第十一讲：二元随机变量函数的分布

定理: (X,Y)是二维 连续型随机变量 是二维连续型 随机变量， 定理 : 设 (X,Y) 是二维 连续型 随机变量 ， X 与 Y 独立 的充分必要条件是 的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理. (X,Y)是二维 离散型随机变量 是二维离散型随机变量， 定理 . 设 (X,Y) 是二维 离散型 随机变量 ， 其分布律 },i,j=1 ...， 为 Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,... ， 则 X 与 Y 独立的充分 必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi•.P•j 。 必要条件是对任意i,j， 是对任意i,j
维随机变量(X 定义 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为 FX(x1,x2,...xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的 维随机变量(Y Y 分布函数为F 分布函数为FY(y1,y2,…ym), X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym y Y 组成的n+m维随机变量（ 组成的n+m维随机变量（X1,X2,...Xn ,Y1,Y2,…Ym) n+m维随机变量 Y 的分布函数为F 的分布函数为F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym). y 如果 F（x1,x2,...xn, y1,y2,…ym) y = FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym) y 则称n维随机变量(X 则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机 变量(Y 变量(Y1,Y2,…Ym)独立。 Y 独立。
i ,k :g ( x i , y j )= z k
∑
p ij
＝pk , …
…
(xi,yj) pij g(xi,yj)
g(x1,y1) g(x1,y2)
设随机变量X 独立，且均服从0 EX 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分 布，其分布律均为

fY ( y )


f ( x , y )dx
0 y1 1 24 y( 2 x )dx y fY ( y ) 5 0 其它 24 3 y2 y( 2 y ) 0 y 1 5 2 2 0 其它
例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 2 6 , x y x, f ( x, y) 0, 其他.
1
k 1 kx kx 2 1 0 dx0 kxydy 0 [ 2 y ] 0 dx 0 2 dx 4 1
k 4.
7
( 2) P{ X Y }
1 dx 4 xydy 0 0 2
1

x
y x
(3) P{ X Y 1}
dx
0
1
1 x 0
9
二、边缘分布函数
问题 : 已知( X ,Y )的分布, 如何确定X ,Y 的分布?
F ( x , y ) P{ X x ,Y y } , F ( x ) P{ X x },
P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) FX ( x )
X
Y
0 1
0
16 49 12 49
1
12 49 9 49
解
X Y
0

1
12 42 6 42
pi
012 42 12 142 4 p j 7
3 7
4 7 3 7
1
注意 联合分布 边缘分布
练习 将一枚均匀硬币掷三次 ，设 X 为三次中正 面出现的次数，而Y 为正面次数与反面次数 差的 绝对值, 求( X , Y )的联合概率分布及边缘 分布律。 解： 由已知， ( X , Y )所有可能取值有

7/27, 19/27, 25/27, 26/27, 26/27, 8/27, 20/27, 26/27, 1,
2 x <3, 0 y < 1, 2 x <3, 1 y < 2, 2 x <3, 2 y < 3, 2 x <3, y 3, 2 x <3, y 3, x 3, 0 y < 1, x 3, 1 y < 2, x 3, 2 y < 3, x 3, y 3
PX x,Y
F (x,)
x
x
y
FY ( y) PY y
y
PX ,Y y
F (, y)
x
例2 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F
(
x,
y)
A
B
arctan
x 2
C
arctan
y 2
x , y 其中A , B , C 为常数.
(1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边沿分布函数；
i, j, 1,2,
二维离散型随机变量的边沿分布律
记作
P( X xi ) pij pi• , i 1,2,
j1 记作
P(Y y j ) pij p• j , j 1,2,
i1
已知联合分布律可以求出边沿分布律；
已知边沿分布律一般不能唯一地求出联合
分布律
例3 把三个球等可能地放入编号为1，2，3 的 三个盒子中，每盒容纳的球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数，Y 为落入 2 号盒的 球数，求
PX a,Y c 1 F(a,c)
(a,+)
PX a,Y c
y
P(a X ,c Y )

P抽{X取抽两取0支一,Y都支是绿0}绿笔 笔,一3支 红2笔 3 8 3 , 0 0 2 2 28
P{X 0,Y 1} 3 2 3 8 3 , 01 1 2 14
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
4.二维随机变量的分类 二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数 二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数
二、二维离散型随机变量及其分布
1. 定义若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限 对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机 变量. 2. 二维离散型随机变量的分布律
xi x y j y
其中和式是对一切满足 xi x, y j y 的i, j求和.
三、二维连续型随机变量及其分布
1. 定义对于二维随机变量( X , Y ) 的分布函数 F ( x, y),
如果存在非负的函数 f (x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.

f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的全部 体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
G
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
一、二维随机变量及其分布 1.二维随机变量的定义
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e},
设 X X (e) 和 Y Y (e) 是定义在 S 上的随机变量,

