边三角形，四边形ABDE为菱形，平面ABC⊥平面ABDE，AB＝2，∠DBA＝．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求点B到平面CDE距离．17．（14分）近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见．求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率．附：K2＝（其中n＝a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63518．（13分）已知{b n}为正项等比数列，b2＝2，b4＝8，且数列{a n}满足：a n b n﹣1＝log2b n．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和T n，并求使得（﹣1）nλ＜T n恒成立λ的取值范围．19．（14分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝x+m（m≠0）与椭圆交于A，C两点，与y轴交于点P，以线段AC为对角线作正方形ABCD，若|BP|＝．（i）求椭圆方程；（ii）若点E在直线MN上，且满足∠EAC＝90°，求使得|EC|最长时，直线AC的方程．20．（13分）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax2（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）＝2x3图象的下方，求实数a的取值范围．2019年北京师大实验中学高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{x|x2＜10}，则A∩B＝（ ）A．{0，2，4}B．{3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}【分析】分别求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2，3，4，5}，集合B＝{x|x2＜10}＝{x|﹣}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是（ ）A．B．1C．2D．7【分析】由题意作平面区域，由解得A（，），从而求最小值．【解答】解：由题意作平面区域如下，，由解得，A（，），故z＝x+y的最小值是+＝，故选：A．【点评】本题考查了线性规划，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想方法应用．3．（5分）若实数a满足，则a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【分析】利用对数函数的单调性分别求解不等式与，取交集得答案．【解答】解：∵＝log a a，∴0＜a＜1，，∴．①，又，∴a．②，由①②得：．∴a的取值范围是（，1）．故选：C．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性，是基础题．4．（5分）设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由得x＜0或x＞1，由（）x＞1得x＜0，则“”是“（）x＞1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．5．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），其中，双曲线半焦距为c，若抛物线y2＝4cx的准线被双曲线C截得的弦长为（e为双曲线C的离心率），则双曲线C的渐近线方程为（ ）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】由题意可得准线被双曲线C截得的弦长为＝，化简即可求出【解答】解：∵抛物线y2＝4cx的准线：x＝﹣c，它正好经过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，∴准线被双曲线C截得的弦长为：，∴＝，∴3b2＝a2•＝c2＝a2+b2，∴2b2＝a2，∴＝，∴则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选：B．【点评】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，考查了转化能力和运算能力，属于中档题6．（5分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，若a＝﹣f（3），b＝f[log2（sin）]，c＝f（0.20.3），则a，b，c的大小关系为（ ）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【分析】根据题意，由奇函数的性质分析可得a＝﹣f（3）＝f（﹣3）＝f（log23），进而可得log2（sin）＜0＜0.20.3＜1＜log23，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，则a＝﹣f（3）＝f（﹣3）＝f（log23），又由log2（sin）＜0＜0.20.3＜1＜log23，又由f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，则有b＜c＜a；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的性质．7．（5分）用一块圆心角为240°、半径为R的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为（ ）A．B．C．D．【分析】根据题意求出扇形围成的圆锥底面圆半径和高，再计算圆锥的体积．【解答】解：扇形的圆心角为240°＝，半径为R；设扇形围成的圆锥底面半径为r，高为h；则2πr＝R，解得r＝；h＝＝R，则该圆锥的体积为V＝πr2h＝••R＝．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（ ）A．三分鹿之一B．三分鹿之二C．一鹿D．一鹿、三分鹿之一【分析】五人分得的鹿肉斤数构成等差数列{a n}，d＜0．a1＝，S5＝5，利用求和公式可得d，再利用通项公式即可得出．【解答】解：五人分得的鹿肉斤数构成等差数列{a n}，d＜0．a1＝1+＝，S5＝5，∴+＝5，解得d＝﹣．∴a5＝﹣＝．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．（5分）在等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S3＝6，S6＝54，则公比q的值是　2　．【分析】利用等比数列前n项和列方程组，能求出公比q的值．