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平面向量的内积

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7.3.1平面向量的内积

7.3.1平面向量的内积

7.3.1 平面向量的内积一、教材分析：平面向量的内积是本章的重要内容，一是这部分知识本身十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是处理几何有关垂直的问题时显得更为简洁，是用数来解决形的问题的最好实例。

二、学情分析：基于就业班：基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找向量的夹角又容易犯错；基于升学班：有一定基础，对运算律有一定理解，要求对平面向量内积能灵活运用。

三、设计理念：以启发式教学思想和讲练结合的教学方法为指导，采取探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在教学过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。

四、教学目标：1、知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.2、能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力五、教学重、难点：重点：平面向量数量积的概念及计算公式.难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．六、教学策略：教学方法：探究法和讲练结合法；学习方法：自主、合作、探究法七、教学准备：（学生准备：笔、草稿本；教师准备：教学课件八、教学过程：（一）导入新课师：如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？生：思考、自我分析设计意图：从实例出发使学生自然的走向知识点。

（二）新授课师：我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则F=即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量 ,作＝, ＝,由射线OA与OB所形成的角叫做向量与向量的夹角，记作两个向量 ,的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量与向量的内积，记作·即上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当。

平面向量的内积

平面向量的内积

平面向量的内积平面向量的内积概念解释内积是向量的一种运算，也叫点积。

对于两个向量a和b，它们的内积可以表示为a·b，其中“·”表示内积符号。

在平面直角坐标系中，向量a和b的内积可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

性质1. 内积具有交换律：a·b=b·a2. 内积具有分配律：(c+a)·b=c·b+a·b3. 内积具有结合律：k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)4. 如果两个向量的夹角为90度，则它们的内积为0。

5. 如果两个向量不共线，则它们的内积不为0。

6. 如果一个向量与自身做内积，则结果为该向量模长的平方。

应用1. 向量投影通过计算一个向量在另一个向量上的投影长度，可以得到这两个向量之间夹角的余弦值。

这在计算机图形学中非常常见。

2. 判断两条直线是否垂直如果两条直线所对应的向量垂直，则它们的内积为0。

3. 计算向量的模长通过向量的内积公式，可以计算出一个向量的模长。

4. 计算两个向量之间的夹角通过向量的内积公式，可以计算出两个向量之间的夹角。

5. 判断两条直线是否平行如果两条直线所对应的向量平行，则它们的内积为两个向量模长之积乘以它们之间夹角的余弦值。

6. 判断三角形是否直角三角形如果一个三角形中有一条边与另一条边垂直，则这两条边所对应的向量垂直，它们的内积为0。

如果这个三角形中有两条边所对应的向量垂直，则这个三角形是直角三角形。

总结平面向量内积是一种非常重要且常用的运算，它不仅可以用于计算向量投影、判断两条直线是否垂直或平行、计算夹角等问题，还可以用于解决几何问题和物理问题。

因此，在学习数学和物理时，掌握平面向量内积是非常重要和必要的。

数学教师手册_平面向量的内积

数学教师手册_平面向量的内积

平面向量的内积教学眉批向量内积可用来计算物理学的“功”与解决一般几何、解析几何问题，未来学习的两个矩阵的乘积也蕴含向量的内积。

两向量夹角：(1) 两个非零向量始点重合所夹的角。

(2) 夹角介于0°至180°。

(3) 同向时夹角为0°，反向时夹角为180°。

向量在几何图形上的夹角宜注意是否起点重合。

补充演练如下图，试求下列两向量的夹角：(1) AB与AC。

(2) BA与AF。

(3) AD与EB。

解(1) 如图（一），AB与AC夹角为30°。

(2) 如图（二），BA与AF夹角为60°。

(3) 如图（三），AD与EB夹角为120°。

图（一）图（二）图（三）教学眉批向量内积：(1) 内积与系数积是不同的。

内积是两个向量的运算；系数积是一个向量的实数倍。

(2) 利用两非零向量的长度及其夹角余弦值的乘积来定义，结果为一实数。

(3) 若两向量中有一为零向量时，因零向量之长度为0，故规定其内积为0。

(4) 内积具交换性，即a‧b＝b‧a＝∣a∣∣b∣cos θ。

一些常用性质后面会再介绍。

(1) 给定长度与夹角求内积，直接由定义可得。

(2) 给定几何图形求内积，务必提醒学生起点重合，角度介于0°～180°才是两个向量的夹角。

补充演练(1) 如图（一），已知直线L垂直AB，C，D，E，F在直线L上，则AB‧AC，AB‧AD，AB‧AE，AB‧AF之大小关系为何？(2) 如图（二），ABCDEF为一正六边形。

