高一(上)期末数学试卷三

陕西省西北大学附中2024届高一上数学期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．函数的零点个数为（） A.0 B.1 C.2D.32．已知全集{}06U x N x =∈≤≤，集合{}4,5,6A =，则UA（ ）A.{}1,2,3,4B.{}0,1,2,3C.{}03x x ≤≤D.{}1,2,33． “α是第一或第二象限角”是“sin 0α>”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．若角a (0≤a ≤2π)的终边过点(sin,1cos )55P ππ-，则a =( ) A.1110πB.710π C.25πD.10π 5．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 A.若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B.若//,//l ααβ，则l β⊂ C.若,//l ααβ⊥，则l β⊥D.若//,l ααβ⊥，则l β⊥6．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（） A.1y x=B.1y x =-C.2xy -=D.ln y x =7．已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为A B C '''，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的表面积为（）A.442+B.842+C.845+D.885+8． “25x <<”是“34x <<”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9．已知0a >且1a ≠，函数()()()2360(0)xa x a x f x ax ⎧-+-≤=⎨>⎩，满足对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值范围是（）A.()2,3B.(]2,3C.72,3⎛⎫⎪⎝⎭ D.72,3⎛⎤ ⎥⎝⎦10．已知a ，b ，c R ∈，那么下列命题中正确的是（ ） A.若22ac bc >，则a b > B.若a bc c>，则a b > C.若33a b >，且0ab <，则11a b< D.若22a b >，且0ab >，则11a b< 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

铜仁市2023-2024学年第一学期期末质量监测试卷高一数学（答案在最后）本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}1,1,0,1A x x B =>-=-，则A B = （）A.[]0,1 B.{}0,1 C.{}1,0,1- D.()1,-+∞2.cos300︒=（）A.12B.32C.12-D.3.命题[]2:1,4,340p x x x ∀∈---≤，则p ⌝为（）A.[]21,4,340x x x ∀∈---> B.[]21,4,340x x x ∃∈---≤C.[]21,4,340x x x ∃∈---> D.()()2,14,,340x x x ∀∈-∞-+∞--> 4.已知0.5333,log 0.5,log 0.9a b c ===，则它们的大小关系为（）A.a c b<< B.b a c<< C.a b c<< D.b<c<a5.已知幂函数()y f x =的图象过点2,2⎛⎫⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.()f x =B.()f x 的定义域是(),-∞+∞C.()f x 在()0,∞+上为减函数D.()f x 为奇函数6.设函数()21ln f x x x=-，则使得()()23f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A.()3,-+∞ B.()(),31,-∞-⋃+∞ C.()3,1- D.(),3-∞-7.设函数()sin f x x ω=，若函数()()1g x f x =-在[]0,π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是（）A.913,22⎛⎫⎪⎝⎭B.913,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1317,22⎛⎫⎪⎝⎭ D.1317,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.当()1,1x ∈-时，不等式23208kx kx --<恒成立，则k 的取值范围是（）A.()3,0- B.[)3,0- C.13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.13,8⎛⎤- ⎥⎝⎦二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列函数为偶函数的是（）A.()4cos f x x x=+ B.()5sin f x x a x=+C.()21f x x x =+ D.()22f x x x =++10.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.14ab ≤B.22log log 2a b +≤-C.221a b +≥ D.22a b +≥11.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数()cos (0,0,π)y A x b A ωϕωϕ=++>><，则（）A.π8ω= B.20A =C.π4ϕ=D.这段曲线的解析式是ππ20cos 1084y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭12.已知函数()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩设()f x k =的实数解个数为t ，则（）A.当1t =时，(],4k ∈-∞-B.当2t =时，()3,k ∞∈-+C.当3t =时，(]43k ,∈-- D.函数()f x 的值域为R三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()4cos 455α-︒=，则()sin 45α︒+=________．14.函数2(0)24xy x x x =>-+的最大值为________．15.将函数π2cos(2)3y x =+的图象向右平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式是________．16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，函数32()6f x x x =-图象的对称中心为______.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{}15A x x =≤≤，集合{}12B x m x m =+≤≤-．（1）若1m =-，求R A B ⋃ð；（2）若集合,A B 满足条件：①A B B ⋃=；②A B A = ；③x A ∈是x B ∈的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数m 的取值范围．18.（1）计算132ln372log e 9-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为3%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈）．19.（1）计算)tan 70cos10201︒︒︒-．（2）已知()111cos ,cos 714ααβ=+=-，且π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求β的值．20.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值、最小值．21.