高三期中考试数学理科

2024/2025学年第一学期高三期中考试数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知集合，，则的真子集的个数为（ ）A ．7B ．8C ．16D ．152．在复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知，则（ ）ABC ．D ．5．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）A ．B．在方向上的投影向量为C ．若，则D ．若，则6．已知数列的前项和为，其中，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．{}1,0,1,2,3A =-{}324B xx x =-<∣A B ()()3i 1i z =+-a b log 4log 41a b >>44ab<sin sin cos sin 63ππαααα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2-2-ab θ()()a b a b+- ∥ab ()a b b⋅- a b +=23πθ=()()a b a a b a +⋅=-⋅ a b∥{}n a n n S 11a =1221n n S S n +-=+75S a =369463614636746365467．函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（ ）A ．B ．函数图象关于点对称C ．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为D ．若，则函数8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）A ．函数有两个零点B ．当时，C ．的解集是D ．都有二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.双曲线 的左，右焦点分别是 ，过 作倾斜角为 的直线交双曲线的右支于点 ，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为（）
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入双曲线方程求出点 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 ， ， 的关系，求出离心率的值．
【详解】由于 轴，且 在第一象限，设
所以将 代入双曲线的方程得 即 ，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角得到 ，再根据 ，有 ，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据 的平分线交AB于点D，且 ，由 ，可得 ，化简得到 ，则 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，所以四边形 是直角梯形，
则有 ，
， ，
所以有 ，
故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 为正方形，所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
,
所以 ， ，
故答案为：③④.

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试数学（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =-，{}0,1,2B a =-且A B ⊆，则a 等于（）A.1B.1- C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】根据集合间的基本关系求参.【详解】因为{}0,1A =-，{}0,1,2B a =-且A B ⊆，则12a -=-,所以3a =.故选：D.2.设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，12i z =-，则12z z =（）A.34i 55- B.34i 55+C.41i5+ D.41i5-【答案】A 【解析】【分析】先根据复数关于实轴对称得出22i z =+,再应用复数的除法及乘法计算化简即可.【详解】复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，故21z z =.所以()2221111222211112i 34i 34i 21555z z z z z z z z z --======-+.故选：A.3.若命题“x ∃∈R ，220x x a ++<成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≤B.1a <C.1a ≥D.1a >【答案】B 【解析】【分析】利用判别式法求解.【详解】解：因为x ∃∈R ，220x x a ++<成立，所以440a ∆=->，解得1a <，故选：B4.在ABC V 中，D 是BC 上一点，满足2BD DC =，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+ ，则λμ+=（）A.54B.78C.56D.58【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知，11122222AM AD BM BA BD BA BM BA BD =⇒-=-⇒=+，()2322BD DC BC BD BD BC ==-⇒= ,所以有11122213BM BA BD BA BC =+=+ ，所以11,23λμ==，得56λμ+=.故选：C5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为π的半圆，则该圆锥的高为（）A.2B.2C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定理算得圆锥高.【详解】设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，圆锥的侧面展开图是一个面积为π的半圆，则π2π12ππ2l r l r =⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得2,2r l ==，则该圆锥的高为62h ==.故选：A.6.函数()()sin 20y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，直线12y =与其交于A ，B 两点，若π3AB =，则ω=（）A.4B.3C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】首先解方程()1sin 22x ωϕ+=，结合图象，求得方程的实数根，即可求解ω的值.【详解】令()1sin 22x ωϕ+=，则5π22π6A x k ωϕ+=+，13π22π6B x k ωϕ+=+，Z k ∈，则()2π3B A x x ω-=，且π3B A AB x x =-=，所以2ω=.故选：C7.已知函数()e e xxf x -=+，若3log 0.6a =，0.013b =，5log 3c =，则有（）A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f b f a f c >>D.