平面向量的内积

7.3.1 平面向量的内积一、教材分析：平面向量的内积是本章的重要内容，一是这部分知识本身十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是处理几何有关垂直的问题时显得更为简洁，是用数来解决形的问题的最好实例。

二、学情分析：基于就业班：基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找向量的夹角又容易犯错；基于升学班：有一定基础，对运算律有一定理解，要求对平面向量内积能灵活运用。

三、设计理念：以启发式教学思想和讲练结合的教学方法为指导，采取探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在教学过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。

四、教学目标：1、知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.2、能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力五、教学重、难点：重点：平面向量数量积的概念及计算公式.难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．六、教学策略：教学方法：探究法和讲练结合法；学习方法：自主、合作、探究法七、教学准备：（学生准备：笔、草稿本；教师准备：教学课件八、教学过程：（一）导入新课师：如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？生：思考、自我分析设计意图：从实例出发使学生自然的走向知识点。

（二）新授课师：我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则F=即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量 ,作＝, ＝,由射线OA与OB所形成的角叫做向量与向量的夹角，记作两个向量 ,的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量与向量的内积，记作·即上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当。

平面向量的内积平面向量的内积概念解释内积是向量的一种运算，也叫点积。

对于两个向量a和b，它们的内积可以表示为a·b，其中“·”表示内积符号。

在平面直角坐标系中，向量a和b的内积可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

性质1. 内积具有交换律：a·b=b·a2. 内积具有分配律：(c+a)·b=c·b+a·b3. 内积具有结合律：k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)4. 如果两个向量的夹角为90度，则它们的内积为0。

5. 如果两个向量不共线，则它们的内积不为0。

6. 如果一个向量与自身做内积，则结果为该向量模长的平方。

应用1. 向量投影通过计算一个向量在另一个向量上的投影长度，可以得到这两个向量之间夹角的余弦值。

这在计算机图形学中非常常见。

2. 判断两条直线是否垂直如果两条直线所对应的向量垂直，则它们的内积为0。

3. 计算向量的模长通过向量的内积公式，可以计算出一个向量的模长。

4. 计算两个向量之间的夹角通过向量的内积公式，可以计算出两个向量之间的夹角。

5. 判断两条直线是否平行如果两条直线所对应的向量平行，则它们的内积为两个向量模长之积乘以它们之间夹角的余弦值。

6. 判断三角形是否直角三角形如果一个三角形中有一条边与另一条边垂直，则这两条边所对应的向量垂直，它们的内积为0。

如果这个三角形中有两条边所对应的向量垂直，则这个三角形是直角三角形。

总结平面向量内积是一种非常重要且常用的运算，它不仅可以用于计算向量投影、判断两条直线是否垂直或平行、计算夹角等问题，还可以用于解决几何问题和物理问题。

因此，在学习数学和物理时，掌握平面向量内积是非常重要和必要的。

平面向量的内积教学眉批向量内积可用来计算物理学的“功”与解决一般几何、解析几何问题，未来学习的两个矩阵的乘积也蕴含向量的内积。

两向量夹角：(1) 两个非零向量始点重合所夹的角。

(2) 夹角介于0°至180°。

(3) 同向时夹角为0°，反向时夹角为180°。

向量在几何图形上的夹角宜注意是否起点重合。

补充演练如下图，试求下列两向量的夹角：(1) AB与AC。

(2) BA与AF。

(3) AD与EB。

解(1) 如图（一），AB与AC夹角为30°。

(2) 如图（二），BA与AF夹角为60°。

(3) 如图（三），AD与EB夹角为120°。

图（一）图（二）图（三）教学眉批向量内积：(1) 内积与系数积是不同的。

内积是两个向量的运算；系数积是一个向量的实数倍。

(2) 利用两非零向量的长度及其夹角余弦值的乘积来定义，结果为一实数。

(3) 若两向量中有一为零向量时，因零向量之长度为0，故规定其内积为0。

(4) 内积具交换性，即a‧b＝b‧a＝∣a∣∣b∣cos θ。

一些常用性质后面会再介绍。

(1) 给定长度与夹角求内积，直接由定义可得。

(2) 给定几何图形求内积，务必提醒学生起点重合，角度介于0°～180°才是两个向量的夹角。

补充演练(1) 如图（一），已知直线L垂直AB，C，D，E，F在直线L上，则AB‧AC，AB‧AD，AB‧AE，AB‧AF之大小关系为何？(2) 如图（二），ABCDEF为一正六边形。

