吉林省长春市2020高三文科数学二模试题含答案

理科数学试题 第1页（共4页）长春市普通高中2020届高三质量监测（二）理科数学本试卷共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区。

2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|(2)0}A x x x =−≤，{1,0,1,2,3}B =−，则A B = A. {1,3}− B. {0,1,2} C. {1,2} D. {0,1,23}，2. 若1(1)i z a =+−（a ∈R ），||2z =，则a =A. 0或2B. 0C. 1或2D. 13. 下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是A.2log 2xy = B.21log ()2x y = C. 21log y x=D.14y x =4. 已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是 A.1aB. 3aC. 8aD. 10a5. 若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12λ=−a e e ，且||3=a ，则实数λ= A. 1− B. 2 C. 0或1− D. 2或1−6. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是 A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲理科数学试题 第2页（共4页）7. 命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=−恒成立；:q 0a ∀>，()lna xf x a x+=−为奇函数，则下列命题是真命题的是 A.p q ∧ B. ()()p q ⌝∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D. ()p q ⌝∧8. 在ABC △中，30C =，2cos 3A =−，2AC =，则AC 边上的高为A.2B. 2C.D. 29. 2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有 A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 36种10. 在正方体1111-ABCD A B C D 中，点,,E F G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π. 正确命题的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01(,)2M y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为 A. 22y x = B. 24y x = C. 26y x = D. 28y x =12. 已知11()x x f x e e x −−=−+，则不等式()(32)2f x f x +−≤的解集是 A. [1,)+∞ B. [0,)+∞ C. (,0]−∞ D. (,1]−∞理科数学试题 第3页（共4页）ACBA 1C 1B 1M NG二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若,x y 满足约束条件222022x y y x y +⎧⎪−⎨⎪−⎩≥≤≤，则z x y =+的最大值为____________.14. 若1205()3a x dx −=⎰，则a =____________. 15. 已知函数()sin()6f x x πω=+（0ω>）在区间[,2)ππ上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是________________.16. 三棱锥A BCD −的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD =，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________；三棱锥A BCD −体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为_____________. （本题第一空2分，第二空3分.）三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. （12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼. 现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图： （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上(2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++)18. （12分）如图，直三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ， 1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG .（Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N −−的余弦值.)理科数学试题 第4页（共4页）19. （12分） 已知数列{}n a 满足，11a =，24a =，且21430n n n a a a ++−+=（*n ∈N ）. （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +−为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .20. （12分） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34−.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. （12分） 已知函数()x f x e =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m ∈R ，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>−恒成立，求最大的整数k .（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. [选修4-4 坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值.23. [选修4-5 不等式选讲]（10分） 已知函数()|1||1|f x ax x =++−. （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围.数学（理科）试题参考答案及评分标准 第1页（共4页）长春市普通高中2020届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. A3. C4. A5. D6. D7. A8. C9. B 10. C 11. C 12. A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13. 414. 215. 511(,]61216. 43π， 三、解答题17. