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连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
实验四连续时间信号与系统的频域分析一、实验目的掌握连续时间信号的傅里叶变换及傅里叶逆变换的实现方法，掌握连续时间系统的频域分析方法，熟悉MATLAB 相应函数的调用格式和作用，掌握使用MATLAB 来分析连续时间信号与系统的频域特性及绘制信号频谱图的方法。
二、实验原理（一）连续时间信号与系统的频域分析原理1、连续时间信号的额频域分析 连续时间信号的傅里叶变换为：()()dt e t f j F t j ωω-∞∞-⎰=傅里叶逆变换为：()()ωωπωd e j F t f t j ⎰∞∞-=21()ωj F 称为频谱密度函数，简称频谱。
一般是复函数，可记为：()()()ωϕωωj e j F j F =()ωj F 反映信号各频率分量的幅度随频率ω的变化情况，称为信号幅度频谱。
()ωϕ反映信号各频率分量的相位随频率ω的变化情况，称为信号相位频谱。
2、连续时间系统的频域分析 在n 阶系统情况下，数学模型为：()()()()()()()()t f b dtt df b dt t f d b dt t f d b t y a dtt dy a dt t y d a dt t y d a o m m n m m n o n n n n n n ++++=++++------11111111 令初始条件为零，两端取傅里叶变换，得：()()[]()()()[]()ωωωωωωωωj F b j b j b j b j Y a j a j a j a m n m n n n nn01110111++++=++++----表示为()()()()ωωωωj F j b j Y j a kmk kkn k k∑∑===0则 ()()()()()()()()()∑∑==----=++++++++==nk kk mk kk n n n n m m mm j a j b a j a j a j a b j b j b j b j F j Y j H 0001110111ωωωωωωωωωωω3、系统传递函数 系统传递函数定义为:()()()ωωωj H j Y j H =系统传递函数反映了系统内在的固有的特性，它取决于系统自身的结构及参数，与外部 激励无关，是描述系统特性的一个重要参数。
连续时间信号与系统的频域分析实验报告(共9篇)信号与系统实验五__连续时间信号的频域分析实验名称：连续时间信号的频域分析报告人：姓名班级学号一、实验目的1、熟悉傅里叶变换的性质；2、熟悉常见信号的傅里叶变换；3、了解傅里叶变换的MATLAB实现方法。
二、实验内容及运行结果1、编程实现下列信号的幅度频谱：（1）求出f(t)=u(2t+1)-u(2t-1)的频谱函数F（w）;请与f1(t) u(2t+1)-u(2t-1)的频谱函数F1（w）进行比较，说明两者的关系。
%(1)f(t)=u(2t+1)-u(2t-1)与f(t)=u(t+1)-u(t-1) syms t w t1 w1Gt=sym('Heaviside(2*t+1)-Heaviside(2*t-1)');Gt1=sym('Heaviside(t1+1)-Heaviside(t1-1)');Fw=fourier(Gt,t,w);Fw1=fourier(Gt1,t1,w1);FFw=maple('convert',Fw,'piecewise');FFw1=maple('convert',Fw1,'piecewise');FFP=abs(FFw);FFP1=abs(FFw1);subplot(2,1,1);ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.5]);subplot(2,1,2);ezplot(FFP1,[-10*pi 10*pi]);grid;axis([-10*pi 10*pi 0 2.2]);不同点：F1(w)的图像在扩展，幅值是F（w）的两倍。
（2）三角脉冲f2(t)=1-|t|;|t|=1;ft=sym('(1+t)*Heaviside(t+1)-2*t*Heaviside(t)+(t-1)*Heaviside( t-1)');Fw=fourier(ft);subplot(211)ezplot(abs(Fw)); g2)');ft=ifourier(Fw,w,t)ft =exp(-4*t)*heaviside(t)-exp(4*t)*heaviside(-t)（2）F(w)=((i*w)+5*i*w-8)/((i*w)+6*i*w+5)syms t wFw=sym('((i*w)+5*i*w-8)/((i*w)+6*i*w+5)');ft=ifourier(Fw,w,t)ft =dirac(t)+(2*exp(-5*t)-3*exp(-t))*heaviside(t)三、讨论与总论通过本实验，掌握了信号的傅里叶变换的性质以及方法，对傅里叶变换的性质有进一步的提高。