那么下列向量内积中，何者最大？(A) AB‧AB(B) AB‧AC(C) AB‧AD(D) AB‧AE(E) AB‧AF。

图（一）图（二）证(1)AB‧AC＝∣AB∣∣AC∣cos∠CAB＝∣AB∣∣AF∣；AB‧AD＝∣AB∣∣AD∣cos∠DAB＝∣AB∣∣AF∣；AB‧AE＝∣AB∣∣AE∣cos∠EAB＝∣AB∣∣AF∣；AB‧AF＝∣AB∣∣AF∣cos 0°＝∣AB∣∣AF∣，故均相等。

平面向量内积推导
摘要：
一、平面向量内积的定义与意义
二、平面向量内积的性质与运算规律
三、平面向量内积的推导过程
四、平面向量内积在实际问题中的应用
正文：
一、平面向量内积的定义与意义
平面向量内积是一种度量向量之间相似度的方法，它反映了两个向量在方向和长度上的相似程度。

给定两个二维平面向量A=(a1, a2)和B=(b1, b2)，它们的内积定义为：
A·B = a1*b1 + a2*b2
内积的值范围在-1到1之间，接近1表示两个向量高度相似，接近-1表示两个向量高度相反，等于0表示两个向量垂直。

二、平面向量内积的性质与运算规律
1.交换律：A·B = B·A
2.结合律：(A·B)·C = A·(B·C)
3.分配律：A·(B+C) = A·B + A·C
4.对称性：A·B = B·A
5.标量乘法的传递性：kA·kB = (k·k)·A·B
三、平面向量内积的推导过程
平面向量内积的推导过程主要包括以下几个步骤：
1.基于向量的点积定义，展开A·B的计算过程。

2.利用向量的坐标运算，将点积表达式转化为坐标形式。

3.化简坐标形式的点积表达式，得到内积的简化形式。

四、平面向量内积在实际问题中的应用
1.几何问题：求解向量的夹角、向量的模长、判断向量之间的共线关系等。

2.线性代数问题：求解矩阵的特征值、特征向量，以及矩阵的秩等。

3.机器学习问题：应用于文本相似度计算、图像特征提取、推荐系统等。

数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。

平面向量内积的坐标表示教案章节一：向量内积的概念介绍教学目标：1. 了解向量内积的定义和几何意义。

2. 掌握向量内积的计算公式。

教学内容：1. 向量内积的定义：两个向量a和b的内积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。

2. 向量内积的几何意义：向量内积可以表示为两个向量的数量积，即向量a和b的模长的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。

3. 向量内积的计算公式：在坐标系中，向量a和b可以表示为a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则它们的内积为a·b = a1b1 + a2b2。

