第4讲 分 式.doc

2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第4讲式与方程知识点一：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律1.用字母表示数（1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克2.用字母表示数量关系（1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt；（2）正比例关系：yx=k（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。

3.用字母表示计算公式（1）长方形的周长：C=2（a+b）；（2）长方形的面积：S=ab；（3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。

4．用字母表示运算定律加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc）乘法分配律：（a+b）c-ac+bo重点提示：○1数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。

○2两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2知识点二：等式与方程1.等式与方程的意义及关系意义关系等式表示相等关系的式子叫作等式所有的方程都是等式，但是等式不一定知识精讲方程含有未知数的等式叫作方程是方程2.等式的性质（1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。

3.解方程（1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

（2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。

（3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。

（4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。

第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAY dx= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZT ATZ dx-= (3.22) 我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-2的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00xZ x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军3这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x xxn n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组353dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解 它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--4即 321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根 从上一讲我们已经知道，求解方程组dYAY dx= （3.20） 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军5111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dYA x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明 因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解，所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx+≡+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx = , ()()()dV x A x V x dx= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性无关的.6证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关，从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y1112212212(cos sin )axn n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx eie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军7这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12YY由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是8111det()110301λλλλ----=--A E 即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军9显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型10121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零无素，而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z Z J (3.25) 根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY （3.26） 中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将方程组(3.26)化为d dx=ZJZ (3.27) 我们假定陇东学院数学系常微分方程精品课程教案1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 1112212313dz z z dx dz z dxdz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xxxC z x C x C e z C x C e z C e λλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+= 同样对(3.29)可解得2245455()xx z C x C e z C eλλ=+= 这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000x xx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x x x x x x x x x exe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()x x x x x t x t e t x te t x t e t x te t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y陇东学院数学系常微分方程精品课程教案11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y 则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，1λ是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y (3.32) 其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()x x x e λ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，2λ是(3.26)的二重根，它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若i λ是A 的一个i k 重特征根，则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ，而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样，由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征根，它们的重数分别为12,,,m k k k . 那么，对于每一个i λ，方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P 的线性无关解，这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ=就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ=，其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++=, 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ，则(1) V 的子集合 {()0,}j kj j λ=-=∈V R A E R R V 是矩阵A 的(1,2,,)j k j m =维不变子空间，并且(2) V 有直和分解 12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.陇东学院数学系常微分方程精品课程教案定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根，则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k x k x x x e λ--=+++Y R R R (3.33) 的线性无关解，其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，则得到(3.20)的一个基本解组.证明 由定理3.14知，若j λ是（3.20）的j k 重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有21121011[2(1)]()j j j j j j k x k x j k j k x k xe x x e λλλ----+++-++++R R R R R R 1011()j j j k x k A x x e λ--=+++R R R消去j x e λ，比较等式两端x 的同次幂的系数（向量），有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER （3.35）注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出0R ，再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ，显然，(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基，因此det (0)0≠Y ，于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为 1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11x x e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如陇东学院数学系常微分方程精品课程教案01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中，均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 解 系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ=由定理3.15，可设其解形如22012()()xx x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E RR A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案再将它们依次代入上面的方程，相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，可得原方程组三个线性无关解 22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x x e ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦2231012()0101112xY x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122x x x x x x y x C y x e x x C y x C x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点：1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。