()()()f c f a f b >>【答案】B 【解析】【分析】由已知可得()f x 为偶函数，则()335log 0.6log 3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用对数函数的性质和指数函数的性质，可得3510log 32<<，1b >，112c <<，又当0x >时，由′>0，可得()f x 为单调递增函数，即可得到答案.【详解】因为函数()e e xxf x -=+且定义域为R ，则()()ee xx f x f x --=+=，所以()f x 为偶函数，因为333log 0.6log 05a ==<，则()()333335log 0.6log 0.6log log 53f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又3351log log 32<=，335log log 103>=，0.010331b =>=，551log 3log 2c =>=，55log 3log 51c =<=，则112c <<，所以0.015353log 3log 3>>，当0x >时，因为()e e0xxf x -=->'，所以()f x 为单调递增函数，所以()()()f b f c f a >>.故选：B.8.已知函数()()221f x a x bx a =-+-+（a ，b ∈R 且2a ≠）在区间[]1,2上有零点，则22a b +的最小值为（）A.32 B.12C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得22a b +的最小值.【详解】依题意()()2210f x a x bx a =-+-+=在区间[]1,2上有零点，整理得()221120x a xb x -++-=在[]1,2上有解，(),a b 表示坐标系aOb 中，直线()221120x a xb x -++-=（x 看成参数）上的点，所以22a b +表示原点到直线()221120x a xb x -++-=上的点的距离的平方，设4222424224413344111324x x d d x x x x x -+===-=--+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，由于212,14x x ≤≤≤≤，所以当1x =时，2d 取得最小值为431-=，所以22a b +的最小值为1.故选：D【点睛】关键点点睛：主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程.距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X 服从二项分布()~20,X B p ，且()8E X =，则() 4.8D X =C.X 和Y 是分类变量，若()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++值越大，则判断“X 与Y 独立”的把握性越大D.若随机变量X 服从正态分布()2~2,X N σ，且()50.2P X >=，则()150.6P X -<<=【答案】BD 【解析】【分析】根据极差和众数的概念即可判断A ；根据二项分布的性质即可判断B ；根据独立性检验的思想即可判断C ；根据正态曲线的性质即可判断D.【详解】A ：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A 错误；B ：由(20,),()8X B p E X = ，得()208E X np p ===，解得25p =，所以23()(1)20 4.855D X np p =-=⨯⨯=，故B 正确；C ：2χ值越大，X 和Y 有关系的可能性就越大，则“X 与Y 独立”的把握越小，故C 错误；D ：由2(2,),(5)0.2X N P X σ>= ，得(1)(5)0.2P X P X <-=>=，所以(15)1(1)(5)0.6P X P X P X -<<=-<-->=，故D 正确.故选：BD10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足13a =，且()()*1310n n n a na n ++-=∈N ，则下列结论中正确的是（）A.{}n na 为等比数列B.n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列C.3nn a n =⋅ D.()1213344n n n S +-=⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】由题设得{}na n是首项、公比为3的等比数列，即可判断A 、B 、C ；应用错位相减法、等比数列前n 项和判断D.【详解】由题设113n n a a n n +⋅=+，且131a =，故{}n a n 是首项、公比为3的等比数列，所以3n na n=，则3n n a n =⋅，故{}n na 不是等比数列，A 错，B 、C 对；由1213233nn S n =⨯+⨯++⋅ ，则23131323(1)33n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，所以112113(13)(12)33233333132n n nn n n n S n n +++----=+++-⋅=-⋅=- ，所以1(21)334n n n S +-+=，D 对.故选：BCD11.已知曲线C 的方程为：()()2222104340x y y x y y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=<⎩，()1,0M -，()1,0N ，过M 的直线交曲线C 于A 、B 两点（A 在B 的上方），已知AMN α∠=，ANM β∠=，下列命题正确的是（）A.()sin sin 2sin αβαβ+=+B.tan3tan 22αβ+的最小值是2C.ABN周长的最大值是4+D .若π3α=，将AMN 沿MN 翻折，使面AMN ⊥面MNB ，则折后3132AB +=【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，利用正弦定理，结合椭圆概念，即可判断；对于B ，由()sin 1sin sin 2αβαβ+=+，利用三角恒等变换可得1tantan 223αβ⋅=，再由基本不等式可得tan 3tan 22αβ+的最小值；对于C ，由ABN 周长4BM NB =++，对于BM NB +=，利用基本不等式即可得到ABN 周长的最大值；对于D，由直曲联立可得A y =，又224B B x y +=，则折后AB ==D.