那么下列向量内积中，何者最大？(A) AB‧AB(B) AB‧AC(C) AB‧AD(D) AB‧AE(E) AB‧AF。

图（一）图（二）证(1)AB‧AC＝∣AB∣∣AC∣cos∠CAB＝∣AB∣∣AF∣；AB‧AD＝∣AB∣∣AD∣cos∠DAB＝∣AB∣∣AF∣；AB‧AE＝∣AB∣∣AE∣cos∠EAB＝∣AB∣∣AF∣；AB‧AF＝∣AB∣∣AF∣cos 0°＝∣AB∣∣AF∣，故均相等。

平面向量的内积

平面向量的内积

2 p.173
平面向量的内积 page 7/23
设 a ( 3 , 1)，b (1 , 0)，试求： (1) a b 之值。 (2) a，b 两向量的夹角。
(1) 由内积的定义可得 a b 3 (1) 1 0 3
(2) 设 a 与 b 两向量的夹角为 可得 cos a b
平面向量的内积
平面向量的内积 page 1/23
向量的夹角与内积
内积的性质 柯西不等式 正射影
内积在几何上的应用
向量的夹角与内积 p.169~p.174
平面向量的内积 page 2/23
向量的夹角：
对于非零向量 a 与 b，若此两向量始点不在同一点， 我们可以将其中一个向量平移，使两个向量的始点重
故得证
AB2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2
9 p.183
试证明三角不等式：a b a b 。
平面向量的内积 page 20/23
[证明一] 若 a 与 b 任一向量为零向量时，三角不等式的等号显然成立 以下讨论 a 与 b 为两个非零向量的情形： (1) 若 a 与 b 不平行：
合，此时的夹角 (0 180 )，称为向量 a 与 b 的 夹角。
向量的夹角与内积 p.169~p.174
向量的内积： a 和 b 的内积 a b 定义为
a b= a b cos 。
平面向量的内积 page 3/23
1 p.170
平面向量的内积 page 4/23
(1) 设 AB 与 AC 两向量的夹角为 45 ，且 AB 4， AC 2， 试求 AB AC 之值。
2
2
2
a 2a b b a 2 a b b

人教版中职数学拓展模块一：3.3平面向量的内积课件(共25张PPT)

人教版中职数学拓展模块一：3.3平面向量的内积课件(共25张PPT)
所以 ∙ = ( + )( − ) =
故 ⊥ ,
即菱形的对角线互相垂直.

−

= 0,
课堂小结
3.3
/作业布置/
P86，练习1./2./5./7.
闻过而终礼,知耻而后勇。
感谢观看
分析问题及解决问题能力；
情感目标
核心素养
通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
通过思考、讨论等活动，提升数学运算、直观想象、逻辑推理和数学建模等
核心素养．
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
问题思考
（2）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略
，也不能用“×”代替.
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
读一读
美国数学物理学家吉布斯把内积称作“点积”，并
记作 ∙ ，这种记法使用至今．
活动 3
巩固练习Байду номын сангаас提升素养
由上可知，功是一个数量，它由力和位移两个向量来确
定．由此我们可以思考：两个向量之间是否存在一种新的运
算呢？
在初中，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
活动 2
调动思维，探究新知
特别提示
（1） ∙ 的结果是一个实数，可以是正数、负数
和零．
试一试：
用向量内积的定义证明这四个性质.
活动 3
巩固练习，提升素养
例3 如图所示，证明菱形的对角线互相垂直．

2.3向量的内积(中职)

2.3向量的内积(中职)
= × × °
=
练习1：已知|| = , || = , //，求 ∙
2.已知∆是边长为2的等边三角形,求 ∙ , ∙ .
例2 已知|| = || = , ∙ = −,求 < , >.
解：
< , >=
第二章 平面向量
2.3 向量的内积
一、两向量的夹角
对于非零向量和,作 = , = ,称射线OA、OB所成
的最小正角为向量与的夹角,记作<,>.
A

<, >
O

B
如上图：
向量与向量的夹角为 45° ，即< , > = 45° .
类似的:
向量与向量的夹角为 90°，即 < , >= 90° .
(2) < , > =
90°，即 < , > > 0，则 ∙ > 0;
90°，即 < , > = 0，则 ∙ = 0;
(3) ° >< , > >
90°，即 < , > < 0，则 ∙ < 0.
结论：
∙ > ⇔< , >为锐角;
结论
(1) 当、同向时,< , >= ;
(2）当、反向时,< , >= ;
（3）两向量夹角范围： ≤< , >≤π;
(4)< , >=< , >


(5)当< , >= 时,称向量与向量互相垂直,记作 ⊥ .
零向量的方向不确定，规定零向量与任意向量垂直.