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝6，S6＝54，∴，解得q＝2，∴公比q的值是2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a3a11+2a72＝4π，则tan（a1a13）的值为 ．【分析】由已知条件a3a11+2a72＝4π，以及等比数列的性质a3a11＝，从而得到，由此能求出tan（a1a13）的值【解答】解：由等比数列{a n}的性质可得，a3a11＝a72，由a3a11+2a72＝4π，则3a3a11＝4π，则a3a11＝．则tan（a1a13）＝tan＝tan＝．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知曲线f（x）＝lnx+nx在x＝x0处的切线方程为y＝2x﹣1，则f（1）+f'（1）＝　3　．【分析】求出原函数的导函数，利用f′（x0）＝2求得x0，再由函数值相等求得n，则答案可求．【解答】解：由f（x）＝lnx+nx，得f′（x）＝，则f′（x0）＝＝2，∴．得f（）＝＝．∴，即n＝1．∴f（x）＝lnx+x，则f（1）＝1，f′（1）＝2．∴f（1）+f'（1）＝3．故答案为：3．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．12．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为　﹣1　．【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：实数x，y满足约束条件，如图区域为开放的阴影部分，由解得B（5，3），函数z＝x﹣2y过点（5，3）时，z max＝x﹣2y＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．13．（5分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c为实常数）的导函数为f'（x），若对任意x∈R不等式f（x）≤f'（x）恒成立，则的最大值为 ．【分析】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△＝（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）＝b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．【解答】解：∵f（x）＝ax2+bx+c，∴f′（x）＝2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≤2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≤0恒成立，故△＝（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）＝b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2≥0，∴c≥a＞0，∴≥1，可令t＝，即t≥1，t＝1时，a＝c，b＝0；故t＞1时，≤＝＝＝＝≤＝2﹣2，当且仅当t＝1+时，取得最大值2﹣2．故答案为：2﹣2【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．14．（5分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且OE＝3OF（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点M（x0，y0），其中x0≠0，使过点M的切线l⊥ME，则切线l在y轴的截距为　﹣1　．【分析】根据ME与切线l垂直列方程求出M点坐标，从而得出切线l的方程，得出截距．【解答】解：由题意可得：F（0，1），E（0，3），由x2＝4y可得y＝，y′＝，∴直线l的斜率为y′|x＝x0＝，直线ME的斜率为．∵切线l⊥ME，∴．结合x02＝4y0．解得x0＝±2，不妨设M（2，1），则直线l的方程为y﹣1＝x﹣2，即y＝x﹣1．∴直线l在y轴的截距为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了抛物线的性质，切线的求解，直线位置关系的判断，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知f（x）＝12sin（x+）cos x﹣3，x∈[0，]．（1）求f（x）的最大值、最小值；（2）CD为△ABC的内角平分线，已知AC＝f（x）max，BC＝f（x）min，CD＝2，求∠C．【分析】（1）首先f（x）＝6sin（2x+），由x∈[0，]，得sin（2x+）∈[，1]，得f（x）max＝6，f（x）min＝3；（2）由角平分线性质定理得：AD2＝4BD2，由余弦定理得BD2＝17﹣12cos，AD2＝44﹣24cos，得C＝．【解答】（1）f（x）＝12sin（x+）cos x﹣3＝12（sin x+cos x）cos x﹣3＝6sin x cos x+6cos2x﹣3＝3sin2x+3cos2x＝6sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）max＝6，f（x）min＝3；（2）由角平分线性质定理得：＝＝＝2，∴AD2＝4BD2，△BCD中，BD2＝17﹣12cos，△ACD中，AD2＝44﹣24cos，∴44﹣24cos＝68﹣48cos∴cos＝，∴C＝．【点评】本题考查y＝A sin（ωx+φ）的最值，余弦定理，把函数转化为y＝A sin（ωx+φ）此种形式是关键．16．（13分）在多面体CABDE中，△ABC为等边三角形，四边形ABDE为菱形，平面ABC⊥平面ABDE，AB＝2，∠DBA＝．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求点B到平面CDE距离．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结CO，DO，推导出CO⊥AB，DO⊥AB，从而AB⊥面DOC，由此能证明AB⊥CD．（Ⅱ）推导出CO⊥面ABDE，CO⊥OD，AB⊥CD，ED⊥DC，设点B到面CDE的距离为h，，由此能求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结CO，DO，…..（1分）∵△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB，…（2分）∵四边形ABDE为菱形，∠DBA＝60°，∴△DAB为等边三角形，∴DO⊥AB，…．（3分）又∵CO∩DO＝O，∴AB⊥面DOC，…..（5分）∵DC⊂面DOC，∴AB⊥CD．…..