【详解】由已知，在AMN 中，已知AMN α∠=，ANM β∠=，由正弦定理得()sin sin sin MN AM AN αβαβ+=++，又2122MN c AM ANa ==+，即()sin 1sin sin 2αβαβ+=+，所以()sin sin 2sin αβαβ+=+，故A 正确；由()2sincos sin 22sin sin sin sin 2222αβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-+-+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sincos cos 2222sin cos cos222αβαβαβαβαβαβ+++==+--coscos sin sin 1tan tan 12222222cos cos sin sin 1tan tan222222αβαβαβαβαβαβ--===++，得：1tan tan 223αβ⋅=，在AMN 中，0π,0παβ<<<<，则ππ0,02222αβ<<<<，所以tan 0,tan 022αβ>>，故tan3tan 222αβ+≥=，当且仅当tan12α=，1tan 23=β时取到最小值是2，故B 正确；ABN 周长4BM MA AN NB BM NB =+++=++，设s ，22x -<<，又()1,0M -，()1,0N ，则BM NB +==≤==，即0x =时，等号成立，故ABN周长的最大值是4+C 正确；设AB 的方程是：13x y +=与22143x y +=联立得：2590y --=，解得：5A y =-（舍去）或A y =，则点A 为椭圆上顶点，A AO y ==，又B 在圆224x y +=上，所以2224B B OB x y =+=，又沿MN 翻折后，平面AMN ⊥平面MNB ，平面AMN ⋂平面MNB MN =，AO MN ⊥，则AO ⊥平面MNB ，又BO ⊂平面MNB ，则AOBO ⊥，所以AB ===D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：B 选项中利用三角恒等变换弦化切，再利用基本不等式求最值；C 选项先利用椭圆定义和两点间距离公式，再利用基本不等式求最值.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线221425y x -=的渐近线方程为______.【答案】25y x =±【解析】【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案.【详解】由220425y x -=得224,25a b ==，即2,5a b ==，焦点在y 轴上，所以渐近线方程为25y x =±.故答案为：25y x =±13.已知212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-展开式的二项式系数之和为64，则展开式中3x 项的系数为______.（用数字作答）【答案】160-【解析】【分析】根据二项式系数之和可得6n =，结合展开式的通项运算求解即可.【详解】由题意可知：264n =，解得6n =，则6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()612316662C C ,0,12121,,6r r rr r rr r T x r x x ---+⎛⎫-=-⋅⋅ =⋅=⋅⎭⋅⋅⎪⎝，令1233r -=，解得3r =，所以展开式中3x 项的系数为()3336C 21601=--⋅⋅.故答案为：160-.14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.【答案】512【解析】【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果.【详解】标有数字的4只球排序共有44A 24=种情况.要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有33A 6=种情况.②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有222A 4=种情况.故所求概率为6452412+=.故答案为：512.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos sin 0a C a C b c +--=.（1）求角A ；（2）若4a =，ABC V 的面积为2，求sin sin B C 的值.【答案】（1）π2A =（2）sin sin 16B C =【解析】【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解；（2）由面积公式和正弦定理即可求解.【小问1详解】由条件得cos sin a C a C b c +=+，从而()cos sin cos cos cos cos a C a C b c a C c A c a C c A c +=+=++=++.所以sin cos a C c A c =+，由正弦定理得sin sin sin cos sin A C C A C =+，故sin cos 1A A =+.从而()222211sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos A A A A A A A A ==-=+-=-，得sin cos 0A A =，故cos 0A =.所以π2A =.【小问2详解】设ABC 的面积为S ，则22sin sin sin 1sin 2sin sin ·16161616B C A bc bc A S B C bc bc bc b c a a ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16.已知函数2()2ln f x x ax x =-+，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线20x y +=，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）72a =；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出a 值.（2）分类讨论判断()f x '值的正负情况，求出函数的单调区间.【小问1详解】函数2()2ln f x x ax x =-+，求导得2()2f x x a x'=-+，由曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线20x y +=，得1(1)222f a '=-+=，所以72a =.【小问2详解】函数2()2ln f x x ax x =-+的定义域为(0,)+∞，222()x ax f x x'-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，方程2220x ax -+=中，216a ∆=-，若04a <≤，则0∆≤，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；若4a >，则0∆>，关于x 的方程2220x ax -+=有两个正根，14a x =，24a x +=，当10x x <<或2x x >时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<，因此函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，所以当4a ≤时，函数()f x 的递增区间是(0,)+∞；当4a >时，函数()f x 的递增区间是0,,44a a ∞⎛⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递减区间是,44a a ⎛+ ⎝⎭.17.如图，三棱锥P ABC -中，CP CA CB ==，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PBC ⊥平面ABC .（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）若ACB ∠为钝角，且二面角B PA C --的大小为45︒，求cos ACB ∠.