7.4平面向量的内积(2)

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7.4平面向量的内积--中职数学第二册

a b a·b 0 x1x2 y1y2 0
典型题解
例3.求下列向量的内积：

(1) a (3,2),b (1,5)

(2) a (3,1),b (2,5)

(3) a (0,2),b (1,0)

例4.已知a (1,2) ，b (3,1)
ab
当a·b 0时 a 与b 的夹角是锐角或 0 当a·b 0时 a 与b 的夹角90 即 a b 当 a·b 0时 a 与b 的夹角是钝角.
3.向量内积的性质
(1)当 a 与 b 同向时，a·b a b
2

a a a a a 或 a a a
，求

a b
， a

，b
，
.
典型题解
例5.判断下列各组向量是否相互垂直：

(1) a (6,3),b (2,4)

(2) a (1,2),b (0,3)
课堂小结
一、平面向量的内积

1.两向量的夹角 a, b
00 1800
2. 两向量的内积 a·b a b cos
12
cos
=|
a b a || b

|
x1 x 2 y1 y 2 x12 y12 x 2 2 y 2 2
命题：a b a·b 0 x1x2 y1 y2 0
感谢指导！
一、平面向量的内积
1.两向量的夹角:
已知两个非零向量 a
和b
,作OA a ,OB b
则 AOB叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 a, b 。

平面向量的内积

平面向量的内积平面向量的内积概念解释内积是向量的一种运算，也叫点积。

对于两个向量a和b，它们的内积可以表示为a·b，其中“·”表示内积符号。

在平面直角坐标系中，向量a和b的内积可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

性质1. 内积具有交换律：a·b=b·a2. 内积具有分配律：(c+a)·b=c·b+a·b3. 内积具有结合律：k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)4. 如果两个向量的夹角为90度，则它们的内积为0。

5. 如果两个向量不共线，则它们的内积不为0。

6. 如果一个向量与自身做内积，则结果为该向量模长的平方。

应用1. 向量投影通过计算一个向量在另一个向量上的投影长度，可以得到这两个向量之间夹角的余弦值。

这在计算机图形学中非常常见。

2. 判断两条直线是否垂直如果两条直线所对应的向量垂直，则它们的内积为0。

3. 计算向量的模长通过向量的内积公式，可以计算出一个向量的模长。

4. 计算两个向量之间的夹角通过向量的内积公式，可以计算出两个向量之间的夹角。

5. 判断两条直线是否平行如果两条直线所对应的向量平行，则它们的内积为两个向量模长之积乘以它们之间夹角的余弦值。

6. 判断三角形是否直角三角形如果一个三角形中有一条边与另一条边垂直，则这两条边所对应的向量垂直，它们的内积为0。

如果这个三角形中有两条边所对应的向量垂直，则这个三角形是直角三角形。

总结平面向量内积是一种非常重要且常用的运算，它不仅可以用于计算向量投影、判断两条直线是否垂直或平行、计算夹角等问题，还可以用于解决几何问题和物理问题。

因此，在学习数学和物理时，掌握平面向量内积是非常重要和必要的。

12_向量的内积(二)3.31

学情分析
已学习公式，巩固加强还须花时间
7.4平面向量的内积（二）
1、向量的内积
a·b=
二、例题
例1例2练习小结教学程序教学内容及教学双边活动
教学手段与
教学方法
复习引入
探究
新授
一平面向量数量积的坐标表示
夹解公式
向量垂直的坐标表示
例题讲析
拓展
练习
课后作业
提问：（1）向量的数量积定义？
（2）根据定义可知计算a·b所需要的条件是什么？
特别地，若 ⊥ ，则 ⊥ a·b
反之，若，则 ⊥ .
例1：求下列向量的内积：
(1) =(3,-2), =(1,5);
(2) =(-3,1), =(2,-5);
(3) =(0,-2), =(1,0).
解：略
例2：已知 =(-1,2), =(-3,1)，求a·b，，， .
解：略
例3：判断下列各组向量是否互相垂直：
电子教案
课题
7.4平面向量的内积（二）
课型
新授
授课日期
2020年3月31日
课次
12
授课时数
2
教学目标
1．识记平面向量数量积的坐标表示，会求坐标表示的向量的数量积
2．识记平面向量所成角的计算公式，会求给定两个向量的模或坐标时的夹角
教学重点
求坐标表示的向量的数量积；求平面向量所成的角
教学难点
求平面向量所成的角；判定两个向量的位置关系
（1） =(6,3), =(-2,4)；
（2） =(1,-2), =(0,3).
解：略
*拓展：利用坐标公式验证向量的模
（1）若，则
所以
（2）若，，则