平面向量内积

7.3
平面向量内积
【考纲要求】 1.理解平面向量内积(数量积)及其运算法则;
2.能运用平面向量内积运算解决有关实际问题.
【学习重点】
平面向量内积计算公式的应用.
一、自主学习
(一)知识归纳
1.平面向量的夹角
→
→
设有非零向量 a 和 b,如图 7-10,作=a,=b,则由有向线段
→
→
,所夹的角叫做向量 a 和 b 的夹角,记作<a,b>,我们不妨简记为 θ,
(5)|a·b|≤|a||b|.
4.向量内积的运算法则
(1)a·b=b·a.(交换律);
(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)(数乘结合律);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
注意:(a·b)·c=a·(b·c)不成立,并且 a·b=a·c 也不能推出 b=c.
5.向量内积的坐标表示
→
→
∴·=6×6×cos120°=-18;
→
→
·
=6×3 cos150°=-27.
→
→
→
6.已知 n=(-1,1),=(3,-2),n ·=10,求 n ·.
→
解:∵n=(-1,1),=(3,-2),
→
∴n ·=-5;
→
→
→
→
又 n ·=10,∴n ·=n ·(-)
解:∵a·b=1×3-2×(-1)=5,
|a|= + (−) = ,
|b|= + (−) = ,
·

∴cosθ=| ·|= × = ,

∵0°≤θ≤180°,
∴θ=450.
二、探究提高

平面向量的内积

a b b a
•
（2）



(a b) ( a) b a ( b)
•
（3）

(a b) c a c b c
例3、已知|

a |
5,|

b
|
4,

600
，求

(2 a b) b 。
课堂小结
• 1、两平面向量夹角； • 2、平面向量的内积及性质； • 3、运算方法和运算律。
平面向量的内积平面向量的内积ppt平面向量平面向量的内积教案向量的内积向量内积的几何意义复向量的内积复数向量的内积向量的内积公式向量的内积和外积
平面向量的内积
复习
• 1、向量的坐标表示：
平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一
表示成

a


xi

yj
的形式。
我们把


a xiy j
叫做向量的
y
a
坐标形式，记作

a
=（x，y），
N

a
=（x，y）叫做向量

a
的坐标
j
o i
P(x,y)
M
x
表示。
•
对于直角坐标平面上任意向量

a
，
将它的起点移至原点O，则其终点的坐标为
P（x，y）就是向量

a
的坐标 . 即

a =（x，y）
y
a
N
j
o i
P(x,y)
M
x
•
2、向量

a


xi
y

j

平面向量内积推导

平面向量内积推导
摘要：
一、平面向量内积的定义与意义
二、平面向量内积的性质与运算规律
三、平面向量内积的推导过程
四、平面向量内积在实际问题中的应用
正文：
一、平面向量内积的定义与意义
平面向量内积是一种度量向量之间相似度的方法，它反映了两个向量在方向和长度上的相似程度。

给定两个二维平面向量A=(a1, a2)和B=(b1, b2)，它们的内积定义为：
A·B = a1*b1 + a2*b2
内积的值范围在-1到1之间，接近1表示两个向量高度相似，接近-1表示两个向量高度相反，等于0表示两个向量垂直。

二、平面向量内积的性质与运算规律
1.交换律：A·B = B·A
2.结合律：(A·B)·C = A·(B·C)
3.分配律：A·(B+C) = A·B + A·C
4.对称性：A·B = B·A
5.标量乘法的传递性：kA·kB = (k·k)·A·B
三、平面向量内积的推导过程
平面向量内积的推导过程主要包括以下几个步骤：
1.基于向量的点积定义，展开A·B的计算过程。