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）由题意0.025m =.（4分）（Ⅱ） 222()100(800300) 4.762()()()()50503070n ad bc K a b c d a c b d −⨯−==≈++++⨯⨯⨯.对照表格可知，4.762 6.635<， 不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. （12分） 18. (本小题满分12分)【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）由题意，11A B MNG A B GN GN MNG ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面，设1A B 与GN 交于点E ， 在BNE △中，可求得BE =，则1A E = 可求得13AG =，则1AG =.（6分）（Ⅱ）以1B 为原点，1B B 方向为x 轴，1B C 方向为y 轴，11B A 方向为z 轴， 建立空间直角坐标系.(4,0,0)B ，(2,2,0)M ，(3,0,2)G ，(2,0,0)N(2,2,0)BM =−，(1,0,2)BG =−，1(2,2,1)n =(0,2,0)NM =，(1,0,2)NG =，2(2,0,1)n =−1212||3|cos |5||||3n n n n θ⋅===⋅⋅即二面角B MG N −−的余弦值为5. （12分）19. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】（Ⅰ）已知21430n n n a a a ++−+=，则2113()n n n n a a a a +++−=−，数学（理科）试题参考答案及评分标准 第2页（共4页）且213a a −=，则1{}n n a a +−为以3为首相，3为公比的等比数列，所以13nn n a a +−=，11221131()()......()2n n n n n n a a a a a a a a −−−−=−+−++−+=..（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：3nn b n n =⋅−，121323......3n n T n =⨯+⨯++⨯， ①23131323......(1)33n n n T n n +=⨯+⨯++−⨯+⨯， ②①-②可得1121133233 (3332)n nn n n T n n +++−−=+++−⨯=−⨯，则111333(21)33424n n n n n n T +++−⨯−⨯+=−+=即1(21)33(1)42n n n n n S +−⨯++=−. （12分）20. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）已知点P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，可设00(,)P x y ，即2200221x y a b +=，又2200022200034AP BP y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==−=−+−−， 且22c =，可得椭圆C 的方程为22143x y +=.（4分） （Ⅱ）设直线AP 的方程为：(2)y k x =+，则直线OM 的方程为y kx =. 联立直线AP 与椭圆C 的方程可得：2222(34)1616120k x k x k +++−=， 由2A x =−，可得226834p k x k −=+，联立直线OM 与椭圆C 的方程可得：22(34)120k x +−=，即221234M x k=+， 即222|||||||||2||02|2||||||P A Q A P M M x x x x AP AQ x OM x x −⋅−⋅+⋅+===. 即2||||||AP AQ OM ⋅为定值，且定值为2. （12分）21. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】（Ⅰ）已知函数()xf x e =，则(1,(1))f 处即为(1,)e ，又()xf x e '=，(1)k f e '==，可知函数()xf x e =过点(1,(1))f 的切线为(1)y e e x −=−，即y ex =. （4分）数学（理科）试题参考答案及评分标准 第3页（共4页）（Ⅱ）不等式21(2())1m f x x+>−中， 当0m =时，显然成立；当0m ≠时，不等式可化为12()f x x +> 令11()2()2x h x f x e x x =+=+， 则21()2x h x e x'=−， 令00201()20xh x e x '=−=，解得0123x <<（此处可由验证得到）.即()h x 的最小值为002000111()2xh x e x x x =+=+，令01t x =∈，则220011(3t t x x +=+∈+，将()h x 的最小值设为a，则(3a ∈，因此原式需满足a >210am −+>在m ∈R 上恒成立，又0a >，可知判别式840k a =−<即可，即2ak <，且(3a ∈k 可以取到的最大整数为2. （12分）22. (本小题满分10分) 【参考答案与评分细则】（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y −+=； 曲线2C 的普通方程为：80x y +−=.（5分）（Ⅱ）设过原点的直线为tan y x θ=（34πθ≠）；在曲线1C 中，||4|cos |OM θ=.而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8||sin cos ON θθ=+，因此28||24sin cos ||4|cos ||sin cos cos |)1|4ON OM θθπθθθθθ+===+++，即||||ON OM1)=.（10分）23. (本小题满分10分)【参考答案与评分细则】数学（理科）试题参考答案及评分标准 第4页（共4页）（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪ >⎪⎪=++−=+ −⎨⎪⎪− <−⎪⎩≤≤，由此可知，()9f x <的解集为{|33}x x −<< （5分）（Ⅱ）当0a >时，()f x 的最小值为(1)1f >； 当0a =时，()f x 的最小值为(1)1f =； 当0a <时，()f x 的最小值不恒大于1. 综上，(0,)a ∈+∞.（10分）。

故选：A 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.
3.下列与函数 y 1 定义域和单调性都相同的函数是（ ） x
A. y 2log2 x
【答案】C 【解析】
B.
y
log2
1 2
x
C.
y
log2
1 x
1
D. y x4
【分析】
分析函数 y 1 的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. x
标值满分为 5 分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）
A. 甲的数据分析素养高于乙
B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C. 乙的六大素养中逻辑推理最差
D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】D
【解析】
【分析】
根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.
