徐汇区中考数学二模试卷及答案

2022年上海市徐汇区中考数学二模试卷1. 下列实数中，有理数是( ) A. √3B. √8C. πD. 272. 下列运算中结果正确的是( ) A. a 3⋅a 2=a 6 B. 6a 6÷2a 2=3a 3 C. (−a 2)3=−a 6D. (−2ab 2)2=2a 2b 43. 如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P.其中一把直尺边缘恰好和射线OA 重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB 重合，上边缘与射线OA 交于点M ，联结OP.若∠BOP =28°，则∠AMP 的大小为( )A. 62°B. 56°C. 52°D. 46°4. 如图，▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，下列选项中错误的是( )A. AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C. |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |D. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗5. 在知识竞赛中，成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．将九年级二班参赛选手的成绩整理并绘制成如下的统计图，九年级二班参赛选手成绩的众数和中位数分别是( )A. 100和90B. 100和80C. 80和90D. 80和806. 已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”.已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是( )A. 4B. 5C. 6D. 77. 因式分解：m2−4n2=______．8. 方程√x−3=2的解是______．9. 2021年5月11日全国第七次人口普查，通报全国人口共1411780000人，将1411780000用科学记数法表示为______．10. 如果关于x的方程x2−5x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是______．11. 一个不透明的袋中只装有1个黑球和2个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个，颜色是一黑一白的概率是______．12. 将函数y=kx的图象向下平移2个单位后，经过点(1,0)，那么y的值随x的增大而______.(填“增大”或“减小”)13. 已知正多边形的内角是外角大小的2倍，这个正多边形的边数是______．14. 《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文是：今有人合伙购物，每人出8钱会多3钱；每人出7钱又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，列出的方程为______.(无需化简)15. 如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为______米．16. 如图，在▱ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则劣弧AE⏜的长为______.(结算结果保留π)17. 如图，已知点A(0,8)和点B(4,8)，点B在函数y=k(x>0)的图象上，点C是AB的延长线x上一点，过点C的直线交x轴正半轴于点E、交双曲线于点D.如果CD=DE，那么线段CE长度的取值范围是______．18. 如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如图所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E、F、G、H分别在白色直角三角形的斜边上，已知∠ABO=90°，OB=3，AB=4，若点A、E、D在同一直线上，则OE的长为______．19. 计算：√12−tan60°−|√2−√3|+(π−3.14)0+1+(√2)−2．√3+√220. 解不等式组{3x >4x −6x−22≥x+15，并把它的解集在数轴(如图)上表示出来．21. 如图，△ABC 中，AB =BC =13，AC =10，∠ABC 的平分线与边AC 交于点F ，且与外角∠ACD 的平分线CE 交于点E ． (1)求sinA 的值； (2)求EF 的长．22. 某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表： 时间x(天) 第1天 第2天 第3天 第4天 … 日销售量y(千克)380400420440…(1)根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y 与x 的函数关系式，并说明选择的理由．(2)试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很块销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？23. 如图，四边形ABCE 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BF ⊥CE 于点F ，点D 为BF 上一点，且∠BAD =∠CAE ． (1)求证：AD =AE ；(2)设BF 交AC 于点G ，若BC 2=2BD ⋅BG ，判断四边形ADFE 的形状，并证明．24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=mx2−2mx+3的图象与x轴交于A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且AB=4．(1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；(2)点E是二次函数图象上一个动点，作直线EF//x轴交抛物线于点F(点E在点F的左侧)，点D 关于直线EF的对称点为G，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标；(3)若射线AC与射线BD相交于点H，求∠AHB的大小．25. 如图，已知线段AB=4，以AB为直径作半圆，过圆心O作AB的垂线OQ交半圆于点E，P 是AE⏜上的点，连结AP并延长交OQ于点C，连结PB交OQ于点F．(1)我们知道∠APB=90°，证明方法如下：联结OP，∵OA=OP，∴∠PAO=∠APO，∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP．在△APB中，∠PAO+∠APO+∠OPB+∠OBP=180°，∴∠APO+∠OPB=90°，即∠APB=90°请再用一种其他方法证明∠APB=90°．(2)如图2，以PB，PC为邻边作▱PBDC，当CD与⊙O相切时，求PC的长；(3)已知点M为AC上的点，且AMCM =12.当△MFP与△ABP相似时，求APAC的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：在实数√3，√8，π，27中，有理数是27． 故选：D ．根据整数和分数统称为有理数，判断即可．本题考查了实数，熟练掌握整数和分数统称为有理数，是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：A 、a 3⋅a 2=a 5，故原结果错误，不符合题意； B 、6a 6÷2a 2=3a 4，故原结果错误，不符合题意； C 、(−a 2)3=−a 6，计算正确，符合题意；D 、(−2ab 2)2=4a 2b 4，故原结果错误，不符合题意； 故答案为：C ．直接根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方及积的乘方的运算法则逐项判断即可．本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方及积的乘方的运算法则是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：过P 点作PD ⊥OB ，一把直尺边缘与OA 的交点为E ，如图， ∵两把直尺为完全相同的长方形， ∴PD =PE ，∵PE ⊥OA ，PD ⊥OB ， ∴OP 平分∠AOB ， ∴OP 平分∠AOB ， ∴∠AOP =∠BOP =28°， ∴∠AOB =56°，∵PM//OB ，∴∠AMP =∠AOB =56°． 故选：B ．过P 点作PD ⊥OB ，一把直尺边缘与OA 的交点为E ，如图，根据题意得到PD =PE ，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断OP 平分∠AOB ，所以∠AOP =∠BOP =28°，然后根据平行线的性质求解．本题考查了角平分线的性质：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了平行线的性质．4.【答案】B【解析】解：A 、在▱ABCD 中，AB =DC ，且AB//DC ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，不符合题意； B 、在▱ABCD 中，OA =OC ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，符合题意； C 、在▱ABCD 中，OB =OD ，则|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，不符合题意； D 、在▱ABCD 中，AC =2AO ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，不符合题意； 故选：B ．利用平行四边形的性质和三角形法则进行判断．本题主要考查了平面向量和平行四边形的性质，注意：平面向量既有大小又有方向．5.【答案】B【解析】解：∵44%>36%>16%>4%，∴九年级二班参赛选手成绩的众数和中位数分别是100和80． 故选：B ．利用扇形统计图、众数、中位数的定义即可求解．本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数和统计图．6.【答案】C【解析】解：∵⊙O 1、⊙O 2相交， ∴5−2<d <5+2，即3<d <7， ∵两圆“外相交”， ∴d >2且d >5，∴两圆的圆心距d的取值范围为5<d<7．∴两圆“外相交”时的圆心距d的取值范围是5<d<7．故选C．先利用两圆相交的判定方法得到3<d<7，再根据“外相交”的定义得到d>2且d>5，然后根据写出满足所有不等式的公共部分即可．本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d> R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R−r<d<R+r(R≥r)；两圆内切⇔d=R−r(R> r)；两圆内含⇔d<R−r(R>r)．7.【答案】(m+2n)(m−2n)【解析】解：m2−4n2，=m2−(2n)2，=(m+2n)(m−2n)．先将所给多项式变形为m2−(2n)2，然后套用公式a2−b2=(a+b)(a−b)，再进一步分解因式．主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．8.【答案】x=7【解析】解：将方程两边平方得x−3=4，移项得：x=7，代入原方程得√7−3=2，原方程成立，故方程√x−3=2的解是x=7．故答案为：x=7．将方程两边平方即可求解．本题考查无理方程的求解，属于基础题．9.【答案】1.41178×109【解析】解：1411780000=1.41178×109．故答案为：1.41178×109．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．10.【答案】254【解析】【分析】本题主要考查根的判别式，由根的情况得到判别式的符号是解题的关键．利用根的判别式可得到关于k的方程，则可求得k的值．【解答】解：∵方程x2−5x+k=0有两个相等的实数根，∴△=0，即(−5)2−4k=0，解得k=254，故答案为254．11.【答案】23【解析】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一黑一白的有4种情况，∴颜色是一黑一白的概率为46=23．故答案为：23．根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.【答案】增大【解析】解：函数y=kx的图象向下平移2个单位后得：y=kx−2，把(1,0)代入得，k−2=0，解得k=2，∴y的值随x的增大而增大；故答案为：增大．根据平移的规律得y=kx−2，把(1,0)代入得k=2>0，y的值随x的增大而增大．