高三数学课件：函数的连续性2

,)0),,
都lim有
x x0
Pli(mx)R(Px)(
x x0
x0R) (
x0c)ontinue
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对自变量的增量
有函数的增量
函数 在点 连续有下列等价命题:
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f (x0 )
y y f (x)
第七节（2-1）
第一章
函数的连续性与
连续函数的运算
一、函数的连续性
二、函数的间断点 三、小结、思考题
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一、 函数连续性的定义
定义: 设函数
在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f (x)在 x0 连续.
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
间断点分类:
第一类间断点: 及
均存在 ,
若 若 第二类间断点:
称 x0为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称 x0 为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称 x0 为振荡间断点 .
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例4
讨论函数
f
(
x)
x, 1 x,
2
(k
0,1,2,).
2
x, x 1
四 、 f ( x) 0, x 0 x 1 和 x 1 为 第 一 类 间 断 点 .
x, x 1
五、(1)a 0, b 1;

只需考虑f (x)在分段点x = 0处的连续性.
因 f (0− ) = lim f (x) = lim ae−x = a = f (0)
x→0−
x→0−
而 f (0+ ) = lim f (x) = lim 2 + cos x = 3
x→0+
x→0+
故若f (x)在x = 0点连续，只需f (0− ) = f (0+ )，即a = 3.
cos
⎛ ⎜⎝
x
+
Δx 2
⎞ ⎟⎠
由于 sin Δx 2
≤
Δx ，故当Δx 2
→
0时，而
cos
⎛ ⎜⎝
x
+
Δx 2
⎞ ⎟⎠
≤ 1，
利用无穷小的性质，有
lim Δy = 0
Δx→0
所以sin x在x点连续，即sin x是R上的连续函数.
例 3 证明余弦函数y = cos x是R上的连续函数.
证
设x0是任一实数，作变换u
x3
sin
x
=
lim
x→0
sin
x(1− cos x3 cos x
x)
=
lim
x→0
1 cos
x
⋅
sin x
x
⋅
1
−
cos x2
x
=
lim 1 ⋅ x→0 cos x
x⋅ x
1 x2 2 x2
=
1 2
如将分子中的tan x和sin x都代以等价的x，则有
lim tan x − sin x = lim x − x = 0
lim (x2 + 2) sin x = lim (x2 + 2)x lim(x2 + 2) = 2

又x=0也不是连续点,故选D
答案：D
3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是
A.①B.②③C.①④D.③④
答案：A
4.四个函数:①fx= ;②gx=sinx;③fx=|x|;④fx=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.把你认为正确的代号都填上
答案：②③④
●典例剖析
图丁表示的是 fx存在,但它不等于函数在这一点处的函数值fx0.
●教师下载中心
教学点睛
1.函数fx在点x0处连续与fx在点x0处有极限的联系与区别:
其联系是:它要求 fx存在.
其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,fx在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于fx的定义域,也可以不属于fx的定义域,即与fx0是否有意义无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0及其附近都有定义;其次,fx在点x0处的极限值与fx在点x0处的函数值fx0可以无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0处的极限值等于它在这一点的函数值fx0.我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.
1.函数fx在点x0处连续反映到函数fx的图象上是在点x=x0处是不间断的.一般地,函数fx在点x0处不连续间断大致有以下几种情况如下图所示.
图甲表示的是fx在点x0处的左、右极限存在但不相等,即 fx不存在.
图乙表示的是fx在点x0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于 fx不存在的情况.
图丙表示的是 fx存在,但函数fx在点x0处没有定义.
2.函数fx在点x0处连续必须具备以下三个条件:
函数fx在点x=x0处有定义;
函数fx在点x=x0处有极限;

函数的连续区间怎么求
求连续区间的步骤：求连续区间，按照函数连续性的定义去做即可。

设函数y=f(x)在x0点附近有定义，如果有lim(x-
x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。

如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续。

连续是函数的一种属性。

直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。

如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

1、分母不可为0，所以x=1或x=2为断点，分为x
1，1
x
2，x
2共3段连续区间。

2、对数指数大于零，x
2就是连续区间。

3、根号内必须大于等于0，4≤x≤6就是连续区间。

4、arcsinx
0，再由arcsinx的定义域[-π/2，π/2]得连续区间是(0，π/2]。