例８ 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
X
1 0.3
3 0.7
Y
2 0.6
4 0.4
PX
PY
求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, Y 2 4 X 得 0.12 1 0.18 3 0.42 0.28
于是
,两电阻 R1 和 R2 串联联接, 例11 在一简单电路中 设 R1 , R2 相互独立, 它们的概率密度均为 10 x , 0 x 10, p( x ) 50 0, 其它. 求电阻 R R1 R2 的概率密度.
的分布函数为
FZ ( z ) P{ Z z }
x y z
p( x, y) d x d y
y
[


z y

z
p( x, y) d x] d y
p(u y, y) d u] d y
x y z
O
x u y
z
[



[ p(u y, y) d y] d u.
x>0
y >0
pY ( y) 0 xe( x y )dx e y
即：
xe , x 0 pX ( x ) 其它 0,
x
e y , pY ( y ) 0,
y0 其它
例5 设随机变量 X 和Y 相互独立, 并且 X 服从 N (a , σ 2 ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布 , 求 ( X ,Y )
0， 其它
因此 X、Y 相互独立

一种方法是：由于g(X) 也是随机变量， 故应有概率分布，其分布可以由X的分布求 出。一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期 望的定义把 E[g(X)] 计算出来。 但使用该方法 必须先求出g(X)的分布。 一般说来，这是比较复杂的事。
那么, 可否不求g(X)的分布，而只根据X 的分布来计算 E[g(X)] 呢？ 答案是肯定的。且有如下公式：
Y X 1 2
1
1/8 1/2
2
1/4 1/8
解： E(Z)= g(1,1)0.125+g(1,2)0.25 +g(2,1)0.5+g(2,2)0.125 = 4.25.
例8：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分 别为 4e4 x , x 0, 2e2 y , y 0, f X ( x) fY ( y ) 其他, 其他. 0, 0, 求 E(XY)。 解： 因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立。
2
E ( X ) 1.68.
这意味着：若从该地区抽查很多成年男 子，分别测量他们的身高。则这些身高的平 均值近似地为1.68。
例4：设某型号电子管的寿命X服从指数分布, 平均寿命为1000小时, 计算 P{1000<X≤1200}。 解：由 E(X) = 1/λ = 1000，知 λ = 0.001，X 的概率密度为 0.001x , x 0, 0.001e f ( x) x 0. 0,
所以，
E[ g ( X , Y )]
xyf X ( x) fY ( y )dxdy 0 0 0
一般来说, 若统计了n天,
(假定每天至多出三件废品) n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.

2. 性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x, y ) d x d y F (, ) 1.

( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X a, Y c P (a X , c Y )
1 F (, c ) F (a, ) F (a, c )
(+,c)
x
例2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
例如，在例4中
1 1 F (1, 2) P{ X 1, Y 2} p11 p12 0 . 3 3
3.2.3 二维连续型随机变量 1.定义
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B C 1 2 2 y F (, y ) A B C arctan 0 2 2 x F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 1 B ,C , A 2 . 2 2 1 x y (2) F ( x, y ) 2 ( arctan )( arctan ) 2 2 2 2

§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ③ F(x,y)关于x、关于y 右连续
F(x0
0,
y)
lim
xx00
F(x,
y)
F(x0
,
y)
F(x,
y0
0) lim yy00
F(x,
y)
F(x,
y0
)
整理课件
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ④ F(, ) lim F(x,y)0
2
1
x 1, y 1
整理课件
§5.3 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量及联合密度函数
1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函 数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有
yx
F(x,y) f(x,y)dydx
则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二 维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数. 2．概率密度f(x,y)的性质
第五章 二维随机变量及其分布
➢ 二维随机变量及分布函数 ➢ 二维离散型随机变量 ➢ 二维连续型随机变量 ➢ 边缘分布 ➢ 随机变量的独立性 ➢ 条件分布
整理课件
§1.1 二维随机变量及分布函数
一、 二维随机变量 一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二 维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而 确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维 随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为 二维分布
1
2
9P(X=2,Y=1)=2/9 1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/ 2 2/9
4/9
9
整理课件
§5.2 二维离散型随机变量

P{ X a} lim P{a - x X a}
x 0
x 0
lim [ F (a) - F (a - x)] F (a) - F (a - 0)
P{a X b} P{X a} P{a X b} F (b) - F (a - 0)
第2章
§2.1 随机变量的概念及分布函数
第10页
例1 设随机变量X的分布函数：
x0 0 F ( x) x 1/ 3 0 x 1/ 2 1 x 1/ 2 计算 P( X 0)；P( X 1/ 4)；P( X 1/ 4)； P(0 X 1/ 3)；P(0 X 1/ 3)
解
P(0 X 1 / 3) F (1 / 3) - F (0) 1 / 3; P(0 X 1 / 3) P( X 0) P(0 X 1 / 3) 1 / 3 1 / 3 2 / 3.
第2章
§2.1 随机变量的概念及分布函数
第11页
例2 设X的分布函数为
F ( x) A B arctan x (- x ) 求(1)常数A, B；(2) P{ X 0}, P{ X 1}, P{0 X 1}
解 (1) 由分布函数的性质知 F (-) 0, F () 1, 故有 . A - B 2 0 1 1 解得 A , B 2 A B 1 2 1 1 1 (2) F ( x) arctan x, P{ X 0} F (0)
P( X 1 / 4) F (1 / 4) - F (1 / 4 - 0) 7 / 12 - 7 / 12 0 ;
P( X 1 / 4) P( X 1 / 4) P( X 1 / 4) P( X 1 / 4) 1 - F (1 / 4) 5 / 12 ;