7.4平面向量的内积(二)

《
授课教师课题授课时间月日
》教案
授课班级总课时 8
7.4 平面向量的内积（二）
教学目标：掌握内积公式
教学重点：熟记内积的公式
教学难点：如何运用公式解题
教学方法：讲述式、启发式教材所用课时：1 课时分析
教学内容及步骤一、导入：提问上节课知识点。二、新知： 1、 i ⋅ i = 1 ， i ⋅ y = 0, j ⋅ j = 1
b = (−6, −4) b = (−1, 2)
四、练习： 57 页 1，2，3
课本节课我们学习了内积运算公式堂小结板书设计作业教学反思 7.4 平面向量的内积（二）一、内x , y ) ，向量 b 的坐标为 ( x , y ) ，则 a ⋅ b = x x + y y
1 1 2 2 1 2 1
2
3、（1）若 a ⊥ b ，则 a ⋅ b = 0 （2）若 a ⋅ b = 0 ，则 a ⊥ b 4、如果 a = (
x , y ) ， b = ( x , y ) 那么
1 1 2 2
（1）若 a ⊥ b ，则（2）若
xx +y y
1 2 1 2
2
=0
xx +y y
1 2 1
= 0 ，则 a ⊥ b x2 + y 2
5、如果 a = ( x, y ) ，那么 a =
三、例题： 1、 2、
已知 a = (3, −5) ， b = ( −2, 4) ，求 a ⋅ b 判断下列各题中的向量 a , b 是否垂直（1） a = (2, −3) （2） a = (0, −1)

平面向量内积

7.3
平面向量内积
【考纲要求】 1.理解平面向量内积(数量积)及其运算法则;
2.能运用平面向量内积运算解决有关实际问题.
【学习重点】
平面向量内积计算公式的应用.
一、自主学习
(一)知识归纳
1.平面向量的夹角
→
→
设有非零向量 a 和 b,如图 7-10,作=a,=b,则由有向线段
→
→
,所夹的角叫做向量 a 和 b 的夹角,记作<a,b>,我们不妨简记为 θ,
(5)|a·b|≤|a||b|.
4.向量内积的运算法则
(1)a·b=b·a.(交换律);
(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)(数乘结合律);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
注意:(a·b)·c=a·(b·c)不成立,并且 a·b=a·c 也不能推出 b=c.
5.向量内积的坐标表示
→
→
∴·=6×6×cos120°=-18;
→
→
·
=6×3 cos150°=-27.
→
→
→
6.已知 n=(-1,1),=(3,-2),n ·=10,求 n ·.
→
解:∵n=(-1,1),=(3,-2),
→
∴n ·=-5;
→
→
→
→
又 n ·=10,∴n ·=n ·(-)
解:∵a·b=1×3-2×(-1)=5,
|a|= + (−) = ,
|b|= + (−) = ,
·

∴cosθ=| ·|= × = ,

∵0°≤θ≤180°,
∴θ=450.
二、探究提高

人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》

人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》
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7.4.1 向量的内积
【教学目标】
1。

理解并掌握平面向量内积的基本概念,会用已知条件来求向量的内积．
2。

掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．
3. 通过教学,渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．
【教学重点】
平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．
【教学难点】
平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．。