2.利用向量的坐标运算，将点积表达式转化为坐标形式。

3.化简坐标形式的点积表达式，得到内积的简化形式。

四、平面向量内积在实际问题中的应用
1.几何问题：求解向量的夹角、向量的模长、判断向量之间的共线关系等。

2.线性代数问题：求解矩阵的特征值、特征向量，以及矩阵的秩等。

3.机器学习问题：应用于文本相似度计算、图像特征提取、推荐系统等。

《平面向量的内积》课件


区别
内积结果是一个标量，而外积结果是一 个向量。
内积的结果与向量的顺序无关，而外积的结 果与向量的顺序有关。
内积满足交换律，即 $vec{u}cdotvec{v}=vec{v}cdotvec {u}$，而外积不满足交换律，即 $vec{u}timesvec{v}$与 $vec{v}timesvec{u}$是两个不同的 向量。
$vec{a} cdot vec{a} geq 0$ ，当且仅当$vec{a} = vec{0}$ 时取等号。
交换律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$。
分配律
$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (lambdavec{b})$，其中 $lambda$为标量。
积的绝对值。
特殊情况处理
当两个向量垂直时，它们的夹角为 $90^circ$，此时余弦值为$0$，因此 内积为$0$。
当两个向量共线时，它们的夹角为 $0^circ$或$180^circ$，此时余弦值 为$1$或$-1$，因此内积为 $|mathbf{a}| times |mathbf{b}|$或 $-|mathbf{a}| times |mathbf{b}|$。
cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$ 是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
几何意义
平面向量的内积可以理解为两个向量在垂直方向上的投影长度之积。具体来说，如果将 其中一个向量投影到另一个向量的垂直平面上，则投影长度等于该向量与另一个向量内
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a
与
b
，当它们的夹角
分别为 00 ,90 0 ,180 0时，向量
a
与
b
的位置关
如何？内积分别是多少？
向量内积的性质：
•
（1）当
a
与
b
同向时，a•
b
= | a || b | ；
当
a
=
b
时，
a•
a|ຫໍສະໝຸດ a||a||
2
a|
或
| a |
a• a
；
•
（2）当
a
与
b
反向时，a•
b
= | a || b |；
• （3）当
a
与
b
的内积（或数量积），记作
a• b
，即
a• b = | a || b | cos a,b （00 a,b 1800）
注意：
（1）特别的：a • 0 0 • a 0;
（2）两个向量 a与 b 的内积是一个数量，它可以是 正数、负数或零。
考点1：利用向量内积的定义求向量的内积
例1、已知 | a | 5,| b | 4, 600
ab
时，
a•
b
=0。
试一试：教材38页第2题
平面向量的内积运算律
• （1）
a• b b• a
•
（2）
(a• b) ( a) • b a• ( b)
•
（3）
(a b) • c a• c b• c
例3、已知
|
a
|
5,|
b |
4,
600，求
(2 a
b) •
b
解：
(2 a b) • b =2a • b b • b
7.3.1 平面向量的内积
1
复习回顾
向量的线性运算：
a
b
运算结果为向量
加法
减法
数乘
算式
AB BC AC OA OB BA
a
图式
三角形法则 平行四边形法则
三角形法则
a 与a共线
坐标式
a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 ) a ( x1, y1)
a
与
b
的夹角，
记作 a, b
b
B
b
O
A
a
a
规定， 00 1800
当
00
时，向量
a
与b
同向
当 1800时，向量
a
与
b
反向
当 900时，称向量
a
与
b
垂直，记作
ab
平面向量内积（或数量积）的定义
•
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角是
a,
b
，则把|
a
||
b
|
cos
a, b
这个乘积叫向量
cos a,b a • b ab
例2、已知
| a || b |
2
，a•
b
2 ，求
a,b
。
解： cos a,b a • b = - 2 =- 2
a b 2 2 2
又
00 a, b 1800
所以 a,b = 135
试一试：教材P41页第1（5）题，练习册P33页检测题1（1）
思考交流：
•
已知两个非零向量
=2 | a || b | cos a,b + | b | | b |
25 4 cos 60 42 36
试一试：教材38页第3题，练习册P33页检测题1（2）
课堂小结
• 1、两平面向量夹角； • 2、平面向量的内积及性质； • 3、运算方法和运算律。
谢谢观赏！
2
1
0
2
2
-1 2
2 2
-3 2
1
3 3
1
不存在
3
- 3 1
-3 0
3
练习：已知|
a
|
2,|
b
|
5
，当 a,b 分别为
00 ,30 0 ,45 0 ,60 0，90 0 ,120 0 ,135 0 ,150 0 ,180 0
时，求
a• b
。
考点2：利用向量内积的定义求两向量的夹角
a• b = | a || b | cos a,b
，求
a• b
。
解：a • b a b cos a,b 45 cos 60 10
试一试：教材38页第1题，第40页习题7.3第1题
提示：0，180特殊角的三角函数值表：
0 30 45 60 90 120 135 150 180
sin 0
cos 1
tan 0
1 2
2
3
2
2
1
3 2
2
1
2
2
0
3 2
设 a (x1, y1) b (x2 , y2 )
探 究：
•
一个物体在力
F
的作用下产生的位移
s
，
力
F
与物体位移
s
的夹角为 。
（1）F 在位移方向上的分量是
多少？所做的功W是多少？
（2）功W是一个数量还是 一个向量？
F
s
两个平面向量的夹角
•
已知非零向量
a
与
b
，作OA
a
，OB
b
，
则 AOB叫做向量