第四讲 方程解应用题内容概述掌握一元一次方程的解法，多元一次方程组的解法，以及具有对称性的多元一次方程的特殊解法.能从已知条件中寻找出等量关系，列出方程或方程组并求解.典型问题兴趣篇：1.解下列方程:(1)12225x x x -+-=-答案：（1）117x =（2）1029x =（3）28x =【解析】（1）第一个方程的解法如下：()()()()()122251051202210105520245516252165711117x x x x x x x x x x x x x x x -+-=---=-+-+=--+=-+=-==两边同时乘以去括号移项(2)1251356x x ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭（2）第二个方程的解法如下：()()125135625135225152291101029x x x x x x x x ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭-=+===两边同时乘以移项(3)111233x x -=+（3）第三个方程两边都是“分数”，所以交叉相乘后仍相等，解法如下：()()()()()111233311123333233233325628x x x x x x x x x x -=+-=⨯+-=+-=+==交叉相乘去括号移项2.在一次选举中，有甲、乙、丙三位候选人，乙的选票比甲的2倍还多5张，丙的选票比甲的一半还少4张，如果甲、乙、丙三人的选票一共有36张，请问：甲得了多少张选票？答案：10张【解析】设甲得了x 张选票．则乙得了()25x +张，丙得了142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭张选票．三人的选票总和为36这一等量关系，可以列出方程()1254362x x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭解这个方程：123612735210x x x x x ++=-== 因此，甲得了10张选票.3.有若干名学生上体育课，体育老师规定每两人合用一个排球，每三人合用一个足球，每四人合用一个篮球，已知排球、足球、篮球共用了26个，问：有多少名学生上体育课？答案：24名【解析】设学生人数为x ，则排球、足球、篮球的个数分别为2x 、3x 、4x． 由于三种球一共26个，我们可以列出方程：26234x x x++= 解方程可得24x =．因此一共有24名学生．4.唐老师给幼儿园大班的小朋友每人发17张画片，小班每人发13张画片．已知大班人数是小班的35，小班比大班总共多发126张画片，求小班的人数．答案：45人【解析】根据本题的等量关系我们应该设小班人数为x ，则大班人数为35x .再表示小班和大班画片的数量：小班每人13张，所以一共发了13x 张； 大班每人17张，所以一共发了3175x ⨯张．由题意，小班比大班多发126张画片，即小班总数减去大班等于12 126．我们以此为等量关系列出方程：313171265x x =⨯+解这个方程可得45x =. 因此小班一共有45人．5.阿呆和阿瓜两人收藏了127张游戏光盘，已知阿呆光盘的12和阿瓜光盘的45合在一起是83张，那么阿呆、阿瓜各收藏了多少张游戏光盘？ 答案：62张，65张【解析】设阿呆收藏了x 张游戏光盘，则阿瓜收藏了()127x -张游戏光盘，依题意得：()141278325x x +-= ()58127830x x +-=510168186x x +-=318662x x ==所以阿呆收藏了62张游戏光盘，阿瓜收蒇了127-62=65张游戏光盘.6.明知小学六年级一班男生的人数占全班总人数的70%，六年级二班的男生比一班男生少2名，而女生人数为一班女生的2倍，若两班合在一起，则男生所占的比例为60%.请问：六年级二班有多少名女生？ 答案：24名【解析】设一班人数为x ，由题意可得：一班男生有70%x 人，女生有30%x 人．二班男生有()70%2x -人，二班女生有230%x ⨯人，即60%x ． 将题目中涉及到的相关人数整理成表格，如下所示：我们以男生总数与所有学生总数的比例为等量关系．列出方程： ()140%260%230%2x x -=⨯-解这个方程得40x =．因此一班一共有40人，则二班女生有60%60%4024x =⨯=人.7.解下面的方程组（1）422217780x y x y +=⎧⎨+=⎩ （2）4714412824x y y x +=⎧⎨-=⎩答案：(1)1,9x y == (2)15,12x y ==【解析】(1)422217780x y x y +=⎧⎨+=⎩①②本题如果用加减消元并不简便，相反如果将①式两边同时除以2得2x+y=11就可以用代入消元的方法来做.由2x+y=11可得y=11-2x ③ 将③代人②，得： 17x+7(11-2x)=80，解这个一元一次方程得：x=1； 将x=1代人③，得y=9；所以原方程组的解为：19x y =⎧⎨=⎩(2)4714412824x y y x +=⎧⎨-=⎩①②本题如果用代入消元法来处理会非常麻烦，注意到①式中x 的系数是4，而②式中x 的系数不带符号看是8，正好成两倍关系，因此我们可以采用加减消元法来处理．将①×2得：8x+14y=288 ③ 把③+②消去x 可得 26y=312， l 从而解得了y=12.将y=12代入①式可求得x=15.所以原方程组的解为：1512x y =⎧⎨=⎩8.小高与萱萱一起在水果店买水果，小高买了3千克苹果和2千克梨，共花了18.8元，萱萱买了2千克苹果和3千克梨，共花了18.2元．你能算出1千克苹果多少元，l 千克梨多少元吗？答案：l 千克苹果4元，1千克梨3.4元 【解析】设1千克苹果x 元，1千克梨y 元，则根据两人的花费列出方程组：3218.82318.2x y x y +=⎧⎨+=⎩①②把①式左右两边同对乘以2，得到： 6x+4y=37.6 ③把②式左右两边同时乘以3，得到： 6x+9y=54.6 ④ 用④式减去③式，得到： 5y=17, 解得y=3.4．把y=3.4代入①式得： 3x+2×3.4=18.8． 解出x=4．由此可见x=4，y=3.4．也就是说，1千克苹果4元，1千克梨3.4元．9.2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的310，8个蟹将和10个虾兵就能把龙宫全部打扫完．如果只让蟹将打扫龙宫，需要多少个？只让虾兵打扫龙宫，需要多少个？答案：蟹将12个，虾兵30个【解析】设一个蟹将所能完成的工作量是x ，一个虾兵所能完成的工作量是y.根据题意，“2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的310”，我们有方程32410x y +=；再根据“8个蟹将和10个虾兵就能打扫完全部龙宫”，还可列出方程8101x y +=．将这两个方程联立即得方程组：324108101x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩①②将①式两边乘以10可将其化为整数方程 20r+40y=3； ③再将②式两边同乘以4可得 32x+40y=4； ④ 再将④-③即可得112x =，进而可得130y =. 因此，只让蟹将打扫需要12个；只让虾兵打扫需要30个.10.如图4-1，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的．