中职数学8.4.2向量内积的坐标运算

人教版中职数学基础模块下册《向量的内积
及其运算》教案 (一)
人教版中职数学基础模块下册《向量的内积及其运算》教案，是一份
针对中职学生的教材，旨在帮助学生更好地掌握向量的内积及其运算，从而提高数学学科的学习效果。

本文将从以下几个方面进行分析：
一、教案中的教学目标
该教案旨在通过对向量的内积及其相关运算的教学，帮助学生掌握向
量的基本概念和运算方法，能够对向量的内积进行计算，并能够应用
向量内积解决实际问题。

二、教案中的教学内容
该教案主要包含向量的内积的基本定义及其几何意义、内积的运算法则、正交向量及其性质、向量的垂直投影等内容。

三、教案中的教学方法
该教案采用多种教学方法，包括讲解、演示、练习、巩固及拓展等，
旨在更好地帮助学生理解和掌握向量内积的相关概念和技能。

四、教案中的教学重点和难点
该教案的教学重点在于向量的内积的定义及其几何意义、内积的运算
法则、正交向量及其性质等方面。

而教学难点则在于向量的内积与解
决实际问题的应用能力。

五、教案中的教学评价
该教案采用量化评分法和主观评价相结合的方法进行教学评价。

量化评分主要针对学生在课堂上的表现，如听讲、回答问题、练习等方面进行评价。

而主观评价主要是针对学生的考试成绩、作业完成情况以及课后拓展学习等方面进行评价。

综上所述，人教版中职数学基础模块下册《向量的内积及其运算》教案对于中职学生学习向量的内积及其运算具有重要的指导意义，不仅有助于提高学生的数学能力和实际应用能力，还能够帮助学生理解向量的相关概念及其应用。

中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。

《数学》教案（2014〜2015学年第一学期）适用计算机专业教学部教学内容I 、 组织教学 II 、 复习检查：1、 说说向量内积的定义.•2、 默写向量内积的定义式和内积的重要性质. Ilk 讲授新课：（-）用直角坐标计算向量的内积平面上取一个直角坐标系[O\e v e 2},设向量a, b 的坐标分别是（3，°2），（勺上2）。

山于e \ 9e2 =e 2 ee i =0» 因此：a.b = （a® +a 2e 2）^（b l e l +b 2e 2）= a [b [e [e [ +a [b 2e i e 2 +a 上+a Ae 2e 2 -a b } e } ' +a 2b 2 e 2即：a •b =a [b 1 +a 2b 2用平面向量的直角坐标讣算内积的公式:两个向量的内积等于它们的横坐标的乘积与纵坐标 的乘积之和.（二）向量内积的应用⑴计算向量的长度：设曰的直角坐标为©，①），则匕| ==也：+色2 ⑵计算两点间距离：设在直角坐标系中，卩（心“）,0（七”2），则： |旳=J （%2 一州）'+（）‘2 一）'|）'-（3）已知两个非零向量G &的直角坐标分别为 （44）,（勺厶），则(4)判断两个向量是否垂直：设a, b 的直角坐标分别为(仆"2)，(久$),贝I 」：cos<a,b >=a •b a }b } +o 2b 2 JaJ +叮 Jb ： +%2a丄方oa •方=0O“A+"2”2=°.例3 已知A, B两个点的直角坐标分别是(-2, 5), (3, -4),求\AB\.解:|A科=J[3 _ (—2)]2 + (V _ 5尸=J25 + 8 ] = I而.例4已知三角形ABC的顶点A, B, C的直角坐标分别是(2, -1), (4, 1), (6, -3),证明：ABC是等腰三角形.证明：|AB| = J(4_2)2+[1_(_1)]2 =4^ = 2近,网=J(6_4)2+(_3_l)2 =如16 = 2巧,\AC] = 7(6-2)2+[-3-(-1)]2 = J16+4 = 2、你,因此|BC| = |AC|,从而三角形ABC是等腰三角形.例5 在平面直角坐标系中，判断下述每一对向量是否垂直：(1)a=(0,-2),b=(-l,3),(2)c= (-1, 3), d= (-3, -1) •解：(1) a^b = 0x(—1) + (—2)x3 = —6^0,因此a 与b 不垂直.(2) c• J = (—1) x (—3) + 3x (—1) = 3 — 3 = 0因此c与d垂直.IV、课堂巩固与小结：1、已知& =(3,-4),d(2,力,3 = (2,刃帀丄e,求氏°,以及5与a的夹角.2、已知万=°4)，〃丄N且厶起点坐标为(1, 2).终点坐标为(x, 3x),求'的坐标.V、布置作业：练习8-9第1,4题。