本题考查了一次函数图象与几何变换、正比例函数的性质，掌握平移的规律，根据一次函数的性质确定函数值的变化是解题关键．13.【答案】6【解析】解：设这个正多边的外角为x°，由题意得：x+2x=180，解得：x=60，360°÷60°=6．故答案为：6．设这个正多边的外角为x°，则内角为2x°，根据内角和外角互补可得x+2x=180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数．此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．14.【答案】8x−3=7x+4【解析】解：依题意得：8x−3=7x+4．故答案为：8x−3=7x+4．根据“每人出8钱会多3钱；每人出7钱又会差4钱”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．15.【答案】3.2【解析】解：由题意得：AE=BC=5米，EC=AB=1.7米，在Rt△ADE中，tanα=0.3，∴DE=AE⋅tanα=5×0.3=1.5(米)，∴DC=DE+EC=1.5+1.7=3.2(米)，∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．根据题意可得AE=BC=5米，EC=AB=1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．16.【答案】7π3【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=70°，BC=6，∴∠D=∠B=70°，BC=AD=6，连接OE，∴∠AOE=2∠D=140°，OA=OD=3，∴劣弧AE⏜的长为：140π×3180=7π3，故答案为：7π3．根据平行四边形的性质，可以得到∠ADC的度数和AD的长，然后即可得到∠AOE的度数，然后即可计算出劣弧AE⏜的长．本题考查弧长的计算、平行四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确弧长计算公式l= nπr180．17.【答案】8≤CE<8√5【解析】解：∵A(0,8)，B(4,8)，∴AB//x轴．∵点B在双曲线y=kx(x>0)上，∴8=k4，∴k=32．过点D作DF⊥OA于点F，如图，则DF//AB．∵A(0,8)，∴OA=8．∵CD=DE，OA=4，∴AF=OF=12∴点D的纵坐标为4，∵点D在双曲线y=32上，x∴x=8，∴D(8,4)．当EC⊥x轴时，此时EC最小，EC=OA=8；当点E与点O重合时，此时EC最大，∵CD=DE，∴点C(16,8)，∴EC=√162+82=8√5，∵点E在x轴正半轴，∴8≤CE<8√5，故答案为：8≤CE<8√5．由题意可得AB//x轴，利用待定系数法确定出反比例函数的解析式，过点D作DF⊥OA于点F，则=4，则点D纵坐标可得，利用反比例函数得DF//AB，利用梯形的中位线定理可得AF=OF=12解析式可求点D坐标；分两种情况得到线段CE的极值：当EC⊥x轴时，EC最小；当点E与点O重合时EC最大，利用点D坐标即可求得两种情况下的EC的值，结合已知条件即可得出结论．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．18.【答案】4537【解析】解：建立平面直角坐标系如图：∵∠ABO =90°，OB =3，AB =4，△ABO≌△CDO ，∴OD =OB =3，CD =AB =4，∴点A(−4,−3)、B(0,−3)、C(3,−4)、D(3,0)，设直线AD 的解析式为y =kx +b ，∴{−4k +b =−33k +b =0，解得{k =37b =−97， ∴直线AD 的解析式为y =37x −97， 设直线OC 析式为y =mx ，∴3m =−4，解得m =−43，∴直线OC 析式为y =−43x ， 联立{y =37x −97y =−43x ，解得{x =2737y =−3637， ∴E(2737,−3637)，∴OE =√(2737)2+(3637)2=4537．故答案为：4537．建立平面直角坐标系，得出点A、B、C、D的坐标，利用待定系数法分别求出直线AD，直线OC的解析式，联立解方程组可得点E的坐标，即可求解．本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法求函数的解析式，建立平面直角坐标系是解题的关键．19.【答案】解：原式=2√3−√3−(√3−√2)+1+√3−√2+12=2√3−√3−√3+√2+1+√3−√2+12=√3+32．【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：由3x>4x−6，得：x<6，由x−22≥x+15，得：x≥4，则不等式组的解集为4≤x<6，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】解：(1)∵AB=BC=13，AC=10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，∴∠ABF=∠FBC，BF⊥AC，AF=12AC=5．在Rt△ABF中，BF=√AB2−AF2=12．∴sinA =BF AB =1213．(2)过点E 作EG ⊥BD ，垂足为G ．∵CE 平分∠ACD ，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，∴EF =EG ．在Rt △ABF 中，∵sin∠ABF =AF AB =513，在Rt △EBG 中，∵sin∠EBC =sin∠ABF =EG BE =EF BF+EF =513，∴13EF =5×12+5EF ．∴8EF =60．∴EF =152．【解析】本题主要考查了解直角三角形及角平分线的性质，掌握“等腰三角形的三线合一”、“角平分线上的点到角两边的距离相等”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．(1)利用等腰三角形的性质和勾股定理先求出BF ，再求出∠A 的正弦；(2)过点E 作EG ⊥BD ，在直角三角形ABF 中先求出∠ABF 的正弦，再利用角平分线的性质说明EF 与EG 、∠ABF 与∠EBC 的关系，利用直角三角形的边角间关系列方程求解得结论．22.【答案】解：(1)根据表中数据的变化规律可知：时间每增加1天，销售量就增加20千克， ∴选择一次函数模型来确定y 与x 的函数关系式．故设函数的表达式为：y =kx +b ，将(1,380)、(2,400)代入上式得：{400=2k +b 380=k +b， 解得：{k =20b =360，故函数的表达式为：y=−20x+360．(2)设公司对第一批次每天的销售定量是a千克，则公司对第二批次每天的销售定量是(100+a)千克，根据题意，得6000a =6000a+100+2，整理，得，a2+100a−300000=0，解方程，得，a1=500，a2=−600，经检验，a1、a2都是分式方程的解，但负值不合题意，应舍去，∴a=500．即公司对第一批次每天的销售定量是500千克．【解析】(1)表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y=kx+b，将(1,380)、(2,400)代入上式，即可求解；(2)写出两批销售天数的表达式，再利用第二批比第一批次提前2天售完，列等式即可．】主要考查了函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．23.【答案】(1)证明：∵BF⊥CE，∴∠BFC=90°，∴∠BFC=∠BAC，∵∠CGF=∠AGB，∴∠ABG=∠ACF，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE(ASA)，∴AD=AE；(2)解：四边形ADFE是正方形，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC2=2AB2，∵BC2=2BD⋅BG，∴AB2=BD⋅BG，∵∠ABD=∠ABG，∴△ABD∽△GBA，∴∠BAG=∠BDA=90°，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ADF=∠DAE=∠E=90°，∴四边形ADFE是矩形，∵AD=AE，∴四边形ADFE是正方形．【解析】(1)利用ASA证明△BAD≌△CAE，得AD=AE；(2)首先证明△ABD∽△GBA，得∠BAG=∠BDA=90°，再利用三个角是直角的四边形是矩形可知四边形ADFE是矩形，再由AD=AE，即可证明结论．本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的判定等知识，证明△ABD∽△GBA是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵二次函数y=mx2−2mx+3的图象与x轴交于A和点B(点A在点B的左侧)，∴设点A，B的横坐标分别为a(a>0)，b，则a，b是mx2−2mx+3=0的两个根，∴a+b=2，ab=3．m∵AB=4，∴a−b=4，即(a+b)2−4ab=16，=16，∴22−4⋅3m解得m=−1，∴y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴点D的坐标为(1,4)．(2)由题意可知，DG⊥EF且DG和EF相互平分，则四边形DEGF是菱形，若四边形DEGF是正方形，则只需要满足DG=EF，设点E的横坐标为t，∴E(t,−t2+2t+3)，F(2−t,−t2+2t+3)，∵D(1,4)，∴G(1,−2t2+4t+2)，∴EF=2−2t，DG=2t2−4t+2，∴2−2t=2t2−4t+2，解得t=1(舍)或t=0，∴E(0,3)．(3)如图，连接BC，由(1)知y=−x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴C(0,3)；令y=0，则x=−1或x=3，∴A(−1,0)，B(0,3)，∴OC=OB=3，∴∠OBC=∠OCB=45°．∴直线AC的解析式为：y=3x+3，直线BD的解析式为：y=−2x+6，令3x+3=−2x+6，解得x=35；∴H(35,245)，∴AH=8√105，AB=4，AC=√10，∴AB：AH=AC：AB=√104，∵∠BAC=∠HAB，∴△ABC∽△AHB，∴∠AHB=∠ABC=45°．【解析】(1)令mx2−2mx+3=0，设点A，B的横坐标分别为a，b，利用根与系数的关系可表达a+b和ab，利用AB=4，建立方程可求出m，再化为顶点式可得出点D的坐标；(2)由题意可知，DG⊥EF且DG和EF相互平分，则四边形DEGF是菱形，若四边形DEGF是正方形，则只需要满足DG=EF，设点E的横坐标为t，分别表达EF和DG，建立方程即可求出t的值；(3)分别求出直线AC和BD的直线，联立可求出点H的坐标，利用两点间的距离公式可分别求出AH，AB和AC的长，可得AB：AH=AC：AB，则△ABC∽△AHB，由此可得出∠AHB=45°．本题属于二次函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数解析式，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，得出△ABC∽△AHB是解题关键．25.【答案】(1)证明：∵AP⏜所对的圆心角是∠AOP，圆周角是∠ABP，∴∠ABP=12∠AOP，同理∠PAB=12∠POB，∴∠ABP+∠PAB=12∠AOP+12∠POB=12×180°=90°，∴∠APB=180°−(∠ABP+∠PAB)=90°；(2)解：设CD与⊙O相切于T，连接OT交BP于K，如图：设CP=x，∵∠APB=90°=∠CPB，四边形PBDC是平行四边形，∴四边形PBDC是矩形，∴∠CPB=∠PCD=90°，∵CD与⊙O相切于T，∴∠OTC=90°，∴四边形PKTC是矩形，KT//PC，∴KT=CP=x，∴OK=2−x，∵KT//CP，OA=OB，∴OK是△ABP的中位线，∴AP=2OK=4−2x，∴AC=AP+CP=4−x，∵∠AOC=90°=∠APB，∠PAB=∠OAC，∴△AOC∽△APB，∴AC AB =OAAP，即4−x4=24−2x，解得x=3+√5或x=3−√5，当x=3+√5时，AC=4−x=1−√5<0，∴x=3+√5不符合题意，舍去，∴x=3−√5，即CP=3−√5；(3)解：如图3−1中，当△PMF∽△PBA时，∵△PMF∽△PBA，∴∠PMF=∠B，∵∠CPF=∠BOF=90°，∠CFP=∠OFB，∴∠PCF=∠B，∴∠PMF=∠PCF，∴FM=FC，∵FP⊥CM，∴CPPM，∵AM ：CM =1：2，∴AM =PM =CP ， ∴AP AC =23．如图3−2中，当△PMF∽△PAB 时， ∴∠PMF =∠A ， ∴FM//AB ， ∴FM AO =CM AC =23，∴FM AB =PM PA =13，设PM =m ，则PA =3m ，MA =2m ，CM =4m ，∴PC =CM −PM =3m ，∴PA =PC ， ∴AP AC =12，综上所述，AP AC 的值为23或12．