正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1:2．她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完．那么在小玲所做纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 答案：1：2【解析】假设竖式纸盒有x 个，横式纸盒有y 个，由分析可知，正方形纸板有(x+2y)块，长方形纸板有(4x+3y)块，由题意：正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1:2，因此我们列出方程：21432x y x y +=+该分数方程交叉相乘可得()4322x y x y +=+化简之后为y=2x ，即x:y=1:2．因此，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1：2．拓展篇：1.解下列方程：（1）31714612x x xx +-++=+（2）321721223423x x ⎡⎤⎛⎫⨯⨯++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（3）355412x x +=+ （4）()()()21725x x x ++=++答案：(1)12x = (2)65x = (3)514x = (4)12x =【解析】(1)原方程可化为：12x+3(x+3)+2(x-l)=7x+12， (两边同时乘以12) 12x+3x+9+2x-2=7x+12， （去括号） 17x+7=7x+12,17x-7x=12-7， （移项） lOx=5． x=0.5(2)原方程可化为：3212722234323x x ⎡⎤⨯++-=⎢⎥⎣⎦（先去小括号）3187226323x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦ 1724423x x +-= （再去中括号）112423x x += （化简）211342x x -= （移项）51122x =65x =(3)原方程可化为：()()235541x x +=+ （交叉相乘）610205x x +=+ （去括号） 206105x x -=- （移项） 145x =514x =(4)原方程可化为：()()()()772225x x x x x x +++=++++ （先拆开一个括号）22772245x x x x x x +++=++++ （再拆开一个括号） 228749x x x x ++=++8749x x +=+ （消去两边的2x ）42x = （移项） 12x =2．一个分数，分子与分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约分后是15，那么原来的分数是多少？答案：3389．【解析】设原来分数的分子是x ，则分母是122x -，分子、分母减去19之后，分别等于x-19和103-x ．此时分数等于15．根据这一等量关系列出方程得1911035x x -=-交叉相乘后得5(x-19)=103-x ，求解可得x=33．此时原来分数的分母是122-x=122-33=89，即原分数就是3389.3．130克含盐5%的盐水，与若干含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水，请问：最后配成的盐水有多少克？答案：200克【解析】设新添的浓度为9%的盐水有x克，那该溶液中盐的重量就9%x克．那么混合后的盐水总质量是(130+x)克，含盐(130×5%+9%x)克．由于混合前与混合后盐的重量相同，因此我们有如下方程：133×5%+9%x=6.4%×(130+x).两边同时乘以100，就可以去掉百分号，变成130×5+9x=6.4×(130+x).求解该方程，可得x=70.由于溶液混合后重量保持不变，因此最终的溶液是130+70=200克．4．如图4-2中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余l，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是n．图4-3中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a 的2倍，求这个自然数．答案：1993【解析】由图4-2可以看出，第二次商等于（8a+7），第一次商等于[8(8a+7)+1]=64a+57，所求的自然数是8（64a+57）+1. ①同样地，由图4-3中的短除式可得，以17为除数的第一次商是（17×2a+15），所求的自然数就是17 (17×2a+15)+4．②由于①、②两式表示的是同一个自然数，因此这两个式子相等，由此可得方程8(64a+57)+1=17 (17×2a+15)+4.解方程可得a=3因此所求的自然数就是17 (17×2a+15)+4=17×(17×6+15)+4=1993．5.数学老师从一个装有若干个红色和蓝色小球的口袋中取出1个红色小球后，袋中剩下的小球有17是红色小球；如果一开始从口袋中取出2个蓝色小球后，袋中剩下的小球就有15是红色小球，那么原来这个口袋中有多少个小球？答案：22个【解析】设原来这个口袋中有x 个小球，依题意得： ()()1111275x x -+=-解得x=22.所以原来这个口袋中有22个小球．6.给六年级五班的同学分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个，已知第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230个苹果．问：该班一共有多少名学生？答案：56名【解析】假设第二组有x 名学生，那么第一组、第三组、第四组学生的人数分别有2x 、（22-x ）、（22-x ）．由题意，总共分出去230个苹果，于是我们以苹果的总数作为等量关系列出方程：2x ×3+x ×4+(22-x ）×5+(22-x)×6=230, 化简得6x+4x+ll0-5x+132-6x=230. 求解得x=12.因此，该班学生的总数是2x+x+(22-x)+(22-x)=44+x=56人.7.甲、乙两车同时从A 、B 两地出发，相向而行，在A 、B 之间不断往返行驶，甲车到达B 地后，在B 地停留了2个小时，然后返回A 地；乙车到达A 地后，马上返回B 地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B 地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：A 、B 两地相距多少千米？答案：420千米【解析】设A 、B 两地相距x 千米，依题意，先求出乙车行驶的时间，减去2小时就是甲车行驶的时间，再乘以甲车的速度就等于甲车行驶的路程，列出方程如下：228826028840x x -⎛⎫-⨯=+⎪⎝⎭ 3432120288x x --=+2840x = 420x =所以A 、B 两地相距420千米．8.