《平面向量的内积》课件

区别
内积结果是一个标量，而外积结果是一个向量。
内积的结果与向量的顺序无关，而外积的结果与向量的顺序有关。
内积满足交换律，即 $vec{u}cdotvec{v}=vec{v}cdotvec {u}$，而外积不满足交换律，即 $vec{u}timesvec{v}$与 $vec{v}timesvec{u}$是两个不同的向量。
$vec{a} cdot vec{a} geq 0$ ，当且仅当$vec{a} = vec{0}$ 时取等号。
交换律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$。
分配律
$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (lambdavec{b})$，其中 $lambda$为标量。
积的绝对值。
特殊情况处理
当两个向量垂直时，它们的夹角为 $90^circ$，此时余弦值为$0$，因此内积为$0$。
当两个向量共线时，它们的夹角为 $0^circ$或$180^circ$，此时余弦值为$1$或$-1$，因此内积为 $|mathbf{a}| times |mathbf{b}|$或 $-|mathbf{a}| times |mathbf{b}|$。
cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$ 是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
几何意义
平面向量的内积可以理解为两个向量在垂直方向上的投影长度之积。具体来说，如果将其中一个向量投影到另一个向量的垂直平面上，则投影长度等于该向量与另一个向量内

完整word版74平面向量的内积

宿迁经贸高等职业技术学校教师教案本（—学年第学期）精神振奋信心坚定德技双馨特点鲜明专业名称课程名称授课教师授课班级系部，即，记作）（或和）向量（1的内积数量积?bacosba????0）= （?a,b??.表示其中课堂教学安排===与同向时，当时，①当，a?aa或abba a b =-②当反向时，与ba a b=0时，⊥③当（3）向量的内积运算律：abba ；①=abbb a a???）=（；（②）（ =）cbb c c aa. ）③（++=例题讲解3.?ba?ab0?60.4，，求，例1 已知5=?bacosba060cos=10.×=5×=4解：a?b?ab ?22.例2 已知，=-，求ab?22??cos?bacosba??得==解：由. ba22200??180?0，因为0?135?所以（二）运用平面向量的坐标求内积ji,a b)x(,y)y(x,x轴和=分别为=，设平面向量探究：，1122y轴正方向上的单位向量.i= j?ijjj==ii ）（1 ；，， = ，a ab b.，的坐标表示它们的内积2（）用1.两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即ab xx yy. =2121．2112?ab2222x?yx?y2121a abb??xx?yy?00?②⊥21122.例题讲解例2 求下列向量的内积：a b=(1,5); =(3,-2),(1)a b=(2,-5); =(-3,1),(2)a b=(1,0). =(0,-2),(3)ab3?1?(?2)?5??7; =解：ab(?3)?2?1?(?5)??11; =ab0?1?(?2)?0?0. =ab a?bab.，，例3 已知，=(-1,2),=(-3,1)，求ba5;??1)?(?3)2?1(?解：=a22?21)5;??(=b22?10;3)1?(?=ab52??cos??，ab210?50?45 =例4 判断下列各组向量是否互相垂直：a b=(-2,4)；1） =(6,3),（a b=(0,3).=(1,-2),（2）a bab04?2)(??3?6?.=，所以解：因为⊥a bab0?3???62)(01???不垂直与. 因为=，所以。

7.4平面向量的内积

，b为两个非零向 ⑶
a(abb)b a(a)
(a b ) c a c
b
b
a
c
(b )
例1 已知
a
5，b
4，〈a,
b〉
120．
求
a
b．
解：由已知条件得
ab
a
b
cos〈a,
b〉
5 4cos120 10．
例2 已知 a b 2,a b 2,
例4 已知 a (1, 2),b (3,1), 求：a b, a , b ,.
解：a b (1) (3) 21 5
a (1)2 22 5;
b (3)2 12 10;
cos a b 5 2
a b 10 5 2
因为0°≤θ ≤180°，所以θ =45°
例5 判断下列各组向量是否垂直： (1) a (6,3),b (2, 4); (2) a (1, 2),b (0,3)
8, b
4,
a, b
π.
2.已知
a
b
,a b,
求
a, b
⑴
a b
8,
a
b
16
⑵
a b
6
3, a b 12
本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型主要有：
1.直接计算内积． 2.由内积求向量的模．
3.运用内积的性质判定两向量是否垂直． 4.性质和运算律的简单应用．
解 (1)因为 a b 6(2) 3 4 0,
所以 a b
(2)因为 a b 1 0 (2) 3 6 0,
所以 a 与 b不相互垂直。
7.4.2 运用平面向量的坐标求内积
例3 求下列向量的内积：

