命题人：江卫兵 审题人：孙居国
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,1,3U A B ===，则()U A B =U ð ▲ ； 2．已知α为第三象限角，则2
tan
α
的符号为 ▲ (填“正”或“负”)；
3．设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且
C
c
A a sin cos =
， 那么A ∠= ▲ ；
4．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则9102a a -的值为 ▲ ； 5．若函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的图象的相邻两条对称轴的距离是π2，则
ω的
值为 ▲ ；
6．若函数2()lg(1)f x mx mx =++的定义域为R ，则m 的取值范围是 ▲ ；
7．设复数2
(,)1i a bi a b R i
-=+∈+，则a b += ▲ ；
8．已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪
⎨⎧≤-+≤-≥09201y x y x x 则z x y =+的最大值是 ▲ ；
9．函数2sin y x x =-在（0，π2）内的单调增区间为 ▲ ；
10．若ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量
()a b c a m -+=,，),(b c a n -=，若⊥，则∠C 等于 ▲ ； 11．已知等比数列{}n a 中，363,24a a ==，则该数列的通项n a = ▲ ； 12．已知函数)(x f 是R 上的减函数，)2,3(),2,0(--B A 是其图象上的两点，那么不等式
|2|)2(>-x f 的解集是 ▲ ；
13．若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，
则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，
*k N ∈，则2008(8)f = ▲ ；
14
请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ；
南京师大附中2008—2009学年度第1学期
高三年级期中考试数学答题卷
班级 学号 ＿＿＿＿＿＿ 姓名 得分 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1． ；2． ；3． ；4． ； 5． ；6． ；7． ；8． ； 9． ；10． ；11． ；12． ； 13． ；14．lg = ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．（本小题满分14分）已知2
0π
α<
<,且3
sin 5
α=
（1）求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值； （2）求⎪⎭
⎫
⎝⎛
-πα45tan 的值.
16．（本小题满分14分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =o ∠，BD 交AC 于E ，2AB =．
B
A
C D
E
（Ⅰ）求CBE ∠cos 的值； （Ⅱ）求AE ．
17．（本小题满分14分）已知函数421,0()3,1c c
cx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩ 满足2
9()8f c =； （1）求常数c 的值； （2）解不等式()2f x <．
18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为
x ()01x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x . 记改进工艺后，旅游部门
销售该纪念品的月平均利润是y（元）.
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角
形数表（每行比上一行多一个数）．设(,)ij a i j N *∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数的第j 个数（如428a =）．
⑴试用i 表示ii a （不要求证明）； ⑵若2008ij a =，求,i j 的值；
⑶记三角形数表从上往下数第n 行的各数之和为n b ，令1,(1)
,(2)n n n c n n b n
=⎧⎪
=⎨≥⎪-⎩，若数
列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ．
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
…………
20．（本题满分16分）已知函数()ln f x x =，)0(2
1)(2
≠+=
a bx ax x g （I ）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求
b 的取值范围；
（II ）在（I ）的结论下，设]2ln ,0[,)(2∈+=x be e x x x ϕ，求函数)(x ϕ的最小值； （III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的
中点R 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.