【答案】（1）证明见解析（2）1cos 3ACB ∠=-【解析】【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得OM ⊥平面PAC ，利用线面垂直的性质可得OM PC ⊥、ON PC ⊥，结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得BH ⊥平面PAC ，得45BQH ︒∠=，设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则2sin ,BH QH θ==，根据BH QH =建立方程，解之即可求解.法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于θ的方程，结合三角恒等变换的化简计算即可求解.【小问1详解】如图，在平面ABC 内取点O ，过O 作OM AC ⊥于M ，过O 作ON BC ⊥于N ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，OM ⊂平面ABC ，OM ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，OM PC ∴⊥，同理可证ON PC ⊥，又ON OM O = ，ON OM ⊂、平面ABC ，PC ∴⊥平面ABC ；【小问2详解】法一：如图，过点B 作BH AC ⊥于点H ，过H 作HQ PA ⊥于点Q ，连接BQ ，PC ⊥ 平面ABC ，BH ⊂平面ABC ，PC BH ∴⊥，又AC PC C ⋂= ，、⊂AC PC 平面PAC ，BH ∴⊥平面PAC ，则BQH ∠为二面角B PA C --的平面角，即45BQH ︒∠=设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则sin 2sin BH BC θθ==，cos(π)2cos CH CB θθ=-=-，所以22cos AH AC CH θ=+=-，又PC AC =，所以45PAC ︒∠=，所以QH ==，由BH QH =2sin θ=，cos 1θθ+=，又22sin cos 1θθ+=，解得1cos 3θ=-或cos 1θ=（舍去），综上1cos 3θ=-.法二：如图，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()2cos ,2sin ,0B θθ，()002P ,,，易知平面PAC 的法向量为()0,1,0m =，设面PAB 的法向量为(),,n x y z =r，则()()()()()2,0,2,,2202cos 2,2sin ,0,,2cos 22sin 0PA n x y z x z AC n x y z x y θθθθ⎧⋅=-⋅=-=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩ ，22cos 1,,12sin n θθ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ，则cos ,2m n m n m n⋅==⋅，整理得222sin 4cos 4cos 0θθθ-+=，由22sin 1cos θθ=-，得23cos 2cos 10θθ--=，解得1cos 3θ=-或cos 1θ=（舍），综上，1cos 3θ=-.18.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为：()22116x y ++=，定点()10F ,，B 是圆C 上任意一点，线段BF 的垂直平分线l 和半径BC 相交于点T .（1）求点T 的轨迹W 的方程；（2）已知点()2,0A -，过点F 的一条直线，斜率不为0，交曲线W 于P 、Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线3x =交于M ，N 两点，求证：直线FM 与直线FN 的斜率之积为常数.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T 的轨迹为椭圆，然后求得,a c ，即可得到标准方程；（2）根据题意，设直线:1PQ x my =+，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到,M N 的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明.【小问1详解】由题意：点T 在线段BF 的垂直平分线上，则TB TF =，可得42TC TF TC TB CB CF +=+==>=.由椭圆定义可得，点T 的轨迹是以()1,0C -，1,0为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为24a =，焦距为22c =，2413b =-=，所以点T 的轨迹W 的方程为22143x y +=【小问2详解】由（1）知−2,0，1,0，设直线:1PQ x my =+，1,1，2,2，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()2234690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+根据题意可设()3,M M y ，()3,N N y ，则由11322M y yx =++，可得11115523M y y y x my ==++，同理可得2253N y y my =+，所以直线FM 与直线FN 的斜率之积，()()()12122121212002525113131433439N M FM FN y y y y y y k k my my m y y m y y --=⋅=⋅=⋅--+++++22222229251125925925349644918273643616393434m m m m m m m m m ⎛⎫- ⎪-⨯⨯+⎝⎭=⋅=⋅=-=---++⨯⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.所以直线FM 与直线FN 的斜率之积为定值2516-.19.一般地，任何一个复数i a b +（a ，b ∈R ）可以写成()cos isin r θθ+，其中r 是复数的模，θ是以x 轴非负半轴为始边，射线OZ 为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在02πθ≤<范围内的辅角称为辅角主值，通常记作arg z ，如arg10=，πarg i2=，()πarg 13=.发现()()()()12111222121212cos cos cos z z r isin r isin r r isin θθθθθθθθ⎡⎤⋅=+⋅+=+++⎣⎦，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n 为正整数，重复n 次上述操作，可得到n 个复数，将它们的乘积记为n z .（1）写出一次操作后所有可能的复数；（2）当2n =，记n z 的取值为X ，求X 的分布列；（3）求2n z 为实数的概率n Q .【答案】（1）1，i ，，1i +（2）答案见解析（3）1111323n n Q -⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，直接得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的取值为12，3，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列；（3）根据题意，由条件可得()2arg 0n z =或π，分别得到一次操作后得到的复数的辅角主值，然后在n 次操作中，分别设得到i 的次数为n a ，1+的次数为n b i +的次数为n c ，即可得到()0023n n n b c t k a +=+-，然后得到1n Q +与n Q 之间的关系，即可得到结果.