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第三章 函数的连续性函数概念与极限相结合，运用极限概念对它加以描述和研究就得出函数连续性概念，连续函数是一类很重要的函数，这类函数在一般函数的研究中起着奠基的作用，它也是高等数学所研究的最主要的对象，它在实际应用中是最为常见的。
所以连续性是函数的重要性态之一，它不仅是函数研究的重要内容，也为计算极限开辟了新途径，并在此基础上解决更多的极限计算问题。
所谓连续，就是连绵不断没有任何间隙，反映在图形上是在相应的区间上一笔可以勾画出的曲线 基本内容：基本概念：函数的连续定义，函数的间断点概念；基本运算：求连续函数的极限，连续函数四则运算及复合运算，判别函数间断点的类别； 基本理论：闭区间上连续函数的性质；最大值最小值定理，介值定理； 具体应用：闭区间上连续函数的最值，方程根的存在性。
本章重点：函数连续性的概念，闭区间上连续函数的性质。
课标导航1．掌握函数连续的定义及间断点的概念，对于具体的函数能判明函数的连续区间，并找出间断点，会对间断点进行分类；2．利用函数的连续性，求函数的极限；3．能够用闭区间上连续函数的性质分析函数的性质。
一、知识梳理与链接 （一）基本概念1．函数在点处的连续性【定义】设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，如果在该邻域内有0lim 0=∆→∆y x ，则称函数)(x f y =在点0x 连续。
【定义】设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，如果在该邻域内有)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数)(x f y =在点0x 连续。
【定义】设函数)(x f y =在点0x 的左侧某邻域内有定义，如果在该邻域内有)()(lim 00x f x f x x =-→，则称函数)(x f y =在点0x 左连续。
设函数)(x f y =在点0x 的右侧某邻域内有定义，如果在该邻域内有)()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在点0x 右连续。
函数的连续性1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且limx x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0lim x x →f (x )存在；(3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。
②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。
4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。
函数连续性定理及其物理应用连续性在物理学中有着重要的地位，物理学中的许多概念和物理定律都是基于函数连续性而建立的。
在本文中，我们将深入探讨函数连续性定理及其在物理学中的应用。
一、函数连续性定理函数连续性是一个重要的数学概念，它描述了函数在某一点附近的变化情况。
在数学中，函数连续性定理是指当一个函数在某一点处连续时，可以近似于在该点的函数值，如果这个函数在该点不连续，那么它与函数值有一定的距离。
简言之，函数在一点连续，意味着这个函数值在这一点的极限存在，而且该极限等于这个点的函数值。
二、函数连续性在物理中的应用1、物理学中的运动学问题涉及到函数的连续性。
例如，一个物体需要在某个时刻突然停止，因此它的速度和加速度必须在这个时刻连续。
物体运动中的任何不连续性都可能导致物理定律的不合理性。
2、热力学领域中的物理过程也涉及到函数的连续性。
例如，在一个热量交换系统中，物理定律要求热量是连续的，因为它是一个能量的传递。
3、量子力学中的波函数也需要保持连续性，否则会导致不一致性和误差。
在任何粒子的波函数，必须保持总概率为1，所以波函数要保持连续。
4、在电磁感应中，按照法拉第电磁感应定律，变化磁通与导体电动势成正比，磁通的变化率与电动势成正比。
变化磁通和电动势的连续性对电磁感应过程起着重要的作用。
三、结论函数连续性定理是数学中的一个基本概念，在物理中有着重要的应用。
例如，物理学中的许多概念和物理定律都是基于函数的连续性而定义的。
对于我们的日常生活和技术发展，函数的连续性也至关重要。
在进行实验和应用程序的设计时，必须考虑到函数连续性的要求，否则它会导致实验数据的不可靠和技术应用的失败。
因此，在数学和物理学中，函数连续性的重要性是不言而喻的，必须持续重视和深入研究。
1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUP x x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f SUP x f x f SUP x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I 上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I 上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()M x x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f . 令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()M K K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()M x x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀， 都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。
函数的极限与连续性的证明与应用函数的极限和连续性是微积分中的基本概念，对于理解和应用微积分具有重要意义。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的证明及其在实际应用中的作用。
一、函数的极限证明1.1 函数极限的定义在进行函数的极限证明之前，我们首先需要了解函数极限的定义。
设函数f(x)在点a的某个去心邻域内有定义。
