2n阶非线性差分方程周期解的存在性与多重性

2m阶差分方程边值问题解的存在性周展;徐菲【摘要】讨论一类2m阶非线性差分方程边值问题.通过建立相应的变分框架,将边值问题的解转换为对应的非线性泛函的临界点.利用环绕定理,获得变分泛函临界点的存在性,进而得到所求边值问题解的存在性.最后给出例子说明本文的结论.【期刊名称】《广州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(015)004【总页数】5页(P13-17)【关键词】2m阶差分方程;环绕定理;边值问题【作者】周展;徐菲【作者单位】广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;广州大学数学与交叉科学广东普通高校重点实验室,广东广州510006【正文语种】中文【中图分类】O175.8差分方程在诸如物理、生态、金融等领域有着广泛的应用.众所周知，差分方程是微分方程离散化, 它与相应的微分方程有很多共同的性质，但很多差分方程与其对应的微分方程有本质不同.因此，在过去几十年里，许多学者把注意力放在差分方程周期解的存在性、振动性、边值问题等方面，获得了丰富的结果，主要方法包括上下解方法、拓扑度理论、不动点理论等经典方法[1-4].2003 年开始，GUO等开始利用临界点理论研究二阶超线性差分方程的周期解和次调和解[3]，后来，这一方法被用来研究差分方程的边值问题.设R, Z分别表示实数集和整数集.对任给的a, b∈Z且a≤b,定义Z(a,b)={a,a+1,…,b}，Z(a)={a,a+1,…}.Δ为向前的差分算子，定义为Δun=un+1-un,Δkun=Δ(Δk-1un), k∈Z(2).设T∈Z(2), 在参考文献[5]中，ATICI 等讨论了如下差分方程的周期边值问题：这里f∈C(Z(1,T)×R,R).方程(1)作为一个二阶微分方程的离散模型，被应用于很多领域，如空气动力学、核物理等.运用上下解方法，ATICI等建立了边值问题(1)存在唯一解的条件.2014年, LIU等在参考文献[6]中利用临界点理论研究了四阶差分边值问题的解的存在性与不存在性条件.其中δ表示正奇数的比，f∈C(Z(1,T)×R, R).在物理学中方程(2)经常被用来模拟弹性梁的弯曲程度.2009年，ZOU等在参考文献[7] 中利用临界点理论讨论了以下2m阶差分方程：Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1f(n,un)=0,n∈Z(1,T)在边值条件下的解的存在情况.其中 T和m是任给的正整数,且T>m.然而，可以看到大部分参考文献[5-6,8-12]都是研究二阶或者四阶差分方程的, 对一般高阶差分方程的研究相对来说较少.受文献[4-7,13]的启发，本文讨论更一般的2m阶差分方程Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1Δ(g(Δun-1))+(-1)m+1f(n,un)=0, n∈Z(1,T)在边值条件下的解的存在性.其中g∈C(R, R), f(n,·)∈C(R,R)对任意n∈Z(1,T).设m, T∈Z(1)且T>m, 定义向量空间Ω={u={un}|un∈R,n∈Z(1-m,T+m)}，对任意的u,v∈Ω,a,b∈R有au+bv={aun+bvn}.E={u={un}∈Ω|u1-i=u1,uT+i=uT,i∈Z(1,m)}是Ω的一个线性子空间.易知E与RT是同构的，因此，在空间E上可以定义内积如下：由E上的内积可以诱导空间E上的范数：对任意的r≥1, 可以定义空间E上的另一种范数：因为E是有限维空间，所以存在2个常数c2(r)≥c1(r)>0使得c1(r)‖u‖2≤‖u‖r≤c2(r)‖u‖2,∀u∈E这里u.显然J ∈C1(E,R)，其中C1(E, R)表示Hilbert空间E上Fréchet可微且其Fréchet导数是连续的泛函集合.根据E的定义, 有f(n,un),∀n∈Z(1,T).因此，u是泛函J的一个临界点当且仅当u满足边值问题(5)～(6).记u={un}∈E，由于E与RT同构，所以u可写成u=(u1,u2,…,uT)*∈RT.那么存在T×T阶矩阵A 使得显然, A是一个半正定矩阵.令σ+(A)为A的所有正特征值构成的集合.定义}.设W, Y分别为A的0特征值和所有正特征值对应的特征向量空间,则W={(u1,u2,…,uT)*∈RT|ui=w,w∈R,i∈Z(1,T)},且下面介绍一些临界点理论的基本概念和基本结果.定义1 设S是一个实Banach空间, J∈C1(S,R)满足Palais-Smale条件 (简称P.S.条件)，如果对任给的{un}⊂S,{J(un)}有界，当n→∞时J′(un)→0蕴含{un}有收敛的子列.记Bρ={y∈S: ‖y‖<ρ}是以0为中心，半径为ρ的开球，‖y‖=ρ}为Bρ的边界.