向量坐标运算公式总结在数学和物理学中，向量是一个具有大小和方向的量，常用于描述物体的位置、速度和力等相关概念。

而对向量进行运算，是解决许多实际问题的关键步骤之一。

本文将总结一些常用的向量坐标运算公式，帮助读者更好地理解和应用向量运算。

1. 向量的表示在二维坐标系中，一个向量可以用一个有序数对表示，如(a, b)。

表示向量的时候，通常以x轴和y轴分量的形式给出。

在三维坐标系中，一个向量可以用一个有序数组表示，如(a, b, c)。

2. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。

对于二维向量(a, b)和(c, d)，它们的加法运算规则如下：(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

对于二维向量(a, b)和(c, d)，它们的减法运算规则如下：(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)4. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘，得到一个新的向量。

对于二维向量(a, b)和实数k，它们的数量乘法运算规则如下：k(a, b) = (ka, kb)5. 内积（点乘）内积（点乘）是指将两个向量相乘后再求和的运算。

对于二维向量(a, b)和(c, d)，它们的内积运算规则如下：(a, b)·(c, d) = ac + bd6. 外积（叉乘）外积（叉乘）是向量间的一种运算，用于产生一个新的向量。

外积只适用于三维向量。

对于三维向量(a, b, c)和(d, e, f)，它们的外积运算规则如下：(a, b, c) × (d, e, f) = (bf - ce, cd - af, ae - bd)7. 向量的模向量的模是指向量的长度或大小。

对于二维向量(a, b)，它的模定义为：| (a, b) | = √(a² + b²)8. 向量的单位向量单位向量是指模为1的向量。

向量内积的坐标运算与距离公式
【教学目标】
1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问
题．
2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．
3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
【教学重点】
向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．
【教学难点】
向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos‹a，b›与a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．。