已知()22xxf x b -=+⋅是奇函数，()()lne1xg x ax =+-是偶函数．（1）求,a b 的值；（2）若不等式()()()f g x f m x >-恒成立，求[)0,x ∈+∞时实数m 的取值范围．22.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()112,22f x y f x y f x f y f ⎛⎫++-== ⎪⎝⎭（1）求()0f 的值，并证明函数()f x 是偶函数；（2）判断函数()f x 是否为周期函数并说明理由，求出()()20242024f f -+的值铜仁市2023-2024学年第一学期期末质量监测试卷高一数学本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}1,1,0,1A x x B =>-=-，则A B = （）A.[]0,1 B.{}0,1 C.{}1,0,1- D.()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为集合{}{}1,1,0,1A x x B =>-=-，所以{}0,1A B = ，故选：B.2.cos300︒=（）A.12B.32C.12-D.【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.【详解】1cos300cos(36060)cos 602︒=︒-︒=︒=.故选：A3.命题[]2:1,4,340p x x x ∀∈---≤，则p ⌝为（）A.[]21,4,340x x x ∀∈---> B.[]21,4,340x x x ∃∈---≤C.[]21,4,340x x x ∃∈---> D.()()2,14,,340x x x ∀∈-∞-+∞--> 【答案】C 【解析】【分析】根据含有一个量词的否定即可得到答案.【详解】因为命题[]2:1,4,340p x x x ∀∈---≤，所以根据含有一个量词的否定可知[]2:1,4,340p x x x ⌝∃∈--->，故选：C.4.已知0.5333,log 0.5,log 0.9a b c ===，则它们的大小关系为（）A.a c b <<B.b a c <<C.a b c<< D.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及指数、对数运算判定大小即可.【详解】易知3log y x =在定义域()0,∞+上单调递增，故b c <，又3x y =也在定义域R 单调递增，所以0.5033331log 3log 0.9a c =>==>=，所以<<b c a .故选：D5.已知幂函数()y f x =的图象过点22,2⎛⎫⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.()f x =B.()f x 的定义域是(),-∞+∞C.()f x 在()0,∞+上为减函数D.()f x 为奇函数【答案】C 【解析】【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质.【详解】设幂函数()f x x α=，由()2222f α==，解得12α=-，由()12f x x-==A 选项错误；()f x 的定义域是()0,∞+，B 选项错误；()f x 在()0,∞+上为减函数，C 选项正确；由定义域可知，函数()f x 为非奇非偶，D 选项错误.故选：C6.设函数()21ln f x x x=-，则使得()()23f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A.()3,-+∞ B.()(),31,-∞-⋃+∞ C.()3,1- D.(),3-∞-【答案】B 【解析】【分析】分析函数性质，得()f x 为偶函数且在()0,∞+上单调递增，不等式等价于23x x >-，解出即可.【详解】函数()21ln f x x x =-，定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()()2211ln ln f x x x f x xx -=--=-=-，函数为偶函数，当0x >时，()21ln f x x x =-，由函数ln y x =和21y x =-在()0,∞+上都单调递增，得()f x 在()0,∞+上单调递增，则()f x 在(),0∞-上单调递减，由()()23f x f x >-，得23x x >-，即()()2223x x >-，解得3x <-或1x >，所以x 的取值范围是()(),31,-∞-⋃+∞.故选：B7.设函数()sin f x x ω=，若函数()()1g x f x =-在[]0,π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是（）A.913,22⎛⎫⎪⎝⎭B.913,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1317,22⎛⎫⎪⎝⎭D.1317,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用正弦函数的图象与性质计算即可.【详解】由题意可知()()10g x f x =-=，即sin 1x ω=在[]0,π上恰有3个解，因为[][]0,π0,πx x ωω∈⇒∈，所以由正弦函数的图象与性质可知：9π13π913π,,2222ωω⎡⎫⎡⎫∈⇒∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：B8.当()1,1x ∈-时，不等式23208kx kx --<恒成立，则k 的取值范围是（）A.()3,0- B.[)3,0- C.13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.13,8⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【详解】当()1,1x ∈-时，不等式23208kx kx --<恒成立，当0k =时，满足不等式恒成立；当0k ≠时，令()2328f x kx kx =--，则()0f x <在()1,1-上恒成立，函数()f x 的图像抛物线对称轴为14x =，0k >时，()f x 在11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则有()()3120831208f k k f k k ⎧-=+-≤⎪⎪⎨⎪=--≤⎪⎩，解得108k <≤；0k <时，()f x 在11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则有123041648k k f ⎛⎫=--<⎪⎝⎭，解得30k -<<.综上可知，k 的取值范围是13,8⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：D.【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列函数为偶函数的是（）A.()4cos f x x x=+ B.()5sin f x x a x=+C.()21f x x x=+ D.()22f x x x =++【答案】AD 【解析】【分析】根据偶函数的定义判断四个选项即可.【详解】对于A 选项，()4cos f x x x =+定义域为R ，关于原点对称，()()()44cos cos f x x x x x -=-+-=+，所以()f x 为偶函数，故A 正确；对于B 选项，()5sin f x x a x =+定义域为R ，关于原点对称，()()()()55sin sin f x x a x x a x f x -=-+-=--=-，所以()f x 为奇函数，故B 错误；对于C 选项，()21f x x x =+定义域为()(),00,∞∞-⋃+，关于原点对称，()()()2211f x x x x x -=+-=--，所以()f x 为非奇非偶函数，故C 错误；对于D 选项，()22f x x x =++定义域为R ，关于原点对称，()()()2222f x x x x x f x -=-+-+=++=，所以()f x 为偶函数，故D 正确，故选：AD.10.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.14ab ≤B.22log log 2a b +≤-C.221a b +≥D.22a b +≥【答案】ABD 【解析】【分析】由基本不等式求各选项是否正确.