教学活动：1. 引入向量内积的概念，通过图形和实际例子解释向量内积的定义和几何意义。

2. 引导学生理解向量内积的计算公式，并给出具体的计算例子。

作业：1. 练习计算两个向量的内积，包括坐标表示和数量积的计算。

教案章节二：向量内积的性质教学目标：1. 掌握向量内积的基本性质。

2. 学会运用向量内积的性质解决问题。

教学内容：1. 向量内积的交换律：a·b = b·a。

2. 向量内积的分配律：a·(b+c) = a·b + a·c。

3. 向量内积的数乘性质：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)。

4. 向量内积的非负性：a·b ≥0，且当a和b夹角为0度时，a·b取最大值|a||b|。

教学活动：1. 引导学生通过实例验证向量内积的交换律、分配律和数乘性质。

2. 讲解向量内积的非负性，并解释其几何意义。

作业：1. 运用向量内积的性质计算一些具体的向量内积。

教案章节三：向量内积的应用教学目标：1. 学会运用向量内积解决实际问题。

2. 掌握向量内积在几何和物理中的应用。

教学内容：1. 向量内积在几何中的应用：计算向量的夹角、判断平行或垂直关系等。

2. 向量内积在物理中的应用：力的合成与分解、动能和势能的计算等。

平面向量的内积本节将介绍向量的另一种运算—内积。

内积的应用非常广泛，它可以用来求两向量的夹角、求两直线的交角、求三角形的面积及求某些函数的极值等，是向量用来处理几何问题的主要工具。

1向量的夹角与内积向量的夹角对于非零向量a与b，若此两向量始点不在同一点，我们可以将其中一个向量平移，使两个向量的始点重合，如图30 所示，此时的夹角θ（0°≦θ≦180°），称为向量a与b的夹角。

当a与b方向相同时，夹角为0°；方向相反时，夹角为180°。

图30注意在求两向量夹角时，必须将两向量的始点重合后再行判断。

例如图31 所示，设△ABC为正三角形，则AB与AC的夹角为60°，但AB与BC的夹角为120°。

图31向量的内积图32向量的内积源于一力对物体所作的“功”。

如图32 所示，设对一物体施力f时，此物体的位移为s，其中f与s的夹角为θ。

那么，在物理学中，我们知道施力f对该物体所作的功为W＝（沿位移方向的分力）‧（位移）＝∣f∣cos θ‧∣s∣＝∣f∣∣s∣cos θ。

在数学上，我们称功（W）为力（f）与位移（s）这两个向量的内积。

注意到功是一个纯量（只有大小，没有方向）。

底下我们以数学的方式介绍内积。

设a，b为平面上两个非零向量，其夹角为θ，如图33 所示，则a和b的内积a‧b定义为a‧b＝∣a∣∣b∣cos θ，即两向量的长度与其夹角余弦值的乘积。

例题1-----------------------------------------------------------------------------------------------------------(1) 设AB与AC两向量的夹角为45°，且∣AB∣＝4，∣AC∣试求AB‧AC之图33值。

(2) 如图34 所示，若∣a∣＝2，∣b∣＝3，试求a‧b之值。

图34------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解(1) 内积的定义可得AB AC⋅＝cos45AB AC＝4‧2‧1 2＝4。

平面向量的基本运算法则在数学中，平面向量是指一个既有大小（长度）又有方向的量。

平面向量具有独特的运算法则，包括加法、减法、数量乘法和点乘法。

下面将详细介绍平面向量的基本运算法则。

一、平面向量的表示平面向量可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小（长度），箭头所指的方向表示向量的方向。

常用的表示方法为使用字母加箭头或使用粗体字母表示向量，如向量a可以表示为"a->"或"a"。

二、平面向量的加法1. 平面向量的加法满足交换律，即a + b = b + a。

2. 平面向量的加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。

3. 平面向量的加法可以利用三角形法则进行计算。

将两个向量首尾相接，连接起来形成一个三角形，以第一个向量的起点和第二个向量的终点作为相加后向量的起点，以第一个向量的终点和第二个向量的起点作为相加后向量的终点。

相加后向量的大小等于三角形的长，方向与三角形最短边的方向相同。

三、平面向量的减法平面向量的减法可以理解为加法的逆运算。

用b减去a，即b - a，可以转化为b + (-a)。

其中，-a称为向量a的负向量，它的大小与a相等，方向相反。

四、平面向量的数量乘法1. 数量乘法即将向量与一个实数相乘，结果为一个新的向量。

数量乘法满足结合律，即k(la) = (kl)a，其中k和l为实数。

2. 如果k为正数，数量乘法会改变向量的大小，但不改变其方向；如果k为负数，数量乘法会改变向量的大小，并将其方向取反；如果k 为0，则结果向量为零向量。

3. 数量乘法的计算方法是将实数与向量的模长相乘，再将结果的方向与原向量保持一致。

五、平面向量的点乘法1. 平面向量的点乘法又称为数量积或内积，表示为a · b。

2. 点乘法的结果是一个标量（实数），而不是一个向量。

3. 点乘法的结果等于两个向量模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，即a · b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。