如果对任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，恒有|f(x) - L| < ε成立，其中L是常数，则称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
1.2 函数极限的证明方法函数极限的证明有多种方法，下面介绍两种常见的方法。
（1）ε-δ证明法这是一种常用的函数极限证明方法。
根据定义中的ε和δ，我们可以通过构造合适的δ值，来证明函数的极限。
（2）夹逼定理当无法直接使用ε-δ证明法时，可以尝试使用夹逼定理进行函数的极限证明。
夹逼定理的核心思想是通过比较两个函数的大小关系来确定函数的极限。
二、函数的连续性证明2.1 函数连续性的定义函数连续性是指函数在区间上不存在跳跃、断裂或间断的情况。
具体来说，如果函数f(x)在某个点a的左极限等于右极限，且等于函数在点a处的函数值，即lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗，则称函数f(x)在点a 处连续。
2.2 函数连续性的证明方法函数连续性的证明可以借助于函数极限的证明方法，以下是一些常见的函数连续性证明方法。
（1）利用函数的有界性如果一个函数在[a, b]区间上有界且存在两个点c、d属于[a, b]，满足f(c) ≤ f(x) ≤ f(d)，则可以证明函数在[a, b]上连续。
（2）用函数极限的性质证明函数的连续性如果函数f(x)在点a处的函数极限存在，那么可以将函数f(x)的连续性证明归结为证明lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗。
三、函数极限与连续性的应用3.1 在导数计算中的应用函数的极限和连续性是导数计算的基础。
函数的连续性及其在实际问题中的应用连续性是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某个点的变化是否平滑，是否存在断裂点或者跳跃点。
在实际问题中，连续性的概念有着广泛的应用，涉及到物理、经济、工程等多个领域。
本文将从连续性的定义与性质出发，探讨连续性在实际问题中的具体应用。
首先，我们来定义连续性。
一个函数在某个点x处连续，意味着函数在该点的极限存在，且与该点处的函数值相等。
即lim (x→x0) f(x) = f(x0)。
如果函数在定义域的每个点都连续，我们称该函数在该定义域上连续。
连续性在实际问题中的应用之一是用于分析函数的极限。
在物理学中，当我们研究一个物理过程或者现象时，往往涉及到物理量的变化与时间或者空间的关系。
而这种变化可以通过函数来描述，而函数的连续性则能够帮助我们对这个过程进行分析。
例如，当我们研究一个物体的运动时，我们可以用函数来描述它的位置随时间的变化。
通过观察这个函数在某个时间点的连续性，我们可以判断物体在该点是否存在瞬时速度或者加速度的突变。
如果函数在该点连续，那么说明物体在该点的速度或者加速度是平滑变化的；如果函数在该点不连续，那么说明物体在该点的速度或者加速度发生了突变。
连续性还广泛应用于经济学领域。
在经济模型中，我们经常需要利用连续性来分析经济变量之间的关系。
例如，假设有一个模型描述了某种商品的需求量与价格之间的关系。
通过分析函数的连续性，我们可以得到在不同价格水平下，需求量的变化趋势。
另一个应用连续性的例子是工程领域中的优化问题。
在很多工程问题中，我们需要找到一个函数的最大值或最小值，以满足一定的约束条件。
这种问题可以通过函数的连续性来进行求解。
我们可以首先找到函数的连续区间，然后再利用极值定理来确定最大值或最小值所在的点。
除了以上应用，连续性还在其他领域中有着重要的作用。
在生物学中，连续性可以用于描述生物体在生长过程中的变化；在计算机科学中，连续性可以用于图像处理和数据分析等领域。
函数的连续性及其应用对于任意一个函数，我们都会关注它的连续性。
这是因为连续性是函数学中一个非常重要的概念，有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨函数的连续性及其应用领域，为读者提供更深入的了解。
函数的连续性首先，我们来看看函数的连续性在数学中是指什么意思。
一个函数f(x)在x=c处连续，意味着在c处存在极限limx→cf(x)，并且limx→cf(x)=f(c)。
换句话说，当x趋近于c时，f(x)的极限等于f(c)。
我们通常认为，如果一个函数在它的定义域内的每个点都连续，那么这个函数连续。
函数的连续性有什么应用？函数的连续性在很多数学问题中起着至关重要的作用。
最显著的应用是微积分学中。
在微积分学中，我们需要对不连续的函数做一些运算，比如求导数和积分。
然而，如果一个函数不连续，这些运算将变得比较困难或者不可能。
因此，函数的连续性非常重要，这也是学习微积分之前需要掌握的基础知识之一。
另一个重要的应用领域是实际问题。
实际问题通常需要我们通过函数来建模。
比如，用几何函数来描述质点的运动、用经济学的函数来建立物价的关系、用物理学中的函数来研究物理系统等等。
由于我们常常需要处理实际问题中连续的函数，函数的连续性成为了帮助我们解决实际问题的重要工具。
举个例子来说，假设我们需要建立一个函数来描述某个城市一天中每小时的平均气温。
对于这个函数来说，连续性就非常重要。
如果这个函数在某些时间点不连续，那么它就不能准确地展示气温的变化情况。
而如果这个函数是连续的，我们就可以使用微积分的方法来计算任意时间段内的平均气温和温度变化等参数，并且进行更深入的分析。
还有一个例子，比如我们需要建立一个函数来描述某种产品的产量随时间的变化情况。
如果这个函数不是连续的，那么我们就不能准确地估算产品产量的增长趋势，从而不能进行更好的生产安排。
因此，函数的连续性在这种场景下非常重要。
同时，在物理学中，我们也需要用到连续性。
比如，对于连续的位移函数，我们可以使用微积分的方法来计算物体的速度和加速度。
函数的连续性及其应用函数连续性是微积分中的重要概念，它描述了函数在其定义域内的某一点上是否具有无间断的性质。
连续性的概念在数学和自然科学中有着广泛的应用。
本文将介绍函数连续性的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
一、函数连续性的定义函数连续性的定义可以从两个方面来理解。
一方面，若函数在某一点a的左极限等于该点的右极限，且函数在该点的值等于其极限值，那么该函数在该点处是连续的。
另一方面，若函数在定义域内的每一个点都是连续的，那么该函数在整个定义域上是连续的。