【详解】已知0,0a b >>，且1a b +=，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==等号成立，A 选项正确；22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==等号成立，B 选项正确；()()22222122a b a b ab a b =+=++≤+，2212a b +≥，当且仅当12a b ==等号成立，C 选项错误；22ab+≥=22a b=，即12a b ==等号成立，D 选项正确；故选：ABD11.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数()cos (0,0,π)y A x b A ωϕωϕ=++>><，则（）A.π8ω= B.20A =C.π4ϕ=D.这段曲线的解析式是ππ20cos 1084y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】由最值求出,A b ，由周期求出ω，由曲线上的点求出ϕ，验证各选项即可.【详解】依题意有3010A b A b +=⎧⎨-+=⎩，解得10,20A b ==，B 选项错误；函数最小正周期()2π214616T ω=-==，得π8ω=，A 选项正确；6x =时，π10cos 620108ϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，则3πcos 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得()3ππ2πZ 4k k ϕ+=+∈，由π<ϕ，得π4ϕ=，C 选项正确；所以这段曲线的解析式是ππ10cos 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC12.已知函数()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩设()f x k =的实数解个数为t ，则（）A.当1t =时，(],4k ∈-∞-B.当2t =时，()3,k ∞∈-+C.当3t =时，(]43k ,∈--D.函数()f x 的值域为R【答案】CD 【解析】【分析】利用函数图像，得到函数值域，由()f x k =实数解的个数，判断k 的取值范围.【详解】利用二次函数和对数函数的图像和性质，作出()f x 的函数图像，如图所示，()14f -=-，()03f =-，由函数图像可知，当1t =时，(),4k ∈-∞-，A 选项错误；当2t =时，(){}3,4k ∞∈-+- ，B 选项错误；当3t =时，(]43k ,∈--，C 选项正确；函数()f x 的值域为R ，D 选项正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：方程的根或函数零点个数的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()4cos 455α-︒=，则()sin 45α︒+=________．【答案】45##0.8【解析】【分析】根据()()454590αα︒+--︒=︒，()()()sin 45sin 9045cos 45ααα⎡⎤︒+=︒+-︒=-︒⎣⎦求解即可.【详解】因为()4cos 455α-︒=，()()454590αα︒+--︒=︒，所以()()()4sin 45sin 9045cos 455ααα⎡⎤︒+=︒+-︒=-︒=⎣⎦，故答案为：45.14.函数2(0)24xy x x x =>-+的最大值为________．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用基本不等式，求出0x >时，224x x x-+的最小值，可得函数2(0)24x y x x x =>-+的最大值.【详解】0x >时，2244222x x x x x -+=-+≥-+=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，则有21242x x x ≤-+，所以当2x =时，函数2(0)24x y x x x =>-+的最大值为12.故答案为：1215.将函数π2cos(2)3y x =+的图象向右平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式是________．【答案】π()2cos(6g x x =-（答案不唯一，如()π2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭）【解析】【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式.【详解】将函数π2cos(2)3y x =+的图象向右平移π4个单位，得函数πππ2cos[2(]2cos(2)436y x x =-+=-的图象，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得π2cos()6y x =-的图象，所以函数()g x 的解析式是π()2cos()6g x x =-.故答案为：π()2cos()6g x x =-16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，函数32()6f x x x =-图象的对称中心为______.【答案】()2,16-【解析】【分析】首先设32()6f x x x =-的对称中心为(,)a b ，根据函数()y f x a b =+-为奇函数可得()()f x a b f x a b -+-=-++，构造方程组即可解得2,16a b ==-.【详解】根据题意，设32()6f x x x =-的对称中心为(,)a b ，则由函数()y f x a b =+-为奇函数可得()()f x a b f x a b -+-=-++，变形可得()()2f x a f x a b -+++=，即()()()()3232662x a x a x a x a b -+--+++-+=；整理可得()2326122122a x a a b -+-=，所以3261202122a a a b -=⎧⎨-=⎩；解得2,16a b ==-，所以其对称中心为()2,16-.故答案为：()2,16-四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{}15A x x =≤≤，集合{}12B x m x m =+≤≤-．（1）若1m =-，求R A B ⋃ð；（2）若集合,A B 满足条件：①A B B ⋃=；②A B A = ；③x A ∈是x B ∈的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{R 0A B x x ⋃=<ð或}1x ≥（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由补集和并集的定义直接求解；（2）由所选条件，得两个集合的包含关系，列不等式求实数m 的取值范围．【小问1详解】由1m =-，得{}03B x x =≤≤，则{R 0B x x =<ð或}3x >，所以{R 0A B x x ⋃=<ð或}1x ≥．【小问2详解】选择①因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，则有1125m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，所以实数m 的取值范围为(],3-∞-.选择②因为A B A = ，所以A B ⊆，则有1125m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，所以实数m 的取值范围为(],3-∞-.选择③因为x A ∈是x B ∈的必要条件，所以B A ⊆，当B =∅时，有12m m +>-，解得12m >，此时符合B A ⊆；当B ≠∅时，由B A ⊆，有1125m m ≤+≤-≤，解得102m ≤≤所以实数m 的取值范围为[)0,∞+18.