第三章.连续时间系统的频域分析一、任意信号在完备正交函数系中的表示法（§）信号分解的目的：● 将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。
●简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。
1．正交函数集任意信号)(t f 可表示为n 维正交函数之和：原函数()()()t g t g t g r Λ21,相互正交：⎩⎨⎧=≠=⋅⎰nm K nm dt t g t g m t t n m ,,0)()(21()t g r 称为完备正交函数集的基底。
一个信号可用完备的正交函数集表示,.正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，我们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。
2．能量信号和功率和信号（§一）设()t i 为流过电阻R 的电流，瞬时功率为R t i t P )()(2=一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。
令R = 1Ω，则在整时间域内，实信号()t f 的能量，平均功率为： 讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： ✍∞<<W 0(有限值) 0=P✍∞<<P 0(有限值)∞=W满足✍式的称为能量信号，满足✍式称功率信号。
3．帕斯瓦尔定理设{})(t g r 为完备的正交函数集，即信号的能量 基底信号的能量 各分量此式称为帕斯瓦尔定理 P331 式（6-81） (P93, P350) 左边是信号能量，右边是各正交函数的能量。
物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。
二、周期信号的频谱分析——傅里叶级数(1) 周期信号傅里叶级数有两种形式三角形式： ()∑∞=++=1110sin cos )(n n nt n b t n aa t f ωω=∑∞=++110)cos(n n nt n cc ϕω指数形式：t jn n e n F t f 1)()(1ωω∑∞-∞==(2) 周期信号的频谱是离散谱，三个性质收敛性()↓↑)(,1ωn F n谐波性：(离散性)谱线只出现在1ωn 处，唯一性：)(t f 的谱线唯一(3)两种频谱图的关系● 三角形式：ω~n c ，ωφ~n 单边频谱● 指数形式：ωω~)(1n F , ωφ~n 双边频谱两者幅度关系 )(1ωn F =()021≠n c n000a c F ==● 指数形式的幅度谱为偶函数 ●指数形式的相位谱为奇函数(4) 引入负频率对于双边频谱，负频率)(1ωn ，只有数学意义，而无物理意义。
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt et h j H tj ωω)()( 3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
第3章连续时间信号与系统的频域分析3.1 学习要求1、掌握周期信号的频谱及其特点；2、了解周期信号的响应问题；3、掌握非周期信号的频域描述——傅立叶变换；4、熟练掌握傅立叶变换的性质与应用；5、掌握系统的频域特性及响应问题；6、了解系统的无失真传输和理想滤波。
3.2 本章重点1、频谱的概念及其特性；2、傅里叶变换及其基本性质；3、响应的频域分析方法；4、系统频率响应的概念。
3.3 知识结构3.4内容摘要3.4.1信号的正交分解两个矢量1V 和2V 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：o 1212cos900⋅=⋅=V V V V若有一个定义在区间()12,t t 的实函数集{}()(1,2,,)i g t i n =L ，在该集合中所有的函数满足⎪⎩⎪⎨⎧=≠===⎰⎰2121,,2,1,0)()(,,2,1)(2t t j i t t i in j j i dt t g t g n i k dt t g ΛΛ 则称这个函数集为区间()12,t t 上的正交函数集。
式中i k 为常数，当1i k =时，称此函数集为归一化正交函数集。
若实函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 是区间()12,t t 内的正交函数集，且除()i g t 之外{}(),1,2,,i g t i n =L 中不存在()x t 满足下式2120()t t x t dt <<∞⎰且21()()0t i t x t g t dt =⎰则称函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 为完备正交函数集。