（6分）解：（Ⅱ）∵面ABDE⊥面ABC，CO⊥AB，面ABDE∩面ABC＝AB，CO⊂面ABC，∴CO⊥面ABDE，∵OD⊂面ABDE，∴CO⊥OD，…．…（8分）∵OD＝OC＝，在Rt△COD中，CD＝＝，由（1）得AB⊥CD，∵ED∥AB，ED⊥DC，∴＝＝，…（9分）S△BDE＝＝，…..…..（10分）设点B到面CDE的距离为h，∵，∴．…．（11分）即，∴h＝．…．…．（12分）【点评】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．17．（14分）近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见．求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率．附：K2＝（其中n＝a+b+c+d为样本容量）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据题意，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）由题意，填写2×2列联表，如下：对快递满意对快递不满意合计对商品满意8060140对商品不满意402060合计12080200计算K2＝＝≈1.59，由于1.59＜6.635，所以没有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”；（2）根据题意，抽取的10次交易中，对商品和快递都满意的交易有4次，记为A、B、C、D，其余6次不是都满意的交易记为1、2、3、4、5、6，那么抽取2次交易一共有45种可能：AB、AC、AD、A1、A2、A3、A4、A5、A6、BC、BD、B1、B2、 (56)其中2次交易对商品和快递不是都满意的有15种：12、13、14、15、16、 (56)所以，在抽取的2次交易中，至少一次对商品和快递都满意的概率是P＝＝．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题．18．（13分）已知{b n}为正项等比数列，b2＝2，b4＝8，且数列{a n}满足：a n b n﹣1＝log2b n．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和T n，并求使得（﹣1）nλ＜T n恒成立λ的取值范围．【分析】（I）设正项等比数列{b n}的公比为q，由b2＝2，b4＝8，可得q．利用等比数列的通项公式可得b n．又数列{a n}满足：a n b n﹣1＝log2b n．代入可得a n．（II）利用错位相减法可得T n．（﹣1）nλ＜T n恒成立．对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．【解答】解：（I）设正项等比数列{b n}的公比为q，∵b2＝2，b4＝8，∴q＝＝2．∴b n＝＝2×2n﹣2＝2n﹣1．又数列{a n}满足：a n b n﹣1＝log2b n．∴2n﹣1•a n﹣1＝n﹣1，可得a n＝．（II）T n＝1++……+，＝++……++，∴T n＝+……+﹣＝﹣，化为：T n＝4﹣．T n﹣T n﹣1＝＞0，因此数列{T n}为单调递增数列．（﹣1）nλ＜T n恒成立．n为偶数时，λ＜（T n）min＝T2＝2．n为奇数时，﹣λ＜（T n）min＝T1＝1，解得λ＞﹣1．综上可得：λ的取值范围为（﹣1，2）．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝x+m（m≠0）与椭圆交于A，C两点，与y轴交于点P，以线段AC为对角线作正方形ABCD，若|BP|＝．（i）求椭圆方程；（ii）若点E在直线MN上，且满足∠EAC＝90°，求使得|EC|最长时，直线AC的方程．【分析】（Ⅰ）根据直线的斜率可得a＝2b，即可求出离心率，（Ⅱ）（i）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得AC及丨PQ丨，根据勾股定理即可求出b的值，（ii）根据平行间的距离公式求出|AE|，再根据勾股定理和二次函数的性质即可求出．【解答】解：（Ⅰ）∵左顶点为M，上顶点为N，直线MN的斜率为．∴＝，∴e＝＝＝＝，（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知椭圆方程为x2+4y2＝4b2，设A（x1，y1），C（x2，y2），线段AC中点Q则，整理得：x2+2mx+2m2﹣2b2＝0，由△＝（2m）2﹣4×（2m2﹣b2）＝2b2﹣m2＞0，则x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣2b2，y1+y2＝（x1+x2）+2m＝m，则Q（﹣m， m），由l与y轴的交点P（0，m），丨PQ|═＝|m|，∴|BP|2＝|BQ|2+|PQ|2＝|AC|2+|PQ|2＝（2b2﹣m2）+m2＝b2＝，∴b2＝1，即b＝1，∴椭圆方程为+y2＝1；（ii）由（i）可知|AC|＝•，∵直线MN的方程为y＝x+1，∴直线MN与直线L的距离为，∵点E在直线MN上，且满足∠EAC＝90°，∴|AE|＝，∴|EC|2＝|AE|2+|AC|2＝（1﹣m）2+5（2﹣m2）＝﹣m2﹣m+，当m＝﹣时，此时|EC|最长，故直线直线AC的方程y＝x﹣【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax2（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）＝2x3图象的下方，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为（x∈（0，+∞）），令（x＞0），根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2lnx﹣x2，定义域为（0，+∞），＝，令f'（x）＝0，则x＝1，∵x∈（0，1）时，f'（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，∴x＝1时，f（x）极大值＝f（1）＝﹣1；无极小值．（2）令F（x）＝g（x）﹣f（x）＝2x3﹣2lnx+ax2，由题意，函数f（x）的图象始终在函数g（x）＝2x3图象的下方，等价于F（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即2x3+ax2﹣2lnx＞0恒成立，得到（x∈（0，+∞））．令（x＞0），，显然h'（1）＝0，又函数y＝2﹣2x3﹣4lnx在（0，+∞）上单调递减；所以当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，则h（x）≤h（1）＝﹣2，因此a＞﹣2，所以a∈（﹣2，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．。