1-4 平面向量的內積222-⋅|||()OA OB OA OB4. 科西不等式：設R d c b a ∈,,,，則))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，且等號成立的充要條件為d b c a ::=。

重要例題： 例1.設),1(),2,1(x b a =-= ，且a 與b 的夾角為︒150，求x 。

例2.設)1,1(),3,1(-==b a ，當=t ？時，||b t a +為最小。

例3.設(2,),(,1),(5,1)OA m OB n OC =-==-，若,,A B C 三點共線，且OA OB ⊥，求(,)m n =？類1. 設)4,1(),2,1(),3,5(-=-==w v u ，求(1))32()2(w v v u +-⋅+=？(2)=+⋅-)54()2(w v v u ？ 類2. 求下列各向量的夾角？(1))1,2(),2,1(-==b a ，(2))1,2(),2,6(-==b a ，(3))3,2(),2,1(-==b a 。

類3. 求與向量)13,13(+-成4π夾角的單位向量。

類4. 設(2,3),(1,1),,//OA OB OC OB BC OA =-=-⊥，且OD OA OC +=，求OD 。

Ans: 1.(1)-97,(2)-37，2. (1)︒90,(2)︒45,(3)654cos 1--，3.)23,21(),21,23(-，4. 1114(,)55-。

例4.設ABC ∆中，AB CA BC ,,的中點分別為)3,1(),4,6(),1,2(-F E D ，求(1)ABC ∆面積。

(2)A 的坐標為 。

例5.(4,1),(2,3),OA OB =={|,0,0,||||1}S P OP OA OB αβαβαβ==+≥≥+≤，求S 面積。

類1. 設ABC ∆中，若||2,||3AB AC ==，ABC ∆的面積為233，則AB AC ⋅= 。

平面向量的欧氏距离和内积空间欧氏距离和内积空间是平面向量的重要概念，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。

本文将通过对欧氏距离和内积空间的介绍和讨论，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

一、欧氏距离的定义和性质欧氏距离是平面上两个向量之间的距离度量，它可以用来衡量向量之间的差异程度。

假设平面上给定两个向量u和v，它们的欧氏距离记为||u-v||，其中"|| ||"表示向量的范数或长度。

欧氏距离的定义如下：||u-v|| = sqrt((u1-v1)^2 + (u2-v2)^2)其中，u1、u2分别表示向量u的两个分量，v1、v2分别表示向量v的两个分量。

欧氏距离具有以下性质：1. 非负性：欧氏距离始终为非负数，即||u-v|| >= 0。

2. 同一性：若两个向量相等，则它们的欧氏距离为零，即||u-v|| = 0当且仅当u = v。

3. 对称性：欧氏距离满足对称性，即||u-v|| = ||v-u||。

4. 三角不等式：对于任意的向量u、v和w，欧氏距离满足三角不等式，即||u-v|| <= ||u-w|| + ||w-v||。

二、内积空间的定义和性质内积空间是一个线性空间，其中定义了一个内积运算符，可以用来计算两个向量之间的内积。

在平面向量中，内积可以表示为两个向量的点积。

假设给定两个向量u和v，它们的点积表示为u·v。

内积的定义如下：u·v = u1*v1 + u2*v2其中，u1、u2分别表示向量u的两个分量，v1、v2分别表示向量v的两个分量。

内积空间具有以下性质：1. 非负性：内积的结果始终为非负数，即u·v >= 0。

2. 零向量：若向量u和v的内积为零，即u·v = 0，则u和v称为正交向量或垂直向量。

3. 对称性：内积满足对称性，即u·v = v·u。

4. 线性性质：对于任意标量a和向量u、v、w，内积具有线性性质，即(a*u)·v = a*(u·v)，(u+v)·w = u·w + v·w。