【小问1详解】一次操作后可能的复数为：1，i ，1+i +，【小问2详解】一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，12，2由1212z z z z ⋅=⋅，故X 的取值为12，3，4()119P X ==，(29P X ==，()229P X ==.()139P X ==，(29P X ==，()149P X ==，所以X 的分布列为【小问3详解】若2n z 为实数，则()2arg 0n z =或π.而1，i ，1+i +的辅角主值分别是0，π2，0，π2，π3，π6，设在n 次操作中，得到i 的次数为n a ，得到1+的次数为n b i +的次数为n c ，于是()200π222a ππππrg 363n n n n n n nb c z a b c k a k +⎛⎫=⋅+⋅+⋅-=+- ⎪⎝⎭，从而{}0020,13n nn b c a k t ++-=∈，即()0023n n n b c t k a +=+-因此，所有的概率n Q 即为2n n b c +是3的倍数的概率，下面研究1n Q +与n Q 之间的关系.（ⅰ）2n n b c +是3的倍数，且第1n +次操作得到的复数是1，i （概率为23）；（ⅱ）2n n b c +被3除余1，且第1n +次操作得到的复数是1+（概率为16）；（ⅲ）2n n b c +被3除余2，且第1n +i +（概率为16）；因此由全概率公式可以得到：()1211113626n n n n Q Q Q Q +=+-=+变形得1111326n n Q Q +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中123Q =，故1111323n n Q -⎛⎫=+⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题主要考查了复数与离散型随机变量以及数列的综合应用，难度较大，结合数列的递推关系式从而得到1n Q +与n Q 之间的关系.。

惠州市2025届高三第二次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟.2024.10注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合{}25A x x =≤<∣，集合{}240B x x x =-<∣，则A B =（）A.()0,5 B.[)2,4 C.()4,5 D.()[),02,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，结合交集概念即可求解.【详解】因为合{}25A x x =≤<∣，{}240{04}B x x x x x =-<=<<∣∣，所以{24}A B xx ⋂=≤<∣.故选：B.2.已知复数z 满足210z +=，则1z +=（）A.3B.2C.D.1【答案】C 【解析】【分析】求出z ，再求1z +可得答案.【详解】因为210z +=，所以i z =±，所以11i z +=±==.故选：C .3.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a A.100 B.99C.98D.97【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由已知，1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，棱11,BC A B 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11ABB A所成角的正弦值为（）A.5B.5C.6D.306【答案】C 【解析】【分析】结合正方体的结构特征找到直线EF 与平面11ABB A 所成角，解直角三角形，即可求得答案.【详解】连接FB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，⊥BC 平面11ABB A ，棱BC 的中点为E ，则BE ⊥平面11ABB A ，而BF ⊂平面11ABB A ，故BE BF ⊥，则EFB ∠即为直线EF 与平面11ABB A 所成角，设正方体棱长为2，则1BE ,BF ====，则EF ==，故sin 6BE EFB EF ∠===，故选：C5.已知向量,a b满足：)(),23a b a b b ==-⋅=，则向量b 在向量a 上的投影向量为（）A.5,88⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.5,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.1,88⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.31,44⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由数量积的运算律可得52a b ⋅=，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.【详解】由()23b a b b =-⋅=，得22||223a b b a b ⋅-=⋅-=，即52a b ⋅=，由已知得2a =，所以向量b 在向量a上的投影向量为)2552,||488a b a a b a a a a ⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A6.已知函数()()22log 2,f x x ax a =-∈R ，则“0a ≤”是“函数()f x 在()1,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数与二次函数的性质，结合复合函数的单调性判别，建立不等式，利用充分条件与必要条件的定义，可得答案.【详解】若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，则1120a a ≤⎧⎨-≥⎩，解得12a ≤，所以“0a ≤”是“函数()f x 在()1,+∞上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.7.已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段,AB AC 和优弧BC 所围成的平面图形，其中点,B C 所在直线与水平面平行，AB 和AC 与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为43，则sin BAC ∠=（）A.35B.45C.1625D.2425【答案】D 【解析】【分析】设圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，设球冠的半径为R ，根据几何性质可得53OA R =，从而可得sin BAO ∠，根据同角三角函数的基本关系与二倍角公式即可得sin BAC ∠的值.【详解】设优弧BC 所在圆的圆心为O ，半径为R ，连接,,OA OB OC ，如图所示．