引理1(环绕定理[14]) 设S=S1⨁S2是一个Hilbert空间, 其中，S1是S的一个有限维的子空间. 若J∈C1(S,R)满足P.S.条件且满足：(1)存在常数σ>0和ρ>0使得J|∂Bρ∩S2≥σ;(2)存在e∈∂B1∩S2和常数R1>ρ使得J|∂Q≤0, 其中⨁{re|0<r<R1}.那么J存在临界值c≥σ, 这里表示∂Q上的恒等算子.定理1 如果以下假设都满足:(A1)f(n,v),g(v)是关于v连续, 且g(0)=0, G(v)≥0对v∈R成立，其中n∈Z(1,T); (A2)对任给的n∈Z(1-m,T),pn>0;(A3)当n∈Z(1,T),v∈R时F(n,v)≥0且(A4)存在正常数R2和β>2使得0<βF(n,v)≤vf(n,v), n∈Z(1,T),|v|≥R2；(A5)存在正常数R3和α<β使得0<sg(s)≤αG(s),n∈Z(1,T),|s|≥R3.那么边值问题(5)～(6)至少存在2个非平凡解.注1 由(A4)知，存在正常数使得,∀(n,v)∈Z(1,T)×R.注2 由(A5)、(A1)知，存在正常数得,∀s∈R.记p*=max{pn, n∈Z(1-m,T)},p*=min{pn, n∈Z(1-m, T)}.则p*≥p*>0.为了方便定理1的证明, 需要验证下面的引理.引理2 假设(A1)～(A5)都满足, 那么泛函J满足P.S.条件.证明设{u(l)}l∈Z(1)⊂E是一个P.S.序列，则存在常数C使得|J(u(l))|≤C,∀l∈Z(1).根据式(11)，注1和注2有‖a1c1β(β)‖‖‖u(l)‖α-‖注意到J(u(l))≥-C, 则由式(13)得‖‖u(l)‖2-‖C.因为β>max{2,α}, 所以存在常数N0>0使得‖u(l)‖≤N0,∀l∈N. 因此, {u(l)}是E 上的有界序列.因为E是有限维的, 所以 {u(l)}存在收敛的子列.即J满足P.S.条件. 定理1的证明由(A3)知f(n,0)=0, n∈Z(1,T), 结合(A1)中g(0)=0知0是 J的一个临界点, 且J(0)=0.式 (13)蕴含lim‖u‖→+∞J(u)=-∞, 因此，J在E上有上界，-J是强制的.记cmax为{J(u)}的上确界,对任给的c0>|cmax|, 存在一个常数t>0,使得|J(u)|>c0>|cmax|,‖u‖>t.根据J在E上的连续性, 存在使得即是J的一个临界点. 可断定cmax>0. 事实上, 由(A3)知存在和η>0使得F(n,u)≤ε|u|2,|u|≤η.对任给的u=(u1,u2,…,uT)*∈Y，‖u‖≤η有|un|≤η,n∈Z(1,T). 因此,‖u‖2-ε‖u‖2=‖u‖2令,∀u∈Y∩∂Bη有J(u)≥σ>0,所以cmax=supu∈EJ(u)≥σ>0, 故cmax对应的临界点是边值问题(5)～(6)的一个非平凡解. 要得到另一个非平凡解可以利用引理1.由引理2 知J满足P.S.条件.其次，令S2=Y,S1=W，则E=S1+S2.由式(14)知J|Y∩∂Bη≥σ，因此J满足引理1的第一个条件.为了验证J满足引理1 的第二个条件，设e∈∂B1∩Y，对任给的w∈W,r∈R,令u=re+w,有‖‖w‖β.定义,‖w‖β.可以得到,因此k1(r)，k2(w)有上界.注意到，则存在一个正常数R4>η使得J(u)≤0,∀u∈∂Q成立, 其中⨁{re|0<r<R4}.由引理1知J存在一个临界值c≥σ>0,其中}.令使得c. 如果,那么定理1的结论成立.不然,有,也即).令h=id,有.与上述方法类似，可以将e换成-e∈∂B1∩Y，同样存在一个常数R5>η使得∀u∈∂Q1,J(u)≤0成立，其中⨁{-re|0<r<R5}，再次利用引理1可以得到J存在一个临界值c′≥σ>0,其中}.同理，存在u′∈E使得J(u′)=c′，如果定理1的结论成立，否则有,即,也即).令h=id,有因为J|∂Q≤0与J|∂Q1≤0,所以u′一定是Q和Q1的内点，然而Q∩Q1⊂W且对任给的u∈W都有J(u)≤0成立，即c′≤0与c′>0矛盾，因此结论成立，定理1 得证.例1 设T为一正整数, 考虑四阶差分方程边值问题Δu-1=Δu0=0,ΔuT=ΔuT+1=0对照式(5), 有因此易知边值问题(15)～(16)满足条件(A1)～(A5), 其中α=4,β=6, 由定理1 知至少存在2个非平凡解.【相关文献】[1] AGARWAL R P, O′REGAN D. 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第29卷第4期江苏理工学院学报JOURNAL OF JIANGSU UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVo l.29，No.4Aug.，20232023年8月在天体力学中，质点的运动规律可以表示为非线性微分方程组。