解下面的方程组：（1）1194913317x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）2113859y x x y -=⎧⎨-=⎩ （3）18293071628284x y x y +=⎧⎨+=⎩答案：(1) x=2, y=3 (2) x=7, y=4 (3) x=9,y=5【解析】(1)先给方程组编号1194913317x y x y +=⎧⎨-=⎩①②注意到两个方程中y 的系数为9和3，9是3的倍数，因此该方程适合用加减消元法；将①+3×②，并化简得：50x=100 ③ 解③得：x=2．将x=2代人①解得：y=3．所以原方程组的解为：x=2, y=3(2)先给方程组编号2113859y x x y -=⎧⎨-=⎩①②不难看出，第一个方程中的x 很容易用y 来表示，因此该方程适合用代入消元法；由①得：x=2y-l ． ③将③代人②得：13(2y-1)-8y=59． ④ 解④得：y=4．将y=4代入③得：x=7．所以原方程组的解为：x=7, y=4.(3)先给方程组编号18293071628284x y x y +=⎧⎨+=⎩①②两方程的y 的系数相差l ，相减后y 的系数恰为1，因此可以先用两式相减，再用代入消元法来求解；由①-②得：2x+y=23. ③ 由③得：y=23-2x ．将y=23-2x 代入②得：16x+28(23-2x)=284. ④ 解④得：x=9．将x=9代入y=23-2x 得：y=5． 原方程组的解为：x=9,y=59.商店里有大盒、中盒、小盒共27盒筷子，其中大盒中装有18双筷子，中盒中装有12双筷子，小盒中装有8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍．问：三种包装的筷子各有多少盒？答案：大盒数9，中盒数6，小盒数12【解析】设中盒数量为x ，则小盒数量是2x ，两者加在一起为3x ，因此大盒的数量为27-3x ．根据筷子总数为330，我们列出方程：()281227318330x x x ⨯+⨯+-⨯=将其化简整理可得()2818273330x x +-=解得x=6． }所以中盒数为x=6，小盒数为2x=12，大盒数为27-3x=9．10．甲、乙两人从柜距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先出发2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先出发2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇．问：甲、乙两人每小时各走多少千米？答案：甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米【解析】假设甲每小时走x 千米，乙每小时走y 千米．我们以两次行走的总路程为等量．列出方程：()()2 2.5362336x x y y x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 即：95723536x y x y +=⎧⎨+=⎩①②用①式减去②式，得：6x=36，即：x=6．把x=6代入②式，得：5y=18，即：y=3.6因此甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米.11.一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡．如果从右盘中取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡．如果从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，那么需要再给右盘加50克砝码，两边才能平衡，问：白球、黑球每个各重多少克？答案:每个白球重20克，每个黑球重15克【解析】设白球每个重量是x 克，黑球每个重量是y 克.第一次调整，右盘减少了一个白球，增加了两个黑球，所以变化量为2y-x ，而右盘增加了一个白球、一个20克的砝码，并减少了两个黑球，因此变化量为x-2y+20．由于天平仍然维持平衡，因此变化量相等，因此有方程：2022x y y x +-=-用同样的方法，我们可以利用第二次调整过程，列出第二个方程：2250x y y x -=-+将这两个方程联立，即得方程组：20222250x y y x x y y x +-=-⎧⎨-=-+⎩ 解这个方程组可得:x=20,y=15因此每个白球的重量是20克，每个黑球的重量是15克.12．奥运指定商品零售店里的福娃有大号、中号和小号三种．墨莫买了一个大号的、三个中号的和两个小号的，共花了360元；小高买了两个大号的、一个中号的和一个小号的，共花了270元；卡莉娅买了一个大号的、两个中号的和两个小号的，共花了300元，请问：商店里的大号、中号和小号福娃的单价各是多少元？答案:大号80元，中号60元，小号50元【解析】设奥运指定商品零售店里大号、中号和小号福娃的单价是x 元,y 元，z 元.由题意，容易列出以下方程组：32360227022300x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③ 解三元一次方程组的方法还是消元，消去一个未知数，使其变为二元一次方程组．本题可以利用代入消元法求解：①式可转化为x=360-(3y+2z)，将该式代 入②式和③式，得到以下二元一次方程组：()()2360322703603222300y z y z y z y z ⨯--++=⎧⎪⎨--++=⎪⎩解之得到y=60和z=50.为进一步求出x ，我们利用①式的变形x=360-(3y+2z)，再将上面求出的y 、z 代入该式即可得到x=80．最终方程组的解为x=80，y=60，z=50即大号、中号、小号福娃的单价分别是80元、60元、50元．13.如图4-4，墙边放着一块木板，一只猫淘气，爬了上去，使得木板向下滑动了一段距离，现在已知图中的三段长度（单位：厘米），你能求出这块木板的长度吗？答案:250厘米【解析】假设木板下滑后的高度是x 厘米，那么开始时的高度就是(x+90)厘米，由勾股定理，开始时木板长度的平方就是：702+(x+90)2，下滑后木板长度的平方就是：(130+70)2+x 2.由于两个式子表示的是同一块木板，因此有方程：()()2222709013070x x ++=++ 这是一个二次方程，但是把括号拆开就很容易看出含有x 2的项抵消了：4900+180x+8100=40000剩下的就是180x=27000即：x=150因此木板下滑后的高度是150厘米.把x=150代人(130+70)2+x 2，得：(130+70)2+x 2=2002+1502=2502.所以木板的长度就是250厘米.14.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21和17岁．问：这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？答案:18【解析】设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为a 、b 、c 、d ，我们根据题意列出方程，得到一个四元一次方程组：293233213173b c d a a c db a b dc a b cd ++⎧+=⎪⎪++⎪+=⎪⎨++⎪+=⎪⎪++⎪+=⎩ 先别着急用代入消元法计算，我们来看看方程组有什么特点．每个方程未知数的系数都是一个1和3个13，方程的形式都相同，但未知数循环出现．我们可以根据这个特点，用加减消元法计算．