易知“水滴”的“竖直高度”为OA R +，“水平宽度”为2R ，由题意知423OA R R +=，解得53OA R =，因为AB 与圆弧相切于点B ，所以OB AB ⊥，在Rt ABO △中，3sin 553OB R BAO OA R ∠===，又π0,2BAO ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5BAO ∠==，由对称性知，BAO CAO ∠=∠，则2BAC BAO ∠=∠，所以3424sin 2sin cos 25525BAC BAO BAO ∠∠∠==⨯⨯=，故选：D.8.在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C 【解析】【分析】分别设出理科男女生，文科男女生的人数，根据题意列出不等式即可求解.【详解】根据已知条件设理科女生有1x 人，理科男生有2x 人；文科女生有1y 人，文科男生有2y 人；根据题意可知：12121122,x x y y x y x y +>++>+，根据同向不等式可加的性质有：12111222x x x y y y x y +++>+++，即12x y >，所以理科女生多于文科男生，故C 正确，其他选项没有足够证据论证.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3,4,3,1,5,3,2,5,1,3.则关于这组数据的结论正确的是（）A.极差是4B.众数小于平均数C.方差是2D.数据的第80百分位数为4.5【答案】AD 【解析】【分析】根据极差、众数、平均数、方差、百分位数的定义求解判断选项即可.【详解】数据从小到大排列为：1,1,2,3,3,3,3,4,5,5.A 项，该组数据的极差为514-=，故A 正确；B 项，众数为3，平均数为12234452310⨯++⨯++⨯=，所以众数与平均数相等，故B 错误；C 项，方差为222221(13)2(23)1(33)4(43)1(53)2 1.810⎡⎤-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦，故C 错误；D 项，由1080%8⨯=，8是整数，则这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数，即454.52+=，故D 正确.故选：AD.10.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，现将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=-B.2ω=C.函数π12y xf x ⎛⎫=+⎪⎝⎭是奇函数D.()π2cos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】由图象可以得到,,A ωϕ，求出()f x 的解析式，可判断A ，B ，由奇偶函数的判断方法可以判断C ，由平移变化和诱导公式可以判断D.【详解】由图象可知：max ()2f x =，则2A =；又()02sin 1f ϕ==-，故1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以A 项正确；7π7ππ2sin 012126f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点作图法可知：π7126ππω-=，解得：2ω=，所以B 项正确；因此可得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则π2sin212xfx x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设()π2sin212h x xf x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()()()()2sin 22sin2h x x x x x h x -=--==，所以函数π12y xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数，故C 项错误；由()ππππππ2sin 22sin 22cos 2666626g x f x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ2cos 22cos 233x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 项正确；故选：ABD.11.如图，心形曲线22:()1L x y x +-=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（）A.点,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和 䕠 均在L 上B.点P C. 的最大值与最小值之和为3D.PA PB +≤【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D.【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B -对于A ：22x =时，21122y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭得0y =或y =，=1x -时，()2111y +-=得1y =，所以,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和()1,1-均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+-=，所以y x =+()()222221112y y x x x x =+=+-+≤++-=，所以22x =时，y 最大，最大值为2222+=B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=-=，所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos23131sin2cos2sin2sin 222222θθθθθϕ+=++=++=+，因为θ可取任意角，所以OP 12=，OP 12=，C选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在5(1)x +的二项展开式中，各项的系数和为__________.【答案】32【解析】【分析】直接令1x =即可求出二项展开式各项的系数和.【详解】令1x =，则二项式展开式各项的系数和为5232=.故答案为：3213.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________【答案】5【解析】【详解】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.故5c e a ==.即椭圆的离心率为5.【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程，然后化为有关,a c 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e 的方程，从而求解方程即可.体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.14.若关于x 的方程ln 2b ax ⎛⎫+= ⎪⎝⎭22a b +的最小值为______.【答案】2e 【解析】【分析】设实根为0x ，则002b ax +-=，转化为动点(,)P a b 在直线002y x x +-=，利用22a b +的几何意义，将问题转化为求原点(0,0)O到直线距离d =的最小值，再构造函数e ()tf t t =求解并验证最值取到即可.