配套K12高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理互动课堂学案

二 圆内接四边形的性质与判定定理主动成长夯基达标1.已知四边形ABCD 是圆内接四边形,下列结论中正确的有（ ）①如果∠A ＝∠C ,则∠A ＝90°②如果∠A ＝∠B ,则四边形ABCD 是等腰梯形 ③∠A 的外角与∠C 的外角互补④∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是1∶2∶3∶4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路解析:由“圆内接四边形的对角互补”可知:①相等且互补的两角必为直角;②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D 的特例);③互补两内角的外角也互补;④两组对角之和的份额相等(这里1＋3≠2＋4).因此得出①③正确,②④错误. 答案:B2.圆内接平行四边形一定是（ ）A.正方形B.菱形C.等腰梯形D.矩形思路解析:由于圆内接四边形对角互补,平行四边形的对角相等,所以圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形. 答案:D3.如图2-2-6所示,AB 、CD 都是圆的弦,且AB ∥CD ,F 为圆上一点,延长FD 、AB 交于点E .求证:AE ·AC ＝AF ·DE .图2-2-6思路分析:连结BD ,则BD ＝AC ,即证AE ·BD ＝AF ·DE .证明:连结BD ,∵AB ∥CD , ∴BD ＝AC .∵A 、B 、D 、F 四点共圆, ∴∠EBD =∠F .∵∠E 为△EBD 和△EFA 的公共角, ∴△EBD ∽△EFA .∴AE DE =AF BD. ∴AE DE =AFAC ,即AE ·AC ＝AF ·DE . 4.如图2-2-7所示,在△ABC 中,AB =AC ,延长CA 到P ,再延长AB 到Q ,使得AP =BQ . 求证:△ABC 的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆.图2-2-7思路分析:要证O 、A 、P 、Q 四点共圆,只需证∠CPO =∠AQO 即可.为此,只要证△CPO ≌△AQO 即可.证明:连结OA 、OC 、OP 、OQ.在△OCP 和△OAQ 中,OC =OA , 由已知CA =AB ,AP =BQ, ∴CP =AQ .又O 是△ABC 的外心, ∴∠OCP =∠OAC .由于等腰三角形的外心在顶角平分线上, ∴∠OAC =∠OAQ ,从而∠OCP =∠OAQ . ∴△OCP ≌△OAQ . ∴∠CPO =∠AQO .∴O 、A 、P 、Q 四点共圆.5.如图2-2-8,在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,D 是AC 中点,DE 平分∠ADB ,交AB 于E ,过A 、D 、E 的圆交BD 于N.求证:BN =2AE .图2-2-8思路分析:要证BN =2AE ,由已知有AB =AC =2AD ,所以只需证AE BN =2 ADAB.而又因为AE =NE ,所以只需证NE BN =ADAB,这可由△BNE ∽△BAD 证得. 证明:连结EN ,∵四边形AEND 是圆内接四边形,∴∠BNE =∠A .又∵∠ABD =∠EBN,∴△BNE ∽△BAD .∴EN BN =ADAB. ∵AB =AC ,AC =2AD ,∴AB =2AD . ∴BN =2EN .又∵∠ADE =∠NDE ,∴AE =EN , ∴AE =EN ,∴BN =2AE .6.如图2-2-9,已知四边形ABCD 内接于⊙O ,边AB 与DC 的延长线交于点E ,边AD 与BC 的延长线相交于点F ,EG 与FG 分别是∠AEC 和∠AFC 的角平分线.求证:EG ⊥FG.图2-2-9思路分析:注意到EG 平分∠AED,因此，要证GF ⊥GE ,只要构造等腰三角形，便可利用三线合一的性质来证.证明:延长FG 交AB 于M,∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠NCF =∠A.∵∠MNE =∠NFC +∠NCF , ∴∠MNE =∠NFC +∠A . 又FG 平分∠AFB , ∴∠AFM =∠NFC . ∴∠MNE =∠A +∠AFM. 又∠NME =∠A +∠AFM ,∴∠MNE =∠NME ,即EM =EN . 又∵GE 平分∠MEN ,∴GE ⊥MN , 即EG ⊥FG .7.如图2-2-10,已知半圆的直径AB =6 cm,CD 是半圆上长为2 cm 的弦,AC 与BD 延长线交于P ,当弦CD 在半圆上滑动时,求证:∠P 为定值,并求出这个定角的正弦值.图2-2-10思路分析:要证∠P 为定值,考虑求出∠P 的三角函数值,因此,构造以∠P 为内角的直角三角形,注意到AB 为直径,则连结B C 、AD 均可得到直角三角形. 解:连结BC ,∵CD 为定长,圆直径为定值,∴在CD 滑动过程中,CD 的度数不变, ∴∠PBC 为定值.又AB 为直径,∴∠ACB =∠PCB =90°, ∴∠P =90°-∠PBC 为定值.∵∠PCD =∠PBA ,∴△PCD ∽△PBA .∴3162===BA CD PB PC . 在Rt△PBC 中,cos P =31=PB PC ,∴sin P =322)31(12=-. 8.如图2-2-11,已知四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是直径,AD =DC ,分别延长BA 、CD 交于点E ,BF ⊥EC ,交EC 的延长线于F ,若EA =AO ,BC =12.求CF 的长.图2-2-11思路分析:在Rt△CFB 中,已知BC =12,要求CF,只有寻找与它相似的三角形,根据四边形ABCD 内接于⊙O ,则∠BCF =∠BAD ,因此连结BD ,构造Rt△BAD ,下面证明△BAD ∽△BCF . 