7.4 平面向量的内积(1)

7.3.1 平面向量的内积一、教材分析：平面向量的内积是本章的重要内容，一是这部分知识本身十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是处理几何有关垂直的问题时显得更为简洁，是用数来解决形的问题的最好实例。

二、学情分析：基于就业班：基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找向量的夹角又容易犯错；基于升学班：有一定基础，对运算律有一定理解，要求对平面向量内积能灵活运用。

三、设计理念：以启发式教学思想和讲练结合的教学方法为指导，采取探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在教学过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。

四、教学目标：1、知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.2、能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力五、教学重、难点：重点：平面向量数量积的概念及计算公式.难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．六、教学策略：教学方法：探究法和讲练结合法；学习方法：自主、合作、探究法七、教学准备：（学生准备：笔、草稿本；教师准备：教学课件八、教学过程：（一）导入新课师：如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？生：思考、自我分析设计意图：从实例出发使学生自然的走向知识点。

（二）新授课师：我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则F=即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量 ,作＝, ＝,由射线OA与OB所形成的角叫做向量与向量的夹角，记作两个向量 ,的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量与向量的内积，记作·即上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当。

【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |⋅a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？介绍 质疑引导分析了解 思考 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点0 5 *动脑思考 探索新知 【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）总结 归纳思考 理解带领 学生 分析Fs图7—21 ︒30O过 程行为 行为 意图 间图7－22这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即a ·b ＝｜a ||b |c os<a ,b > (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s. 由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．仔细分析 讲解 关键 词语记忆引导 式启 发学 生得 出结 果15由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b＝−|a ||b |.思考Ox ij F (x ,y )yBAO图7－23ab过 程行为 行为 意图 间（2） cos<a ,b >＝||||⋅a ba b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |＝⋅a a .（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． （3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .请结合实例进行验证. 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 带领 学生 分析 反复强调30 *巩固知识 典型例题例1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ． 解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3． 例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．解 cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝222⋅-＝−22.由于 0≤<a ,b >≤︒180， 所以 <a ,b >＝135． 说明 强调 引领思考 主动 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 40*运用知识 强化练习1. 已知|a |＝7，|b |＝4，a 和b 的夹角为︒60，求a ·b ．2. 已知a ·a ＝9,求|a |．3. 已知|a |＝2,|b |＝3, <a ,b >＝︒30，求(2a ＋b )·b ．提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握过 程行为 行为 意图 间得情 况45 *动脑思考 探索新知设平面向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2)，i ，j 分别为x 轴，y 轴上的单位向量，由于i ⊥j ，故i ·j ＝0，又| i |＝|j |＝1，所以a ·b ＝(x 1 i ＋y 1j )· (x 2 i ＋y 2j )＝ x 1 x 2 i •i ＋ x 1 y 2 i •j ＋ x 2 y 1 i •j ＋ y 1 y 2 j •j＝ x 1 x 2 |j |2＋ y 1 y 2 |j |2 ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a ·b ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2 (7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a ＝(x,y )，则a a a ==22+x y ，即a =22+x y (7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时， cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝121222221122x x y y x y x y +++. (7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a ⊥b ⇔a ·b ＝0，由公式(7.11)可知a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． (7.14) 利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． 总结归纳仔细 分析讲解关键词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结60*巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积：说明 强调观察过 程行为 行为 意图 间（1） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)； （2） a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)； （3） a ＝ (4,2), b ＝(−2, −3)． 解 (1) a ·b ＝2×1＋(−3)×3＝−7； (2) a ·b ＝2×1＋(−1)×2＝0； (3) a ·b ＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4 已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b >． 解 a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |＝22(1)25⋅=-+=a a ； |b |＝22(3)110⋅=-+=b b ； cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝522105=， 所以 <a ,b >＝45． 例5 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)； (2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．解 (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ． (2) 因为a ·b ＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a 与b 不垂直．引领 讲解 说明 引领 分析 强调 含义 说明思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会 思考 求解讲解 说明 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调70 *运用知识 强化练习1． 已知a ＝(5, −4)，b ＝(2,3)，求a ·b ． 2． 已知a ＝(1,3)，b ＝(0,3)，求<a ,b >．3． 已知a ＝(2, −3)，b ＝(3,－4)，c ＝(−1,3),求a ·(b ＋c )． 4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, −3)，b ＝(3, −2)； (2) a ＝(2,0)，b ＝(0, −3)； 启发 引导提问巡视指导思考 了解 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况过程行为行为意图间(3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：(1) a＝(2, −3)，(2) b＝(8, 6 )．80 *理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即a·b＝｜a||b|c os<a, b>(7.10) a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积．质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况83*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。