首先把这四个方程相加得：()113292321173a b c d ⎛⎫+⨯⨯+++=+++ ⎪⎝⎭将其化简可得：a+b+c+d=45． ⑤把①式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3a-a=29×3-45，即a=21;把②式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3b-b=23×3-45，即b=12；把③式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3c-c=21×3-45，即c=9；把④式两边同时乘以3，再减去⑤式，得：3d-d=17×3-45，即d=3．因此，这四个人的年龄分别是21、12、9、3，其中最大年龄与最小年龄的差是21-3=18.事实上，我们可以把方程组变形，得：22933223332213321733a a b c d b a b c d c a b c d d a b c d +++⎧+=⎪⎪+++⎪+=⎪⎨+++⎪+=⎪⎪+++⎪+=⎩ 很显然，在a 、b 、c 、d 四个数中，最大的是a ，最小的是d ．把第一个式子与第四个式子相减，就可以得到()229173a d -=-，解得a-d=18，也可以得到问题的结果．超越篇：1.丙看到甲、乙两人正在解下面这个方程组：2536704x y x y +=⎧⎨+=⎩其中未知数前面的系数被甲和乙遮住了．甲计算得出方程的解是7x =，3y =；而乙误把“2536”看作“1536”，得到的解是4x =，4y =．试问：方程组四个被遮住的系数中最小的一个是多少？答案:38【解析】设方程组的四个系数依次是a 、b 、c 、d ，即2536704ax by cx dy +=⎧⎨+=⎩甲没有看错数，得出方程组的解是x=7，y=3，代入方程组：73253673704a b c d +=⎧⎨+=⎩乙误把“2536”看作“1536”，得出方程组的解是x=4，y=4代入方程组：44153644704a b c d +=⎧⎨+=⎩ 将上述4个方程重新组合可得:732536441536a b a b +=⎧⎨+=⎩①②7370444704c d c d +=⎧⎨+=⎩③④先解①、②两式组成的方程组，得到解为34638a b =⎧⎨=⎩再解③、④两式组成的方程组，得到44132c d =⎧⎨=⎩ 比较a 、b 、c 、d 这四个系数的大小，可知其中最小的系数是38.2.幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人．老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣；乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣．结果甲班比乙班总共多分3个枣，乙班比丙班总共多分5个枣，问：三个班总共分了多少个枣？答案:673个【解析】设乙班人数为x ，则甲班人数和丙班人数分别是(x+4)和(x-4)人，再设乙班小孩每人分y 个枣，则甲班和丙班每个小孩分到的枣的个数分别为(y-3)和(y+5)个，将这些条件整理成表格如下所示：再根据甲、乙、丙三个班总枣数的差，可以列出方程：()()()()433455x y xy xy x y +--=⎧⎪⎨--+=⎪⎩①②接下来化简方程 ①式左端()()43x y xy =+--()()()43443124312x y x xyxy y x xy y x =+-+-⎡⎤⎣⎦=+---=--类似的，②式左端4520y x =-+这样①、②两方程就化简为43155415y x x y -=⎧⎨-=⎩①②①式与②式相加消去y ，即得2x=30,所以x=15．把x=15代入①式，即得y=(15+3x)÷4=15．于是甲、乙、丙3个班人数分别是19、15、11，每个人分到的枣的个数分别是12、15、20，共分到枣数为19×12+15×15+11×20=228+225+220=673个．3.下表显示了一次钓鱼比赛的结果：已知：①冠军钓到15条鱼；②钓到3条或3条以上的选手平均每人钓到了6条鱼；③钓到12条或者12条以下的选手平均每人钓到了5条鱼．请问：一共有多少名选手参赛？这些选手一共钓到了多少条鱼？答案:共有175名选手参赛，共钓到943条鱼【解析】设钓鱼数在3到12条的人数有x 人，共钓了y 条鱼．则钓了3条或3条以上的所有选手有x+5+2+1=x+8人，他们一共钓了y+13×5+14×2+15×1= y+108条鱼；钓了12条或者12条以下的选手有x+9+5+7=x+21人，他们一共钓了y+0×9+1×5+2×7=y+19条鱼；钓鱼的总人数为(9+5+7)+(x+8)=x+29人，他们共钓了(0×9+l ×5+2×7)+(y+108)=y+127条鱼.根据所给的条件②和③，我们可以列出方程组：()()6810852119x y x y +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得：146816x y =⎧⎨=⎩所以钓鱼的总人数为x+29=175人，他们一共钓了y+127=943条鱼.4.A 、B 两地相距2400米．甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B 地，乙又继续行进50分钟到达A 地．请问：甲比乙每分钟多走多少米？答案:20米【解析】我们不妨设甲、乙分别从A 、B 两地同时出发相向而行要花x 分钟相遇，则分析题中的条件可以知道：甲x 分钟走的路程乙要花50分钟走完，甲18分钟走的路程乙要花x 分钟走完．由路程固定时速度与时间成反比，因而有 50=18x x =甲速乙速 交叉相乘得x 2=900，所以x=30;而505=303=甲速乙速． 另外根据相遇问题速度公式，甲速十乙速=2400÷30=80，再根据甲乙速度的比例关系，我们可以求得两人的速度分别为每分钟50米和30米，因此甲比乙每分钟多走20米．5.甲、乙两车运一堆货物，甲车单独运比乙车单独运要少运5次；如果一起运，各运6次就刚好运完．问：甲车单独运要几次运完？答案:10次【解析】我们设搬运这堆货物的总工作量是1，并设甲单独运需要x 次，则乙单独运需要(z+5)次，这样甲、己两人的工作效率分别是1x 和15x +，两人一起运，各运6次刚好可以运完，所以 6615x x +=+ ① 两边同时乘以x ×(x+5)=x 2+5x ，得到()263065x x x x ++=+ ，移项便得()23077x x x x =-=⨯- ②x 是整数，需要把30分解为两个差为7的整数的乘积，将30分解质因数可知30=2×3×5=3×(2×5)=3×10.由此可以直接解出x=10，并且容易看出满足该方程的自然数只能有这一个． 于是甲单独运这批货物共需要10次．6.一个从小到大排列的等差数列，如果把这个数列的首项除以2，末项乘以2，这些数的平均数就增加了7；如果把首项乘以2，末项除以2，平均数就少了2．已知这个等差数列中所有数的和等于245，求这个数列的末项．答案:56【解析】设数列的首项和末项分别为a 、b,项数为n.把“首项除以2，末项乘以2”，则总量增加了一个末项，减少了半个首项，因此变化量为增加12b a -；而“平均数增加7”意味着数列总和增加7n ，因此 172b a n -= ① 把“首项乘以2，末项除以2”说明数列综合变化为增加一个首项，减少半个末项，而总的变化量是减少，这说明减少的比增加的多。