课时教学设计首页（试用）授课时间：年月日课题7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式课型新授第几1课时1.掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决课时有关长度、角度和垂直的问题．教学 2.能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．目标 3.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合（三维）思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．教学重点：教学向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．重点与难点教学难点：向量内积的坐标表达式的推导，即 a·b＝| a | | b | cos?a，b?与 a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系教学方法与手段使用教材的构想本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成教师行为1．已知非零向量 a 与 b ，则 a 与b的内积表达式是怎样的？由内积表达式怎样求 cos?a，b?？2． a b；3． | a | 与a·a有何关系？已知 e1， e2是直角坐标平面上的基向量， a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推导出 a· b 的坐标公式吗？探究过程a· b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e1·e1＋ a1b2e1·e2＋ a2b1e1·e2＋ a2b2e2·e2，又因为e1· e1＝1， e2· e2＝1，e1·e2＝0，所以a· b＝a1b1＋a2b2．☆补充设计☆师生行为设计意图教师提出问题．为知识迁移做准学生回忆解答．师生共同备．回忆旧知识．师：对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示．引出探究问题．学生讨论并回答，教师再问题为复习向量提出的下列问题：的线性运算和向量的（ 1）(a1e1＋ a2e2)·(b1e1＋内积而设计．通过学b2e2) 是怎样进行运算的？生的探究给出结论，（ 2）e1·e1，e2·e2，e1·e2比直接给出更符合学的内积是怎样计算的？生的特点，容易被学教师针对学生的回答进行生接受．通过结论的点评．师生共同写出详细的探探究，让学生初步感究过程．受到无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终都归结为直角坐标运算．定理在平面直角坐标系中，已知e1， e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)， b＝(b1，b2)，则a· b＝a1b1＋a2b2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．我们还可以得到以下结论：(1)向量垂直的充要条件为a⊥ b a1b1＋a2b2＝0；(2)两向量夹角余弦的计算公式为cos?a，b?＝a1b1＋ a2b22222．a1＋ a2 b1＋ b2教师给出向量内积的直角坐标运算公式．并引导学生用文字叙述．在教师的引导下学生讨论得出．问题：(1)若已知 a ＝ (a 1，a 2) ，你能用上面的定理求出 | a | 吗？解 因为2| a | ＝ a · a ＝ (a 1， a 2)· (a 1， a 2)＝ a 12＋ a 22 ，所以 | a |＝ a 12＋ a 22．这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．(2)若已知 A(x 1， y 1)，B(x 2， y 2)，你→能求出 | AB| 吗？解因为 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以→AB ＝ (x 2 －x 1，y 2 －y 1 )．因为 | a |＝ a 12 ＋ a 22，所以→ 2 2 ，| AB|＝ (x 2 －x 1 ) ＋ (y 2－ y 1 )教师提出问题， 稍加点拨． 通过对问题的详学生讨论解答．细探究得到性质，比 教师总结得出这就是根据直接给出结论更容易 向量的坐标求向量长度的计算 被学生接受．同时加 公式．深对 a ·b ＝ a 1b 1＋ a 2b 2 的理解．从而提高学生的思维能力．教师提出问题．使刚刚学过的知学生讨论解答．识及时得到应用．教师总结得出这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．例 1 设 a ＝ (3，－ 1)， b ＝ (1，－ 2)，学生尝试解答．教师针对求：学生的回答进行点评．(1) a · b ；(2) | a |； (3) | b |；(4)?a ， b ?．解 (1) a ·b ＝ 3× 1＋ (－ 1)× (－ 2)＝ 3＋ 2＝ 5；(2) | a |＝ 32＋ (－1) 2＝ 10； (3) | b |＝ 12＋ (—2) 2＝ 5；(4) 因为cos?a ， b ?＝ a b ＝5＝ 2，| a || b |10× 52π 所以 ?a ， b ?＝ ．4通过例 1 可让学生加深对向量内积的直角坐标运算公式及向量的长度公式的理解和记忆．例2 已知 A(2，－ 4)， B(－ 2，3) ，求→教师点拨，学生解答．巩固公式，形成| AB |．教师针对学生的回答进行技能．解因为 A(2，－ 4)，B(－ 2，3)，所点评．以→－ (2，－ 4) AB ＝( － 2， 3)＝(－ 4， 7)，→72＋( －4)2所以 | AB|＝＝ 65．例3 已知 A(1，2)， B(3，4)， C(5，0)，求证：△ ABC 是等腰三角形．教师点拨，学生讨论解答．在板书证明的过证明因为小组讨论时教师巡视，并程中，突出解题思路→针对学生的回答给予补充、完与步骤．AB ＝ (3－ 1， 4－ 2)＝ (2， 2)，→善．最后师生共同完成此题．教AC ＝ (5－ 1， 0－ 2)＝ (4，－ 2)，师给出具体的解题步骤．→BC ＝ (5－ 3， 0－ 4)＝ (2，－ 4)，→2＋ (－ 2)2＝20，|AC|＝4→2＋ (－ 4)2＝20，|BC|＝2→→所以 |AC|＝|BC |．因此△ ABC 是等腰三角形．例4 已知 A(1，2) ，B(2，3)，C(－ 2，→→教师点拨，学生解答．通过学生讨论，5)，求证： AB AC．教师针对学生的回答进行老师点拨，可以突出证明因为点评．解题思路，深化解题→步骤，分解难点．顺AB ＝ (2－ 1， 3－ 2)＝ (1， 1)，→利帮助学生完成．AC ＝ (－ 2－ 1，5－ 2)＝ (－ 3，3)，可得→→AB · AC ＝ (1， 1) ·(－ 3， 3)＝ 0．→所以 AB →AC ．练习1．已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(－ 2，π5)，求证：BAC= ．师生合作共同完成．学习新知后紧跟22．已知点 P 的横坐标是 7，点 P 到练习，有利于帮助学点 N(－1，5)的距离等于 10，求点 P 的坐生更好的梳理和总结标．本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．本节课我们主要学习了平面向量内学生阅读课本 , 畅谈本节梳理总结也可针积的坐标运算与距离公式，常见的题型课的收获，老师引导梳理，总对学生薄弱或易错处主要有：结本节课的知识点．进行强调和总结．(1)直接用两向量的坐标计算内积；(2)根据向量的坐标求模；(3)根据两点坐标求两点间的距离；(4)判定两向量是否垂直．课时教学设计尾页（试用）☆补充设计☆板书设计平面向量基本定理在平面直角坐标系中，已知e1， e2练习：是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)， b＝( b1，b2)，则a· b＝a1b1＋a2b2．例 1 设a＝ (3，－ 1)，b＝ (1，－ 2)，求：(1) a·b；(2) |a |；(3) | b |；(4)?a，b?．作业设计教材P56 练习 A 组第 1 题；教材P57 练习 B 组第 1 题 (选做 )．教学后记。