若在区间()12,t t 上找到了一个完备正交函数集{}(),1,2,,i g t i n =L ，那么，在此区间的信号()x t 可以精确地用它们的线性组合来表示11221()()()()()n n i i i x t C g t C g t C g t C g t ∞==++++=∑L L各分量的标量系数为21212()()d ()d t i t it it x t g t tC g t t=⎰⎰系数i C 只与()x t 和()i g t 有关，而且可以互相独立求取。
3.4.2周期信号的傅里叶级数1、三角形式的傅里叶级数0001()(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞===++∑式中， 02Tπω=⎰+=Tt t dt t f T a 00)(10 ⎰+=Tt t n tdt n t x T a 000cos )(2ω ⎰+=Tt t n tdt n t x T b 000sin )(2ω若将同频率项加以合并，又可以写成三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：∑∞=++=100)cos()(n n n t n c c t x ϕω式中，00cos sin arctannn n n n n n n n nb ac c a c b c a ϕϕϕ====-=-，，，。
在信号与系统中，定义：0c 为直流信号，Tπω20=为基数，)cos(101ϕω+t c 为基波，)3,2(),cos(0K =+n t n c n n ϕω为n 次谐波。
各参数n a 、n b 、n c 以及n ϕ都是n （谐波序号）的函数，也可以说是0ωn （谐波频率）的函数。
如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴绘出n c 和n ϕ等的变化关系，便可直观地看出各频率分量地相对大小和相位情况，这样的图分别称为信号的幅度频谱图和相位频谱图。
2、指数形式的傅里叶级数t jn n n tjn n e X en X t x 00)()(0ωωω∑∑∞-∞=∞-∞===式中)(0ωn X dt e t x Ttjn T t t 000)(1ω-+⎰=3、周期信号的功率谱0022222222*11()()1()T Tjn t T T n n T jn t T n n n n n nn n n P x t dt x t X e dtT T X x t e dt T XX XX X ωω∞--=-∞∞-=-∞∞∞∞-=-∞=-∞=-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦===∑⎰⎰∑⎰∑∑∑上式反映了周期信号的平均功率与离散谱之间的关系，称为功率信号的帕塞瓦尔关系式。
通常将2n X 随0n ω分布的特性称为周期信号的功率谱。
4、傅立叶级数系数与函数对称性的关系对于偶函数，满足)()(t x t x -=，⎰=20cos )(4T n tdt n t f T a ω，0=n b ，即偶函数的傅里叶级数中不含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。
复振幅n X 是实数，其初相位n ϕ为零或π。
对于奇函数，满足)()(t x t x --=，⎰=20sin )(4T n tdt n t f T b ω，00==n a a ，即偶函数的傅里叶级数中不含余弦项和直流项，只可能包含余弦项。
复振幅n X 是虚数，其初相位n ϕ为2π或2π-。
对于奇谐函数，满足)()2(t f Tt f -=±，当n 为偶数时，00=a ，0,==n n b a ；当n 为奇数时，tdt n t x T a T n 02/0cos )(4ω⎰=，⎰=200sin )(4Tn tdt n t f T b ω，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
5、周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。
但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。
无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即⎰+==T t t N NN t t T t E 00d )(1)(22εε。
式中，()N N S t x t -=)(ε，()()[]∑=++=Nn n n N t n b t n a a S 1000sin cos ωω。
研究表明，N 越大，()t N ε越小，当∞→N 时，()0→t N ε。