【解析】(1)利用圆周角定理证明即可；(2)设CD 与⊙O 相切于T ，连接OT 交BP 于K ，设CP =x ，证明△AOC∽△APB ，推出AC AB =OAAP ，由此构建方程，可得结论；(3)分两种情形：如图3−1中，当△PMF∽△PBA 时，如图3−2中，当△PMF∽△PAB 时，分别求解即可．本题属于圆综合题，考查了矩形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学　试卷（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1. 下列实数中，有理数是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根据实数的分类可进行排除选项．，是无理数；故选B ．2. 下列单项式中，与单项式是同类项的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可．【详解】解：与单项式是同类项的是；故选C ．3. 已知直线经过第一、二、四象限，则直线经过( )2=232a b 4ab -322a b 323b a 222a b c-232a b 323b a y kx b +＝y bx k +＝A. 第一、三、四象限B. 第一、二、四象限C. 第一、二、三象限D. 第二、三、四象限【答案】A 【解析】【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【详解】解：已知直线经过第一、二、四象限，则得到，那么直线经过第一、三、四象限．故选：A ．【点睛】此题考查一次函数图象与系数关系．解题关键在于注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm ）185180185180方差3.63.67.48.1根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A 【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【详解】∵=>=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=<<，∴选择甲参赛，故选A ．【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.的y kx b =+0,0k b <>y kx b =+x 甲x 丙x 乙x 丁2S 甲2S 乙2S 丙2S 丁5. 如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可．【详解】∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则A 不符合题意；∵，∴，∴平行四边形菱形．则B 不符合题意；∵，∴．∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则C 不符合题意；∵，∴．∵，∴，是 ABCD AC BD O ABCD 90DAO ADO ∠+∠=︒DAC ACD ∠=∠DAC BAC ∠=∠DAB ABC∠=∠90DAO ADO ∠+∠=︒90AOD ∠=︒AC BD ⊥ABCD DAC ACD ∠=∠AD CD =ABCD AB CD ACD BAC ∠=∠DAC BAC ∠=∠ACD DAC ∠=∠AD CD =ABCD AD BC ∥180BAD ABC ∠+∠=︒DAB ABC ∠=∠=90B A D ∠︒∴平行四边形是矩形．则D 正确．故选：D ．6. 如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（ ）A. cmB. cmC. cmD. cm【答案】B 【解析】【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物上升的高度为．故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.的解是________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程和二次根式的性质求解即可；【详解】，∴，∴，∴，∵，ABCD 9cm 120︒5π6π7π8π120︒()12096cm 180ππ⨯⨯==x 1x ==x 221x x -=()210x -=121x x ==210x -≥∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．8. 不等式组的解集是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．详解】解：，解①得：，解②得：，∴不等式组的解集是．9. 方程组的解是__________．【答案】或【解析】【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程，代入消元法，将方程组先转化为一元二次方程，再进行求解即可．【详解】解：由②得：③；把③代入①，得：，解得：，∴，∴方程组的解为：或；【12x ≥1x =1x =()2133231x x x ->⎧⎨-->⎩2x >()2133231x x x ->⎧⎪⎨-->⎪⎩①②2x >5x >-2x >22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩①②2x y =()2225y y +=1y =±22x y ==±21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩故答案为：或10. 关于的一元二次方程根的情况是：原方程______实数根．【答案】有两个不相等的【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．11. 如果二次函数的图像的一部分是上升的，那么的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴右侧时，函数图像上升，所以求出函数的对称轴即可求解．【详解】解：，又抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升；二次函数的图像的一部分是上升的，，故答案为：．12. 如果反比例函数的图像经过点，那么的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查反比例函数图像上的点，将点代入函数解析式，求解即可．【详解】解：由题意，得：，21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩x 210x mx --=()200ax bx c a ++=≠240b ac ∆=->240b ac ∆=-=24<0b ac ∆=-()()2241140m m ∆=--⨯⨯-=+>2241y x x =-+x 1x ≥x ()22241211y x x x =-+=--∴1x <y x 1x ≥y x 2241yx x =-+∴1x ≥1x ≥4y x=-(,2)A t t -t (,2)A t t -()24t t ⋅-=-解得：；故答案为：．13. 如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．【答案】【解析】【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．【详解】∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段∴可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∴符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种故概率为：故答案为：【点睛】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．14. 小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为米，根据勾股定理列方程求解．【详解】解：设坡度的高为米，则水平距离为米，，解得：，故答案为：．15. 某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这名家长的问卷真实有效），将这份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长____人．t =1221=42121:2.4i =13050x x 2.4x ∴()2222.4130x x +=50x =501001*********【答案】【解析】【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是数形结合．先根据条形统计图计算出稍加询问的百分比，进而结合扇形统计图求出严格管理的百分比，最后利用样本估计总体即可求解．【详解】解：稍加询问的百分比：，严格管理的百分比：，持“严格管理”态度家长人数：（人），故答案为：．16. 如图，梯形中， ，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）． 【答案】【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握这些知识．根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，结合，可得，最后根据，即可求解．【详解】解：设，的400551000.5555%÷==155%25%20%--=200020%400⨯=400ABCD BC AD ∥AB CD =AC BAD ∠2=AD AB AB a = AD b = AC a b12a b +AB BC =2AD BC =12BC AD =12AC AB BC a AD =+=+BAC α∠=平分，，，，，，，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，． 已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是_______．【解析】【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线分线段成比例，如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，可知，得，进而根据勾股定理可得，，得结合，，可知，再根据勾股定理即可求解，根据折叠的性质得是解决问题的关键．【详解】解：如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，∴，AC BAD ∠∴BAC CAD α∠=∠= BC AD ∥∴BCA DAC α∠=∠=∴BCA BAC ∠=∠∴AB BC = 2=AD AB ∴2AD BC =∴12BC AD =∴1122AC AB BC a AD a b =+=+=+ 12a b +ABC 6AB AC ==4BC =D AC ABC BD C E AE AE E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 1AD MNCD CN==1CN MN ==DN =BD =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△2CE OC ==DE DC =AD CD =AE CE ⊥AE CE ⊥E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 122BM CM BC ===∵点是边的中点，即，∴，则为的中点，即，∴，，∵为点关于的对称点，∴，且，，则，∴，则∵，，∴，，又∵，∴，即，∴．18. 如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是_______．【答案】##【解析】D AC 132AD CD AC ===1ADMNCD CN==N CM 1CN MN==DN ==BD ==E C BD CE BD ⊥OC OE =DE DC =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△DN BC OC BD ⋅===2CE OC ==DE DC =AD CD =DAE DEA ∠=∠DEC DCE ∠=∠180DAE DEA DEC DCE ∠+∠+∠+∠=︒90DEA DEC ∠+∠=︒AE CE ⊥AE ==A 8(0)y x x =-<OA 1(0)y x x=-<B C x AC AO =BC ABC 8-8-【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，证得 ，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积．