第四讲 基本初等函数一、知识要点1、幂函数解析式()f x x α=，当1α=时，一次函数；当2α=时，二次函数；当1α=-时，反比例函数；当12α=时，y = 幂函数性质的推广(1)一般地，当0α>时，幂函数y x α=有下列性质: ①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大【也就是0x >单调递增咯】③在第一象限内，1α>时,图象是向下凹的；01α<<时，图象是向上凸的； ④在第一象限内，过(1,1)点后，图象向右上方无限伸展. (2)当0α<时,幂函数y x α=有下列性质: ①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图象是向下凹的；【也就是0x >单调递减】 ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近； ④在第一象限内，过(1,1)点后，||α越大，图象下落的速度越快.。

2、指数函数 （1）指数运算n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈如果是除法就相减咯。

②()(0,,)r srs aa a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈3、对数函数（log (01,0)a y x a and a x =>≠>） （1）log ()log log a a a M N M N =+ ；（2）log log log a a a MM N N=-； （3）log log n a a M n M =；（4）log log m na a nb b m=； （5）log log 1a b b a = ；（6）log log log a b a NN b=（换底公式）（7）log b a a N b N =⇔=（指数与对数的关系）；（8）log 1,log 10a a a == 二、例题讲解例1 （1）已知22x xa -+=（常数），求88x x-+的值；（2）已知11223a a -+=，求33221122a a a a----的值。

第4讲幻灯片母版与幻灯片切换方式设置学习目标本讲将学习如何在PowerPoint2007中建立幻灯片母版、设置幻灯片的切换效果、设置幻灯片切换声音以及如何设置幻灯片的切换速度，并通过制作一份制作交互式电子相册来巩固前面学习的知识。

主要内容建立幻灯片母版设置幻灯片的切换方式应用实践——制作交互式电子相册4.1 建立幻灯片母版幻灯片母版是一种特殊的幻灯片，它包含了幻灯片文本和页脚（如日期、时间和幻灯片编号）等占位符。

母版主要是针对于同步更改所有幻灯片的文本及对象而定的，例如在母版中插入一张图片，那么所有的幻灯片的同一位置都将显示这张图片。

建立幻灯片母板的具体操作方法如下：切换到“视图”选项卡，单击“演示文稿视图”面板中的“幻灯片母板”按钮，进入到幻灯片母板视图。

如同编辑普通幻灯片一样，对母板进行文本、图像等各种编辑。

编辑完成后，单击“幻灯片母板”选项卡中的“关闭母板视图”按钮退出母板视图即可。

4.2 设置幻灯片切换方式4.2.1 设置幻灯片的切换效果在放映幻灯片时，可以设置从上一张幻灯片切换到当前幻灯片的切换效果。

选中要使用切换效果的幻灯片，切换到“动画”选项卡。

在“切换到此幻灯片”面板中的“切换方案”列表框中即可选择幻灯片的切换效果。

如果要同时查看更多的效果，可单击列表框右下角的按钮，在弹出的列表中进行查看或选择。

4.2.2 设置幻灯片切换声音幻灯片的切换声音是指由上一张幻灯片切换到当前幻灯片时播放的声音效果。

PowerPoint 2007中提供了更多的切换声音供用户选择，选中要添加切换声音的幻灯片，在“切换到此幻灯片”面板中的“切换声音”下拉列表中选择声音即可。

4.2.3 置幻灯片的切换速度幻灯片的切换速度有快速、中速与慢速三种，选中幻灯片后，在“切换到此幻灯片”面板中的“切换速度”下拉列表中进行选择即可。

4.3 应用实践——制作交互式电子相册任务设计本例制作的是电子相册，在制作时首先使用PowerPoint自带的创建相册功能创建一个相册，接着制作在母版中制作书页效果，然后设置照片的布局，并插入一个背景音乐，最后压缩图片并设置切换方案。

整数分拆（严格地讲是自然数分拆）形式多样，解法也很多。

下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。

那么什么是“中间数”呢？其实这里的“中间数”也就是平均数。

有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。

由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。

下面利用这种方法解几道题：一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。

例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80—12×2=56，最大的为：80+12×2=104，故所求的这25个数为：56、58、………、80、………、102、104。

例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？分析与解：我们仿照例1的办法先求中间数：105÷10=10.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：6、7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14、15。