函数连续性的定义可以用极限的语言重新表述。
对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在对应的δ>0，使得当|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，那么函数f(x)在点a处是连续的。
二、函数连续性的性质函数连续性具有以下性质：1. 连续函数的和、差、积仍为连续函数；2. 连续函数的复合仍为连续函数；3. 有界闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值；4. 两个连续函数之间的乘积仍为连续函数。
函数连续性的性质为我们提供了一个判断函数是否连续的依据，同时也为我们分析函数的性质和解决实际问题提供了基础。
三、函数连续性的应用函数连续性在实际问题中有广泛的应用，下面以几个具体应用为例进行说明。
1. 极限的计算函数连续性的概念与极限密切相关，通过函数的连续性可以简化某些复杂极限的计算。
例如，对于一个连续函数f(x)，要计算其某一点a处的极限，只需直接计算f(a)即可，而无需通过求极限的定义进行复杂计算。
2. 研究函数的性质函数连续性为我们研究函数的性质提供了便利。
通过分析函数在不同点上的连续性，可以确定函数的增减性、最大值和最小值等特性。
函数在某个区间上连续且单调递增，则可以推断该函数在该区间上存在极值点。
3. 实际问题的建模函数连续性在实际问题的建模中起到了重要作用。
例如，在物理学中，通过研究物体的运动轨迹和变化规律，可以建立相应的函数模型。
1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUP x x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f SUP x f x f SUP x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列nx '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n n n x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理 1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I 上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I 上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()M xx x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()M x x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f .令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()M K K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()M x x x f x f ≤''-'''-'即 ()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续. 证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀， 都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。
第六讲：函数连续性教学目标：1、要求学生进一步理解函数连续性，能判断函数的间断点。
2、理解，应用连续函数的性质进行四则运算3、掌握，应用闭区间上连续函数的性质4、复习全章内容，加以系统化教学重点与难点：1、 函数间断点的判定2、 闭区间上连续函数性质应用。
课型： 新授课。
课时：总第14 ~ 17课时数 学 过 程一，复习巩固。
1.函数f(x)在点x 0处连续的定义。
.()()()同时满足三个条件定义定义定义.3lim .20lim 1000x f x f y x x ==∆→→∆χ、二.新课()()()()()()()()()()()()()()为可去间断点：例的可去间断点。
为则称点处无定义或在点若间断点分类：）（不存在处设有意义在点断点）下列任何一条件均为间懂得间断点。
（即满足为称点不连续（或简断），并在点不满足连续条件，则称在点，若函数定义函数间断点定义。
一0020sin 1)(lim .12lim .3lim .2.1)(1.000000000000=⎪⎩⎪⎨⎧=≠==≠→→→x x x x x x f x f x x f x f x x f x f x f x f x x f x f x x x f x x f x x x x x x()()()()()()()数仍是连续函数两个连续函数的复合函：定理函数。
数）在定义域内是连续，三角函数，反三角函，指数函数，对数函数基本初等函数（幂函数推论：也连续。
在（）商）积）或差连续，则两个函数的和在点）与若函数定理性。
法则与初等函数的连续（二）连续函数的运算为无穷间断点。
例的无穷间断点。
为称点至少有一个不存在，则，处，在点若所示图：例的跳跃间断点为则称点处左右极限均存在，但在点若20)(/()(()(()((111111)(3)(,lim lim )(32011)(2)(,lim )(.200000020000000x x g x g x f x g x f x g x f x x g x f x x xx x x f x f x x f x f x x f x x x x x f x f x x f x f lx x f x x x x x x x x ≠⨯±⎪⎩⎪⎨⎧=≤>-=⎩⎨⎧≥<-=≠-+-+→→→→定理3：由基本初等函数经有限四则运算和复合运算得到的函数统称为初等函数。