（1）计算132ln372log e 9-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为3%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈）．【答案】（1）245；（2）9【解析】【分析】（1）由指数式和对数式的运算规则化简计算．（2）由题意列指数不等式，利用两边取对数的方法，结合对数式的运算规则求解.【详解】（1）11311322ln3ln3332725511242log e 5log 2e 3993535--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎭⎭.（2）设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则32110031000n ⎛⎫⨯≤⎪⎝⎭，即21330n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以2lglg303n ≤-，即()()lg2lg31lg3n -≤-+，即1lg3 1.4778.4lg3lg20.176n +≥≈≈-，所以使产品达到市场要求的过滤的最少次数为9次．19.（1）计算)tan 70cos10201︒︒︒-．（2）已知()111cos ,cos 714ααβ=+=-，且π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求β的值．【答案】（1）1-；（2）π3【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系和辅助角公式化简求值；（2）()βαβα=+-，利用同角三角函数的关系和两角差的余弦公式求值.【详解】（1）)sin 7020tan 70cos10tan 201cos101cos 70cos 20⎛⎫︒︒︒︒︒-=⨯︒- ⎪ ⎪︒︒⎝⎭sin 7020cos 20cos10cos 70cos 20⎛⎫︒︒-︒=⨯︒ ⎪ ⎪︒︒⎝⎭1220cos 202cos 20cos10sin 20cos 20⎛⎫⎫︒-︒ ⎪⎪︒ ⎪⎝⎭=⨯︒ ⎪︒ ⎪ ⎪⎝⎭2cos10sin101sin 20︒︒=-=-︒；（2）因为()π111,0,,cos ,cos 2714αβααβ⎡⎤∈=+=-⎢⎥⎣⎦，所以π,π2αβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以43sin 7α==，()sin 14αβ+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦11111471472⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，又因为π0,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3β=．20.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值、最小值．【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）最大值是12，最小值是1-【解析】【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由公式计算最小正周期及单调递减区间；（2）由函数定义区间，利用正弦函数的图像和性质，求出值域.【小问1详解】()21πsin cos sin2sin 22223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==．由()ππ3π2π22π232k x k k +≤-≤+∈Z ，得：()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．【小问2详解】由ππ44x -≤≤，得5πππ2636x -≤-≤，则π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是12，最小值是1-．21.已知()22xxf x b -=+⋅是奇函数，()()ln e 1xg x ax =+-是偶函数．（1）求,a b 的值；（2）若不等式()()()f g x f m x >-恒成立，求[)0,x ∈+∞时实数m 的取值范围．【答案】（1）12a =，1b =-（2）(),ln2-∞【解析】【分析】（1）由函数的奇偶性，求,a b 的值；（2）利用函数的单调性解不等式.【小问1详解】因为()22xxf x b -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x =--，()2222x x x x b b --+⋅=-+⋅，()()1220x x b -++=，所以1b =-．因为()()ln e 1xg x ax =+-是偶函数，所以()()g x g x =-，即：()()ln e 1ln e 1xxax ax -+-=++，得()e 1ln e 1ln 2e x xxax ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以lne 2x ax =，得2x ax =，解得12a =.【小问2详解】由（1）知()22xxf x -=-，因为2x y =为增函数，2xy -=为减函数，所以()f x 在R 上单调递增，不等式()()()f g x f m x >-恒成立，只需()g x m x >-，即：()1ln e 12xx m x +->-，所以()1ln e 12xm x <++，因为函数1e 1,ln ,2xy y x y x =+==在定义域内都单调递增，所以()1ln e 12xy x =++在[)0,∞+上单调递增，所以()1ln e 1ln22xx ++≥，所以ln2m <，即实数m 的取值范围为(),ln2∞-．【点睛】思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中，函数不等式问题，运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用，对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.22.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()112,22f x y f x y f x f y f ⎛⎫++-== ⎪⎝⎭（1）求()0f 的值，并证明函数()f x 是偶函数；（2）判断函数()f x 是否为周期函数并说明理由，求出()()20242024f f -+的值【答案】（1）1，证明见解析（2）()f x 是周期函数，理由见解析，()()202420241f f -+=-【解析】【分析】（1）令1,02x y ==，可求()0f 的值；令0x =，得()()f y f y =-可证明函数()f x 是偶函数；（2）令12y =，有()1122f x f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过代换，有()()332f x fx f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，可证明周期并求值.【小问1详解】令1,02x y ==，则()11120222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()01f =．令0x =，则()()()()20f y f y f f y +-=，因为()01f =，所以()()f y f y =-，即：()()=f x f x -，所以函数()f x 是偶函数．【小问2详解】()f x 是周期函数，理由如下．令12y =，则()1112222f x f x ff x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即：()1122f x f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()112f x f x f x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，所以()112f x f x ⎛⎫+=--⎪⎝⎭，所以()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+=⎪⎝⎭，所以函数()f x 是周期为3的周期函数．所以()()()()20246743221f f f f =⨯+==-，因为()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，令12x y ==，得()()1110222f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()112f =-，因为()f x 为偶函数，所以()()()()()202420242202421211f f f f f -+==-==-．【点睛】方法点睛：探究抽象函数题的必要技巧是赋值、换元及迭代，一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联，寻找并运用函数的周期性与奇偶性单调性，还有数形结合，先猜后证等等.。