【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示：点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，轴，轴，，，，，，，即，，，，轴，，，A B x D E 4OAD S = 0.5OBE S = OAD OBE ∽2()OAD OBE S OA SOB= OA =1)ABC OBC S S = 28AOC OAD S S == 8ABC OBC S S += OBC S = ABC A B x D E A 8(0)y x x =-<B 1(0)y x x=-<1842OAD S =⨯= 110.52OBE S =⨯= AD x ⊥ BE x ⊥AD BE ∴∥OAD OBE ∴ ∽∴2OAD OBE S OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴2480.5OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭OA ∴=1)AB OA OB OB OB ∴=-=-=-1AB OB = 1ABC OBC S AB S OB==- ()1ABC OBC S S ∴= AC AO = AD x ⊥OD CD ∴=28AOC OAD S S ∴==，即，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19.．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．先计算零指数幂、化简二次根式、绝对值，再算加减即可．【详解】解：原式．20.解方程：【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．详解】解：，，，【8ABC OBC S S ∴+= 1)8OBC OBC S S -+= OBC S ∴= 8ABC AOC OBC S S S ∴=-=- 8-10212π---21)1=--+11=+2=22161242x x x x +-=--+5x =-22161242x x x x +-=--+()22162x x +-=-244162x x x ++-=-，，，，检验，当时，，∴是原方程的解，当时，，∴不是原方程的解．21. 如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．（1）求的半径长；（2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由．【答案】（1）（2）以为直径的经过点，见解析【解析】【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．（1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解；（2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到23100x x +-=()()520x x +-=50,20x x +=-=115,2x x =-=5x =-240x -≠5x =-2x =240x -=2x =1O 2O A B AB 12O O 2AO 48AB =1250O O =230AO =1O 12O O P B 4012O O P B 1AO 12O O AB G 1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 2GO 1GO 1Rt AGO 1AO 22122AO GO O O AO =122O AO AGO ∽，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解．【小问1详解】解：连接，设与的交点为．和⊙相交于点、，，，，在中，，；，在中，，；即的半径长为；【小问2详解】以为直径的经过点．，，，又，，，取的中点，连接、，，12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP 1AP PO =12O O AB 1AO 12O O AB G 1O 2O A B 48AB =∴1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 290AGO ∠=︒∴218GO ===∴1122501832GO O O GO =-=-=1Rt AGO 190AGO ∠=︒∴140AO ===1O 4012O O P B 212303505AO O O ==22183305GO AO ==∴22122AO GO O O AO =212AO O O A G ∠=∠∴122O AO AGO ∽∴12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP ∴1AP PO =又垂直平分，，以为直径的经过点．22. A 市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时千米，人步行的平均速度是每小时千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由．【答案】（1）不能，见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；（1）根据题意分别求出单程送达比赛场地的时间和另外送4名学生的时间，进而问题可求解；（2）设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时，根据题意可得，进而求解即可．【小问1详解】解：他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．∵单程送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟）；∴送完另名学生的时间是：（分钟）（分钟）；∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．【小问2详解】解：先将名学生用车送达比赛场地，另外名学生同时步行前往比赛场地，汽车到比赛场地后返回到与另外名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用这种方案送这名学生到达比赛场地共需时间约为分钟）．理由如下：先将名学生用车送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟），12O O AB 1BP AP PO ==∴12O O P B 84154260544t 56015 1.25t t +=-15600.25÷=15=415345⨯=42>444840.4415600.25÷=15=此时另外名学生步行路程是：(千米)；设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时．则；解得（小时）（分钟）；从相遇处返回比赛场地所需的时间也是（分钟）；所以，送这名学生到达比赛场地共需时间为：（分钟）；又；所以，用这种方案送这名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．23. 如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，．（1）求证：；（2）分别连接、，求证：四边形是等腰梯形．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定（1）连结，可得，，进而即可得到结论；（2）欲证明四边形是等腰梯形，只需推知，，即可．【小问1详解】证明：连结．450.25 1.25⨯=4t 56015 1.25t t +=-1152t =16513=16513816515240.413+⨯≈40.442<8ABCD E G H F AB BC CD DA AE AF =CG CH =CG AE ≠EF GH ∥EG FH EGHF BD AE AF AB AD =CG CH CB CD=EGHF EF GH ≠EF GH ∥EG FH =BD∵四边形是菱形，∴；又，，∴，；∴，；∴．【小问2详解】证明：连接∵，∴；∵，∴；又，∴；又，∴四边形是梯形；∵,即；又∵，即；∵四边形是菱形，ABCD AB AD BC CD ===AE AF =CG CH =AE AF AB AD=CG CH CB CD =EF BD ∥GH BD ∥EF GH ∥,EG FHEF BD ∥EF AE BD AB=GH BD ∥GH CG BD BC =CG AE ≠EF GH ≠EF GH ∥EGHF AB AE AD AF -=-BE DF =BC CG CD CH -=-BG DH =ABCD∴；∴；∴；∴梯形是等腰梯形．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．【答案】（1）；点 （2）①；②的值为或【解析】【分析】（1）把点A 的坐标代入表达式求出a 的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点B 的坐标；（2）①在中，，则；得到；过点作，垂足为．在中，，；证明四边形是矩形，则；即可得到答案；②根据m 的取值分三种情况分别进行解答即可．【小问1详解】解：把代入，得，B D ∠=∠()SAS BGE DHF ≅ EG FH =EGHF xOy 244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B yC B (0,)M m BC M MG BC ⊥GD x GD MD GD MD GDMN 32m =GDMN N y D 0m ≥D GDMN m 2416433y x x =-+(3,0)B 6(,0)5D m 037Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM ∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=GDOH 65OD GH ==(1,0)A 244(0)y ax ax a =-+>440a a -+=解得；∴抛物线的表达式为；∵抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点和点，∴点．【小问2详解】①由题意，得，，∴；∵四边形是平行四边形，∴；又点在轴上，∴，∴，在中，，∴，∴，；在中，，∴；∴；过点作，垂足为．43a =2416433y x x =-+1632423x -=-=⨯244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B (3,0)B (0,4)C 3(0,)2M 52CM =GDMN GD NM ∥N y NM OD ⊥GD OD ⊥Rt BOC 90BOC ∠=︒5BC ==4cos 5OC OCB BC ∠==3sin 5OB OCB BC ∠==Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H在中，，；∵，∴四边形是矩形，∴；∴．②当时，根据不同取值分三种情况讨论： 当时，即点与点重合时，符合题意；当时，如图情况符合题意，取的中点P ，以为直径作圆P ，则在圆上，此时圆P 和x 轴有唯一切点D ，符合题设条件，则，∵，由①知， ，则，则，∵，,∴，解得；当时，可得，所以符合题意的不存在；综合、、，符合题意的的值为或．【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．25. 如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且．Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=90GDO DOH GHO ∠=∠=∠=︒GDOH 65OD GH ==6(,0)5D 0m ≥m i 0m =M O ii 04m <<MG MG ,N D OH PD PM ==()3sin 425MG MC OCB m PM =⋅∠=-=CMG OCB ∠=∠sin sin CMG OCB ∠=∠()9sin 450MH PM OCB m =∠=-OH MH OM MH m =+=+PM OH =93(4)(4)5010m m m -+=-37m =iii 4m ≥OH PM >m i ii iii m 037OAB OA OB ==90AOB ∠=︒C D AB C D C A D B 45COD ∠=︒（1）①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系；②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论；（2）分别交、于点、．①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值；②当时，求圆心角的正切值．【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）①的值不变，；②或．【解析】【分析】（1）①根据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”即可得到答案；②在弧上取点连接，使得，可得，根据角的和差关系可得，则，即可得到答案；（2）①证明，即可得到答案；②过点在下方作，截取，连接、，证得，可得，进一步证得，则可得，由勾股定理和线段的和差关系可得，联立解得，过点N 作于点F ，则，利用勾股定理求得，，根据正切的概念计算即可．