【详解】对于 A 选项，甲的数据分析 3 分，乙的数据分析 5 分，甲低于乙，故 A 选项错误. 对于 B 选项，甲的建模素养 3 分，乙的建模素养 4 分，甲低于乙，故 B 选项错误. 对于 C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理 5 分，不是最差，故 C 选项错误. 对于 D 选项，甲的总得分 4 5 3 3 4 3 22 分，乙的总得分 5 4 5 4 5 4 27 分，所以乙的
A. 4
B. 2
C. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
2
r
利用平面数量积的定义和运算性质计算出 a 的值，进而可得出 a 的值.
【详解】由于位向量 e1 、 e2 夹角为 60
，则 e1 e2
e1
e2
cos 60
1 2
，
D. 1
2

2020年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．若集合M={1，2，3，4}，N={x|x（x﹣3）＜0}，则M∩N等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{x|1＜x＜3}D．{2，3，4}2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1+3iD．1﹣3i3．在等差数列{a n}，a6=9，a3=3a2，则a1等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣24．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=6x+y的最大值为（）A．2B．C．6D．5．若双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±2xC．y=±xD．y=±2x6．如图，在梯形ABCD中，AB=3CD，则下列判断正确的是（）A．=3B．=﹣C．=﹣D．=﹣+7．某几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积等于（）A．B．2C．D．38．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为（）A．﹣4B．﹣7C．﹣22D．﹣329．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（，0），（，0），为了得到f（x）的图象，只需将g（x）=2sinωx的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位10．若关于x的不等式4x+x﹣a≤在x∈（0，]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，1]C．（﹣∞，﹣]D．[﹣，1]11．设α为锐角，则“log2tanα＞1”是“0＜sin2α＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．直线x﹣4y+1=0经过抛物线y=ax2的焦点，且此抛物线上存在一点P，使PA⊥PB，其中，A（0，2+m），B（0，2﹣m），则正数m的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为1：5：6，公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为．14．曲线f（x）=e x+5sinx在（0，1）处的切线方程为．15．一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，若球心O到此正三角形所在的平面的距离为，则球O的表面积为．16．设S n，为数列{a n}的前n项和，若S n=2n﹣1，则的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，c=b．（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a=4，△BCD的面积为，求BD的长．18．某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组 4 5 7 9 10乙组 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率．19．在四梭推P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，CD=4AB，AC⊥PA，M为线段CP上一点．（1）求证：平面ACD⊥平面PAM；（2）若PM=PC，求证：MB∥平面PAD．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．①设B（，1），且•=，求k的值；②若A与D关于x轴对称，求△AOD的面积的最大值．21．已知函数f（x）=，f′（0）=9，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10．（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；（2）若在区间[1，2]上仅存在一个x0，使得f（x0）≥a，求实数a的值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．2020年吉林省白山市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．若集合M={1，2，3，4}，N={x|x（x﹣3）＜0}，则M∩N等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{x|1＜x＜3}D．{2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合N，再求M∩N．【解答】解：集合M={1，2，3，4}，N={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，∴M∩N={1，2}．故选：B．2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（）A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1+3iD．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=2+i代入z（1﹣z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数z（1﹣z）的共轭复数．【解答】解：∵z=2+i，∴z（1﹣z）=（2+i）（﹣1﹣i）=﹣1﹣3i，∴复数z（1﹣z）的共轭复数为﹣1+3i．