高三数学Word版教案第78课时 函数的极限和连续性

2019-2020年高三数学 第78课时 函数的极限和连续性教案教学目标： 了解函数极限的概念；掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质（一） 主要知识及主要方法：函数极限的定义:当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时， ；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.记作或者当当时，如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时， .常数函数: ()，有.存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；.000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==. 其中表示当从左侧趋近于时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限.对于函数极限有如下的运算法则：如果，,那么,, .当是常数，是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用.函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，且，那么函数在点处连续.函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值.最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值.最大值最小值定理如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(和型），通过变形使得各式有极限；根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；根的存在定理：若①函数在上连续，②，则方程至少有一根在区间内；若①函数在上连续且单调，②，则方程有且只有一根在区间内.（二）典例分析：问题1．求下列函数的极限：；；；2cos lim cos sin 22x x x x π→-； ；();（广东） （陕西）问题2．若，求、的值.设，若，求常数、的值.（重庆）设正数满足，则问题3．讨论下列函数在给定点处的连续性.，点；，点；试讨论函数20()13,02x f x x x >=⎨⎪+⎪⎩≤，点问题4．已知()()()0()101x a x f x x x b x +⎧=-<<⎨⎪=-⎪⎩≥ ，在区间上连续，求（届高三四川眉山市一诊）已知函数()()1()3log 1a b a x f x x x b x ⎧-<⎪=-⎨⎪+⎩≥在上连续且单调递增，则实数问题5．已知函数，当时，求的最大值和最小值；解方程；求出该函数的值域.问题6．证明：方程至少有一个小于的正根.（三）课后作业：已知，求的值.若（、为常数），则 ；已知（），那么给一个定义，使在处连续，则应是（济南一模）设是一个一元三次函数且，，则设函数在处连续，且，则（四）走向高考：（江西）若，则（湖北）若，则常数的值为（天津）设，，，则（四川）（江西）等于等于等于不存在（天津）设等差数列的公差是，前项的和为，则（全国Ⅱ）已知数列的通项，其前项和为，则（湖南）下列四个命题中，不正确．．．的是若函数在处连续，则函数的不连续点是和若函数，满足，则（安徽）如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，…，，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，…，，从而得到个直角三角形212121n n n Q PP Q P P ---△，，△．当时，这些三角形 的面积之和的极限为（江西）已知函数21(0)()2(1)xc cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间内连续， 且．求实数和的值；解不等式．y xO（广东）设函数，其中常数为整数.当为何值时，≥；定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得.试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根.2019-2020年高三数学第80课时导数的应用教案教学目标：理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.（一）主要知识及主要方法：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数①为增函数（为减函数）.②在区间上是增函数≥在上恒成立；在区间上为减函数≤在上恒成立.极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一个.（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>.（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.当在点连续时，判别是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.求可导函数的极值的步骤:确定函数的定义区间，求导数求方程的根用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值． 说明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值p求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主元为辅元，变分式为整式.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.（二）典例分析：问题1．（届云南平远一中五模）函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23 已知，的反函数为，则（大连一模）设均是定义在上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是问题2．如果函数在区间上单调递增，并且方程的根都在区间内，则的取值范围为（届高三浙江上虞市调研）已知，那么在区间上单调递增在上单调递增在上单调递增在上单调递增函数，（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于的方程有个不同实根，求实数的取值范围.（Ⅲ）已知当时，≥恒成立，求实数的取值范围.问题3．（天津）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．问题4．（湖北）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用表示，并求的最大值；（Ⅱ）求证：≥（）．问题5．利用导数求和：21123n n S x x nx -=+++⋅⋅⋅+（, ）.12323n n n n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅+（）.（三）课后作业：已知函数，则方程在区间上的根有个 个 个 个（郑州一中等四校联考）若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，则下列不等式一定成立的是求满足条件的的范围：使为上增函数，则的范围是使为上增函数，则的范围是使为上增函数，则的范围是证明方程在上至多有一实根.（届高三陕师大附中八模）如果是二次函数, 且的图象开口向上, 顶点坐标为, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（届厦门双十中学高三月考）如图，是函数的大致图像，则等于（天津）函数的定义域是开区间, 导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点个个个个（届高三哈尔滨第三中学第一次月考）Array函数的图象如图所示，且，则有已知：，证明不等式：设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间（届高三福建质检）已知函数在处取得极值．求实数的值；若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；证明：对任意的正整数，不等式都成立．（四）走向高考：（陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足≤．对任意正数，若，则必有≤≤≤≤(江苏)已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有≥，则的最小值为（全国）函数在下面哪个区间内是增函数（重庆）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则（全国）已知是正整数且，求证：（重庆）已知函数44()ln (0)f x ax x bx c x =+->在处取得极值，其中为常数．（Ⅰ）试确定的值；（Ⅱ）讨论函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．（海南）设函数（Ⅰ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（Ⅱ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．（全国Ⅰ）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．（全国Ⅱ文）若函数()3211()1132f x x ax a x =-+-+在区间内为减函数，在区间内为增函数，试求实数的取值范围.。