【小问1详解】解：①，，，；②．证明如下：AC CD BD AC CD BD AC BD +CD AB OC OD M N C AB AN BM ⋅AN BM ⋅5MN =DOB ∠ AC C BD D +=AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅=1tan 3DOB =∠1tan 2DOB ∠=CD E OE COE AOC ∠=∠AC CE =DOE BOD ∠=∠BD DE =BMO AON ∽△△O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM '()SAS OBM OAM ' ≌90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒()SAS ONM OMN ' ≌22225MN AM BN ==+7AM BN +=BN NF OB ⊥NF BF =NF OF 90AOB ∠=︒Q 45COD ∠=︒904545AOC BOD AOB COD ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒ D B AC C D +∴=AC BD CD +>在弧上取点连接，使得，；、可得；，，；；．【小问2详解】解：①的值不变，．，，；，，；；；．②如图，CD E OE COE AOC ∠=∠∴AC CE =CE DE CE DE CD +> 45COE DOE ∠+∠=︒∴904545AOC BOD ∠+∠=︒-︒=︒∴DOE BOD ∠=∠∴BD DE =∴AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅= OA OB =90AOB ∠=︒∴45OAB OBA ∠=∠=︒ 45OMB OAB AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠45AON COD AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠∴OMB AON ∠=∠∴BMO AON ∽△△∴BM BO AO AN=∴72AN BM AO BO ⋅=⋅==过点在下方作，截取，连接、，，，，，；又，，，，；，；解得或；过点N 作于点F ，则，，，，设，则，当时，在中，，即，解得：O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM ' AO BO =∴()SAS OBM OAM ' ≌∴BM AM '=45OBM OAB ∠=∠='︒∴90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒45M ON COD ∠=︒=∠'ON ON =∴()SAS ONM OMN ' ≌∴M N MN '=∴222222MN M N BM BN AM BN =='+=+' 551257AM BN AB MN +=-=-==-=2225AM BN +=3BN =4BN =NF OB ⊥90NFB ∠=︒45ABO ∠=︒ 45BNF ∴∠=︒NF BF ∴=BF x =OF x =3BN =Rt NFB △222BF NF BN +=229x x +=x =OF ∴==；当时，在中，，即，解得：，．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．1tan 3NF O O F D B ∴==∠=4BN =Rt NFB △222BF NF BN +=2216x x +=x=OF ∴==1tan 2NF O O D F B ===∠∴。

2022年上海市徐汇区中考数学二模试卷1. 长江是我国第一大河，它的全长约为6300千米，6300这个数用科学记数法表示为( )A. 63×102B. 6.3×102C. 6.3×103D. 6.3×1042. 如图，数轴上表示实数√14−2的点可能是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q3. 如果反比例函数y=k(k是常数，k≠0)的图像经过第一、三象限，那么一次函数y=kx−xk的图像一定经过( )A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、二、四象限4. 关于非零向量a⃗、b⃗ 、c⃗，下列选项中错误的是( )A. 如果a⃗=b⃗ ，那么|a⃗|=|b⃗ |B. 如果a⃗、b⃗ 都是单位向量，那么|a⃗|=|b⃗ |C. 如果a⃗=2b⃗ ，那么a⃗//b⃗D. 如果c⃗=a⃗+b⃗ ，那么|c⃗|=|a⃗|+|b⃗ |5. 为了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图(如图)所示，则所调查学生睡眠时间(小时)的众数、中位数分别为( )A. 7、7B. 8、7.5C. 7、7.5D. 8、86. 下列命题是真命题的是( )A. 如果直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么它的斜边长度为5厘米B. 如果半径长分别为2厘米和3厘米的两个圆相切，那么它们的圆心距为5厘米C. 关于反比例函数y=3，y的值随自变量x的值的增大而减少xD. 顺次联结对角线相等的四边形的各边中点所形成的四边形是菱形7. 计算(4a3)2=______．8. 如果代数式√3x−2有意义，那么实数x的取值范围是______．9. 已知f(x)=x2+1，那么f(√2)=______．x210. 小明在端午节煮了20个粽子，其中10个鲜肉粽，6个红枣粽，剩下的是赤豆粽，这些粽子除馅料不同外其它都相同．小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是______．11. 如果关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围是______．12. 如图，已知AE//BD，∠1=120°，∠2=30°，那么∠C的度数为______．13. 某校为了了解初二学生每周零花钱的消费情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，调查的结果绘制成如图所示的扇形图，根据图中的信息，估计该校400名初二学生每周零花钱消费超过50元的学生人数约为______人．14. 某市出租车计费办法如图所示，如果小张在下车时支付的车费为26元，那么小张这次在该市乘坐出租车行驶了______千米．15. 如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个正多边形的对称轴共有______条．16. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC =6厘米，长CD =16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是______厘米．17. 定义：将两个不相交的函数图像在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”.如果抛物线y =a 2+bx +c(a ≠0)与抛物线y =(x −1)2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式：______．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =8，AC =6，点D 是BC 的中点，点E 是边AB 上一动点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交AB 于点F ，如果△AB′F 为直角三角形，那么BE 的长为______．19. 先化简，再求值：a 2−3a+2a 2−4÷(a +1−4a a+2).其中a =√5+3．20. 解方程组{x −3y =2(1)x 2−2xy +y 2−16=0(2)． 21. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y =2x 的图像与反比例函数y =m x (m ≠0,x >0)的图象交于点A(a,4)，点B 为直线y =2x 上一点，且AB =2OA ．(1)求反比例函数y =m x 的解析式；(2)过点B 作BC//x 轴，交反比例函数y =mx 的图像于点C ，求△ABC 的面积．22. 激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时(如图1)，双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．(1)小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离(人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离)为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽(图2中的BC的长)在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？(结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36)(2)由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？23. 如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点(点E与点C、D不重合)，过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．(1)求证：△AEF∽△DAC；(2)如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．24. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y=−x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0)，点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式；(2)过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内(不含边界)，求m的取值范围．25. 如图，AB为半圆O的直径，点C在线段AB的延长线上，BC=OB，点D是在半圆O上的点(不与A，B两点重合)，CE⊥CD且CE=CD，联结DE．(1)如图1，线段CD与半圆O交于点F，如果DF=BF，求证：BFCF =12；(2)如图2，线段CD与半圆O交于点F，如果点D平分AF⏜，求tan∠DFA；(3)联结OE交CD于点G，当△DOG和△EGC相似时，求∠AOD．答案和解析1.【答案】C【解析】解：6300=6.3×103，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．2.【答案】A【解析】解：∵9<14<16，∴3<√14<4，∴1<√14−2<2，∴数轴上表示实数√14−2的点可能是：点M，故选：A．先估算出√14的值，即可判断．本题考查了实数，实数与数轴，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的值是解题的关键．3.【答案】B(k是常数，k≠0)的图像经过第一、三象限，【解析】解：∵反比例函数y=kx∴k>0，∴−k<0，∴一次函数y=kx−k的图像经过第一、三、四象限，故选：B．根据反比例函数的图象可得k>0，进一步即可确定一次函数y=kx−k的图象．本题考查了反比例函数图象与一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：A、如果a⃗=b⃗ ，那么|a⃗|=|b⃗ |，不符合题意；B、如果a⃗、b⃗ 都是单位向量，那么|a⃗|=|b⃗ |，不符合题意；C、如果a⃗=2b⃗ ，那么a⃗//b⃗ ，不符合题意；D、如果c⃗=a⃗+b⃗ ，那么|c⃗|≤|a⃗|+|b⃗ |，符合题意．故选：D．根据向量的性质和向量模的定义进行分析判断．本题主要考查了平面向量，需要考虑共线向量和非共线向量两种情况．5.【答案】C【解析】解：由直方图可得，所调查学生睡眠时间(小时)的众数是7，中位数是(7+8)÷2=7.5，故选：C．根据直方图中的数据，可以直接写出众数，然后根据直方图中的数据，可知第25个数据是7，第26个数据是8，从而可以得到中位数．本题考查频数分布直方图、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6.