2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．1146．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tan θ+2sin θcos θ的值为（ ） A ．−3310B ．−185C ．−95D ．1257．已知a ＞1，b ＞0，且a +1b =2，则4a−1+b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．已知函数f(x)=√x +2+1ax+1(a ∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x 都有f （x ）＞0，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 ．（写出一个即可）15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 ．16．已知下列五个函数：y ＝x ，y =1x，y ＝x 2，y ＝lnx ，y ＝e x ，从中选出两个函数分别记为f （x ）和g （x ），若F （x ）＝f （x ）+g （x ）的图象如图所示，则F （x ）＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A ={x|y =√−2x 2+x +1}，集合B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． （1）当a ＝1时，求∁R （A ∪B ）； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的值．18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值；（2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)．（Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x −5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ．（1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2mb]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅解：集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}＝{x ∈Z |0＜x ＜3}＝{1，2}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝{2}． 故选：A ．2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当ab ＞2时，可能a 、b 都小于−√2，不能推出“a ＞√2且b ＞√2”，充分性不成立； 当a ＞√2且b ＞√2时，必定可以得到ab ＞2，充要性成立． 故选：B ． 3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）解：由函数f(x)=lnx +1x−1，可得x ＞0，且x ≠1， 故函数的定义域为{x |x ＞0，且x ≠1}，即（0，1）∪（1，+∞）． 故选：C ．4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解：将函数y ＝2sin （2x +1）的图象向右平移12个单位，可得y ＝2sin2x 的图象，故选：D ．5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．114解：当x ＜0时，f （﹣x ）＞0，则f（﹣x）＝2﹣x﹣3，则﹣f（x）＝2﹣x﹣3，故f（x）＝3﹣2﹣x，所以g（x）＝f（x）＝3﹣2﹣x，故g（﹣2）＝3﹣22＝﹣1．故选：B．6．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tanθ+2sinθcosθ的值为（）A．−3310B．−185C．−95D．125解：由sinθ+cosθ=√105（0＜θ＜π），可得θ为钝角，且|sinθ|＞cosθ，故tanθ＜﹣1，把条件平方可得sinθcosθ=−3 10，∴sinθcosθsin2θ+cos2θ=−310，tanθtan2θ+1=−310，即得tanθ＝﹣3，所有tanθ+2sinθcosθ＝﹣3−35=−185．故选：B．7．已知a＞1，b＞0，且a+1b =2，则4a−1+b的最小值为（）A．4B．6C．8D．9解：由a+1b=2，得(a−1)+1b=1，其中a﹣1＞0，b＞0．所以4a−1+b=[(a−1)+1b](4a−1+b)=5+4b(a−1)+b(a−1)≥5+2√4=9，当且仅当b（a﹣1）＝2，即a=53，b=3时，等号成立．综上所述，4a−1+b的最小值为9．故选：D．8．已知函数f(x)=√x+2+1ax+1(a∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x都有f（x）＞0，则a的最大值为（）A．0B．12C．1D．2解：若a＝0，则f（x）=√x+2+1＞0恒成立，符合题意；若a＞0，①当1a=−2，即a=12时，f（x）=√2+x+2x+2，定义域为{x|x＞﹣2}，此时f（x）＞0显然成立，符合题意；②当−1a ＜−2，即0＜a ＜12时，定义域为[﹣2，+∞），则ax +1≥﹣2a +1＞0，此时f （x ）＞0恒成立，符合题意； ③当−1a ＞−2，即a ＞12时，定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，则取x ＝﹣t −1a ，则f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at，令0＜t ≤2−1a ，当t →0时，−1at →﹣∞，f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at 可以取得负值，不符合题意；若a ＜0，则函数定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，令x =−1a +t ，则f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at，当t ＞0且t →0时，1at→﹣∞，f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at 可以取得负值，不符合题意，综上，0＜a ≤12，即a 的最大值为12．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°解：对于A ：sin(−930°)=−sin(720°+210°)=sin30°=12，故A 正确；对于B ：2sinπ12sin 5π12=2sin π12sin(π2−π12)=2sin π12cos π12=sin π6=12，故B 正确； 对于C ：cos33°cos27°+sin33°sin27°＝cos （33°﹣27°）＝cos6°，故C 错误； 对于D ：tan22.5°1−tan 222.5°=12×2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，故D 正确． 