数学高考复习名师精品教案第78课时：第九章 直线、平面、简单几何体——直线与平面、直线与直线所成的角课题；直线与平面、直线与直线所成的角 一．复习目标：1．掌握直线与直线、直线与平面所成的角的概念，能正确求出线与线、线与面所成的角． 二．知识要点：1．异面直线,a b 所成角的定义： ． 2．直线与平面所成角θ：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则θ= ． （2）直线与平面垂直，则θ= ．（3）直线是平面的斜线，则θ定义为 ． 3．最小角定理： ．1．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为,AC BD 的交点， 则1C O 与1A D 所成的角 （ ）D()A 60 ()B 90 ()C arccos3 ()D arccos 62．,,PA PB PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60 ，则直线PC 与平面APB 所成的角的余弦是（ ）()A 12 ()B ()C ()D 3．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V-中，E 是BC的中点，若VAE ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为 ． （结果用反三角函数值表示）四．例题分析：例1．在060的二面角βα--l 中，βα∈∈B A ,，已知A 、B 到l 的距离分别是2和4，且10=AB ，A 、B 在l 的射影分别为C 、D ，求：（1）CD 的长度；（2）AB和棱l 所成的角．例2．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =．（Ⅰ）求直线AP 与平面11BCC B 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面1D AP 上的射影是H ，求证：1D H AP ⊥．ABC VE· B 1PA CDA 1C 1D 1BO H·例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AE PD ⊥，//,EF DC AM EF =．（1）证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；（2）若3PA AB =，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值．五．课后作业：AMBCDF EP1．在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AAC C 所成的角为α，则α=（ ）()A 13 ()B 4π ()C ()D 2．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,αβ，则αβ+的范围是（ ）()A [,)2ππ ()B [0,2π ()C (0,2π ()D [0,2π3．已知AB 是两条异面直线,AC BD 的公垂线段，1AB =，10AC BD ==，CD =则,AC BD 所成的角为 ．4．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是正三角形90PCA ∠= ，D 是PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==，（1）求证：AC BD ⊥； （2）求BD 与平面ABC 所成角．5．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，侧面1AB 与侧面1AC 所成的ABCPD二面角为60 ，M 为1AA 上的点，1130A MC ∠= ，190CMC ∠= ，AB a =． （1）求BM 与侧面1AC 所成角的正切值；（2）求顶点A 到面1BMC 的距离．6．如图直四棱柱 1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是直角梯形，设090=∠=∠ABC BAD ，2,8BC AD ==,异面直线1AC 与D A 1互相垂直，（1）求证：D A 1⊥平面B AC 1；（2）求侧棱1AA 的长；（3）已知4AB =，求D A 1与平面11B ADC 所成的角．D 1C 1B 1A 1DCB A。

函数的极限及函数的连续性一、重点难点分析：①此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。

②要掌握常见的几种函数式变形求极限。

③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。

④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。

⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例题例1．求下列极限①②③④解析：①。

②。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。

例3．讨论函数的连续性。

解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又，∴，∴ f(x)在x=1处连续。

由，从而f(x)在点x=-1处不连续。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。

例4．已知函数, (a,b为常数)。

试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。

解析：∵且，∴，∴ a=1, b=0。

例5．求下列函数极限①②解析：①。

②。

例6．设，问常数k为何值时，有存在？解析：∵，。

要使存在，只需，∴ 2k=1，故时，存在。

例7．求函数在x=—1处左右极限，并说明在x=—1处是否有极限？解析：由，，∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。

训练题：1．已知，则2．的值是_______。

3. 已知，则=______。

4．已知，2a+b=0，求a与b的值。

5．已知，求a的值。

参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0。

高中数学备课教案函数极限与连续性的推导与证明高中数学备课教案：函数极限与连续性的推导与证明一、引言在高中数学中，函数的极限与连续性是重要的概念。

本教案将着重介绍函数极限与连续性的推导与证明。

二、函数极限的推导与证明1. 函数极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限为L，表示为lim_(x→a)⁡〖f(x)=L〗，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。