6、周期信号频谱的特点第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率0ω的整数倍频率上。
第三：收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随0n ω的变化有起伏变化，但总的趋势是随着0n ω的增大而减小，当0n ω→∞时，0||→n X 。
3.4.3非周期信号的傅里叶变换1、傅里叶变换定义傅里叶变换： dt e t x j X t j ⎰∞∞--=ωω)()(傅里叶逆变换： ωωπωd e j X t x t j ⎰∞∞-=)(21)()(ωj X 一般为复函数，可写成)()()(ωϕωωj e j X X =，其中，)(ωj X 为幅度频谱，ϕ为相位频谱。
)(ω2、典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期函数和常用函数的傅里叶变换如表3.4.1所示。
傅里叶变换的性质如表3.4.2所示。
.3.4.5周期信号的傅里叶变换周期信号()x t 的频谱∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n nn nXXj X )(2)(2)(00ωωδπωωπδω3.3.6 调制与解调幅度调制的过程：设载波信号为0cos t ω，调制信号为()g t ，二者的傅里叶变换分别为000cos [()()]t ωπδωωδωω↔++-和()G ω。
已调信号为0()()cos f t g t t ω=，其频谱为[])()(21)(00ωωωωω-++=G G F 这样，信号()g t 的频谱被搬移到载频0ω附近。
解调及解调的过程：由已调信号()f t 恢复原始信号()g t 的过程称为解调。
选用与载波信号相同的本地载波信号0cos t ω与接收到的已调信号()f t 相乘，有t t f t g 020cos )()(ω=，其频谱为[]00011()()(2)(2)24G G G G ωωωωωω=+++-利用一个低通滤波器可以取出)(ωG 。
3.4.7线性时不变系统的频域分析法频域分析是在频域中求解系统的响应，它反映输入信号的频谱(j )X ω通过系统后，输出信号频谱(j )Y ω随频率变化的情况。
1、系统的频率响应函数对于一个线性时不变系统，零状态响应()y t 等于激励()x t 与系统单位冲激响应()h t 的卷积，即()()*()y t x t h t =。
根据卷积定理，有()()()Y j X j H j ωωω=，其中，()H j ω表征的是系统频域特性，称为系统频率响应函数，简称频响函数或系统函数，定义为 ()()()()()j Y j H j H j e X j ϕωωωωω==即系统函数是系统零状态响应的傅里叶变换与激励信号傅里叶变换之比。
式中，()H j ω是系统的幅（模）频特性，()ϕω是系统的相频特性。
2、系统的频域分析用频域分析法求解系统零状态响应的步骤为： 第一步，求激励信号()x t 的傅里叶变换()X j ω； 第二步，求系统的频率响应函数()H j ω；第三步，求零状态响应()y t 的傅里叶变换()()()Y j X j H j ωωω=； 第四步，求()Y j ω的傅立叶逆变换，即可得到()y t 。
3.4.8 无失真传输无失真：响应信号与激励信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。
无失真传输条件：0()()h t K t t δ=-，其中，K 为常数，0t 为延迟时间。
无失真传输对()H j ω的要求： tj Kej H 0)(ωω-=，即在信号的全部频带内，要求系统频率响应的幅频特性为与频率无关的常数K 。
相频特性与ω成正比，是一条过原点的负斜率直线，或者说，系统的群延时()d d ϕωτω=-为常数。
3.4.9理想低通滤波器理想低通滤波器是将滤波网通的某些特性理想化的结果。
实际上，理想低通滤波器是不能用电路来实现的。
设滤波器的系统函数为)()()(ωϕωωj e H H =。
理想低通滤波器的频率响应⎩⎨⎧<⋅=-其它1)(0ct j e H ωωωω理想低通滤波器的单位冲激响应)]([)(0t t Sa t h c c-=ωπω 理想低通滤波器的单位阶跃响应[]0()00sin ()1111sin ()22cc t t t t xy t d dx j xωωωωπωπ--=+=+⎰⎰其中0sin Si()=d yxy x x⎰为正弦积分函数. 3.4.10佩利-维纳准则和实际滤波器物理可实现系统需满足因果条件：0)(,0=<t h t 时佩利-维纳准则：对于幅度函数为(j )H ω，物理可实现的必要条件为2ln (j )d 1H ωωω∞-∞<∞+⎰且2(j )d H ωω∞-∞<∞⎰不满足此准则的幅度函数，该网络的单位冲激响应就是无因果的，即响应先于冲激出现。
