ch1_2离散信号频域分析

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第三章第二节离散信号频域分析

若 Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m) x2 (n m)
m 0
N 1
x2 (m) x1 (n m)
m 0
N 1
证： y(n) IDFS[ X 1 (k ) X 2 (k )]
j

2
j j e 2 e 2
e
3 j 2
sin 2 sin / 2
求x n 的8点DFT N 8
X k X e j
3 j k 2 4

2 k 8
e
2 sin 2 k 8 1 2 sin k 2 8 sin k 2 sin k 8
若则有
2．周期序列的移位设
则如果m>N，则m=m1+Nm2
3．周期卷积设和 DFS系数分别为
都是周期为N的周期序列，它们的
令
则
上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列和对m都是周期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的，周期卷积仅在一个周期内求和。相乘和相加运算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出 n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓，就得到周期卷积。周期卷积满足交换律
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换

离散信号的频域分析

e
j
3
n
j n
e 3

1
j 2 n1
(e 6

j 2 n(16)
e6
)
2
9
例1：已知正弦序列 x(n) cos n ，分别求出当 2 和 3 时，傅立叶级数表达式及相应的频谱。
x(n)
5
X
j 2 kn
(k)e 6

1
j 2 n1
j 2 kn
x(n) X (k)e N
k 0
考虑到：N→∞，2 N 0 ,记为 d;
(2 N) k （由离散量变为连续量），而
1 N d 2 , 同时
N 1

2
0
傅立叶变换式
k 0
于是，X (e j ) lim N X (k) x(n)e jn
也可简记为 X (e j) DTFT x(n), x(n) IDTFT X (e j)
或 x(n) DTFT X (e j )
15
3.2.2 非周期序列的傅立叶变换

X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 X (e j ) 称为x(n)的离散时间傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform, DTFT）或频谱密度函数，简称频谱。 x(n)称为X (e j ) 的离散时间傅立叶反变换(IDTFT)或原函数。
x(n)e N
N n0
X (k)
1
N 1
j 2 kn
x(n)e N ,

ch1_3离散系统频域分析

离散系统频域分析
[
]
理想数字滤波器
H LP ( e j )
H HP ( e j )
π
c
c
π
π
c
c
π
理想低通滤波器
H BP ( e j )
理想高通滤波器
1
π π1Βιβλιοθήκη H BS ( e j )c c
2
1
c
1
c
π
π
2 1
2
c c
c
1
c
2
理想带通滤波器
离散系统频域分析
理想带阻滤波器
例: 确定理想低通滤波器的单位脉冲响应 LP[k]. 确定理想低通滤波器的单位脉冲响应h .
x[k]=ejk (∞<k<∞) 称为单频信号
y[ k ] = e jk h[ k ] = ∑ e j ( k n ) h[ n ]
n
= e jk ∑ e jn h[ n ] = e jk H ( e j )
n
e
j k
→e
LTI系统
j k
H(e )
j
离散系统频域分析
正弦序列通过离散LTI系统的响应正弦序列通过离散LTI系统的响应
离散系统频域分析
离散系统的相位延迟和群延迟
系统的相位延迟
系统的群延迟τg() (group delay)
φ() τ p() =
dφ() τ g() = d
输入序列x[k]= d[k]cos(c k)通过通过LTI系统的响应输入序列通过系统的响应
y[ k ] ≈ d [ k τ g ( c )] cos c ( k τ p ( c )
信号x[k]=ej ku[k]通过系统的响应通过系统的响应信号通过