2. 函数极限的代数运算性质- 极限的唯一性：如果lim_(x→a)⁡〖f(x)=L〗，lim_(x→a)⁡〖f(x)=M〗，则L=M。

- 四则运算定理：设lim_(x→a)⁡〖f(x)=L〗，lim_(x→a)⁡〖g(x)=M〗，则lim_(x→a)⁡〖(f(x)±g(x))=L±M〗，lim_(x→a)⁡〖k·f(x)=k·L〗，lim_(x→a)⁡〖f(x)·g(x)=L·M〗，lim_(x→a)⁡〖f(x)/g(x)=L/M〗（其中M≠0）。

- 复合函数极限：设g(x)在x=a处有极限lim_(x→a)⁡〖g(x)=L〗，f(x)在x=L处有极限lim_(x→L)⁡〖f(x)=M〗，则复合函数f(g(x))在x=a处有极限lim_(x→a)⁡〖f(g(x))=M〗。

3. 函数极限的中值定理函数f(x)在(a,b)上连续，在(a,b)的任意一点处可导，且对于(a,b)中的两个不同点x1、x2，有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f'(ξ)，其中ξ∈(x1,x2)。

这是几何中值定理的数学推广。

三、连续性的推导与证明1. 连续函数的定义函数f(x)在点x=a处连续，当且仅当lim_(x→a)⁡〖f(x)=f(a)〗。

2. 连续函数的性质- 连续函数的四则运算：若函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，则f(x)±g(x)、k·f(x)、f(x)·g(x)、f(x)/g(x)（其中g(a)≠0）在点x=a处也连续。