解:连结OD 、BD ,∵AD = DC ,∴AD =DC .∴∠ABC m21m m ∠AOD .∴OD ∥BC .∴BC OD =EBEO.∵EA =AO =BO ,BC =12,∴OD =8.∴AB =16,EB =24. ∵四边形ABCD 内接于⊙O,∴∠EDA =∠EBC .∴△EDA ∽△EBC . ∴BC AD =EB ED =ECEA. 设AD =CD =x ,ED =y , 则12x =24y=yx +8,解得24=x , 28=y , ∴24==DC AD .∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB =∠F =90°. 又∠DAB =∠FCB ,∴Rt△ADB ∽Rt△CFB . ∴CF AD =BCAB,即CF 24=1216,∴23=CF .走近高考9.如图2-2-12所示,在半径为1的⊙O 中,引两条互相垂直的直径AE 和BF ,在EF 上取点C ,弦AC 交BF 于P ,弦CB 交AE 于Q .证明四边形APQB 的面积是1.图2-2-12思路分析:由已知条件可以证明四边形ABEF 是正方形,且边长为2,则正方形面积为 2.而△ABD 的面积为正方形面积的一半,所以,只需证明S 四边形APQB =S △ABD ,即证S △BPD =S △BPQ ,即证DQ ∥PB .因为BP ⊥AE ,所以,只需证DQ ⊥AE .证明:∵AE 、BF 为互相垂直的两条直径,垂足O 为圆心,∴AE 、BF 互相平分、垂直且相等.∴四边形ABEF 是正方形. ∴∠ACB =∠AEF =45°,即∠DCQ =∠QED .∴D 、Q 、E 、C 四点共圆.连结CE 、DQ ,则∠DCE +∠DQE =180°. ∵AE 为⊙O 的直径,∴∠DCE =90°,∠DQE =90°. ∵∠FOE =90°,进而DQ ∥BF ,∴S △BPQ =S △BPD , ∴S △ABP +S △BPQ =S △ABP +S △BPD ,即S 四边形ABQP =S △ABD .∵⊙O 的半径为1,∴正方形边长为2,即AB =AF =2. ∴S 四边形ABQP =S △ABD =21AB ·AF =1. 10.如图2-2-13,△ABC 的∠A 的外角平分线交△ABC 的外接圆于点D . 求证:AB +AC ＜2BD .图2-2-13思路分析:因为比较的是两条线段的和与另一条线段的大小,所以应将两条线段的和转化为一条线段,故可延长BA 到E ,使得AE =AC ,然后比较BE 与2BD 的大小关系.证明:在BA 延长线上取点E ,使得AE =AC .连结DC 、DE 、BD .∵AE =AC ,∠1=∠2,AD =AD , ∴△ADE ≌△ADC . ∴DE =DC.在△BED 中,BE ＜BD +DE =BD +DC ,即AB +AC ＜BD +DC . ∵ABCD 是圆内接四边形,∴∠1=∠BCD . 又∵∠2 =∠DBC ,∠1=∠2, ∴∠BCD =∠DBC .∴BD =DC. 因此AB +AC ＜2BD 成立.11.如图2-2-14,已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点,通过P作正方形的边的垂线,垂足为E、F、G、H.你能发现E、F、G、H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想.图2-2-14思路分析:根据正方形的对称性,可以猜想,此四个点应当在以O为圆心的圆上,于是连结线段OE、OF、OG、OH,再设法证明这四条线段相等.解:猜想:E、F、G、H四个点在以O为圆心的圆上.证明:如图,连结线段OE、OF、OG、OH.在△OBE、△OBF、△OCG、△OAH中,OB =OC=OA.∵PEBF为正方形,∴BE =BF =CG =AH,∠OBE =∠OBF =∠OCG =∠OAH.∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.∴OE =OF =OG =OH.由圆的定义可知:E、F、G、H在以O为圆心的圆上.。

第⼆讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理第⼆讲直线与圆的位置关系2.2 圆内接四边形的性质与判定定理A级基础巩固⼀、选择题1．圆内接平⾏四边形⼀定是( )B．菱形A．正⽅形D．矩形C．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对⾓互补，平⾏四边形的对⾓相等，所以圆内接平⾏四边形的各⾓均为直⾓，故为矩形．答案：D 2．已知AB，CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC⼀定是( )A．矩形B．菱形D．等腰梯形C．正⽅形解析：AB，CD均为⊙O的直径，故四边形ADBC的四个⾓均为直⾓，且对⾓线AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形．答案：A 3．四边形ABCD内接于圆，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶3，则∠D等于( )B．72°A．36°D．54°C．144°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠A＋∠C＝180°.⼜由∠A∶∠C＝7∶3，设∠A＝7x，∠C＝3x，则10x＝180°，即x＝18°，所以∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案：B4.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上⼀点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )A．