命题：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数关键词：初等函数，定义区间，连续函数相关词：基本初等函数，复合函数，函数极限一．6个基本初等函数：①常量函数②幂函数③指数函数④对数函数⑤三角函数⑥反三角函数 形式：①f （x ）＝C （C 为常数） ②f （x ）＝x a③f （x ）＝a x（1,0≠>a a ） ④f （x ）＝log a x （1,0≠>a a ）⑤f （x ）＝sinx f （x ）＝cosx f （x ）＝tanx …… ⑥f （x ）＝arcsinx f （x ）＝arccosx f （x ）＝arctanx 二．函数连续的定义： 设函数)(x f 在x的某个邻域U （x）上有定义，若)()(0lim 0x f x f x x =→，则称函数)(x f 在x 0处连续注：定义中涉及“)(lim 0x f x x →”即为函数之极限三．函数极限的定义：为极限极限存在，且以时当，则称A x )(A )(0::,0,0x 00→<-⇒<-<∀∍>∃>∀x f x f x x x εδδε由此也可用""δε-定义)(x f 在x 0处的连续性：εδδε<-⇒<-∀∍>∃>∀)()(::,0,000x x f x f x x四．初等函数的定义：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数 要证明原命题，先解决以下几个问题： （Ⅰ）复合函数的连续性定义：若函数)(x f 在点x 0处连续，函数g （u ）在点u 0连续，u＝)(0x f ，则复合函数g （f （x ））在点x 0连续证明：∵ g （u ）在点u 0连续∴ εεδδ<-⇒<-∍>∃>∀)()(:,0,00101u u g u g u 而)(x f 在点x 0处连续，取δδδδε102021')()(:,0,0<-⇒<-∍>∃>=x x f x f x 即δ10)(<-u x f故：ε<-))(())((0x f g x f g综上：εεδδ<-⇒<-∍>∃>∀))(())((:,0,00202x x f g x f g x 即：g （f （x ））在x 0处连续 证毕！ （Ⅱ）反函数的连续性定义：若函数)(x f 在[]b a ,上严格单调且连续，则其反函数)(1y f-在其定义域[])(),(b f a f 或[])(),(a f b f 上连续且单调性与原函数相同证明：不妨设)(x f 在[]b a ,上严格单增且连续，下证x ＝)(1y f-在[])(),(b f a f 上单增且连续（1）[])(),(,)(),(,221121y x y x y y f f b f a f ==∈∀ 不妨设yy 21<若x x 21≥ 则 )()(21x x f f ≥矛盾！ 故x x 21< 即，x ＝)(1y f-单增（2）任取())(),(0b f a f y ∈ 证明x ＝)(1y f-在y 0处连续令)(10y fx -= 0>∀ε 令)(01ε-=x yf)(02ε+=x yf取{}y y y y 021,min--=δ 则：),(0δy U y ∈∀ 有 ε<--x fy 01)(故)(1y f-在y 0处连续类似可证x ＝)(1y f-在左右端点分别左，右连续证毕！（Ⅲ）证明几个基本初等函数的连续性 ①为常数）C C x f ()(=证明：εδεδε<=-<-∀>∀∈∀0)()(,0,000x x x f x f x R 时，，＝取 故)(x f 在x 0处连续 ②e xx f =)(1） 证明：1lim0==→e ex x εεε+<<-⇒<-111e e xx)1ln()1ln(εε+<<-⇒x取)}1ln(,11min{lnεεδ+-= εδ<-<∀1e xx 时，2） 证明：e e x x xxx 0lim,00=≠∀→即证：1lim=→ee x x xx亦即：1lim 0=-→e x xx x而 )t (1limlim0000x e eex x x tt x x -===→-→＝其中（等式解释：第一个等号用到复合函数的连续性 第二个等号用到1）的结论）③a xx f =)( 证明：a e e e a x x x x x atat ax x xx 0000ln ln ln lim lim lim====→→→④x a x f =)( 证明：x e e e xaa t a t xa x ax x x x x 0lim lim lim00lnln ln ====→→→⑤x x f sin )(=证明：δεδε<->∀∈∀x x x R 00,0,，则＝取时，2cos2sin 2sin sin 00x x x x x x +-=-ε<-<-≤x x x x 002sin2故 εδ<-⇒<-∀)()(00x x f x f x即 x x f sin )(=在x 0处连续⑥x x f cos )(=证明：δεδε<->∀∈∀x x x R 00,0,，则＝取时，2sin 2sin 2cos cos 00x x x x x x +-=-ε<-<-≤x x x x 002sin2 故 εδ<-⇒<-∀)()(00x x f x f x 即 x x f cos )(=在x 0处连续根据极限的四则运算原则并结合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）可知：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数综上：原命题得证！。
函数的连续性及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.●难点磁场(★★★★)已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；(2)求f (x )的连续区间.●案例探究［例1］已知函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；(2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答.解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2, 其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2.(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4.因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x则函数f (x )在R 上是连续函数.［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b .命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.证明：设f (x )=a sin x +b －x ,则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根.