故选：ABD ．10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =0解：根据幂函数的性质及函数图象的平移可知，f （x ）＝（x ﹣1）3在R 上单调递增且f （x ）的值域为R ，A 符合题意；根据指数函数的性质可知，f （x ）＝2023x 的值域为（0，+∞），不符合题意；根据对数函数的性质可知，f （x ）＝log 2023x 在（0，+∞）上单调递增且值域为R ，符合题意； f （x ）={−1x ，x ≠00，x =0在R 上不单调，不符合题意．故选：AC ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}解：根据题意，依次分析选项：对于A ，[cos π4]＝[√22]＝0，A 正确；对于B ，当x ＝k π+π2，k ∈Z 时，cos x ＝0时，有cos x ﹣[cos x ]＝0，即x ＝k π+π2，k ∈Z 是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点，同理：x ＝k π，k ∈Z 也是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点， 故函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点有无数个，B 错误；对于C ，在区间[0，2π）上，y ＝[cos x ]={ 1，x =00，0＜x ≤π2−1，π2＜x ＜3π20，32≤x ＜2π，易得y ＝[cos x ]的最小正周期为2π，C 正确； 对于D ，由C 的结论，y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}，D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 解：由于函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，故有T 2=πω≥2π3−π6=π2，求得ω≤2，可得ω的最大值为2，故A 正确；若φ=−π6，由于ωx +φ∈（ωπ6−π6，2ωπ3−π6），则2ωπ3+φ=2ωπ3−π6≤π2，求得ω≤1，故ω∈（0，1]，故B 正确； 由于π6+2π32=5π12∈(π6，2π3)，故当f(5π12)＞0时，f(π6)+f(2π3)＞0，C 错误；令y =f(x)−√32=0，得f （x ）=√32，设y ＝f （x ）与y =√32距离最近的两交点的横坐标分别为x 1，x 2，依题意，得[|ωx 1+φ﹣（ωx 2+φ）|]min =2π3−π3=π3，即ω|x 1﹣x 2|min =π3， 因为函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，即|x 1﹣x 2|min =π6， 所以ω＝2，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为10 ．解：原式＝lo g 1319+23＝2+8＝10．故答案为：10．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一） ．（写出一个即可） 解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）是R 上的奇函数， 又因为f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0， 所以f （x +1）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，所以f （x ）的解析式可以是f （x ）＝sin （πx ）． 故答案为：f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一）．15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 −17√250．解：由于0＜α＜π，故α+π4∈(π4，5π4)，由于sin π4=√22＞sin(α+π4)=35，故α+π4∈(3π4，π)，所以α的终边不可能在第一象限内，只能在第二象限内，故cos(α+π4)=−45，所以sinα＝sin[（α+π4）−π4]=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=35×√22+45×√22=7√210，由于α的终边在第二象限内，故cosα=−√1−sin2α=−√210，所以cos(2α+π4)=cos[α+(α+π4)]=cosαcos(α+π4)−sinαsin(α+π4)=√210×45−35×7√210=−17√250．故答案为：−17√2 50．16．已知下列五个函数：y＝x，y=1x，y＝x2，y＝lnx，y＝e x，从中选出两个函数分别记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝x2+1x．解：根据题意，由函数F（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（x）、g（x）中一定没有y＝lnx，一定有函数y=1 x ，设f（x）=1 x ，当g（x）＝x时，F（x）＝x+1x，F（x）为奇函数，不符合题意，当g（x）＝e x时，F（x）＝e x+1x，当x→﹣∞时，F（x）＜0，不符合题意；当g（x）＝x2时，F（x）＝x2+1x，当x＜﹣1时，F（x）=x3+1x＜0，当x＜﹣1时，F（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；故F（x）＝x2+1 x ．故答案为：x2+1 x ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A={x|y=√−2x2+x+1}，集合B＝{x|（x+a﹣1）（x﹣2a）≥0，a∈R}．（1）当a＝1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的值．解：（1）由﹣2x2+x+1≥0，可得−12≤x≤1，故A＝{x|−12≤x≤1}，当a＝1时，B＝{x|x≥2或x≤0}，故A ∪B ＝{x |x ≥2或x ≤1}，所以∁R （A ∪B ）＝{x |1＜x ＜2}；（2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为A ＝{x |−12≤x ≤1}，B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． 当2a ＝1﹣a ，即a =13时，B ＝R ，符合题意， 当2a ＞1﹣a ，即a ＞13时，B ＝{x |x ≥2a 或x ≤1﹣a }， 则{a ＞132a ≤−12或{a ＞131−a ≥1，此时a 不存在； 当2a ＜1﹣a ，即a ＜13时，B ＝{x |x ≥1﹣a 或x ≤2a }， 则{a ＜131−a ≤−12或2a ≥1，此时a 不存在，所以a =13． 18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值； （2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．解：（1）∵A 的横坐标为35，又|OA |＝1，且A 在第一象限， ∴A 的纵坐标为45， ∴cos α=35，sin α=45，∴tan α=sinαcosα=43， ∴cos(2α−π2)sin 2α+cos2α=sin2αsin 2α+cos 2α−sin 2α =2sinαcosαcos 2α=2tan α=83；（2）∵cos ∠AOC =−6365， ∴由图可知sin ∠AOC =√1−cos 2∠AOC =√1−(6365)2=1665， 根据题意可得OC 为α﹣∠AOC 的终边，又点C 与点B 关于x 轴对称，OB 为β的终边，∴cos β＝cos （α﹣∠AOC ）＝cos αcos ∠AOC +sin αsin ∠AOC =35×(−6365)+45×1665=−513． 