【详解】设方程ln 2b ax ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的实根为0x，则0ln 2b ax ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以02b ax +=，即002b ax +-=.设点(),P a b ，则点P在直线002y x x +-=上.设点 䕠到直线002y x x +-=的距离为d，则d =，设t =，则()e 12tf t t t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，所以()()2e 1t tf t t='-，当112t ≤<，()0f t '<，则()f t 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减；当1t >时，()0f t '>，则()f t 在[)1,+∞上单调递增，所以()min ()1e f t f ==，则()e d f t =≥，又222||a b OP +=，由几何意义可知OP d ≥，所以22222||e a b OP d +=≥≥.检验：当1t =时，032x =±，由222e 022e b a a b +-=⎨⎪+=⎩，解得e 2e 2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时222e a b +=；由222e 022e b a a b ⎧-+-=⎪⎨⎪+=⎩，解得e 2e 2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时222e a b +=.所以22a b +最小值为2e .故答案为：2e .四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()212ln 2f x x x x =--．（1）求曲线 䕠+ 在点 䕠+ 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值．【答案】（1）4230x y +-=（2）2ln 2-【解析】【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程.（2）分析函数的单调性，可得函数的最小值.【小问1详解】因为：()1111022f =--=-，所以切点坐标为：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()21f x x x=--'，()12f '=-，即为所求切线的斜率.所以切线方程为：()1212y x +=--，化简得：4230x y +-=【小问2详解】()()()221221x x x x f x x x x x-+--='=--=，（0x >）由+ ⇒2x >；由+ ⇒02x <<.所以()f x 在 䕠+上单调递减，在[]2,e 上单调递增.所以函数()f x 在区间[]1,e 上的极小值为()22ln 2f =-，也是最小值.16.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,ABCD AB ∥,1CD AD CD ==，120,90BAD ACB ∠∠==.（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若PA =PCD 与平面PCA 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PCD 与平面PCA 的法向量，然后由公式求平面PCD 与平面PCA 夹角的余弦值即可.【小问1详解】证明：已知PA ⊥底面ABCD ，且⊂BC 底面ABCD ，所以PA BC ⊥.由90ACB ∠=，可得BC AC ⊥又,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC .【小问2详解】取CD 的中点E .由AB ∥,120CD BAD ∠=，可得ADC 60∠=，又因为1AD CD ==，所以三角形ADC 是正三角形，故,AE CD AE AB ⊥⊥.在Rt ACB △中，60,1BAC AC ∠==，所以2AB =.可建立如图所示的空间直角坐标系，求得()(()110,0,0,,,,0,,,0,0,2,02222A P C D B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）可知，3,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭是平面PAC 的一个法向量，设平面PDC 的一个法向量为(),,n a b c =，则00DC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01022b a b =⎧+-=⎩，令a =2n ⎫=⎪⎪⎭，设平面PCD 与平面PCA 的夹角为θ，所以352cos cos ,5BC n BC n BC nθ⋅===⋅.所以平面PCD 与平面PCA夹角的余弦值为5.17.已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，且OAB △，求实数k 的值.【答案】（1）()()(11,1-⋃-⋃（2）0k =或62k =±【解析】【分析】（1）将双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据题意即可求解；（2）方法一：根据面积2121OABSAB d k=⋅==-，其中d 为O 到直线l 的距离，然后用含k 的式子表示出,AB d ，解方程即可求出k 的值；方法二：根据得1212OABS x x =-=k 的式子表示出12x x -，解方程即可求出k 的值.【小问1详解】直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，则方程组2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩有两组不同的实数根，整理得()21220kx kx -+-=.()()22210Δ44120k k k ⎧-≠⎪⎨=--⋅->⎪⎩，解得k <<且1k ≠±，双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k的取值范围是()()(11,11,-⋃-⋃.【小问2详解】解法一：设交点()()1122,,,A x y B x y ，由（1）知双曲线C 与直线l 联立的方程为()21220k x kx -+-=.由韦达定理得：12122222,11k x x x x k k+=-=---，则21AB x =-=21k ==-又O 到直线l 的距离d =，所以OAB △的面积2121OABSAB d k =⋅==-，解得0k =或2k =±，又因为k <<且1k ≠±，所以0k =或2k =±.所以当0k =或2k =±时，OAB △.解法二：设交点()()1122,,,A x y B x y ，直线l 与y 轴交于点()0,1D -，由（1）知双曲线C 与直线l 联立的方程为()21220k x kx -+-=.由韦达定理得：12122222,11k x x x x k k+=-=---，当,A B 在双曲线的一支上且12x x >时，()12121122OABOAD OBDSSSx x x x =-=-=-；当,A B 在双曲线的两支上且12x x <时，()12121122OABOAD OBDSSSx x x x =+=+=-综上，1212OABSx x =-.