因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b .●锦囊妙计1.深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念：等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是：(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0). 函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的.2.函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的.其情形：(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在.(3) lim 0x x →f (x )不存在.3.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0). ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( ) A.23B.32C.1D.0 2.(★★★★)设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为( ) A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，2)D.(1，2) 二、填空题3.(★★★★)xx x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________. 4.(★★★★)若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，则a 的值为_________. 三、解答题5.(★★★★★)已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性.6.(★★★★)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续.7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根.8.(★★★★)求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间. 参考答案难点磁场解：(1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1-→x f (x )不存在，所以f (x )在x =－1处不连续， 但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1--→x f (x )≠f (－1),所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续 lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1→x f (x )不存在，所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续. 又lim 0→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续.(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5].歼灭难点训练一、1.解析：]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f2311111)0(1111)1(323=+++=++++++=f x x x答案：A2.解析：11lim )(lim 11==++→→x x x f21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续.答案：C二、3.解析：利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→, π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案：π121,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x xx f x x x x x 解析 答案：21三、5.解：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x(1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0→x f (x )不存在，故f (x )在x =0处不连续. (2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.6.解：(1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，lim 0-→x f (x )= lim0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→x x x x x xlim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a ,因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x ) = lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =217.证明：设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,所以必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞,+∞),使f (a )·f (b )＜0,所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x轴一次，即f (x )=0至少有一实根.8.解：不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提供高考选校信息的一个网站。
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