【答案】D【解析】解：A、如果直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么它的斜边长度为5厘米或√7厘米，故本命题是假命题，不符合题意；B、如果半径长分别为2厘米和3厘米的两个圆相切，那么它们的圆心距为5厘米或1厘米，故本命题是假命题，不符合题意；C、关于反比例函数y=3，在每个象限，y的值随自变量x的值的增大而减少，故本命题是假命题，x不符合题意；D、顺次联结对角线相等的四边形的各边中点所形成的四边形是菱形，本命题是真命题，符合题意；故选：D．根据勾股定理、圆与圆位置关系、反比例函数的性质、菱形的判定定理判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7.【答案】16a6【解析】解：(4a3)2=16a6，故答案为：16a6．根据幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答．本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．8.【答案】x≥23【解析】解：由题意可知：3x−2≥0，∴x≥23，故答案为：x≥23．根据二次根式的有意义的条件即可求出答案．本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．9.【答案】52【解析】解：∵f(x)=x2+1x2，∴f(√2)=(√2)2+(√2)2=2+12=52，故答案为：52．将x=√2代入哈桉树解析式进行计算即可．此题考查了运用实数的计算求函数值的能力，关键是能代入并准确计算．10.【答案】15【解析】解：∵20个粽子中有20−10−6=4个赤豆粽，∴小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是420=15，故答案为：1．5利用概率公式求解即可．本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．11.【答案】k<98【解析】解：根据题意得Δ=(−3)2−4×2×k>0，，解得k<98．所以实数k的取值范围是k<98．故答案为：k<98根据根的判别式的意义得到Δ=(−3)2−4×2×k>0，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．12.【答案】30°【解析】解：∵AE//BD，∠2=30°，∴∠CEA=∠2=30°，又∵∠1=120°，∴∠C=180°−∠CEA−∠1=180°−120°−30°=30°，故答案为：30°．由AE//BD，可求得∠CEA的度数，再利用三角形的内角和等于180°，即可求得答案．此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的运用．解题的关键是注意数形结合思想的应用．13.【答案】88×100%=12%，【解析】解：因为0～10元人数所占百分比为650所以超过50元人数所占百分比为1−(12%+30%+36%)=22%，所以估计该校400名初二学生每周零花钱消费超过50元的学生人数约为400×22%=88(人)，故答案为：88．先求出0～10元人数所占百分比，再根据百分比之和为1求出超过50元人数所占百分比，最后用总人数乘以对应百分比即可．本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．14.【答案】8【解析】解：设y 与x 之间的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，代入(3,14)，(13,38)，得{3k +b =1413k +b =38， 解得{k =2.4b =6.8， ∴y =2.4x +6.8，当y =26时，2.4x +6.8=26，解得x =8，故答案为：8．先求出y 与x 的函数解析式，再将y =26代入即可求出x 的值．本题考查了一次函数的应用，根据函数图象求出一次函数解析式是解题的关键．15.【答案】1【解析】解：根据题意得：这个多边形的边数是360°÷72°=5，∴这个正多边形的对称轴共有1条．故答案为：1．根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和边数的关系是解题的关键．16.【答案】9.6【解析】【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．【解答】解：如图所示：作BE⊥AE于点E，由题意可得，BC=6cm，CF=12DC=8cm，故BF=√FC2+BC2=√62+82=10(cm)，可得：∠CFB=∠BAE，∠C=∠AEB，故△BFC∽△BAE，∴BC EB =FBAB，∴6 BE =1016，解得：BE=9.6．故答案为：9.6．17.【答案】y=x2−2x+4【解析】解：将抛物线y=(x−1)2+1向上平移2个单位可得抛物线yy=(x−1)2+1y=(x−1)2+3=x2−2x+4，故答案为：y=x2−2x+4．抛物线y=(x−1)2+1向上或向下平移2个单位求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，掌握二次函数图象的平移规律．18.【答案】2或4017【解析】【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、锐角三角函数定义、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分两种情况画出图形，①当∠AFB′=90°时，由△BDF∽△BAC，得出BFBC =BDAB，求出BF=165，再根据sin∠B=sin∠FB′E，得出ACAB =EFB′E，可得方程610=165−xx，求解即可得出答案；②当∠AB′F=90°时，由Rt△ADC≌Rt△ADB′得出AC=AB′=6，然后由sin∠B=sin∠B′EH，得出B′HB′E =ACAB=35，设BE=B′E=x，则B′H=35x，EH=45x，再根据勾股定理列方程可求出答案．【解答】解：分两种情况讨论：①如图1，当∠AFB′=90°时，在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵D是BC的中点，∴BD=CD=12BC=4，∵∠AFB′=∠BFD=90°，∠ACB=90°，∴∠DFB=∠ACB，又∵∠DBF=∠ABC，∴△BDF∽△BAC，∴BF BC =BDAB，即BF8=410，解得：BF=165，设BE=B′E=x，则EF=165−x，∵∠B=∠FB′E，∴sin∠B=sin∠FB′E，∴AC AB =EFB′E，∴6 10=165−xx，解得x=2，且适合此方程，∴BE=2；②如图2中，当∠AB′F=90°时，连接AD，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H，∵AD=AD，CD=DB=DB′，∠AB′D=∠ACD=90°，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′(HL)，∴AC=AB′=6，∵将△BDE沿直线DE翻折，∴∠B=∠DB′E，∵AB′⊥DB′，EH⊥AH，∴DB′//EH，∴∠DB′E=∠B′EH，∴∠B=∠B′EH，∴sin∠B=sin∠B′EH，∴B′H B′E =ACAB=35，设BE=B′E=x，则B′H=35x，EH=45x，在Rt△AEH中，AH2+EH2=AE2，∴(35x+6)2+(45x)2=(10−x)2，解得x=4017，∴BE=4017，则BE的长为4017，综上，BE的长为2或4017．故答案为：2或4017．19.【答案】解：a2−3a+2a 2−4÷(a +1−4aa+2) =(a−2)(a−1)(a+2)(a−2)÷a(a+2)+1−4aa+2=a−1a+2÷a 2−2a+1a+2 =a−1a+2⋅a+2(a−1)2=1a−1，当a =√5+3时，原式=√5+3−1=√5+2=√5−2(√5+2)×(√5−2)=√5−2．【解析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．20.【答案】解：{x −3y =2(1)x 2−2xy +y 2−16=0(2)，由(2)得：(x −y +4)(x −y −4)=0， ∴x −y +4=0或x −y −4=0．(1)和新方程组成新的方程组为{x −3y =2x −y +4=0或{x −3y =2x −y −4=0，解这两个方程组得{x =−7y =−3或{x =5y =1．所以原方程组的解为{x 1=−7y 1=−3，{x 2=5y 2=1．【解析】把组中的第二个方程利用因式分解法化为两个一次方程，再与组中的第一个方程组成新的方程组，求解即可．本题考查了高次方程，掌握整式的因式分解，把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．21.【答案】解：(1)∵点A(a,4)在正比例函数y =2x 的图象上，∴4=2a ， ∴a =2， ∴A(2,4)，∵反比例函数y =mx (m ≠0,x >0)的图象过点A ，∴m =2×4=8，∴反比例函数的解析式为y =8x；(2)作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，则AM//BN ， ∴AMBN =OAOB ， ∵AB =2OA ， ∴OA OB =13，∵AM =4， ∴BN =12，把y =12代入y =2x 求得x =6，代入y =8x求得x =23， ∴B(6,12)，C(23,12)， ∴BC =6−23=163， ∴S △ABC =12×163×(12−4)=643．【解析】(1)由正比例函数解析式求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；(2)作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，则AM//BN ，即可证得AM BN=OA OB =13，即可求得BN =12，进一步求得B 、C 的坐标，得到BC =163，然后根据三角形面积公式即可求得． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．22.【答案】解：(1)如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据题意可知：AB =AC ，AD ⊥BC ， ∴BC =2BD ，∠BAD =∠CAD =12∠BAC ，当∠BAC=33°时，∠BAD=∠CAD=16.5°，在△ABD中，BD=AD×tan16.5°≈3.5×0.30=1.05(m)，∴BC=2BD=2.10(m)，当∠BAC=40°时，∠BAD=∠CAD=20°，在△ABD中，BD=AD×tan20°≈3.5×0.36=1.26(m)，∴BC=2BD=2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m−2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；(2)设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为(x+4000)元．由题意可得：1000000x+4000=1000000×(1−20%)x，解得：x=16000，经检验x=16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【解析】(1)过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB=AC，当∠BAC=33°时，当∠BAC=40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；(2)设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为(x+4000)元．由题意列出方程即可解决问题．本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AB=DC，∠BCD=∠DAB=∠ABC=∠D=90°，∴∠ABF=180°−∠ABC=90°，∵AE⊥AF，∴∠FAE=90°，∴∠FAE−∠BAE=∠DAB−∠BAE，∴∠BAF=∠DAE，∵∠D=∠ABF=90°，∴△ABF∽△ADE，∴AB AD =AFAE，∴DC AD =AFAE，∵∠D=∠FAE=90°，∴△AEF∽△DAC；(2)如图：∵FE平分∠AFB，∴∠AFE=∠CFE，∵∠FAE=∠BCD=90°，EF=EF，∴△AFE≌△CFE(AAS)，∴AF=CF，AE=EC，∵FG=FG，∴△AFG≌△CFG(SAS)，∴∠FAG=∠FCG，∵∠BAF=∠DAE，∴∠DAE=∠FCG，∵∠DAE+∠AED=90°，∠BCG+∠DCG=90°，∴∠DCG=∠AED，∴AE//CG，∵AB//CD，∴四边形AGCE是平行四边形，∵AE=EC，∴四边形AGCE为菱形．