(整理)函数的连续性及其应用

第三章 函数的连续性函数概念与极限相结合，运用极限概念对它加以描述和研究就得出函数连续性概念，连续函数是一类很重要的函数，这类函数在一般函数的研究中起着奠基的作用，它也是高等数学所研究的最主要的对象，它在实际应用中是最为常见的。

所以连续性是函数的重要性态之一，它不仅是函数研究的重要内容，也为计算极限开辟了新途径，并在此基础上解决更多的极限计算问题。

所谓连续，就是连绵不断没有任何间隙，反映在图形上是在相应的区间上一笔可以勾画出的曲线 基本内容：基本概念：函数的连续定义，函数的间断点概念；基本运算：求连续函数的极限，连续函数四则运算及复合运算，判别函数间断点的类别； 基本理论：闭区间上连续函数的性质；最大值最小值定理，介值定理； 具体应用：闭区间上连续函数的最值，方程根的存在性。

本章重点：函数连续性的概念，闭区间上连续函数的性质。

课标导航1．掌握函数连续的定义及间断点的概念，对于具体的函数能判明函数的连续区间，并找出间断点，会对间断点进行分类；2．利用函数的连续性，求函数的极限；3．能够用闭区间上连续函数的性质分析函数的性质。

一、知识梳理与链接 （一）基本概念1．函数在点处的连续性【定义】设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，如果在该邻域内有0lim 0=∆→∆y x ，则称函数)(x f y =在点0x 连续。

【定义】设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，如果在该邻域内有)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数)(x f y =在点0x 连续。

【定义】设函数)(x f y =在点0x 的左侧某邻域内有定义，如果在该邻域内有)()(lim 00x f x f x x =-→，则称函数)(x f y =在点0x 左连续。

设函数)(x f y =在点0x 的右侧某邻域内有定义，如果在该邻域内有)()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在点0x 右连续。

函数的连续性1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且limx x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0lim x x →f (x )存在；(3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。

②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。

4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。

函数连续性定理及其物理应用连续性在物理学中有着重要的地位，物理学中的许多概念和物理定律都是基于函数连续性而建立的。

在本文中，我们将深入探讨函数连续性定理及其在物理学中的应用。

一、函数连续性定理函数连续性是一个重要的数学概念，它描述了函数在某一点附近的变化情况。

在数学中，函数连续性定理是指当一个函数在某一点处连续时，可以近似于在该点的函数值，如果这个函数在该点不连续，那么它与函数值有一定的距离。

简言之，函数在一点连续，意味着这个函数值在这一点的极限存在，而且该极限等于这个点的函数值。

二、函数连续性在物理中的应用1、物理学中的运动学问题涉及到函数的连续性。

例如，一个物体需要在某个时刻突然停止，因此它的速度和加速度必须在这个时刻连续。

物体运动中的任何不连续性都可能导致物理定律的不合理性。

2、热力学领域中的物理过程也涉及到函数的连续性。

例如，在一个热量交换系统中，物理定律要求热量是连续的，因为它是一个能量的传递。

3、量子力学中的波函数也需要保持连续性，否则会导致不一致性和误差。

在任何粒子的波函数，必须保持总概率为1，所以波函数要保持连续。

4、在电磁感应中，按照法拉第电磁感应定律，变化磁通与导体电动势成正比，磁通的变化率与电动势成正比。

变化磁通和电动势的连续性对电磁感应过程起着重要的作用。

三、结论函数连续性定理是数学中的一个基本概念，在物理中有着重要的应用。

例如，物理学中的许多概念和物理定律都是基于函数的连续性而定义的。

对于我们的日常生活和技术发展，函数的连续性也至关重要。

在进行实验和应用程序的设计时，必须考虑到函数连续性的要求，否则它会导致实验数据的不可靠和技术应用的失败。

因此，在数学和物理学中，函数连续性的重要性是不言而喻的，必须持续重视和深入研究。

1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUP x x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f SUP x f x f SUP x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I 上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I 上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()M x x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f . 令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()M K K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()M x x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀， 都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。

函数的极限与连续性的证明与应用函数的极限和连续性是微积分中的基本概念，对于理解和应用微积分具有重要意义。

本文将深入探讨函数的极限和连续性的证明及其在实际应用中的作用。

一、函数的极限证明1.1 函数极限的定义在进行函数的极限证明之前，我们首先需要了解函数极限的定义。

设函数f(x)在点a的某个去心邻域内有定义。

如果对任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，恒有|f(x) - L| < ε成立，其中L是常数，则称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim┬(x→a)⁡〖f(x) = L〗。

1.2 函数极限的证明方法函数极限的证明有多种方法，下面介绍两种常见的方法。

（1）ε-δ证明法这是一种常用的函数极限证明方法。

根据定义中的ε和δ，我们可以通过构造合适的δ值，来证明函数的极限。

（2）夹逼定理当无法直接使用ε-δ证明法时，可以尝试使用夹逼定理进行函数的极限证明。

夹逼定理的核心思想是通过比较两个函数的大小关系来确定函数的极限。

二、函数的连续性证明2.1 函数连续性的定义函数连续性是指函数在区间上不存在跳跃、断裂或间断的情况。

具体来说，如果函数f(x)在某个点a的左极限等于右极限，且等于函数在点a处的函数值，即lim┬(x→a)⁡〖f(x) = f(a)〗，则称函数f(x)在点a 处连续。