宿迁经贸高等职业技术学校教师教案本（—学年第学期）精神振奋信心坚定德技双馨特点鲜明专业名称课程名称授课教师授课班级系部，即，记作）（或和）向量（1的内积数量积?bacosba????0）= （?a,b??.表示其中课堂教学安排===与同向时，当时，①当，a?aa或abba a b =-②当反向时，与ba a b=0时，⊥③当（3）向量的内积运算律：abba ；①=abbb a a???）=（；（②）（ =）cbb c c aa. ）③（++=例题讲解3.?ba?ab0?60.4，，求，例1 已知5=?bacosba060cos=10.×=5×=4解：a?b?ab ?22.例2 已知，=-，求ab?22??cos?bacosba??得==解：由. ba22200??180?0，因为0?135?所以（二）运用平面向量的坐标求内积ji,a b)x(,y)y(x,x轴和=分别为=，设平面向量探究：，1122y轴正方向上的单位向量.i= j?ijjj==ii ）（1 ；，， = ，a ab b.，的坐标表示它们的内积2（）用1.两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即ab xx yy. =2121．2112?ab2222x?yx?y2121a abb??xx?yy?00?②⊥21122.例题讲解例2 求下列向量的内积：a b=(1,5); =(3,-2),(1)a b=(2,-5); =(-3,1),(2)a b=(1,0). =(0,-2),(3)ab3?1?(?2)?5??7; =解：ab(?3)?2?1?(?5)??11; =ab0?1?(?2)?0?0. =ab a?bab.，，例3 已知，=(-1,2),=(-3,1)，求ba5;??1)?(?3)2?1(?解：=a22?21)5;??(=b22?10;3)1?(?=ab52??cos??，ab210?50?45 =例4 判断下列各组向量是否互相垂直：a b=(-2,4)；1） =(6,3),（a b=(0,3).=(1,-2),（2）a bab04?2)(??3?6?.=，所以解：因为⊥a bab0?3???62)(01???不垂直与. 因为=，所以。