19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1），即a −1−1a −1+a−1=−a−12a−1， 即1a −11a +a−1=−a−12a−1，1−a a 2−a+1=−a−12a−1， 所以a 2﹣a +1＝2a ﹣1，解得a ＝1（舍）或a ＝2，所以a ＝2．当a ＝2时，f （x ）=2x−12x +1，定义域为R ， f （﹣x ）=2−x −12−x +1=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x −12x +1=−f （x ）， 所以函数y ＝f （x ）是R 上的奇函数，故a ＝2；（Ⅱ）因为f （x ）=2x−12x +1=1−22x +1， 设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以y ＝f （x ）在R 上单调递增，又因为关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，即关于t 方程f （t 2﹣2t ）＝﹣f （4﹣kt ）＝f （kt ﹣4）在[1，3]有且仅有一个根，t 2﹣2t ＝kt ﹣4在[1，3]有且仅有一个根，易得t ＝0不满足；当t ≠0时，k ＝t +4t−2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 令h （t ）＝t +4t−2，t ∈[1，3]， 由对勾函数的性质可知y ＝h （t ）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以h （t ）min ＝h （2）＝2，又h （1）＝3，h （3）=73， 如图所示：由此可得当k ＝2或73＜k ≤3时，满足k ＝t +4t −2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 所以实数k 的取值范围为（73，3]∪{2}． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)． （Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）令x −π3=k π，k ∈Z ，则x =π3+kπ，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（k π+π3，0），k ∈Z ； （Ⅱ）g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)=4sin （x −π2）sin （x −π6）＝﹣4cos x （√32sin x −12cos x ） ＝﹣2√3sin x cos x +2cos 2x=−√3sin2x +cos2x +1＝2cos （2x +π3）+1， 若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，即cos （2x +π3）在[0，m ]上取得最小值﹣1，令2x +π3=π，可得x =π3， 故m 的最小值为π3． 21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x−5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）W （x ）＝0.2×1000×x ﹣R （x ）﹣100＝200x ﹣R （x ）﹣100，当0＜x ＜50时，W （x ）＝200x ﹣（2x 2+80x +200）﹣100＝﹣2x 2+120x ﹣300，当x ≥50时，W(x)=200x −(201x +6400x −5200)−100=−(x +6400x)+5100， 故W （x ）={−2x 2+120x −300(0＜x ＜50)−(x +6400x)+5100(x ≥50)； （2）若0＜x ＜50，W （x ）＝﹣2x 2+120x ﹣300＝﹣2（x ﹣30）2+1500，当x ＝30时，W （x ）max ＝1500，若x ≥50，W(x)=−(x +6400x)+5100≤−2√6400+5100=4940，当且仅当x ＝80时，等号成立， 所以当x ＝80时，W （x ）max ＝4940，故2024年的年产量为80千部时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ． （1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2m b]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．证明：（1）因为函数f(x)=|x −3x+2|+m 有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 所以方程f(x)=|x −3x+2|+m =0有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 于是方程x −3x +2+m =0，−(x −3x+2)+m =0都各有两个不同的解， 即方程x 2+（2+m ）x ﹣3＝0，x 2+（2﹣m ）x ﹣3＝0各有两个实数根，于是x 1x 2x 3x 4＝9；解：（2）f(x)=|x −3x +2|+m ={x −3x +2+m ，x ≥1−x +3x−2+m ，0＜x ＜1， 所以y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ①若函数f （x ）在[a ，b ]上不单调，则有0＜a ≤1＜b ，且f(1)=m =2m a ， 由于m ≠0，所以a ＝2，与假设矛盾；②当1≤a ＜b 时，有{f(a)=2m a f(b)=2m b ，即{a −3a +2+m =2m a b −3b +2+m =2m b ， 所以{a 2+(m +2)a −3−2m =0b 2+(m +2)b −3−2m =0， 所以a ，b 是一元二次方程x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ＝0的两个不相等的实数根， 记g （x ）＝x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ，有{Δ=(m +2)2+4(2m +3)＞0−m+22≥11+(m +2)−3−2m ＞0，所以m ＜−6−2√5， ③当0＜a ＜b ≤1时，应有{f(a)=2m b f(b)=2m a ，即{−a +3a −2+m =2m b −b +3b −2+m =2m a， 两式相减得到ab +3＝﹣2m ∈（3，4），所以m ∈(−2，−32)， 两式相加得：a +b =(2m+3)(m−2)3， 又ab ＝﹣（2m +3），∴1a +1b =a+b ab =2−m 3∈(2，+∞)， ∴m ＜﹣4，与m ∈(−2，−32)矛盾， 此时满足条件的实数m 不存在，综合以上讨论，满足条件的实数m 的取值范围是(−∞，−6−2√5)．。

贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U ={0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N = {3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）u`C.{3}A.{l,2,3,4,5}B.{4,5}D.02命题“3xE R, x2 + x+1 � 0”的否定是（）2A.3x e R, x2 + x +l之0B.3x E R, x2 + x+l< 0D.Vx茫R,x·+x+l< 0C.VxER,x2 +x+ l < 0 23对任意角a和fJ."sina = sin/J“是“a=fJ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件24已知函数f(x)= �+log。