北师大实验中学2019届高三模拟考试数学试题(含答案)

北师大实验中学2019届高三模拟考试数学试题(含答案)

北师大实验中学2019届高三下模拟考试数学试题（文）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上3．.考试结束后保留试卷方便讲解，只交答卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合，，则 鈭狟等于A. {}3>x xB. RC.D.2.已知复数,z a i a R =+∈，若2z =，则a 的值为（ ）1±D. 3．右图是具有相关关系的两个变量的一组数 据的散点图和回归直线，若去掉一个点使 得余下的个点所对应的数据的相关系数最 大，则应当去掉的点是 A ． B ． C ． D ．4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =( )A ．23B ．32C ．35D ． 385D E FA5．若e πe πa b b a --+-≥，则有（ ）A ．0a b +≤B ．0a b -≥C ．0a b -≤D ．0a b +≥ 6．过抛物线的焦点作一倾斜角为的直线交抛物线于，两点（点在轴上方），则A ．B ．C ．D ．7.若3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1、2、3、4、5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A.310B. 15C. 110D. 1208．若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数x xx a x g -=2cos 2sin 2)(的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为( )A ．(,[2,)-∞+∞B ．1⎡-⎢⎣⎦C ．21⎛⎡⎤--∞+∞ ⎢⎥ ⎝⎦⎣⎦，D ．1⎤⎥⎣⎦第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019届北师大实验中学高三第二次模拟考试数学试卷及解析

2019届北师大实验中学高三第二次模拟考试数学试卷及解析

2019届北师大实验中学高三第二次模拟考试
数学试卷
★祝考试顺利★
一、选择题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合，，然后根据交集的定义求出
【详解】，
故选
2.在复平面内，复数所对应的点A的坐标为（3，4），则=（）
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】
分析：由点的坐标得到复数，利用复数的四则运算可得 .
详解：由题设有，故，故选C.
3.设实数，满足，则的最小值为（）
A. B. 2 C. -2 D. 1【答案】C
【解析】
实数，满足的平面区域如图
目标函数经过时最小，解得，所以最小值为
，故选C.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4.设四边形ABCD 为平行四边形，，.若点M ，N 满足，
，则
（ ） A. 20
B. 15
C. 6
D. 9 【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形将，用基底表示，再将用表示，结合向量的数量积求解即可．
【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足，，。

北师大实验中学2019届高考数学(文)模拟预测卷二

北师大实验中学2019届高考数学(文)模拟预测卷二

北师大实验中学2019届高考数学（文）模拟预测卷二考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集为实数集R ,集合22{|30},{|log 0}A x x x B x x =-<=>,则()A B =R ð （ ）（A ）(,0](1,)-∞+∞（B ）(0,1] （C ）[3,)+∞（D ）∅（2）在复平面内,复数i1iz =+所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（3）某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为（ ） A. 16 B. 16.2C. 16.6D. 16.8（4）“sin α=22”是“cos2α=0”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 （A ）2（B ） （C ）2232（D ）4 （6）函数的零点所在区间是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（7）已知m 是平面α的一条斜线，直线l 过平面α内一点A ，那么下列选项中能成立的是（ ）（A ）l α⊂，且l m ⊥（B ）l α⊥，且l m ⊥ （C ）l α⊥，且l ∥m （D ）l α⊂，且l ∥m （8）已知函数()sin f x x x =，现给出如下命题： ① 当(43)x ∈--，时，()0f x ≥； ②()f x 在区间(0,1)上单调递增； ③ ()f x 在区间(1,3)上有极大值；④ 存在0>M ，使得对任意x ∈R ，都有|()|f x M ≤． 其中真命题的序号是（ ） （A ）①②（B ）②③ （C ）②④ （D ）③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。