江苏省高邮职业教育中心校教案纸首页江苏省高邮职业教育中心校教案纸续页一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7定比分点坐标公式：若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比 8点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点9线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++111110．力做的功：W = |F |⋅|s |cos ，是F 与s 的夹角二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，若a 0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a ⋅b =0，不能推出b =0因为其中cos有可能为0（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc ⇒ a=c 但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但ac(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )ca (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1e ⋅a = a ⋅e =|a |cos2aba ⋅b = 0C3当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = |a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4cos=||||b a ba ⋅5|a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 判断正误，并简要说明理由①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０； 对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题。

向量积的坐标运算公式向量积是向量的一种运算方式，也称为叉乘或叉积。

它是两个向量相乘得到的结果，结果是一个新的向量。

向量积的坐标运算公式可以用来计算向量积的坐标分量，进而求解向量积的值。

向量积的坐标运算公式可以表示为：设有两个向量 A = (A1, A2, A3) 和 B = (B1, B2, B3)，则它们的向量积 C = A × B 的坐标分量可以通过以下公式计算：C1 = A2B3 - A3B2C2 = A3B1 - A1B3C3 = A1B2 - A2B1其中，A × B 表示向量 A 和向量 B 的向量积，C = (C1, C2, C3) 表示向量积的坐标分量。

向量积的坐标运算公式的推导过程可以通过几何方法或代数方法来进行。

在几何方法中，可以利用向量的长度和方向来推导向量积的坐标运算公式。

在代数方法中，可以利用向量的坐标分量和向量的性质来推导向量积的坐标运算公式。

向量积的坐标运算公式有一些重要的性质，包括交换律、分配律和零向量性质。

交换律表示向量积的结果与乘法顺序无关，即 A × B = -B × A。

分配律表示向量积对向量的线性运算具有分配律，即(A + B) × C = A × C + B × C。

零向量性质表示向量积的结果与零向量的关系，即A × 0 = 0。

向量积的坐标运算公式在物理学和工程学中有着广泛的应用。

例如，在力学中，可以通过向量积的坐标运算公式计算力矩和角动量；在电磁学中，可以通过向量积的坐标运算公式计算电磁场的旋度；在计算机图形学中，可以通过向量积的坐标运算公式计算三维空间中的法向量和切线向量。

向量积的坐标运算公式还可以用于求解平面和直线的交点、判断向量的平行性和垂直性、求解三角形的面积等问题。

例如，可以利用向量积的坐标运算公式判断两条直线是否相交，如果两条直线的向量积为零向量，则表示两条直线平行；如果两条直线的向量积的模长为零，则表示两条直线重合。