20°B．40°C．80°D．100°解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，⼜由圆周⾓定理知∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C 5．如图所⽰，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠B CD的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．75°解析：如图所⽰，连接AD，则△ABD是直⾓三⾓形，∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，根据同弧所对的圆周⾓相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案：A⼆、填空题6.如图所⽰，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB与DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为____．解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BCP＝∠A.⼜∠P＝∠P，所以△BCP∽△DAP.所以BCAD＝PBPD＝13.答案：137．如图所⽰，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AC是⊙O1的直径，延长CA，CB，分别交⊙O2于D ，E，则∠CDE＝______．解析：连接AB，因为AC是⊙O1的直径，所以∠ABC＝90°.⼜因为∠ABC＝∠ADE，所以∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案：90°8．如图所⽰，点A，B，C，D在同⼀个圆上，AB，DC相交于点P，AD，BC相交于点Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，那么∠Q＝________．解析：因为∠A＝50°，∠P＝30°，所以∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.⼜∠QCD＝∠A＝50°，所以∠Q＝180°－80°－50°＝50°.答案：50°三、解答题9.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三⾓形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．⼜AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.⼜∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三⾓形．10.如图所⽰，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AC＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值．(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BCFA＝DCEA，所以△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B、E、F、C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，所以∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°，所以CA是△ABC外接圆的直径．(2)解：连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，因为DB＝BE，CE＝DC，⼜因为BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2，⼜因为DC2＝DB·DA＝3DB2，所以CE2＝3DB2.所以过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值为1 2.B级能⼒提升1.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )A．120°B．136°C．144°D．150°解析：因为∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，所以∠ECD＝72°.由圆内接四边形的性质得∠A＝∠ECD＝72°.⼜由圆周⾓定理知∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.答案：C 2．两圆相交于A，B，过A作两直线分别交两圆于C，D和E，F.若∠EAB ＝∠DAB，则CD＝________．解析：因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.⼜因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD与△EBF中，∠ECD＝∠BEF，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF，所以CD＝EF.答案：EF3.如图所⽰，A，B，C，D四点在同⼀圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同⼀圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从⽽∠FED＝∠GEC.如图，连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.⼜CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．。

