可分离变量的微分方程

2y2 x2 xy
xy y2

2 1
y 2
x


y x
y y 2
,
x x
令u y , 则 dy xdu udx, x
u

xu

2u2 1 u

u u2
,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
X 2(u2 2u 1) C, 即Y 2 2XY X 2 C, 将 X x 1,Y y 2 代回， 得原方程的通解 ( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C, 或 x2 2xy y2 2x 6 y C1.
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5

y
4
5dy

2
x
2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函

(
Ce
y)
x,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
例 6 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
五、小结
分离变量法步骤:

特殊一点的形式： y f (x, y) dy f (x, y)
dx
如 y 2xy y tan y
x
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一阶微分方程 y f (x, y)
也可写成对称形式 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
若将x视为自变量，y为因变量，方程可改写为
dy y

1
x x
2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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练习2. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.

dM M
dt
M (0) M0
M M 0et
自学
指数减少模型
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例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系.
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指数减少 Exponential Decay
x0
x x0ekt
plot(3*exp(-0.3*x),x=0..10,thickness=3,view=[0..10,0..4],ytickmarks=4);
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原

8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的．
练习5 [第二宇宙速度]
地球对物体的引力F与物体的质量m、物体离地心的
距离s的关系为
，这里g是重力加速度，
R为地球半径．验证：如果物体以 度发射，则永远不会返回地球．
的初速
研究 解 （1）建立微分方程 由牛顿第二定律F=ma，其中
，有
故有 初始条件为时s=R时， .
练习3 [环境污染问题]
某水塘原有50000t清水(不含有害杂质)，从时间 t=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘．流入的 速度为2t/min，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以 2t/min的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物 质的浓度达到4%?
解 （1）建立微分方程 设在时刻t塘中有害物质的含量为Q(t)，此时塘中
三、进一步的练习
练习1 [国民生产总值]
1999年我国的国民生产总值（GDP）为80 423亿元， 如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年我 国的GDP是多少？
解 (1)建立微分方程 记t=0代表1999年，并设第t年我国的GDP为P(t)．由 题意知，从1999年起，P(t)的相对增长率为8%，即
2. [死亡年代的测定] 遗体死亡之后，体内碳的含 量就不断减少，已知碳的衰变速度与当时体内碳的含 量成正比，试建立任意时刻遗体内碳含量应满足的方 程．
3. [镭的衰变] 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度 与它的现存量成正比．由经验材料得知，镭经过1600
年后，只剩原始量R0的一半．试求镭量与时间t的函数
4.2 可分离变量的微分方程
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、案例 1 [人口问题 ] 英国学者马尔萨斯(Malthus，1766-1834)认为 人口的相对增长率为常数，即如果设t时刻的人口 数为x(t)，则人口增长速度 与人口总量x(t) 成正比，从而建立了Malthus人口模型。

微分方程中的变量可分离与齐次方程微分方程是数学中的一个重要概念，描述了一个未知函数与其导数之间的关系。

在微分方程的求解过程中，常常会遇到变量可分离与齐次方程这两种特殊类型的方程。

本文将对这两种类型的微分方程进行详细介绍，并给出相应的求解方法和示例。

一、变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程是指可以通过将方程中的未知函数与自变量进行分离，从而将微分方程化为两个独立的方程。

具体来说，变量可分离的微分方程可以表示为以下形式：dy/dx = f(x)g(y)其中，f(x)和g(y)是关于自变量x和未知函数y的函数。

为了解决变量可分离的微分方程，我们可以按照以下步骤进行求解：1. 将方程中的未知函数与自变量进行分离，得到以下形式：g(y)dy = f(x)dx2. 对上述方程两边同时积分，得到：∫g(y)dy = ∫f(x)dx3. 对上述两个积分进行求解，得到未知函数y的表达式。

下面通过一个具体的例子来说明变量可分离的微分方程的求解过程。

例子：求解微分方程dy/dx = x/y解：根据上述步骤，我们可以将方程进行变量分离，得到：ydy = xdx接下来，对上述方程两边同时积分，得到：∫ydy = ∫xdx解上述两个积分，得到：(1/2)y^2 = (1/2)x^2 + C其中，C为常数。

最后，我们可以得到未知函数y的表达式：y = ±√(x^2 + 2C)这就是给定微分方程dy/dx = x/y的通解。

二、齐次方程的求解齐次方程是指其中所有项次数相同的微分方程。

具体来说，齐次方程可以表示为以下形式：dy/dx = f(x,y)其中，f(x,y)是关于自变量x和未知函数y的函数。

为了求解齐次方程，我们可以按照以下步骤进行：1. 引入新的变量，令y = vx，其中v是一个新的函数。

2. 对上述等式两边同时求导，得到：dy/dx = v + xdv/dx3. 将上述结果代入原方程中，得到：v + xdv/dx = f(x,vx)4. 将上述方程进行整理，得到一个只含有v和x的方程。