平面向量的内积【教学目标】知识目标：（ 1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（ 2）了解平面向量内积的计算公式. 为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义, 培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积 . 其符号是由夹角决定；（ 2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：o（ 1）当 <a,b>＝ 0 时， a· b＝ |a||b|；当 <a,b>＝180时， a· b＝－ |a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（ 2） |a|＝ a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；a b（ 3） cos<a,b>＝，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（ 4）“ a· b＝ 0a b”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时． (80 分钟)【教学过程】【新知识】 * 揭示课题7.3 平面向量的内积* 创设情境兴趣导入F30Os图 7—21如图 7－ 21 所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成30 角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？动脑思考探索新知我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－ 22 所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F x i + y j F sin 30o i F cos30o j ，即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W ＝｜ F｜ cos 30 ·｜ s｜＝ 100×33 （J）·10＝ 5002yF(x,y)jOi x这里，力 F 与位移 s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量 F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积， W 叫做向量 F 与向量 s 的内积 ,它是一个数量，又叫做数量积．uuur uuur如图 7－ 23，设有两个非零向量 a, b，作 OA ＝ a, OB ＝b,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b 的夹角，AaO b B图 7－23记作 <a,b>．两个向量 a, b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 a·b, 即a·b＝｜ a||b|cos<a,b>(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝ F · s.由内积的定义可知a· 0＝ 0, 0· a＝ 0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）（2）（3）o当 <a,b>＝ 0 时， a· b＝ |a||b|；当 <a,b>＝180时， a· b＝- |a||b|.a bcos<a,b>＝.当 b＝a 时，有 <a,a>＝ 0，所以 a· a＝ |a||a|＝ |a|2，即 |a|＝ a a .（ 4）当a, b90o时， a b，因此， a· b＝ a b cos90o0, 因此对非零向量a， b，有a· b＝ 0 a b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a· b＝b· a．（2） ( a )· b＝ (a· b)＝ a· ( b)．（3） (a＋ b)· c＝ a· c＋ b· c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)≠（ a· b）· c.请结合实例进行验证.*巩固知识典型例题例 1 已知 |a|＝ 3,|b|＝ 2, <a,b>＝60 ,求 a· b．解 a· b＝ |a||b| cos<a,b> ＝3× 2× cos 60＝ 3．例 2 已知 |a|＝ |b|＝ 2 ,a· b＝ 2 ,求<a,b>．解cos<a,b>＝ab ＝ 22＝ -. | a ||b | 2 2 2由于0≤ <a,b>≤180，所以<a,b>＝ 135o． * 理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a, b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作a·b, 即a· b＝｜ a||b|cos<a, b> (7.10)a· b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积．知识典型例题例 3 求下列向量的内积：（1） a＝ (2,- 3), b＝ (1,3)；运用知识强化练习1.已知 |a|＝ 7， |b|＝ 4， a 和 b 的夹角为60，求 a· b．2.已知 a· a＝ 9,求 |a|．3.已知 |a|＝ 2,|b|＝ 3, <a,b>＝30，求 (2a＋ b)· b．动脑思考探索新知设平面向量a＝ (x1,y1),b＝ (x2,y2)，i，j 分别为 x 轴， y 轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又 | i |＝ |j|＝ 1，所以a· b＝ (x1 i＋ y j)· (x i＋ y j)1 2 2＝ x1 x2 i ?i＋ x1 y2 i ?j ＋ x2 y1 i ?j ＋ y1 y2 j ?j＝ x1 x2 |j |2＋ y1 y2 |j|2＝x1 x2＋ y1 y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a· b＝ x x ＋ y y2 (7.11)1 2 1利用公式 (7． 11)可以计算向量的模．设a＝ (x,y)，则a aga x2 y2，即a2 2(7.12) x y由平面向量内积的定义可以得到，当a、 b 是非零向量时，cos<a,b>＝ a b ＝x1 x2 y1 y2 . (7.13)x12 y12 x22| a || b | y22利用公式 (7.13) 可以方便地求出两个向量的夹角.由于 a b a· b＝ 0，由公式 (7.11) 可知a·b＝ 0x1 x2＋ y1 y2＝0．因此a bx1 x2＋ y1 y2＝ 0．(7.14) 利用公式 (7.14) 可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．*巩固知识典型例题例 3 求下列向量的内积：（2） a＝ (2,- 3), b＝ (1,3)；（3） a＝ (2, - 1), b＝ (1,2)；（4） a＝ (4,2), b＝( - 2, - 3)．解 (1) a·b＝ 2× 1＋(- 3)× 3＝ - 7；(2)a· b＝ 2× 1＋ (- 1)× 2＝0；(3)a· b＝ 2× (- 2)＋ 2× (- 3)＝ - 14．例 4 已知 a＝ (- 1,2),b＝ (- 3,1).求 a· b, |a|,|b|, <a,b>．解a·b＝ (- 1)( - 3)＋ 2× 1＝5；|a|＝ a a ( 1)2 22 5 ；|b|＝ b b ( 3)2 12 10 ；cos<a,b>＝a b＝ 5 2 ，| a || b | 10 5 2 所以<a,b>＝ 45o．例 5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝ (- 2, 3), b＝ (6, 4) ；(2) a＝ (0, - 1), b＝ (1, - 2)．解(1) 因为 a· b＝ (- 2)×6＋ 3× 4＝ 0，所以 a b．(2)因为 a· b＝ 0× 1＋ (- 1)×（ - 2) ＝2，所以 a 与 b 不垂直．运用知识强化练习1．已知 a＝ (5, - 4)， b＝ (2,3)，求 a· b．2．已知 a＝ (1, 3 )，b＝(0, 3 )，求<a,b>．3．已知 a＝ (2, - 3)， b＝ (3,－ 4)，c＝ (- 1,3),求 a· (b＋c)．4.判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝ (- 2, - 3)， b＝ (3, - 2)； (2) a＝ (2,0)， b＝ (0, - 3)；(3) a＝ (- 2,1)， b＝ (3,4)．5.求下列向量的模：a＝ (- 2, - 4)， b＝ (3, - 2) ； (2) a＝ (2,1)， b＝ (4, - 3) ；归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知 a＝ (5, - 4),b＝ (2,3), 求 a· b．2.已知 a＝ (2, - 3),b＝ (3, - 4),c＝ (- 1,3),求 a· (b＋ c)．*继续探索活动探究( 1) 读书部分：阅读教材( 2) 书面作业：教材习题7.3 A 组（必做）； 7.3 B 组（选做）。