二圆内接四边形的性质与判定定理图2－2－11．圆内接四边形的性质定理(1)定理1：圆的内接四边形的对角互补．如图2－2－1：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.图2－2－2(2)定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图2－2－2：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定定理及其推论(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．1．“内接于圆的平行四边形、菱形、梯形分别是矩形、正方形、等腰梯形”这种说法正确吗？【提示】正确．根据圆内接四边形的对角互补可证．2．圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？【提示】 性质定理1和判定定理互为逆定理，性质定理2和判定定理的推论互为逆定理．图2－2－3如图2－2－3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，在AB 上截取PA ＝AC ，以PC 为直径的圆分别交AB 、BC 、AC 于D 、E 、F.求证：PA PB ＝DADP.【思路探究】 先利用PC 是圆的直径，得到PF ∥BC ，再利用圆内接四边形的性质，得到DF ∥PC ，最后利用平行线分线段成比例证明结论．【自主解答】 连接DF 、PF. ∵PC 是直径， ∴PF ⊥AC. ∵BC ⊥AC ， ∴PF ∥BC ，∴PA PB ＝FA FC. ∵四边形PCFD 内接于⊙O ， ∴∠ADF ＝∠ACP ， ∵AP ＝AC ， ∴∠APC ＝∠ACP.∴∠ADF ＝∠APC.∴DF ∥PC ， ∴DA DP ＝FA FC ，∴PA PB ＝DA DP .1．在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等． 2．圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．如图2－2－4所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，延长AB和DC相交于点E，EG平分∠AED，且与BC、AD 分别交于F、G.图2－2－4求证：∠CFG＝∠DGF.【证明】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBF＝∠ADE.又EF是∠AED的平分线，则∠BEF＝∠DEG，∴△EBF∽△EDG.∴∠EFB＝∠DGF.又∵∠EFB＝∠CFG，∴∠CFG＝∠DGF.图2－2－5如图2－2－5所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G，求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．【思路探究】(1)要证D、E、F、G四点共圆，只需找到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，证点H即为圆心．(2)要证G、B、C、F四点共圆，只需证∠B＝∠AFG(或∠C＝∠AGF)，由D、E为中点，可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需证∠ADE＝∠AFG，由D、E、F、G四点共圆可得．【自主解答】(1)如图，连接GF，取GF的中点H.∵DF⊥AB，EG⊥AC，∴△DGF，△EGF都是直角三角形．又∵点H是GF的中点，∴点H到D、E、F、G的距离相等，∴点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由(1)知D、G、F、E四点共圆．由四点共圆的性质定理的推论，得∠ADE＝∠AFG.∵AD＝DB，AE＝EC，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠AFG＝∠B，∴G、B、C、F四点共圆．1．解答本题(1)是利用到定点的距离等于定长的点在同一圆上来证明的，本题(2)利用了圆内接四边形判定定理的推论来证明的．2．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆；(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)与线段两端点连线夹角相等(或互补)的点连同该线段两端点在内共圆．图2－2－6如图2－2－6，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P，求证：E，D，P，F四点共圆．【证明】∵AP⊥BC，F为AC的中点，∴PF是Rt△APC斜边上的中线，∴PF＝FC，∴∠FPC＝∠C，∵E、F、D分别为AB、AC、BC的中点，∴EF∥CD，ED∥FC，∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED，∴E、D、P、F四点共圆.如图2－2－7，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.图2－2－7(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．【思路探究】(1)利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质定理求解．