§19.2含参变量的反常积分

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幻灯片 1 §19.2 含参变量的反常积分19.2.1 一致收敛性及其判别法19.2.2 含参变量的反常积分的性质19.2.3 含参变量的无界函数反常积分

幻灯片 2 19.2.1 一致收敛性及其判别法 设(,)fxy定义在无界区域

(,),Rxyaxbcy上, [,][,)abc若对每一个固定的[,]xab,广义积分

都收敛, 则它的值是x在[,]ab上取值的函数, (,) (1)cfxydy易证这个函数为()Ix 时,则有

()(,) (2)cIxfxydy称(1)式为定义在[,]ab上的含参变量x的无穷限

广义积分,或简称含参变量反常积分.

板书积分(1)收敛的分析定义.

幻灯片 3 定义1 若含参量广义积分(1)与函数()Ix 对任给的正数 ,总存在某一实数Nc,使得当AN时,对一切 [,]xab ,都有

(,)()AcfxydyIx 即 (,)Afxydy

则称含参量广义积分(1)在[,]ab 上一致收敛于()Ix.

定理19.7 (一致收敛的准则)含参量广义积分(1)在[,]ab上一致收敛的充要条件是:对0,Mc,使得12,,[,]AAMxab,

都有 21(,)AAfxydy

在积分(1)收敛的分析定义基础上,对比地,板书出积分(1)一致收敛的分析定义.

下面首先引入含参变量广义积分的一致收敛概念及Cauchy准则.

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幻灯片 4 例1. 证明含参量的广义积分:0sinxydyy

:(1)证明,由定义1来证0, 0,N取,[,),:ANx有sinAxydyysinAxydyy uxy令sinAxuduu0sin,uduu0,M,:AM有sinAuduusinAxuduuM()AxAM(1).在[,)上一致收敛(0);

(2).而在(0,)内不一致收敛.

[,).此含参量广义积分在一致收敛 证明方法,由定义,分析法证.

幻灯片 5 (2).

,由定义1的否定判断来证0 0,取0,N0 ,AN取0 (0,),x取:使00sinAxydyy0.00sinAxuduu0sinlimttuduu0sinuduup记为02p由保号性,0,:0,tt有:sin2tupduu01sin22puduu1N2(1)N00(,0)2Ax此时2p(0,).所论积分在非一致收敛 证明方法,由定义1的否定判断,分析法证.此证明过程与教材上的证明略的不同.

幻灯片 6 定理19.8 含参变量广义积分(1)在[,]ab上一致收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列nA(其中1Ac),函数项数

111(,)() (7)nnAnAnnfxydyux

在[,]ab上一致收敛.

注:1 ()(,)nnAnAuxfxydy其中11(,)nnAAnfxydy11lim(,)kknAAnkfxydy1lim(,)nAcnfxydy(,)cfxydy1cA2A3A4AnA 含参变量广义积分与函数项级数的关系，由此关系，我们容易把函数项级数的性质与一致收敛性判别法，移植给含参变量广义积分。

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幻灯片 7 :[] 证必要性0, 0,N取,[,],:nmNxab有()()mnuxux11(,)(,)mnmnAAAAfxydyfxydy1(,)nmAAfxydy(7)[,].ab级数在上一致收敛(1)(,)[,],cfxydyab由在上一致收敛故,,[,],:McAAMxab总有(,)AAfxydy (),nAn又由,M对上述1,N正整数1,nmN只要当时有:1,nmAAM1N 由柯西收敛准则,分析法来证.

幻灯片 8 [充分性]用反证法. 假若(1)在[,]ab上不一致收敛,

则00,,Mc相应的AAM和[,]xab,

使得0(,)AAfxydy1max1,Mc取,211AAM则1[,],xab及2110: (,).AAfxydy使得,一般地21max,, (2),nnMnAn取则有221[,],:nnnnAAMxab及使得2210(,) ()nnAnAfxydy

幻灯片 9 由上述所得到的数列nA是递增的,且 limnnA 现考察级数111()(,)nnAnAnnuxfxydy

由(＊)式知, 00,正整数N,只要nN,

就有某个[,]nxab,使得

2122()(,)nnAnnnAuxfxydy0,这与级数1()nnux在[,]ab上一致收敛的假设矛盾,

故含参变量广义积分(1)在[,]ab上一致收敛. 2[,]sup()0nxabux0,()nux0, [,]xab 143798332.doc

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10 ( Weierstrass判别法) 设有函数()gy,使得

(,)(), ,fxygyaxbcy.

