第四讲 立体图形的体积
基础班
解答：它的体积扩大a ×a ×a 倍．
2．如右图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?
解答：圆锥的体积是2
1
1624,3
3ππ⨯⨯⨯=
，圆柱的体积是2
48128ππ⨯⨯=． 所以，圆锥体积与圆柱体积的比是16
:1281:243
ππ=.
3．（第三届华杯赛复赛）如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?
解答：容器的底面积是：(13—4)×(9—4)=45(平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是：45×2=90(立方厘米)． 4．（第七届小数报数学竞赛决赛）一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米? 解答：把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器，底面积是：72—6×6=36(平方厘米)，水的体积是：72×2．5=180(立方厘米)，后来水面的高为：180÷36=5(厘米)．
5．用一块长30厘米，宽20厘米的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面，再用另一块铁皮做底，问怎样做才能使这个圆柱形容器的容积为最大?
2210
202103000301530215450020ππ
πππππ
πππ
÷⨯⨯=÷⨯⨯=分析：若以长方形的长为高时，容器的底面半径为：=（厘米），
容器的容积为：（）（立方厘米）；
若以长方形的宽为高时，容器的底面半径为：=（厘米），容器的容积为：（）（立方厘米）。
6．（第二届希望杯第1试）如果一个边长为2厘米的正方体的体积增加208立方厘米后仍是正方形，则边长增加______厘米。 解答：边长为2厘米的正方体的体积是2×2×2=8立方厘米，增加208后是8+208=216立方厘米。因为216=6×6×6，所以边长增加了6-2=4厘米。
提高班
练习四
1．（第三届小数报数学竞赛预赛）一个正方体的棱长扩大a 倍，那么它的体积扩大__倍. 解答：它的体积扩大a ×a ×a 倍．
2．有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6厘米、3厘米、2厘米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6米和4米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米。（答案以分数形式存在）
解答：放在中水池里的碎石的体积为3×3×0.06=0.54立方米；放在小水池里的碎石的体积为：2×2×0.04=0.16立方米；则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为：6×6=36平方米的大水池中，则使大水池的水面升高0.7÷36=
7360米=700360厘米=17118
厘米。
3．如右图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位
是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?
解答：圆锥的体积是2
1
1624,3
3ππ⨯⨯⨯=
，圆柱的体积是2
48128ππ⨯⨯=． 所以，圆锥体积与圆柱体积的比是16
:1281:243
ππ=.
4．在棱长为3cm 的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1cm 的正方形（见右图）。求挖洞后木块的体积。 解答：33
-12
×3×3+2×13
=20cm 3
。
5．（第三届华杯赛复赛）如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?
解答：容器的底面积是：(13—4)×(9—4)=45(平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是：45×2=90(立方厘米)． 6．（第七届小数报数学竞赛决赛）一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米? 解答：把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器，底面积是：72—6×6=36(平方厘米)，水的体积是：72×2．5=180(立方厘米)，后来水面的高为：180÷36=5(厘米)．
7．用一块长30厘米，宽20厘米的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面，再用另一块铁皮做底，问怎样做才能使这个圆柱形容器的容积为最大?
2 2
10 202
103000
30
15
302
154500
20
π
π
π
ππ
π
π
π
ππ
÷
⨯⨯=
÷
⨯⨯=
分析：若以长方形的长为高时，容器的底面半径为：=（厘米），
容器的容积为：（）（立方厘米）；
若以长方形的宽为高时，容器的底面半径为：=（厘米），
容器的容积为：（）（立方厘米）。
精英班
练习四
1．（第六届“迎春杯”决赛）一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是______ 立方厘米．
解答：依题意，这个长方体的长、宽、高之和是48÷4=12(厘米)，于是它的宽与高都等于12÷(2+1+1)=3(厘米)，它的长是3× 2=6厘米．所以这个长方体的体积是6×3×3=54(立方厘米)．
2．如右图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位
是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?
解答：圆锥的体积是2
116
24,
33
ππ
⨯⨯⨯=，圆柱的体积是248128
ππ
⨯⨯=．
所以，圆锥体积与圆柱体积的比是
16
:1281:24
3
ππ=.
3．在棱长为3cm的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为
1cm的正方形（见右图）。求挖洞后木块的体积。
解答：33-12×3×3+2×13=20cm3。
4．（第三届华杯赛复赛）如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板
的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容
器的体积是多少立方厘米?
解答：容器的底面积是：(13—4)×(9—4)=45(平方厘米)，高为2厘米，所
以容器的体积是：45×2=90(立方厘米)．
5．（第七届小数报数学竞赛决赛）一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米?