7.4.1平面向量的内积

a 2a b b
2
2
求证： (a b) (a b) a
2
b
2
已知 a 6， b 4，a与b 的夹角为60 ，求 : ① a b ；② a b .
你会求吗？
2
解： a b (a b)2
a 2a b b
2
6 2 6 4 cos60 4
45
0
③在ABC中，若AB BC 0，判断ABC的形状.
钝角三角形
∥b, 求a b. 已知 a 1, b 2，且a
解：由a ∥b，分两种情况：
当a, b 同向时， a b a b cos0 = 2；
当a, b反向时， a b a b cos = 2.
b2 b1
A
B x
a2
a 1 b1
O
a1 a2 A1 B1
b2
平行向量横坐标之比等于纵坐标之比
平面向量的直角坐标运算：
已知 a ( x1, y1), b ( x2 , y2 )
(1)a b ( x1 x2 , y1 y2 )
结论：两个向量和的横坐标等于这两个向量横坐标的和两个向量和的纵坐标等于这两个向量纵坐标的和
W=FSCOS
s 的夹角为 .
一个物体在力 F的作用下发生的位移 s，力 F与物体位移
① 力 F在位移方向上的分量是多少？
F cos
W s F cos
② 力 F 所做的功W是多少？
③ 功W是一个数量还是一个向量？
F
数量
θ
s
两个非零向量夹角的概念
，作已知非零向量 a 与b ， OA a OB b， b 则∠AOB 叫做 a 与b 的夹角． a B 记作: a , b b 规定: 0 1 8 0 A O a

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（1） a =(6,3), b =(-2,4)；（2） a =(1,-2), b =(0,3).
解：略
学生活动
拓展
*拓展：利用坐标公式验证向量的模
试着用向
r （1）若 a
x,
rr
y ，则 a a
r2 a
r a
2
x2
y2
量数量积
r 所以 a x2 y2
uuur
（2）若 A x1, y1 ， B x2, y2 ，则 AB x2 x1, y2 y1
由平面向量的内积定义可得到，当 a 、 b 是两个非零向量时，
cos
agb ab
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
特别地，若 a ⊥ b ，则 a ⊥ b a·b 0 x1x2 y1 y2 0
反之，若 x1x2 y1 y2 0 ，则 a ⊥ b .
类比向量加减运算，利用向量对基底的分解式推导结论
例 1：求下列向量的内积：
(1) a =(3,-2), b =(1,5); (2) a =(-3,1), b =(2,-5); (3) a =(0,-2), b =(1,0).
解：略教学内容教来自过程教师活动例 2：已知 a =(-1,2), b =(-3,1)，求 a·b， a ， b ， .
解：略例 3：判断下列各组向量是否互相垂直：
定义思考计算发现规律
j·j
；
2．用 a ， b 的坐标表示它们的内积 a·b.
新授一平面向量数量积的坐标表示
夹解公式
向量垂直的坐标表示例题讲析
平面向量数量积的坐标表示可见，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a·b= x1x2 y1 y2 .
即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.
的坐标公式验证
uuur 所以 AB
x2 x1 2 y2 y1 2 （两点间距离公式）
练习
练习：练习册第 83 页 A 3, 4
练习
总结：1 向量数量积两种计算公式，并利用它们求向量的夹角. 2 利用公式得到的一些基本结论.
知识建构
课后作业教后记
练习册 82—83 页：2 ，5 ，6 ，7，8
教学过程教师活动
学生活动
提问：（1）向量的数量积定义？
回忆向量
（2）根据定义可知计算 a·b 所需要的条件是什么？
数量积的
探究：设平面向量 a = (x1, y1) ， b = (x2 , y2 ) ， i, j 分别为 x 轴
和 y 轴正方向上的单位向量.
1. i = j
，i·j =
，i·i ，
课题教学目标教学重点教学难点教学准备
教学内容复习引入
探究
南京市玄武中等专业学校教案
7.4 平面向量的内积（2）
授课时间
1．识记平面向量数量积的坐标表示，会求坐标表示的向量的数量积
2．识记平面向量所成角的计算公式，会求给定两个向量的模或坐标时的夹角
求坐标表示的向量的数量积；求平面向量所成的角求平面向量所成的角；判定两个向量的位置关系