故选：B．3．在等差数列{a n}，a6=9，a3=3a2，则a1等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a6=9，a3=3a2，∴a1+5d=9，a1+2d=3（a1+d），解得a1=﹣1，故选：C．4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=6x+y的最大值为（）A．2B．C．6D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=6x+y得y=﹣6x+z，平移直线y=﹣6x+z，由图象可知当直线y=﹣6x+z经过点C时，直线y=﹣6x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（1，0），代入目标函数z=6x+y得z=6×1+0=6．即目标函数z=6x+y的最大值为6．故选：C．5．若双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±2xC．y=±xD．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率求出m=2，然后结合双曲线的渐近线方程进行求解即可．【解答】解：由双曲线方程得a2=m，b2=6，c2=m+6，∵双曲线M：﹣=1（m＞0）的离心率为2，∴=e2=4，即，得m+6=4m，3m=6，得m=2，则双曲线N：x2﹣=1的渐近线y=x=y=±x，故选：A6．如图，在梯形ABCD中，AB=3CD，则下列判断正确的是（）A．=3B．=﹣C．=﹣D．=﹣+【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】在梯形ABCD中，AB=3CD，AB∥DC，利用向量的三角形法则、向量共线定理即可判断出结论．【解答】解：在梯形ABCD中，AB=3CD，AB∥DC，∴，==，，==+=﹣+．故选：D．7．某几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积等于（）A．B．2C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱柱与三棱柱的组合体．【解答】解：由三视图可知该几何体上部分为四棱柱，下部分为三棱柱，四棱柱的底面为边长为1的正方形，高为2，三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为1，三棱柱的高为1，所以几何体的体积V=1×1×2+=．故选C．8．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为﹣18，则输入的S值为（）A．﹣4B．﹣7C．﹣22D．﹣32【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+4﹣9+16﹣25=﹣18，从而解得S的值．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得i=2，满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S=S+4，i=3满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S=S+4﹣9，i=4满足条件i＜6，满足条件i是偶数，S=S+4﹣9+16，i=5满足条件i＜6，不满足条件i是偶数，S=S+4﹣9+16﹣25，i=6不满足条件i＜6，退出循环，输出S的值为S+4﹣9+16﹣25=﹣18，故解得：S=﹣4．故选：A．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（，0），（，0），为了得到f（x）的图象，只需将g（x）=2sinωx的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由零点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式；再根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的图象的相邻两个对称中心的坐标分别为（，0），（，0），可得==﹣，∴ω=3．再根据3×+φ=kπ，k∈Z，可得φ=kπ﹣，﹣π＜φ＜0，φ=﹣，∴f（x）=2sin（3x ﹣）．只需将g（x）=2sin3x的图象向右平移个单位，可得f（x）=2sin3（x﹣）=2sin（3x ﹣）的图象，故选：D．10．若关于x的不等式4x+x﹣a≤在x∈（0，]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，1]C．（﹣∞，﹣]D．[﹣，1]【考点】函数恒成立问题．【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论．【解答】解：不等式4x+x﹣a≤在x∈（0，]上恒成立，等价为不等式4x+x﹣≤a在x∈（0，]上恒成立，设f（x）=4x+x﹣，则函数在∈（0，]上为增函数，∴当x=时，函数f（x）取得最大值f（）=4+﹣=2﹣1=1，则a≥1，故选：A11．设α为锐角，则“log2tanα＞1”是“0＜sin2α＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α为锐角，可得tanα＞0，则“log2tanα＞1”可得：tanα＞2，，可得：⇒“0＜sin2α＜”，反之不成立，例如取α=．即可判断出结论．【解答】解：∵α为锐角，∴tanα＞0，则“log2tanα＞1”⇒tanα＞2，⇒，∴⇒“0＜sin2α＜”，反之不成立，例如取α=．∴“log2tanα＞1”是“0＜sin2α＜”的充分不必要条件．故选：A．12．直线x﹣4y+1=0经过抛物线y=ax2的焦点，且此抛物线上存在一点P，使PA⊥PB，其中，A（0，2+m），B（0，2﹣m），则正数m的最小值为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线的焦点，得到未知量a，由垂直得到斜率乘积是﹣1，由此得到m的取值范围．【解答】解：∵y=ax2的焦点坐标为（0，）∴a=1，∴抛物线为y=x2，设P点坐标为（x，x2）∵PA⊥PB，其中，A（0，2+m），B（0，2﹣m），∴k PA k PB=﹣1∴x4﹣3x2+4﹣m2=0有解令t=x2，（t≥0）则方程变为t2﹣3t+4﹣m2=0，且在t≥0上有解，∵对称轴为t=，∴只需△≥0即可，∴m≥故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为1：5：6，公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为15．【考点】分层抽样方法．