高中数学教案函数的极限与连续性高中数学教案函数的极限与连续性I. 引言函数是数学中重要的概念之一，而对于函数的极限和连续性的理解对于解决数学问题和应用非常重要。

本教案将重点介绍函数的极限和连续性的相关概念和性质，并通过具体例子进行讲解和分析。

II. 函数的极限A. 函数极限的定义1. 定义：设函数f(x)在x趋近于a时，无论a的左右两侧，f(x)的值是否趋近于一个确定的常数L，如果是，则称函数f(x)在x=a时存在极限，记作lim(f(x)) = L。

2. 解读：函数的极限表示了函数在某一点的趋势和接近程度。

B. 函数极限的性质1. 唯一性：若lim(f(x))存在，则极限唯一。

2. 局部性：若lim(f(x))存在，则f(x)在x=a的局部邻域内存在。

C. 函数极限的计算方法1. 直接代入法：对于简单的函数表达式，可以直接将x的值代入函数中计算得到极限值。

2. 四则运算法则：对于复杂的函数表达式，可以利用四则运算的性质进行化简，然后再计算极限。

III. 函数的连续性A. 函数连续性的定义1. 定义：设函数f(x)在x=a处有定义，如果lim(f(x)) = f(a)，即函数在x=a的极限等于函数在x=a处的值，则称函数f(x)在x=a处连续。

2. 解读：函数的连续性表示了函数在某一点的连贯和平滑程度。

B. 函数连续性的性质1. 连续函数的运算：连续函数之间通过加、减、乘、除、复合等运算仍然保持连续。

2. 间断点与分段函数：函数在间断点处可能无定义，但函数在间断点两侧的极限值存在且相等。

C. 函数连续性的判定方法1. 函数在闭区间上连续：若函数在闭区间[a, b]上的每一点都连续，则函数在闭区间上连续。

2. 连续函数的性质：若函数f(x)在(a, b)上连续，且在[a, b]的两个端点处的单侧极限存在，则f(x)在[a, b]上连续。

IV. 应用举例A. 极限计算1. 例题1：计算lim(x→2) (3x^2 - 2x + 1)。

数学教学函数的极限与连续性教案在数学教育中，函数的极限与连续性是基础而重要的概念，它们在高中数学和大学数学中都有广泛的应用。

为了帮助学生更好地理解和掌握这些概念，我设计了以下教案，以帮助教师有效地传授这些知识给学生。

**教案一：引入极限与连续性****教学目标：** 在开始学习极限和连续性之前，让学生明白这些概念的重要性和应用领域。

**教学内容：**1. 介绍什么是函数，以及为什么我们需要研究函数的极限与连续性。

2. 举例说明函数的极限和连续性在实际生活中的应用，如物理学、工程学和经济学。

3. 强调函数的极限和连续性对数学建模和问题求解的关键作用。

**教学方法：** 使用图表和实际案例，让学生参与讨论，引发他们对这些概念的兴趣。

**教案二：函数的极限****教学目标：** 引导学生了解函数的极限，掌握计算极限的方法。

**教学内容：**1. 定义函数的极限，包括数学符号和表达。

2. 介绍无穷大极限和无穷小极限的概念。

3. 讨论常见的极限计算规则，如极限的四则运算法则和极限的夹逼法则。

**教学方法：** 提供示例和练习，让学生逐步掌握极限的计算方法。

**教案三：函数的连续性****教学目标：** 帮助学生理解函数的连续性，学会判断和应用连续性。

**教学内容：**1. 解释函数的连续性的定义和数学表达。

2. 讨论连续函数的性质和特点。

3. 引导学生掌握判断函数连续性的方法，如使用极限的性质。

**教学方法：** 通过示例和练习，培养学生对连续性的感觉和判断能力。

**教案四：应用极限与连续性****教学目标：** 帮助学生将极限与连续性应用于实际问题求解。

**教学内容：**1. 展示如何使用极限和连续性解决实际问题，如求导、积分、极值和拐点等数学和科学问题。

2. 提供案例，让学生亲自尝试解决相关问题。

**教学方法：** 引导学生分析问题，运用所学知识解决具体应用场景中的数学难题。

**教案五：综合练习与评估****教学目标：** 让学生综合运用极限与连续性的知识，进行练习和评估。

高中数学备课教案函数的极限与连续性的应用高中数学备课教案函数的极限与连续性的应用1. 引言数学中，函数的极限与连续性是重要的概念，它们在各个数学领域都有广泛的应用。

在高中数学教学中，学生通常在高一阶段接触到函数的极限与连续性的概念，因此我们需要设计恰当的备课教案来帮助学生理解和应用这些概念。

本文将介绍一种针对高中数学备课教案函数的极限与连续性的应用的设计思路。

2. 教学目标在设计备课教案时，我们应明确教学目标，使学生能够掌握函数的极限与连续性的基本概念，并能够应用这些概念解决实际问题。

具体的教学目标可以包括：- 理解函数极限的定义，并能够计算常见函数的极限；- 熟练掌握判断函数在某点处是否连续的方法；- 掌握使用函数的极限与连续性解决实际问题的方法；- 培养学生分析问题、解决问题的能力。

3. 教学内容在备课教案中，我们需要合理安排教学内容，使学习过程既有系统性又具有趣味性。

建议的教学内容包括：a) 函数极限的定义和基本性质；b) 常用函数在特定点的极限计算、无穷大极限、两个极限运算法则；c) 函数的连续性及其判定方法；d) 函数极限与连续性在实际问题中的应用。

4. 教学方法在备课教案中，我们应采用多种教学方法，如讲解、示例演算、讨论和解决问题等，以促进学生的主动参与和深入理解。

具体的教学方法可以包括：a) 讲解：通过概念的引入和定义的解释，澄清学生对函数极限与连续性的基本理解；b) 示范演算：提供一些典型的例子，演示函数的极限和连续性的计算方法；c) 讨论：针对一些新颖或有趣的问题，组织学生进行小组或整体讨论，激发思维，培养合作能力；d) 问题解决：提供一些实际问题，引导学生运用函数的极限与连续性的概念解决问题。

5. 教学资源在备课教案中，我们应准备相应的教学资源，如教辅材料、教具和多媒体资源，以提高教学效果。

建议的教学资源包括：a) 教科书：选用具有详细讲解和丰富例题的教材，供学生参考和练习；b) 多媒体演示：准备函数极限与连续性的多媒体演示，以图表、动画等形式展示概念和计算方法；c) 计算工具：准备计算器、数值计算软件等辅助工具，方便学生实践和验证。

高中数学必修课教案函数的极限与连续的推理与证明高中数学必修课教案：函数的极限与连续的推理与证明导言：函数是数学中一个重要的概念，它可以描述不同变量之间的关系。

在高中数学必修课程中，学生需要学习函数的极限与连续，这是进一步理解函数性质与应用的基础。

本教案将以极限与连续为核心内容，通过推理与证明的方式展示相关知识点。

通过本教案的学习，学生将掌握函数的极限定义、极限的运算规律以及连续函数的特性和证明方法。

一、函数的极限1. 极限的引入极限是描述函数在某一点附近的取值趋势的概念。

通过接近或逼近的方式，我们可以研究函数在某一点的表现。

2. 极限的定义函数f(x)在x=a处的极限为L，表示为lim[x→a] f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在δ>0，对于所有满足0<|x-a|<δ的x值，都有|f(x)-L|<ε。