二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。

例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？分析与解：此题看上去无从下手解答。

我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。

分式的加减乘除运算学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

知识梳理1分式的加减运算（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

知识梳理2分式的乘除运算法则一，分式的乘除法1，（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。

用式子表示：bd ac d c b a =∙（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

用式子表示： 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。

用式子表示：（其中n 为正整数，a ≠0）2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。

【试题来源】 【题目】计算2312+++x x x +4222--x xx【试题来源】bcad c d b a d c b a =∙=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛【题目】计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x【试题来源】【题目】 算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x【试题来源】【题目】 计算21-a +12+a -12-a -21+a【试题来源】【题目】 .已知cz b y a x ==，求证：22a x ca bc ab zx yz xy =++++【试题来源】【题目】 已知：113a b -=，求分式232a ab b a ab b +---的值【试题来源】【题目】已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求2ab bc ca b ++的值【试题来源】 【题目】 . 已知：2286250a b a b +-++=，求22222644a ab b a ab b ---+的值. 习题演练【试题来源】【题目】b=a+1,c=a+2,d=a+3,求da d d cbc c b a bd a a +++++++++的值【试题来源】 【题目】已知cz b y a x ==，求证：22a x ca bc ab zx yz xy =++++【试题来源】 【题目】已知ac c b b a 111+=+=+，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a【试题来源】 【题目】计算22222662x x x x x x x x --+-÷--+-的结果是（ ） A. 13x x -- B. 19x x +- C. 2219x x -- D. 2213x x ++【试题来源】 【题目】已知1abc =，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值【试题来源】 【题目】已知：250m n -=，求下式的值：(1)(1)n m n m m m n m m n+-÷+--+【试题来源】 【题目】.：若223a b ab +=，则33322(1)(1)b b a b a b +÷+--的值等于（ ） A.12 B. 0 C. 1 D. 23【试题来源】【题目】 已知：25a b ab +==-，，则a b b a +的值等于（ ） A. 25-B. 145-C. 195-D. 245-【试题来源】【题目】.已知21610x x --=，求331x x -的值。

第4讲 定积分的概念与微积分基本定理【2013年高考会这样考】1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程． 【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．基础梳理1．定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .在⎠⎛a b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x . ③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．设阴影部分面积为S .①S ＝⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x ； ②S ＝－⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x ； ③S ＝⎠⎜⎜⎛ac f (x )d x －⎠⎜⎜⎛cb f (x )d x ；④S ＝⎠⎜⎜⎛ab f (x )d x －⎠⎜⎜⎛ab g (x )d x ＝ ⎠⎜⎜⎛ab[f (x )－g (x )]d x .(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即 s ＝⎠⎜⎜⎛ab v(t)d t .三条性质(1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行． 一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 双基自测2．(2011·湖南)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32 D.3 解析 S ＝∫π3－π3cos x d x ＝2∫π30cos x d x ＝ |2sin x π30＝ 3.答案 D双基自测 1．(2011·福建)⎠⎜⎜⎛01(e x＋2x )d x 等于( )． A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1 解析 ⎠⎜⎜⎛01(e x ＋2x )d x ＝ ⎪⎪⎪(e x ＋x 2)1＝(e ＋1)－1＝e.答案 C3．(2011·山东)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 ( )．A.112B.14C.13D.712解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S ＝⎠⎜⎜⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112. 答案 A4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )．A.1πB.2πC.π4D.3π考向一 定积分的计算【例1】 计算下列积分解析 阴影部分的面积S ＝⎪⎪⎪⎠⎜⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x π0＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π. 概率P ＝阴影部分的面积矩形面积＝22π＝1π.故应选A.答案 A 5．(人教A 版教材习题改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．解析 s ＝⎠⎜⎜⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎪ ⎭⎪⎫32t 2＋2t 21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m)．答案 6.5 m当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得．(5)由y ＝x cos x －5sin x 为奇函数⎠⎜⎜⎛－11(x cos x －5sin x ＋2)d x ＝ ⎪⎪⎪⎠⎛1－12d x ＝2x 1－1＝4. (1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．(2)根据积分的几何意义可利用面积求积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则 ＝0.考向二 利用定积分求面积【例2】 求下图中阴影部分的面积．[审题视点] 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数．解 解方程组⎩⎨⎧y ＝x －4，y 2＝2x ，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝8y ＝4 S 阴影＝⎠⎛082x d x －8＋⎠⎛02|－2x |d x ＋2 ＝2 ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3280＋2⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3220－6＝18. 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．【训练2】 求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 210＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋43＝136.考向三 定积分的应用【例3】 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在t ＝4 s 的位置； (2)在t ＝4 s 内运动的路程．[审题视点] 理解函数积分后的实际意义，确定被积函数． 解 (1)在时刻t ＝4时该点的位置为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43(m)，即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为 S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 10＋|⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 31|＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 43＝43＋43＋43＝4 (m)， 即质点在4s 内运动的路程为4 m.由s ＝v 0t ＋12at 2通过求导可推出v ＝v 0＋at ，反之根据积分的几何意义，由v ＝v (t )(v (t )≥0)可求出t ∈[a ，b ]时间段内所经过的路程．【训练3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )．A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面解析 可观察出曲线v 甲，直线t ＝t 1与t 轴围成的面积大于曲线v 乙，直线t ＝t 1与t 轴围成的面积，故选A. 答案 A难点突破8——积分的综合应用定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，在近两年的高考中，考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用等，如2011年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积．一、积分的几何意义－r r2－x2d x＝________.【示例】►已知r>0，则⎠⎛r二、积分与概率【示例】►(2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M 取自阴影部分的概率为__________．。