【分析】根据总体中年员工的所占的比例、样本的容量，求出应抽取中年员工的人数【解答】解：因为老年、中年、青年所占的比例为1：5：6，所以参演的中年员工的人数为：36×=15，故答案为：15．14．曲线f（x）=e x+5sinx在（0，1）处的切线方程为y=6x+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=e x+5cosx，则f′（0）=e0+5cos0=1+5=6，即函数在（0，1）处的切线斜率k=f′（0）=6，则对应的方程为y﹣1=6x，即y=6x+1，故答案为：y=6x+115．一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，若球心O到此正三角形所在的平面的距离为，则球O的表面积为40π．【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出正三角形外接圆的半径，再求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积S．【解答】解：∵一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，∴正三角形外接圆的半径r=3××=，∵球心O到此正三角形所在的平面的距离为d=，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=40π．故答案为：40π．16．设S n，为数列{a n}的前n项和，若S n=2n﹣1，则的最大值为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】S n=2n﹣1，可得a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n．则=，﹣1再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵S n=2n﹣1，∴a1=S1=2﹣1=1，=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1则==≤=，当且仅当n=3时取等号．∴的最大值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，c=b．（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a=4，△BCD的面积为，求BD的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由C=60°，可得sinC，由c=b，可得：，又由正弦定理可得：，解得sinB，结合b＜c，可得B为锐角，利用三角形内角和定理可求B，A的值．（2）利用三角形面积公式及已知可求CD，由余弦定理即可解得BD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵C=60°，可得：sinC=，由c=b，可得：，又∵由正弦定理，可得：，解得：sinB=，∵由已知可得b＜c，可得B为锐角，∴可得：B=45°，A=π﹣B﹣C=75°．（2）∵△BCD的面积为，即：a•CD•sinC==，解得：CD=1，∴由余弦定理可得：BD===．18．某车间将10名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1号2号3号4号5号甲组 4 5 7 9 10乙组 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过14件，则称该车间“生产率高效”，求该车间“生产率高效”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）先分别求出，和S甲2，S乙2，由此能够比较两组员工的业务水平．（Ⅱ）记“优秀团队”为事件A，从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件共25种，事件A包含的基本事件共11种，由此能求出“优秀团队”的概率．【解答】解：（Ⅰ）依题意，=（4+5+7+9+10）=7，=（5+6+7+8+9）=，S=[（4﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=5.2，S=[（5﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]=2．∵=，S甲2＞S乙2，∴两组员工的总体水平相同，甲组员工的业务水平差异比乙组大．（Ⅱ）记“优秀团队”为事件A，则从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共25种，事件A包含的基本事件为：（7，8），（7，9），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9），共11种，∴P（A）=．19．在四梭推P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，CD=4AB，AC⊥PA，M为线段CP上一点．（1）求证：平面ACD⊥平面PAM；（2）若PM=PC，求证：MB∥平面PAD．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由CD⊥平面PAD得PA⊥CD，结合PA⊥AC，得PA⊥平面ACD，故平面ACD⊥平面PAM；（2）在PD上取点E，使得PE=PD，连结ME，AE，可得ME∥CD，ME=CD，因为AB∥CD，AB=CD，所以AB与ME平行且相等，推出四边形ABME是平行四边形，故MB∥AE，所以MB∥平面PAD．【解答】证明：（1）∵CD⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA，又∵AC⊥PA，CD∩AC=C，∴PA⊥平面ACD，∵PA⊂平面PAM，∴平面ACD⊥平面PAM．（2）在PD上取点E，使得PE=PD，连结ME，AE．∵PM=PC，∴ME∥CD，ME=CD，又∵AB∥CD，AB=CD，∴ME∥AB，ME=AB，∴四边形ABME是平行四边形，∴MB∥AE，又∵AE⊂平面PAD，MB⊄平面PAD，∴MB∥平面PAD．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．①设B（，1），且•=，求k的值；②若A与D关于x轴对称，求△AOD的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求出圆O的方程，运用直线和圆相切的条件，求出b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可求出a，进而能求出椭圆方程．（2）设出A的坐标，代入椭圆方程，求出交点A的坐标，①运用向量的当量积的坐标表示，计算即可得到所求值；②运用三角形面积公式，结合基本不等式即可得到△AOD的面积最大值．