2.2 函数连续性的证明方法函数连续性的证明可以借助于函数极限的证明方法，以下是一些常见的函数连续性证明方法。

（1）利用函数的有界性如果一个函数在[a, b]区间上有界且存在两个点c、d属于[a, b]，满足f(c) ≤ f(x) ≤ f(d)，则可以证明函数在[a, b]上连续。

（2）用函数极限的性质证明函数的连续性如果函数f(x)在点a处的函数极限存在，那么可以将函数f(x)的连续性证明归结为证明lim┬(x→a)⁡〖f(x) = f(a)〗。

三、函数极限与连续性的应用3.1 在导数计算中的应用函数的极限和连续性是导数计算的基础。

函数的连续性及其在实际问题中的应用连续性是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某个点的变化是否平滑，是否存在断裂点或者跳跃点。

在实际问题中，连续性的概念有着广泛的应用，涉及到物理、经济、工程等多个领域。

本文将从连续性的定义与性质出发，探讨连续性在实际问题中的具体应用。

首先，我们来定义连续性。

一个函数在某个点x处连续，意味着函数在该点的极限存在，且与该点处的函数值相等。

即lim (x→x0) f(x) = f(x0)。

如果函数在定义域的每个点都连续，我们称该函数在该定义域上连续。

连续性在实际问题中的应用之一是用于分析函数的极限。

在物理学中，当我们研究一个物理过程或者现象时，往往涉及到物理量的变化与时间或者空间的关系。

而这种变化可以通过函数来描述，而函数的连续性则能够帮助我们对这个过程进行分析。

例如，当我们研究一个物体的运动时，我们可以用函数来描述它的位置随时间的变化。

通过观察这个函数在某个时间点的连续性，我们可以判断物体在该点是否存在瞬时速度或者加速度的突变。

如果函数在该点连续，那么说明物体在该点的速度或者加速度是平滑变化的；如果函数在该点不连续，那么说明物体在该点的速度或者加速度发生了突变。

连续性还广泛应用于经济学领域。

在经济模型中，我们经常需要利用连续性来分析经济变量之间的关系。

例如，假设有一个模型描述了某种商品的需求量与价格之间的关系。

通过分析函数的连续性，我们可以得到在不同价格水平下，需求量的变化趋势。

另一个应用连续性的例子是工程领域中的优化问题。

在很多工程问题中，我们需要找到一个函数的最大值或最小值，以满足一定的约束条件。

这种问题可以通过函数的连续性来进行求解。

我们可以首先找到函数的连续区间，然后再利用极值定理来确定最大值或最小值所在的点。

除了以上应用，连续性还在其他领域中有着重要的作用。

在生物学中，连续性可以用于描述生物体在生长过程中的变化；在计算机科学中，连续性可以用于图像处理和数据分析等领域。

函数的连续性及其应用对于任意一个函数，我们都会关注它的连续性。

这是因为连续性是函数学中一个非常重要的概念，有着广泛的应用。

在这篇文章中，我们将探讨函数的连续性及其应用领域，为读者提供更深入的了解。

函数的连续性首先，我们来看看函数的连续性在数学中是指什么意思。

一个函数f(x)在x=c处连续，意味着在c处存在极限limx→cf(x)，并且limx→cf(x)=f(c)。

换句话说，当x趋近于c时，f(x)的极限等于f(c)。

我们通常认为，如果一个函数在它的定义域内的每个点都连续，那么这个函数连续。

函数的连续性有什么应用？函数的连续性在很多数学问题中起着至关重要的作用。

最显著的应用是微积分学中。

在微积分学中，我们需要对不连续的函数做一些运算，比如求导数和积分。

然而，如果一个函数不连续，这些运算将变得比较困难或者不可能。

因此，函数的连续性非常重要，这也是学习微积分之前需要掌握的基础知识之一。

另一个重要的应用领域是实际问题。

实际问题通常需要我们通过函数来建模。

比如，用几何函数来描述质点的运动、用经济学的函数来建立物价的关系、用物理学中的函数来研究物理系统等等。

由于我们常常需要处理实际问题中连续的函数，函数的连续性成为了帮助我们解决实际问题的重要工具。

举个例子来说，假设我们需要建立一个函数来描述某个城市一天中每小时的平均气温。

对于这个函数来说，连续性就非常重要。

如果这个函数在某些时间点不连续，那么它就不能准确地展示气温的变化情况。

而如果这个函数是连续的，我们就可以使用微积分的方法来计算任意时间段内的平均气温和温度变化等参数，并且进行更深入的分析。

还有一个例子，比如我们需要建立一个函数来描述某种产品的产量随时间的变化情况。

如果这个函数不是连续的，那么我们就不能准确地估算产品产量的增长趋势，从而不能进行更好的生产安排。

因此，函数的连续性在这种场景下非常重要。

同时，在物理学中，我们也需要用到连续性。

比如，对于连续的位移函数，我们可以使用微积分的方法来计算物体的速度和加速度。