(2)外接圆的圆心在BC边的高上，设出外接圆的半径为r，用r表示BC边上的高．【自主解答】(1)证明：如图，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB ＝75°.∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆的面积为4π.1．解答本题(2)时关键是找出外接圆的圆心位置，然后用外接圆的半径表示出BC边上的高．2．此类问题综合性较强，考查知识点较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立．如图2－2－8所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB使它们交于点E.求证：AE·AC＝AF·DE.图2－2－8【证明】如图，连接BD，∵AB ∥CD ，∴BD ＝AC. ∵A 、B 、D 、F 四点共圆， ∴∠EBD ＝∠F. 又∵∠DEB ＝∠FEA ， ∴△EBD ∽△EFA. ∴DE AE ＝BD AF .∴DE AE ＝AC AF ， 即AE·AC＝AF·DE.(教材第30页习题2.2第3题)如图2－2－9，已知四边形ABCD 内接于圆，延长AB 和DC 相交于E ，EG 平分∠E ，且与BC 、AD 分别相交于F 、G ，求证：∠CFG ＝∠DGF.图2－2－9(2018·广州调研)四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，AB ＝40°，则∠D ＝__________.【【解析】 如图连接AC.∵AB ＝40°.BC 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝20°，∠BAC ＝90° ∴∠B ＝180°－∠BAC －∠ACB ＝70° ∴∠D ＝180°－∠B ＝110°.【答案】 110°1．四边形ABCD 内接于圆O ，延长AB 到E ，∠ADC ＝32°，则∠CBE 等于( ) A ．32° B ．58° C ．122° D．148°【解析】 根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角知，∠CBE ＝32°.【答案】 A2．下列说法正确的有( )①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形不能是梯形；④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形．A．0个 B．1个C．2个 D．3个【解析】①是圆内接四边形的性质定理2，正确．由于圆内接四边形的对角互补，不一定相等，②不正确．圆内接四边形可以是梯形，③不正确；顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形．④不正确．【答案】 B3．如图2－2－10，两圆相交于A，B，过A的直线交两圆于点C，D，过B的直线交两圆于点E，F，连CE，DF，若∠C＝115°，则∠D＝________.图2－2－10【解析】如图，连接AB，∵∠C＝115°，∴∠ABE＝65°，∴∠D＝∠ABE＝65°.【答案】65°4．四边形ABCD内接于圆O，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，则∠D＝________.【解析】∵圆内接四边形的对角互补，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝140°.又∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－60°＝120°.【答案】120°一、选择题1．如图2－2－11，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )图2－2－11A．120°B．136°C．144°D．150°【解析】设∠BCD＝3x，∠ECD＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°.∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°.【答案】 C2．如图2－2－12，在⊙O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数为( )图2－2－12A．30° B．45°C．50° D．60°【解析】连接OA，OB，∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，∴∠BCA＝12∠AOB＝30°，∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.【答案】 C图2－2－133．如图2－2－13所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似三角形的对数为( )A．4 B．3C．2 D．1【解析】利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4对．【答案】 A图2－2－144．如图2－2－14，AB 是⊙O 的弦，过A 、O 两点的圆交BA 的延长线于C ，交⊙O 于D ，若CD ＝5 cm ，则CB 等于( )A ．25 cmB ．15 cmC ．5 cm D.52cm【解析】 连接OA ，OB ，OD ， ∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠ODB ＝∠OBD. ∵C ，D ，O ，A 四点共圆， ∴∠OAB ＝∠CDO ，∠CDO ＝∠OBA ， ∴∠CDO ＋∠ODB ＝∠OBA ＋∠OBD ， 即∠CDB ＝∠CBD ，∴CD ＝CB ， ∵CD ＝5 cm ，∴CB ＝5 cm. 