若()cgydy收敛,则(,)cfxydy在[,]ab上一致收敛.

下面我们把函数项级数的一致收敛性判别法，移植给含参变量广义积分。给出含参变量广义积分的一致收敛性的判别法，它们的证明相仿。

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11 Dirichlet判别法: 设( i ) 对一切实数Nc,含参变量积分

(,)Ncfxydy，

对参量x在[,]ab上一致有界,即0M ,对 Nc及[,]xab,都有(,)NcfxydyM；

( ii )对每一个[,]xab,函数(,)gxy关于y是单调递减,

( iii )当y时,对参变量x,(,)gxy一致地收敛于0.

则(,)(,)cfxygxydy在[,]ab上一致收敛.

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12 Abel判别法 设 (i) (,)cfxydy在[,]ab上一致收敛;

(ii) 对每一个[,]xab,函数(,)gxy为y的单调函数；

(iii) 对参量x,在(,)gxy在[,]ab上一致有界.

则(,)(,)cfxygxydy在[,]ab上一致收敛.

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13 例2 证明20cos1xydxx在(,)上一致收敛.

:证22cos1(,),: ,11xyyxx有201,1dxx而收敛,M由判别法20cos(,).1xydxx在内一致收敛

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14 例3 证明含参量广义积分0sinxyxedxx在[0,]d上一致收敛.

:证0sinxdxx收敛,[0,]yd(当然,对于参量,它在上一致收敛),[0,]yd每个固定的,(,)xygxyex函数为的单调函数,0,0,ydx且对任何都有(,)xygxye1由阿贝尔判别法,0sin[0,]xyxedxdx得在上一致收敛.

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15 例4 证明:设(,)fxy在[,][,)abc上连续，

又(,)cfxydy在[,)ab上收敛，但在xb处发散，则(,)cfxydy在[,)ab上不一致收敛.

:(证反证法)(,)[,),cfxydyab设在上一致收敛120,,,,[,),:McAAMxab则有21(,), ()AAfxydy12(,)[,][,],fxyabAA又在上连续21(,),[,]AAfxydyxab作为函数在上连续.(),,xb中令得:21(,),AAfbydy(,).cfxydyxb在处收敛.矛盾// 143798332.doc

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16 19.2.2 含参变量的反常积分的性质 定理19.9 (连续性)

设(,)fxy在[,][,)abc上连续.

若含参变量广义积分

()(,)cIxfxydy

在[,]ab上一致收敛, 则()Ix在[,]ab上连续. :,,nnAA且分析()(,)cIxfxydy11(,)nnAAnfxydy1()nnux1[,](),nnabux对上一致收敛的级数,用性质定理即得所以,极限运算与积分运算可交换 下面我们把一致收敛的函数项级数的和函数性质，移植给含参变量广义积分。给出一致收敛的含参变量广义积分的性质，它们的证明方法是通过化归的思想。只给证明思想.

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17 定理19.10 (可微性)

设(,)fxy与(,)xfxy在[,][,)abc上连续.

若()(,)cIxfxydy在[,]ab上收敛,

(,)xcfxydy在[,]ab上一致收敛,

则()Ix在[,]ab上可微,且 ()(,)xcIxfxydy

:分析()(,)cIxfxydy11(,)nnAAnfxydy11()(,)nnAAnIxfxydy11(,)nnAAnfxydy逐项求导(,)xcfxydy119.31(,)nnAxAnfxydy定理 只给证明思想.

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18 定理19.11(可积性)

设(,)fxy在[,][,)abc上连续.

若()(,)cIxfxydy在[,]ab上一致收敛,

则()Ix在[,]ab上可积,且

(,)(,)bbaccadxfxydydyfxydx

:分析(,)bacdxfxydy11(,)nnbAaAndxfxydy11(,)nnbAaAndxfxydy逐项积分19.6定理11(,)nnAbAandyfxydx(,)bcadyfxydx 只给证明思想.