庞加莱在《天体力学新方法》中提出，诸多力学微分方程系统都可化成正规型微分方程系统，即Hamilton 系统。

Hamilton 系统作为一类重要的动力学系统，在力学、统计力学、天体力学、控制论等领域有着广泛的应用。

在动力学系统中，天体运行的位置坐标和速度经过一定时间都会回到原来的数值，因此周期解理论作为天体运行周期轨道的存在性和稳定性的理论，是非线性动力系统的主要研究对象。

寻找这类非线性微分方程的周期解主要有三种方法：定性方法、分析方法、数值方法。

本文对于Hamilton 系统周期解的研究主要运用分析方法中的变分法。

变分法起源于物理学的最速降线问题，这个物理问题最终由数学家运用极小化原理得到解决。

其一般原理为：在赋范空间X 中，设映射φ:X →R ，将求算子方程φ′(u )=0在X 上的解，归结为求φ的局部极小值或极大值。

用变分法解Hamilton 系统周期解的关键即：在某空间上定义相应泛函，从而使泛函的临界点与Hamilton 系统的周期解相对应。

本文运用变分方法中极小作用原理，考虑如下扰动的二阶Hamilton 系统：ìíîu (t )+Bu ()t =∇F (t,u (t ))a.e.t ∈[0,T ]u (0)-u (T )=u (0)-u (T )=0。

（1）系统中，B 是反对称矩阵，T >0，F :[0,T ]×R N →R 。

此非线性微分方程满足条件(A )：F ()t ,x 对∀x ∈R N 关于t 是可测的，对a.e.t ∈[0,T ]关于x 是连续可微的；∃a ∈C ()R +,R +，b ∈L 1()0,T ;R +使得对a.e.t ∈[0,T ]和∀x ∈R N 都有|F ()t,x |≤a ()|x |b ()t ，|∇F ()t ,x |≤a ()|x |b ()t 。

非线性choquard方程解的存在性和多重性
Choquard 方程是一个典型的非线性方程，其通常被称为Choquard-Pohozaev 方程，其由勒贝尔在1962 年提出。