【答案】 C 二、填空题图2－2－155．如图2－2－15，以AB ＝4为直径的圆与△ABC 的两边分别交于E ，F 两点，∠ACB ＝60°，则EF ＝________. 【解析】 如图，连接AE. ∵AB 为圆的直径， ∴∠AEB ＝∠AEC ＝90°. ∵∠ACB ＝60°，∴∠CAE ＝30°，∴CE ＝12AC.∵∠C ＝∠C ，∠CFE ＝∠B ， ∴△CFE ∽△CBA. ∴EF AB ＝CE AC， ∵AB ＝4，CE ＝12AC ，∴EF ＝2.【答案】 2图2－2－166．如图2－2－16，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________．【解析】 由于∠PBC ＝∠PDA ，∠P ＝∠P ， 则△PAD ∽△PCB ，∴PC PA ＝PB PD ＝BCAD .又PB PA ＝12，PC PD ＝13，∴PB PA ×PC PD ＝12×13. ∴PC PA ×PB PD ＝16，∴BC AD ×BC AD ＝16. ∴BC AD ＝66. 【答案】66三、解答题7．如图2－2－17，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作AE ∥BD 交CB 的延长线于点E.图2－2－17求证：AB·AD＝BE·CD. 【证明】 如图，连接AC. ∵AE ∥BD ，∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∵∠4是圆内接四边形ABCD 的一个外角，∴∠4＝∠ADC.∴△ABE ∽△CDA ，∴AB CD ＝BE AD， ∴AB·AD＝BE·CD.8．如图2－2－18，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．图2－2－18【解】 (1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD×AB＝mn ＝AE·AC，即AD AC ＝AE AB. 又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB.因此∠ADE ＝∠ACB.所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC. 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.9．如图2－2－19，已知P 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点，通过P 作正方形的边的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.你能判断出E 、F 、G 、H 是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．图2－2－19【解】 猜想：E 、F 、G 、H 四个点在以O 为圆心的圆上．证明如下：如图，连接OE 、OF 、OG 、OH.在△OBE 、△OBF 、△OCG 、△OAH 中，OB ＝OC ＝OA.∵PEBF 为正方形，∴BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∠OBE ＝∠OBF ＝∠OCG ＝∠OAH ＝45°.∴△OBE ≌△OBF ≌△OCG ≌△OAH.∴OE ＝OF ＝OG ＝OH.由圆的定义可知：E 、F 、G 、H 在以O 为圆心的圆上．10.如图，锐角△ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．(1)求证：四点A ，I ，H ，E 共圆；(2)若∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．【解】 (1)证明：由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90°.所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，得，∠IEH ＝∠HAI ；在△HIA 中，∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠B ＋12∠A ＝12(∠B ＋∠A) ＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C. 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ； 所以∠IEH ＝12∠C. 由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°.。

学必求其心得，业必贵于专精
二圆内接四边形的性质与判定定理
一览众山小
学习目标
1。

了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质与判定定理，会运用圆的内接四边形的性质与判定定理证明和计算一些问题.
2。

通过圆内接四边形的判定定理掌握反证法证题的思路和一般步骤.
3。

在探究圆内接四边形的判定定理的过程中，体会数学证明方法的多样性。

学法指导
首先复习圆内接三角形的知识，再利用几何图形，类比圆内接三角形探究圆内接四边形的性质;对于圆内接四边形的判定定理,要结合点与圆的位置关系,分类加以研究，所采用的方法称为反证法，理解反证法证题的思路和一般步骤，即先假设结论不成立，再推导出矛盾,从而肯定原结论。

诱学导入
材料:如图2—2-1，在⊙Ｏ中，A、B、C、D都在同一个圆上,
图2—2—1
问题：①指出图中圆内接四边形的外角有几个？
②∠DCH的内对角是哪些角，∠DBG呢？
③与∠DEA互补的角是哪个角?
④∠ECB+（）=180°.