【解析】(1)根据矩形的性质可得AB//CD，AB=DC，∠BCD=∠DAB=∠ABC=∠D=90°，根据垂直定义可得∠FAE=90°，从而可得∠BAF=∠DAE，进而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性质可得DCAD =AFAE，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答；(2)根据角平分线的定义可得∠AFE =∠CFE ，从而证明△AFE≌△CFE ，进而可得AF =CF ，AE =EC ，然后再证△AFG≌△CFG ，从而可得∠FAG =∠FCG ，再结合(1)的结论可得∠DAE =∠FCG ，最后利用等角的余角相等可得∠DCG =∠AED ，从而可得AE//CG ，进而利用菱形的判定方法即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵直线y =kx +3交y 轴于点B ，∴B(0,3)，∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过点B(0,3)，点C(1,0)， ∴{c =3−1+b +c =0，解得：{b =−2c =3，∴抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3， 令y =0，得−x 2−2x +3=0， 解得：x 1=−3，x 2=1， ∴A(−3,0)，把点A 的坐标代入y =kx +3，得−3k +3=0， 解得：k =1，∴直线AB 的解析式为y =x +3；(2)∵点P 为线段AB 上的点，且点P 的横坐标为m ， ∴P(m,m +3)，且−3≤m ≤0， ∵过P 作y 轴的平行线交抛物线于M ， ∴M(m,−m 2−2m +3)，∴PM =−m 2−2m +3−(m +3)=−m 2−3m ，∵PB 2=(m −0)2+(m +3−3)2=2m 2，且−3≤m ≤0， ∴PB =−√2m ，∵△PBM 是MP 为腰的等腰三角形，B(0,3)， ∴MP =PB 或MP =MB ， ∵OA =OB =3，∠AOB =90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∵PM//OB，∴∠BPM=45°，①当MP=PB时，∴−m2−3m=−√2m，解得：m=0(舍去)或m=−3+√2，∴P(−3+√2,√2)；②当MP=MB时，则∠PBM=∠BPM=45°，∴∠BMP=90°，∴BM//x轴，即点M的纵坐标为3，∴−m2−2m+3=3，解得：m1=0(舍去)，m2=−2，∴P(−2,1)，综上所述，点P的坐标为(−3+√2,√2)或(−2,1)；(3)∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，∴抛物线的顶点D(−1,4)，设经过点D(−1,4)且平行直线AB的直线DG的解析式为y=x+n，如图2，则−1+n=4，解得：n=5，∴y=x+5，联立，得x+5=−x2−2x+3，解得：x1=−1，x2=−2，∴点G的横坐标为−2，∵顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内(不含边界)，∴点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，∴m的取值范围为：−2<m<−1．【解析】(1)先求出点B(0,3)，运用待定系数法可求得抛物线的解析式为y=−x2−2x+3，令y=0，可求得A(−3,0)，把点A的坐标代入y=kx+3，即可求得直线AB的解析式为y=x+3；(2)设P(m,m+3)，且−3≤m≤0，则M(m,−m2−2m+3)，可得PM=−m2−3m，运用两点间距离公式可得PB=−√2m，根据△PBM是MP为腰的等腰三角形，分两种情况：MP=PB或MP=MB，分别建立方程求解即可得出答案；(3)利用待定系数法可求得经过点D(−1,4)且平行直线AB的直线DG的解析式y=x+5，联立，得x+5=−x2−2x+3，可得点G的横坐标为−2，根据题意可知：点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，故−2<m<−1．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用分类讨论思想和方程思想解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】(1)证明：∵DF=BF，∴∠DOF=∠FOB，连接OF，在半圆O中，OD=OF=OB，∴∠ODF=∠OFD=12(180°−∠DOF)，∠OFB=∠OBF=12(180°−∠FOB)，∴∠ODF=∠OFD=∠OFB=∠OBF，∵∠CFB=180°−∠OFB−∠OFD=180°−∠OFB−∠OBF=∠FOC，又∵∠FCB=∠OCF，∴△FCB∽△OCF，∴BF CF =OFOC，又∵OF=OB=BC=12OC，∴BF CF =12；(2)解：连接DO交AF于点M，连接BF，∵点D平分AF⏜，OD是半径，∴OD⊥AF于点M，AM=MF，∵OA=OB，∴OD//BF，OM=12BF，又∵OC=OB，BF//OD，∴BF OD =CBOC=12，设OM=a，则BF=2a，OD=OF=4a，DM=3a，在Rt△OMF中，由勾股定理得，MF=√OF2−OM2=√(4a)2−a2=√15a，在Rt△DMF中，tan∠DFA=DMMF =3a√15a=√155；(3)解：由题意有∠DGO=∠CGE，当∠ODG=∠DCE=90°时，∵OC=2OB=2DO，∴∠DCO=30°，∴∠AOD=120°，当∠DOG=∠DCE=90°时，设BE的中点为H，连接HO，HC，在Rt△DOE中，OH=12DE=HD，∴∠HDO=∠HOD，在Rt△DOE中，CD=CE，∴HC=12DE，CH⊥DE，∴HC=12DE=HO，∴∠HOC=∠HCO，∵四边形HCOD的内角和为360°，∴∠DOC=135°，∴∠AOD=45°．综上所述，∠AOD为120°或45°．【解析】(1)连接OF，证明△FCB∽△OCF，由相似三角形的性质可得出BFCF =OFOC，则可得出结论；(2)连接DO交AF于点M，连接BF，证出BFOD =CBOC=12，设OM=a，则BF=2a，OD=OF=4a，DM=3a，由勾股定理求出MF=√15a，由锐角三角函数的定义可得出答案；(3)当∠ODG=∠DCE=90°时，由直角三角形的性质可求出答案；当∠DOG=∠DCE=90°时，设BE的中点为H，连接HO，HC，由直角三角形的性质可求出答案．本题是圆的综合题，考查了圆的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。

2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D 2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 ． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 ． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ．11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 ． 12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 ．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 （用向量a 、b 表示）．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 米．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 （用含n 的式子表示）．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 ．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x=的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 ．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2) 223134xxx x+>--⎧⎪+⎨-⎪⎩．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b aba ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a=+，23b=-．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，//CD AB，10AB=，以AB为直径的O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．（1）求CD的长；（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．23．（12分）如图，在ACB∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90ABC行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：324．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．25．（14分）如图，已知BAC ∠，且3cos 5BAC ∠=，10AB =，点P 是线段AB 上的动点，点Q 是射线AC 上的动点，且AQ BP x ==，以线段PQ 为边在AB 的上方作正方形PQED ，以线段BP 为边在AB 上方作正三角形PBM ．（1）如图1，当点E 在射线AC 上时，求x 的值；（2）如果P 经过D 、M 两点，求正三角形PBM 的边长；（3）如果点E 在MPB ∠的边上，求AQ 的长．2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D【解答】解：A 、当0m <B 、当1m <-无意义，故此选项不符合题意；C 、当1m =-时，11m +无意义，故此选项不符合题意；D 、m故选：D ．2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-【解答】解：将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得2(3)2y x =---， ∴顶点坐标为(3,2)-，故选：A ．3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯【解答】解：将0.0000077用科学记数法表示是67.710-⨯．故选：C ．4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【解答】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和(32)180180=-⋅︒=︒，若边数不变，则内角和(42)180360=-⋅︒=︒，若边数增加1，则内角和(52)180540=-⋅︒=︒，所以，所得多边形内角和的度数可能是180︒，360︒，540︒，不可能是270︒．故选：B ．5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 【解答】解：A 、3y x =图象过一、三象限，但y 值随x 值的增大而增大，故A 不符合题意； B 、2y x =图象不经过三象限，对称轴为y 轴，在第一象限内，y 随x 增大而增大，故B 不符合题意；C 、3y x=图象过一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小，故C 符合题意； D 、1y x=-图象经过二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；故选：C ．6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形 【解答】解：E 是AC 中点，AE EC ∴=， DE EF =，∴四边形ADCF 是平行四边形，AD DB =，AE EC =，12DE BC ∴=， DF BC ∴=，CA CB =，AC DF ∴=，∴四边形ADCF 是矩形；故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= 2m n ．【解答】解：22232m n nm m n -=．故答案为：2m n ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 115x -+=，215x --= ． 【解答】解：去分母得：21x x x x +-=+， 解得：15x -±= 检验：把15x -±=代入得：左边=右边， 则分式方程的解为115x -+=，215x --． 故答案为：115x -+，215x --=． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 21x y =-⎧⎨=-⎩ ． 