由已知得1212OABSx x =-=()2128x x -=，即()2121248x x x x +-=所以222224811k k k⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，解得0k =或62k =±，又因为k <<且1k ≠±，所以0k =或62k =±.所以当0k =或2k =±时，OAB △.18.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a b c <<且tan ,tan ,tan A B C 均为整数.（1）求tan ,tan ,tan A B C 的值；（2）设AC 的中点为D ，求CDB ∠的余弦值.【答案】（1）tan 1,tan 2,tan 3A B C ===（2）1010【解析】【分析】（1）三角形三个内角和得到角A 的范围，结合题意得到tan A 及A 的值，在通过三角形三个内角和得到角B 的范围，由二倍角公式得出tan B 的值，用和差角公式得出tan C 的值；（2）由正切值算出正余弦值，由正弦定理得出三边关系，再由余弦定理得出边BD a =得到等腰三角形，从而得出结果.【小问1详解】由a b c <<，则A B C <<.由πA B C ++=，则3A B C A ++>，故π03A <<，所以0tan A <<因为tan A 为整数，所以tan 1A =，由tan 1A =，可得π3π,44A B C =+=.因为A B C <<，所以3π24B C B =+>，则π3π48B <<，所以3π1tan tan 8B <<.由23π2tan 3π8tan13π41tan 8==--，则23π3πtan 2tan 1088--=，解得3πtan 18=+3πtan 18=-，故1tan 1B <<+又213,tan B <+<为正整数，所以tan 2B =，所以()tan tan 12tan tan 31tan tan 112A B C A B A B ++=-+=-=-=--⨯，综上，tan 1,tan 2,tan 3A B C ===.【小问2详解】由（1）可知，tan 2,tan 3B C ==，则sin ,cos ,sin 51010B C C ===，在ABC V 中，由正弦定理πsin sin sin4ab c B C ==，可得sin sin ,ππ55sin sin 44a B a Cbc ====，又AC 的中点为D，所以125CD b ==，在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos BD CD CB CD CB C=+-⋅⋅2225510a a a ⎛⎫=+-⨯⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭2a =，所以BD a =，所以10cos cos 10CDB C ∠==.【点睛】关键点点睛：本题第1小问解决的关键在于，紧紧抓住tan ,tan ,tan A B C 均为整数的条件，依次分析,,A B C 的正切值，从而得解.19.若数列{}()**1,,Nn a n k n k ≤≤∈∈N 满足{}0,1na ∈，则称数列为k 项01-数列，由所有k 项01-数列组成集合k M .（1）若 是12项01-数列，当且仅当()*3,4n p p p =∈≤N 时，0n a =，求数列{}(1)nna -的所有项的和；（2）从集合k M 中任意取出两个数列{}{},n n a b ，记1i iikX a b==-∑.①求随机变量X 的分布列，并证明：()2k E X >；②若用某软件产生()2k k ≥项01-数列，记事件A =“第一次产生数字1”，B =“第二次产生数字1”，且()()01,01P A P B <<<<.若()()||P B A P B A <，比较()|P A B 与()|P A B的大小.【答案】（1）0（2）①分布列见解析，证明见解析；②()()||P A B P A B<【解析】【分析】（1）根据题意，将问题转化为数列{}(1)n n a -求和问题，进而求解即可；（2）①由题知X 的可能取值为：1,2,3,,k ，进而结合题意得到1222()21C C k m k m k k k P X m C -===-，再结合等式11 C C mm k k m k --=求数学期望，并结合不等式放缩即可证明；②利用条件概率公式，结合不等式的性质变形即可证明.【小问1详解】因为{}n a 是12项01-数列，当且仅当()*3,4n p p p =∈≤N 时，0n a =，所以当32n p =-和()*31,4n p p p =-∈≤N 时，1n a =.设数列{}(1)nn a -的所有项的和为S ，则()24578101112457810111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)S a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+-+-.()2457810111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)=-+-+-+-+-+-+-+-()()()()11111111=-+++-+-+++-0=所以数列{}(1)nn a -的所有项的和为0.【小问2详解】①证明：因为数列{}{},n n a b 是从集合k M 中任意取出的两个数列，所以数列{}{},n n a b 为k 项01-数列，所以X 的可能取值为：1,2,3,,k .因为集合k M 中元素的个数共有012C C C C 2k kk k k k ++++=个，当()1,2,,X m m k ==时，则数列{}{},n n a b 中有m 项取值不同，有k m -项取值相同，所以()()2222C 2C A 1,2,,C 21k m kk m k kP X m m k ⋅====-，所以随机变量X 的分布列为：X123kP1C 21k k-2C 21k k-321k k C -C 21kk k-因为()()()()()()1*11!!C C ,1!!1!11!mm k k k m k m k k m m k m k m m k m ---⋅==⋅=∈≤≤-⎡⎤----⎣⎦N ，所以()()12123C C C 1121C 2C 3C C 21212121k k kk k k k k kk k k k E X k k =⨯+⨯++⨯=++++----()110121111122C C C C212122k k k k k k k k k kk k k k -------⋅⋅=++++=>=--，即()2kE X >.②解：由条件()()||P B A P B A <得：()()()()()()()1P AB P AB P B P AB P A P A P A -<=-，所以()()()()()1P AB P A P A P B P AB ⎡⎤⎡⎤-<-⎣⎦⎣⎦，化简得：()()()P AB P A P B <，所以()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB -<-，则()()()()()1P AB P B P B P A P AB ⎡⎤⎡⎤-<-⎣⎦⎣⎦即()()()()P AB P B P B P AB <，所以()()()()P AB P AB P B P B <，即()()||P A B P A B <.【点睛】此种类型题目的关键是新概念的理解，并结合离散型随机变量均值、及条件概率的概念求解.。