【答案】180千米．【点拨】根据骑摩托车比骑自行车花费的时间少5小时，以及骑自行车的速度可求出当骑摩托车到达终点时，骑自行车还差的路程(可看成路程差)．【答案】12千米/时．【点拨】这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度．这就需要通过已知条件，求出时间和路程．假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到．B到韩丁家时，A距韩丁家还有10220⨯=(千米)，这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程，由此就能求出A、B的出发时间，接下来所求就可以很容易求出了．【分析】邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路．他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到．如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？某人从甲地到乙地骑自行车每小时行20千米，回来时骑摩托车每小时行45千米，骑摩托车比骑自行车的时间少5小时，求甲乙两地间的路程是多少千米？直接利用行程问题基本关系解决的行程问题4 行程（一）123方法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻．⑴ 邮递员到达对面山里需时间：12485 4.6÷+÷=(小时);⑵ 邮递员返回到邮局共用时间：841251 4.6 2 2.41 4.6 10÷+÷++=+++=(小时) ⑶ 邮递员回到邮局时的时刻是：710125+-=(小时)．邮递员是下午5时回到邮局的．方法二：从整体上考虑，邮递员走了(128+)千米的上坡路，走了(128+)千米的下坡路，所以共用时间为：12841285110+÷++÷+=（）（）(小时)，邮递员是下午710125+-=(时) 回到邮局的．【答案】15小时． 【点拨】第二种走法如果先骑摩托车8小时，再骑自行车21小时，也同样恰好到达乙地．【分析】 求步行路程，而且步行速度已知，需要求步行时间．如果6小时全部乘拖拉机，可以行进：186⨯108=(千米)，1086048-=(千米)，其中，这48千米的距离是在某段时间内这个人在行走而没有乘拖拉机因此少走的距离，这样我们就可以求出行走的时间为：481864÷-=（）(小时)，即这个人走了4个小时，距离为：6424⨯=(千米)，即这个人步行了24千米． 另外本题通过画矩形图将会更容易解决：【点拨】在以两种速度行进的题目中，假设是以一种速度行进，通过行程差和速度差求时间是非常重要的常用方法． 某人要到 60千米外的农场去，开始他以 6千米/时的速度步行，后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场，总共用了6小时．问：他步行了多远？(华杯赛试题)某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地，如果他从甲地先骑自行车21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地，问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？45其中矩形的长表示时间，宽表示速度，由路程=速度×时间可知，矩形的面积表示的是路程，通过题意可以知道阴影部分的面积等于60，大矩形的面积为186108⨯=，所以小矩形的面积为：1086048-=，又因为小矩形的宽为18612-=，所以小矩形的长为：48124÷=，所以“？”处矩形的面积为4624⨯=(千米)，“？”表示的是步行的路程，即步行的路程为24千米．【分析】 乌632÷=120205123455=⨯++++++（），也就是兔子一共跑了12345520+++++=(分钟)，跑了2060155÷⨯=(千米)，即乌龟到达终点时，兔子刚刚跑了5千米，所以乌龟胜利了，领先兔子651-=(千米)【分析】要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间．摩托车“往”行了90千米，“返”也行了90千米，所以摩托车的总路程是：902180⨯= (千米)，摩托车“往”的速度是每小时30千米，所用时间是：90303÷=(小时)，摩托车“返”的速度是每小时45千米，所用时间是：90452÷=(小时)，往返共用时间是：325+=(小时)，由此可求出往返的平均速度，列式为：90290309045180536⨯÷÷+÷=÷=（）(千米/小时)摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，求摩托车驾驶员往返全程的平均速度．龟兔赛跑，全程6千米，兔子每小时跑15千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑，但兔子边跑边玩，它先跑1分钟后玩20分钟，又跑2分钟后玩20分钟，再跑3分钟后玩20分钟……问它们谁胜利了？胜利者到终点时，另一个距离终点还有多远？平 均 速 度67【分析】16千米/小时． 【点拨】题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便，仔细想一想，只要上下桥路程相等，总路程是不影响平均速度的，我们自己设一个路程好了． 在这种特定的题目中，随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的，因为我们可以把总路程设为“单位1”，在本题我们可以设置“单位48”，也就是把所有路程扩大了48倍变成整数，没有任何问题，不论总路程设成多少，结论都是一样的，可以让学生验证一下．【分析】求速度首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：300120180-=(千米)，计划总时间为：300506÷=(小时)，前120千米已用去120403÷=(小时)，所以剩下路程的速度为:3001206360-÷-=（）（）(千米/时)． 【点拨】在行程问题中，从所求结果逆推是常用而且有效的方法．【答案】54分钟．【小结】首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别．在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的．其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态，直接求所需时间并不容易．而前一半路程所需时间的计算是简单的．因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法．这种选择能力也是需要锻炼和培养的．【点拨】由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间．而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米．问他走后一半路程用了多少分钟？一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，前120千米的平均速度为40千米／时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为50千米／时，剩下的路程应以什么速度行驶？胡老师骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米，而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿，问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少？8910魔幻数学——激流勇进中的行程问题小空和猪坚强一起去欢乐谷玩，一大早，他们就在门口排好队，等着进去玩。