【解答】解：2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩①②， 由②，得1x y =-③，把③代入①，得22(1)3y y --=，整理，得22y -=，解，得1y =-．把1y =-代入③，得2x =-．所以原方程组的解为21x y =-⎧⎨=-⎩． 故答案为：21x y =-⎧⎨=-⎩． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是94k >- ． 【解答】解：根据题意得△234()0k =-->，解得94k >-． 故答案为94k >-． 11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 260(1)100x += ．【解答】解：依题意得：260(1)100x +=．故答案为：260(1)100x +=．12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 43 ．【解答】解：四边形ABCD 为菱形，1302ABD ABC ∴∠=∠=︒，12BO BD =，BD AC ⊥． 在Rt ABO ∆中，cos BO ABO AB ∠=， 3cos 4232BO AB ABO ∴=⋅∠=⨯=． 243BD BO ∴==． 故答案为：43．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 25b a - （用向量a 、b 表示）．【解答】解：过点D 作DE BC ⊥于E ．//AD BC ，180A ABC ∴∠+∠=︒，90A ∠=︒，90ABE ∴∠=︒，DE BC ⊥，90DEB =︒∴四边形ABED 是矩形，2AD BE ∴==，4AB DE ==，5CD =，90CED ∠=︒， 2222543CE CD DE ∴=-=-=，∴2255BE BC b ==， //AB DE ，AB DE =，∴DE a =，25BD BE ED b a =+=-， 故答案为：25b a -．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 14． 【解答】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为A 、B ，画树状图如图：共有4个等可能的结果，符合条件的结果有1个，∴小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是14， 故答案为：14． 15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 5.4 米．【解答】解：由题意得：AOC BOD ∠=∠．AC CD ⊥，BD CD ⊥，90ACO BDO ∴∠=∠=︒．~ACO BDO ∴∆∆．∴AC OC BD OD=． 即1.826BD =． 5.4BD ∴=（米)．故答案为：5.4．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 2n （用含n 的式子表示）．【解答】将条件数据1、3、6、10、15、21、⋯，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，⋯，这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即212=⨯，623=⨯，1234=⨯，2045=⨯，⋯，∴(1)2n n n x ⨯+=，(1)n ． 所以21(1)(1)2n n n n n n x x n --⨯+⨯++==． 故答案是：2n ．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 545 ．【解答】解：如图，过D '作D E AD '⊥于点E ，过点B 作BF AB ⊥'于点F ，由题意得：10AD AD '==，6D E CD '==，6AB AB ='=，DAD BAB ∠'=∠'．63sin 105D E DAD AD '∠'==='， 3sin 5BAB ∴∠'=． ∴11354662255BAB S AB BF ∆'=⨯'⨯=⨯⨯⨯=． 故答案为：545． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x =的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 2y x =- ．【解答】解：点(6,2)E -在反比例函数k y x =的图象上， 6(2)12k ∴=⨯-=-，∴反比例函数为12y x=-， 如图，OE 顺时针旋转90︒，得到OD ，连接DE ，交OA 于F ，点(6,2)E -，(2,6)D ∴--，45AOE ∠=︒，45AOD ∴∠=︒，OD OE =，OA DE ∴⊥，DF EF =，(2,4)F ∴-，设直线DE 的解析式为y kx b =+，∴2662k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩，解得125k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线DE 的解析式为152y x =-， ∴设直线OA 的解析式为y mx =，把F 的坐标代入得，42m -=，解得2m =-，∴直线OA 的解析式为2y x =-，故答案为2y x =-．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2)223134x x x x +>--⎧⎪+⎨-⎪⎩． 【解答】解：解不等式3(5)3(2)x x +>--，得： 2.5x >-，解不等式223134x x +-，得：20x ， ∴不等式组的解集为20x ．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a =23b = 【解答】解：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--2()[]()()()1a b b a b ab a b a b a b b -+=-⋅-+-- 1()1b ab a b a b b =-⋅--- 11b ab a b b -=⋅-- ab a b=-， 当23a =+，23b =-时，原式(23)(23)3(23)(23)232323+-====+--+-+． 21．（10分）如图，在梯形ABCD 中，//CD AB ，10AB =，以AB 为直径的O 经过点C 、D ，且点C 、D 三等分弧AB ．（1）求CD 的长；（2）已知点E 是劣弧DC 的中点，联结OE 交边CD 于点F ，求EF 的长．【解答】解：（1）AB 为直径，点C 、D 三等分弧AB ，∴60AD CD BC ===︒60AOD COD BOC ∴∠=∠=∠=︒．OC OD =，OCD ∴∆为等边三角形．152CD OD AB ∴===． （2）点E 是劣弧DC 的中点，∴DE EC =．AD BC =，∴AE BE =．OF CD ∴⊥．OC OD =，1302DOFDOC∴∠=∠=︒．在Rt ODF∆中，cosOF FODOD∠=．353cos5OF OD FOD∴=⋅∠=⨯=．5OE OD==，535EF OE OF∴=-=-．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：箱号每箱橘子的损耗重量（千克）箱号每箱橘子的损耗重量（千克）10.88110.77根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．【解答】解：（1）从统计意义的角度考虑，方案②比较合适，因为此时每箱橘子都有被抽到的可能，选取的样本具有代表性，属于简单随机抽样，所以方案②比较合适；（2）(8.578.15)(1020)100%8.36%+÷⨯⨯=．即估计这批橘子的损耗率为8.36%；（3）10000(18.36%)2100005000⨯--⨯=，x解得， 2.73x≈．答：该公司可确定这批橘子的销售价格约为2.73元/千克，能够尽可能达到该公司的盈利目标．23．（12分）如图，在ACBABC∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：3【解答】（1）证明：四边形CBDE 是平行四边形， //DE BC ∴，90ABC ∠=︒，90AFD ∴∠=︒，DF AB ∴⊥，又D 为AC 的中点，AD BD ∴=，AF BF ∴=，即EF 垂直平分AB ；（2）证明：延长ED 交AB 于点F ，由（1）知，EF 垂直平分AB ，12DF BC ∴=， 四边形CBDE 是平行四边形，BC DE ∴=，32EF DF DE BC ∴=+=， BE 平分ABC ∠，45FBE ∴∠=︒，45FBE FEB ∴∠=∠=︒，BF EF ∴=， 32BF BC ∴=， 23AB BF BC ∴==．24．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．【解答】解：（1）对于443y x =-+①，令4403y x =-+=，解得3x =，令0x =，则4y =， 故点A 、B 的坐标分别为(0,4)、(3,0)，由点A 、B 的坐标知，4OA =，3OB =，则5AB =， 连接BC ，如下图，点C 在ABO ∠的平分线上，则OC CD =，BC BC =，Rt BCD Rt BCO(HL)∴∆≅∆，故3BD OB ==，则532AD =-=，设OC CD x ==，则4AC x =-，在Rt ADC ∆中，由勾股定理得：22(4)4x x -=+，解得32x =， 故点C 的坐标为3(0,)2， 则抛物线的表达式为21322y x =+； （2）如上图，过点C 作//CH x 轴交AB 于点H ，则ABO AHC ∠=∠， 由AB 得表达式知，4tan tan 3ABO AHC ∠==∠，则3tan 4ACH ∠=， 故直线CD 的表达式为3342y x =+②， 联立①②并解得65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点D 的坐标为6(5，12)5， 如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，则//DE y 轴，且DE CF =， 故125D DE y ==， 则123395210F C y y DE =+=+=， 故点F 的坐标为39(0,)10； （3）点E 是BO 的中点，故点3(2E ，0)， 由（2）知，直线CD 的表达式为34y x m =+③， 联立①③并解得，点D 的坐标为4812(25m -，3616)25m +， 而点E 、C 的坐标分别为3(2，0)、(0,)m ， CEDF 是菱形，则DE CE =， 即22224812336163()()()252252m m m -+-+=+， 即29360m m -=，解得4m =（舍去）或0，故0m=．25．（14分）如图，已知BAC∠，且3cos5BAC∠=，10AB=，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上的动点，且AQ BP x==，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED，以线段BP为边在AB上方作正三角形PBM．（1）如图1，当点E在射线AC上时，求x的值；（2）如果P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；（3）如果点E在MPB∠的边上，求AQ的长．【解答】解：3cos5A=，则4sin5A=．（1）当点E在AC上时，则90AQP∠=︒，AQ PB x==，则10AP AB PB x=-=-，则3 cos105AQ xAAP x===-，解得154x=；（2）如图1，过点Q作QH AP⊥于点H，P经过D、M两点，则PQ PD PB AQ x====，∴点H是AP的中点，则622cos 5AP AH x A x ===， 则6105AB AP PB x x =+=+=， 解得5011x =， 即正三角形PBM 的边长为5011；（3）①当点E 在PC 边上时，如图2，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，作PQ 的中垂线交QH 于点G ，交PQ 于点N ， 则180180456075QPA MPB QPE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 则907515HQP ∠=︒-︒=︒，则15230HGP ∠=︒⨯=︒， 在Rt PHQ ∆中，设PH t =，则2GQ GP t ==，3GH t =，423sin 5QH t t x A x ∴===，解得5(23)t =+ 则31055(23)AP AH PH PB x x =++==+， 解得100253x +=； ②当点E 在AB 边上时，如图3，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，则3sin5PH QH AQ A x===，3cos5AH x A x==，PH AH∴>，即点P在BA的延长线上，与题意不符；综上，100253 AQ+=．。