导入：观察图形发现结论。

1。

第二讲直线与圆的位置关系2.2 圆内接四边形的性质与判定定理A级基础巩固一、选择题1．圆内接平行四边形一定是( )B．菱形A．正方形D．矩形C．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．答案：D 2．已知AB，CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是( )A．矩形B．菱形D．等腰梯形C．正方形解析：AB，CD均为⊙O的直径，故四边形ADBC的四个角均为直角，且对角线AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形．答案：A 3．四边形ABCD内接于圆，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶3，则∠D等于( )B．72°A．36°D．54°C．144°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠A＋∠C＝180°.又由∠A∶∠C＝7∶3，设∠A＝7x，∠C＝3x，则10x＝180°，即x＝18°，所以∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案：B4.如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )A．20°B．40°C．80°D．100°解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C 5．如图所示，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．75°解析：如图所示，连接AD，则△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，根据同弧所对的圆周角相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案：A二、填空题6.如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB与DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为____．解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BCP＝∠A.又∠P＝∠P，所以△BCP∽△DAP.所以BCAD＝PBPD＝13.答案：137．如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AC是⊙O1的直径，延长CA，CB，分别交⊙O2于D，E，则∠CDE＝______．解析：连接AB，因为AC是⊙O1的直径，所以∠ABC＝90°.又因为∠ABC＝∠ADE，所以∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案：90°8．如图所示，点A，B，C，D在同一个圆上，AB，DC相交于点P，AD，BC相交于点Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，那么∠Q＝________．解析：因为∠A＝50°，∠P＝30°，所以∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.又∠QCD＝∠A＝50°，所以∠Q＝180°－80°－50°＝50°.答案：50°三、解答题9.如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．10.如图所示，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AC＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BCFA＝DCEA，所以△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B、E、F、C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，所以∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°，所以CA是△ABC外接圆的直径．(2)解：连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，因为DB＝BE，CE＝DC，又因为BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2，又因为DC2＝DB·DA＝3DB2，所以CE2＝3DB2.所以过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为1 2.B级能力提升1.如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )A．120°B．136°C．144°D．150°解析：因为∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，所以∠ECD＝72°.由圆内接四边形的性质得∠A＝∠ECD＝72°.又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.答案：C 2．两圆相交于A，B，过A作两直线分别交两圆于C，D和E，F.若∠EAB＝∠DAB，则CD＝________．解析：因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.又因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD与△EBF中，∠ECD＝∠BEF，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF，所以CD＝EF.答案：EF3.如图所示，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.如图，连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．。

再谈圆内接闭折线垂心的性质赣南师范学院熊曾润在拙文[1]中，我们定义了圆内接闭折线的垂心概念，并揭示了它的若干有趣性质．这里作些补充，为了节省篇幅，本文沿用文[1]中的有关符号而不再复述其意义．定理1设闭折线A(n)内接于圆O，其顶点全集的最大真子集V(n-1)j 的垂心为H j(j＝1，2，…，n)，则闭折线H1H2…H n H1与A(n)是全等的闭折线．证：以圆心O为原点建立直角坐标系xOy(图略)，设A(n)的顶点A i 坐标为(x i，y i)(i＝1，2，…，n)，则垂心H j(j=1，2，…，n)的坐标为(i)根据两点间的距离公式，由(*)可知其中j＝1，2，…，n，且H n＋1、A n+1分别为H1、A1，这就表明：闭折线H1H2…H n H1与A(n)的对应边相等．(ii)由(i)易知△H j H j＋1H j＋2和△A j A j＋1A j＋2的对应边相等，所以△H j H j+1H j＋2与△A j A j＋1A j＋2全等，从而有∠H j H j+1H j+2=∠A j A j＋1H j＋2，其中j＝1，2，…，n，且H n＋1、H n＋2、A n＋1、A n＋2分别为H1、H2、A1、A2．这就表明：闭折线H1H2…H n H1与A(n)的对应角相等．综合(i)和(ii)，可知闭折线H1H2…H n H1与A(n)是全等的闭折线．为了揭示圆内接闭折线垂心的另一性质，我们引入如下概念和引理：这个引理的正确性是极易证明的，证明过程请读者完成．由这个引理可得nd(G)＝d(H)＋(n-1)d(O)．知，H、G、O三点共线，且HG∶GO＝(n-1)∶1，于是由引理可得即nd(G)＝d(H)＋(n-1)d(O)．参考文献1．熊曾润．圆内接闭折线的垂心及其性质．福建中学数学，2000(1)．。