3. 极限的性质（1）极限唯一性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，则极限唯一。

（2）四则运算性质：设lim[x→a] f(x) = A，lim[x→a] g(x) = B，则(i) lim[x→a] [f(x)±g(x)] = A±B(ii) lim[x→a] [f(x)·g(x)] = A·B(iii) lim[x→a] [f(x)/g(x)] = A/B (其中B≠0)4.无穷小与无穷大（1）无穷小：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限是0，则称f(x)为x→a时的一个无穷小。

（2）无穷大：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限不存在或者无穷大，则称f(x)为x→a时的一个无穷大。

二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义函数f(x)在点x=a处连续，表示为f(a)=lim[x→a] f(x)存在且等于f(a)。

2. 连续函数的性质（1）基本初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数在其定义域内都是连续函数。

人教版高中数学函数的极限与连续教案2023【人教版高中数学函数的极限与连续教案2023】一、教学目标1. 知识目标：明确函数的极限的定义、性质及相关定理，在此基础上，了解连续函数的概念和判定方法。

2. 能力目标：通过数学思想和方法，能够应用函数极限的相关知识，解决实际问题。

二、教学重难点1. 重点：函数极限的定义、性质及相关定理。

2. 难点：连续函数的概念和判定方法。

三、教学过程1.引入（10分钟）通过学生日常遇到的实际问题，如车速、温度等进行引入，介绍函数的概念，引出函数的极限，导入本节课的学习内容。

2.定义与性质（30分钟）介绍函数极限的定义和性质，仔细说明无穷小量和无穷大量的概念和特性，引导学生掌握解决函数极限的基本方法。

3.定理证明（40分钟）学习连续函数的概念和基本性质，推导极限的四则运算定理和夹逼定理，并对定理进行证明，引导学生掌握相关技巧。

4.思维拓展（20分钟）引导学生应用所学内容解决实际问题，如极限定义在数列求极限中的应用等，培养学生使用数学思想解决实际问题的能力。

5.课后延伸（10分钟）引导学生进一步扩展思路，了解更多应用函数极限的知识，如函数极值、相关极限和级数等。

四、教学评价1. 知识考查：通过数学试卷进行知识考查，主要包括数列极限和函数极限的计算、证明以及简化。

2. 能力评价：通过小组讨论、实际问题解决等形式进行知识运用和能力评价，鼓励学生在创新思维和实际应用方面进行拓展。

五、教学反思通过组织学生学习函数极限和连续函数，使其具备以函数极限为基础，主张和应用连续函数的能力和意识，有利于开拓学生数学思维，提高其数学素养。

同时，通过让学生自主挖掘和实践中学习，培养学生的问题解决能力和创新精神。

《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计第一章：导言1.1 教学目标让学生理解极限与函数连续性的基本概念。

能够区分极限与函数连续性的区别与联系。

掌握基本的极限与函数连续性判断方法。

1.2 教学内容极限的定义及其性质。

函数连续性的定义及其性质。

极限与函数连续性的关系。

1.3 教学方法采用讲授法，结合案例分析，引导学生理解极限与函数连续性的概念。

通过小组讨论，让学生探讨极限与函数连续性的关系。

1.4 教学评估课堂问答：检查学生对极限与函数连续性概念的理解。

小组讨论：评估学生在探讨极限与函数连续性关系时的表现。

第二章：极限的概念与性质2.1 教学目标让学生理解极限的基本概念。

掌握极限的性质。

2.2 教学内容极限的定义。

极限的性质。

2.3 教学方法采用讲授法，结合案例分析，引导学生理解极限的定义及其性质。

2.4 教学评估课堂问答：检查学生对极限概念及其性质的理解。

课后作业：布置相关练习题，巩固学生对极限概念及其性质的掌握。

第三章：函数连续性的概念与性质3.1 教学目标让学生理解函数连续性的基本概念。

掌握函数连续性的性质。

3.2 教学内容函数连续性的定义。

函数连续性的性质。

3.3 教学方法采用讲授法，结合案例分析，引导学生理解函数连续性的概念及其性质。

3.4 教学评估课堂问答：检查学生对函数连续性概念及其性质的理解。

课后作业：布置相关练习题，巩固学生对函数连续性概念及其性质的掌握。

第四章：极限与函数连续性的关系4.1 教学目标让学生理解极限与函数连续性的关系。

4.2 教学内容极限与函数连续性的联系与区别。

4.3 教学方法采用讲授法，结合案例分析，引导学生理解极限与函数连续性的关系。

通过小组讨论，让学生探讨极限与函数连续性的联系与区别。

4.4 教学评估课堂问答：检查学生对极限与函数连续性关系的理解。

小组讨论：评估学生在探讨极限与函数连续性关系时的表现。

5.1 教学目标评估学生在学习过程中的表现。