Choquard 方程考虑了非线性有限支持效应，并将其与连续空间结构中的植物和昆虫类型的行为进行了关联。

例如，它可以用于描述植物和昆虫对密切的距离的反应，以及它们在不同环境中的行为。

Choquard 方程的解可以通过把问题转换成一种四维空间中的表达式来解决。

在这里，变量仅仅是相对位置和大小，其中距离仅仅就是衍生出来的量。

由于 Choquard 方程存在非线性效应，因此在解决时也需要特殊的处理策略。

这些包括对密度的估计，以及使用分歧型积分变换来解决通径前后的问题，因为距离会发生变化。

通过妥善的处理，可以求得有效的解，从而解决可能存在的存在性和多重性问题。

Choquard 方程的解也可以应用到非线性动力系统中，从而获得预测性结果。

例如，它可以应用于危险时间处理，以及多物体系统中的厘定运动。

此外，这个方程可以用于模拟非线性水力过程，如洪水、大河和其他溪流，以及复杂的空气结构运动，如气象模拟中的风暴和雨等等。

总之，Choquard 方程可以用来解决非线性方程的存在性和多重性问题，它可以用于模拟各种有限支持下的物理系统，并可以得出一些有用的信息。

几类差分方程的周期解的开题报告标题：几类差分方程的周期解研究摘要：本文研究了几类差分方程的周期解问题，分别使用了不同的方法进行探讨，并借助数值模拟来验证结论。

具体来说，本文将讨论以下几个问题：（1）一阶差分方程的周期解；（2）二阶差分方程的周期解；（3）由常系数线性差分方程表示的二阶差分方程的周期解；（4）非线性差分方程的周期解。

在研究过程中，我们使用了多种方法，如递推法、线性代数、特征方程法、拉格朗日插值法等。

同时，为了验证结论的正确性，我们通过数值模拟进行了验证。

最后，我们总结了各类差分方程周期解的特点和共同之处，并探讨了未来可能的研究方向。

关键词：差分方程；周期解；递推法；特征方程法；拉格朗日插值法；数值模拟。

研究方法和步骤：（1）一阶差分方程的周期解对于一阶差分方程y(k+1) = f(y(k)), 我们研究了周期解的存在性和求解方法。

我们使用递推法来求解周期解，并使用数值模拟验证了得到的结论。

（2）二阶差分方程的周期解对于二阶差分方程y(k+2) = f(y(k),y(k+1)), 我们采用了特征方程法来求解周期解。

我们先通过特征方程求出方程的通解，然后根据初值条件来确定特解，从而得到周期解。

（3）由常系数线性差分方程表示的二阶差分方程的周期解对于形如y(k+2) + ay(k+1) + by(k) = 0的差分方程，我们使用特征方程法求出通解，然后根据初值条件来确定特解，从而得到周期解。

（4）非线性差分方程的周期解对于非线性差分方程y(k+1) = f(y(k)), 我们使用拉格朗日插值法来求解周期解。

我们将差分方程中的y(k+1)用拉格朗日插值公式来表示，然后将表达式带回原方程，从而得到一个递推公式，进而求解周期解。

预期结果：通过对几类差分方程周期解的研究，我们将得到以下结果：（1）一阶差分方程的周期解存在，并能够通过递推法求解。

（2）二阶差分方程的周期解存在，并能够通过特征方程法求解。

二阶非线性微分方程的稳定性：一阶非线性微分方程的稳定性是指该方程在特定条件及其解的未来行为，尤其是其稳定性（也称为收敛性）方面的性质，这种性质也称之为稳定性。

二阶非线性微分方程也有着这种稳定性，但由于它的非线性性质，其稳定性也不同于一阶方程。

首先要明确，什么是一阶微分方程？它是指函数y(t)的一个或多个关于时间t的副导数的函数。

这种方程最常见的情况是变量具有线性关系，这时，只要通过解方程就可以求解变量的值。

通常，解一阶微分方程的稳定性可以用来确定系统的未来状态，这与一阶微分方程有关。

了解了一阶微分方程，那么就可以讨论二阶微分方程的稳定性。

它也可以用来表示变量的线性关系，不过它包含一个变量的二阶导数，而不是一阶导数。

由于二阶导数的概念，二阶微分方程的非线性性质比一阶方程更为明显。

这意味着给定任何解，可以观察系统的稳定性的行为如何变化。

了解了二阶微分方程的非线性性质，我们将进一步讨论其稳定性。

根据本原定理，二阶微分方程的收敛性取决于其动力学特性，而动力学特性又受到变量的相互作用以及外部条件的影响。

比如，假设存在一个复杂的非线性系统，由于外部条件的不同，其变量的相互作用会导致该系统的动力学行为而发生变化，从而影响到系统的稳定性。

因此，可以得出结论，二阶非线性微分方程的稳定性取决于变量的相互作用和外部条件，这一结论也反映了非线性性质对二阶微分方程的影响。

两阶微分方程的收敛性可以通过分析变量的相互作用及其外部条件来确定或分析，以便实现系统的及时稳定。

综上，二阶微分方程的稳定性取决于变量的相互作用及其外部条件的影响，这使得系统的动力行为可以不断变化，影响到其未来的收敛稳定性。

因此，要想得出安全稳定的解，必须要精确到位地分析和研究变量的动力学行为。