【解答】解：（1）由题设知圆O的方程为x2+y2=b2，∵直线l：x﹣y+2=0与圆相切，故有，解得b=，∵e=，∴a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3，∴椭圆C的方程为．（2）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0，由，解得，①∵==，解得k=，或k=0（舍），∴k=．②∵=≤=．当且仅当k=时取等号．∴S△AOD的最大值为．21．已知函数f（x）=，f′（0）=9，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10．（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；（2）若在区间[1，2]上仅存在一个x0，使得f（x0）≥a，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到=9，结合b+c=10，求出b，c的值即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，求出a即可．【解答】解：（1）f′（x）=，∴f′（0）==9，而b+c=10，解得：b=9，c=1，∴f（x）=，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞或x＜﹣，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，）递增，在（，+∞）递减；（2）由（1）得：f（x）在（﹣，）递增，在（，+∞）递减，①a≥1时，≤1，f（x）在[1，2]递减，∴f（x）max=f（1）==a，解得：a=，②0＜a≤时，≥2，f（x）在[1，2]递增，∴f（x）max=f（2）==a，无解，③＜a＜1即1＜＜2时，f（x）在[1，）递增，在（，2]递减，f（x）max=f（）==a，无解，综上，a=．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．（l）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）连结OC，OC⊥AB，推导出OA=OB，OC⊥AB，由此能证明直线AB与⊙O 相切．（2）延长DO交⊙O于点F，连结FC，由弦切角定理得△ACD∽△AFC，从而=，由此能求出AO的长．【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴，又OD=OE，∴OA=OB，如图，连结OC，∵AC=CB，∴OC⊥AB，又点C在⊙O上，∴直线AB与⊙O相切．解：（2）如图，延长DO交⊙O于点F，连结FC，由（1）知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD=∠F，∴△ACD∽△AFC，∴tan∠ACD=tan∠F=，又∠DCF=90°，∴=，∵AD=2，∴AC=6，又AC2=AD•AF，∴2（2+2r）=62，∴r=8，∴AO=2+8=10．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离．（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，结合题设条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，∴令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，∴3ρ=2，∴直线l与极轴的交点到极点的距离ρ=．（2）直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2，曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，∵曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，∴．∴实数m的取值范围是（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）化不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10为3个不等式组，解不等式组可得；（2）由题意可得﹣10＜a+b＜10，由基本不等式可得（x﹣4）（﹣9）≤25，由恒成立可得m+25≤﹣10，解不等式可得．【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10等价于，或或，解得﹣5＜x＜5，故可得集合A=（﹣5，5）；（2）∵a，b∈A=（﹣5，5），x∈R+，∴﹣10＜a+b＜10，∴（x﹣4）（﹣9）=1﹣﹣9x+36=37﹣（+9x）≤37﹣2=25，∵不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，∴m+25≤﹣10，解得m≤﹣352020年7月21日。

B x lg x 1 x 0 x 10
A B x 0 x 1
故答案选 B
【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题型.
2.已知向量
a,b 满足
a
（2，1）， b
（1，y），且 a
b ，则
a
2b
＝（
）
A. 5
B. 5 2
C. 5
D. 4【答案】C【解 Nhomakorabea】【分析】
根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得 y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案.
12
12
12
12
故选：B
【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题. 9.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且 f（﹣4）＝0，则使得 xf（x）＞0
w＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数
f（x）
的单调递增区间为（ ）
A.
k
6
，k
5 6
，k
Z
B.
k
12
，k
5 12
，k
Z
C.
k
5 6
，k
11 6
，k
Z
D.
k
5 6
，k
11 12
，k
Z
【答案】B
【解析】
【分析】
根据周期求得 ，再根据单调区间的求法，求得 f x 的单调区间.
【详解】∵y＝﹣2
6.函数
f
(x)
x3 ex ex
的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据解析式求得函数奇偶性，以及 f 1 即可容易求得结果.