,(2-x)，则f(x)的定义域为（）4x-3A （扣） B.（扣］C.(-oo,2) D （三）u(扣）5设函数f(x)=2·'+x的零点为X o'则X o所在的区间是（）A.(-1,0) C.(1,2)B.(-2,-1) D.(0,1)6设a=(½/,b= 2(c = log2¾，则a,b,c的大小关系为（A. c<a<bB. c < b < aC. a<b<cD.a<c<bII冗7下列选项中，与sin(－飞－）的值不相等的是（）A.2sin l5°sin 75°B.cosl8° cos42° -sinl8° sin42°C.2cos2l5°-lD.tan22.5° l-tan2 22.5°8.某池塘野生水葫芦的援盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（y/m2l 6t--－-－-－－－－－－-－-－ ,,，81--－－－－－-－－t'一气， ，， ，， ，A此指数函数的底数为2B在第5个月时，野生水葫芦的稷盖面积会超过30m2C野生水葫芦从4m2荽延到12m2只需1.5个月D设野生水葫芦蔓延至2m2,3m2,6m2所需的时间分别为x1,x2,x3,则有X1+x2 = X3二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．）9已知a,b,c eR,则下列命题正确的是（）I IA若－＞一，则a<ba bB若ac2> bc2,则（1>bC.若a<b,c <d,则a-c<b-dD若a>b > O,c > 0,则a a+c一＞b b+cIO下列说法中，正确的是()IA函数y=－在定义域上是减函数e x -1B.函数y=——一是奇函数e x +lC函数y= f(x+a)-b为奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形D函数f(x)为定义在(-x,,O)U(O冲心）上的奇函数，且f(3) = I.对千任意x,,x2E (0，长't:)),x1:;cx2,汀(x,)－x2f(x2) 3都有1>0成立，则.f(x)三一的解集为（－OCJ,-3] u(0,3]X1 -x2''X三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．）11若幕函数f(x)＝(11i2-2m-2)义”在(0,+～)上单调递增，则实数m=12函数y= sinx+ cosx的最大值是s13 已知圆和四边形（四个角均为直角）的周长相等，而积分别为S I'鸟，则_]_的最小值为s214已知函数f(x) = 2sin(cv x+(p)(co> O,I例<:)的部分图像如图所示，则f行）＝X-2.一一一一-壹15已知函数f(X) = 2kx2 -kx -i (0 ::; X ::;; 2, k E R)，若k=I，则该函数的零占为若对沁XE[0,2],不等式f(x) < -2k恒成立，则实数K的取值范围为四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16已知角0的终边过点(-3,4)，求角0的三个三角函数值．17.(I)已知芦＋a令＝3,求a＋矿的值：(2)已知log2[ l og3 (log4X)] =0'求X的值18 已知函数f(x)=x-�IX(I)判断函数f(x)的奇偶性：1(2)根据定义证明函数f(x)=x-－在区间(0,＋幻）上单调递增X冗19将函数f(x) =c o s(x+ �)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的上，纵坐标不变，得到函数g(x的（） 图象(I)求函数g(x)的单调递增区间和对称中心：(2)若关于X的方程2sin2x-m c o s x-4= 0在XE（吟）上有实数解，求实数m的取值范围五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分解答应写出文字说明，条理清晰．）20. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的瓜要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的篮要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（I)整体观察：（2)整体设元；（3)整体代入：（4)整体求和等l l例如，ab=I,求证：一＋－＝l.I+a I+b证明：原式ab I b I+—=—+—=I. ab+a I+b b+I l+b阅读材料二：解决多元变掀问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究a+b例如，正实数a,b满足ab=L求(l+a)b解：由ab=I,得b＝一，的最小值1 a+b a+--;; _ a 2+1_ (a+l }2-2(a+l)+2＝ ＝ ＝ ..(I+a)b I a+la+I (l+a )� a 2 2 =(a+l)＋二－2�2✓(a+l)二－2=2✓2-2,当且仅当a+I =✓2，即a=✓2-1,b = ✓2 +1时，等号成立a+b.. (l+a)b的最小值为2J5-2波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个腮菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征结合阅读材料解答下列问题：(I)已知ab=I,求＋——了的值；l+a 2. l +bI I(2)若正实数a,b 满足ab=I,求M =--=--+ 的最小值I+a I+3b贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U = {0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N={3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（u`A.{l,2,3,4,5}【答案】B【解析】B.{4,5}【分析】求出M n N,得到阴影部分表示的渠合C.{3}［详解】图中阴影部分表示的渠合为N中元素去掉M n N的元素后的梊合，MnN = {0,1,2,3们{3,4,5}=｛习，故图中阴影部分表示的集合为{4,5}故选：B2.命题“3xER,x2+x+l2:0”的否定是（）A.3x ie R, x2 + x+l ;;:: 0B.3x E R, x2 + x+I <0C.VxER,x2+x+l<0 2D.Vx茫R,X4+x+l< 0【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定即可求解D.0【详解】命题“:3x E R, x 2+ x + 1 2:: 0”的否定是“"ix E R,x 2+x+ 1< 0",故选：C3对任意角a 和/3,"sin a = s in/3“是“a=/3”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D 既不充分也不必要条件【答案）B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合必要不充分的定义即可求解【详解】由sina=s in/3可得a=/J+2朊或者a+/3＝冗＋2幻，kEZ,故sina=s in/3不能得到a=/3，但a=/3，则sina= s in/3，故“sina=sin/3“是“a=/3”的必要不充分条件，故选：B2 4已知函数f(x) =�+log 。

2023-2024学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为（）A．12B．1C．2D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣2≤x＜4}3．函数f(x)=4x+9x+1，x∈（﹣1，+∞）的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若角θ的终边经过点P（1，3），则sinθcosθ+cos2θ＝（）A．−65B．−25C．25D．655．函数f（x）＝2log3x+2x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．(1，32)C．(32，2)D．（2，3）6．设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜3π，且对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，则ω＝（）A．23B．34C．45D．567．已知函数f（x）的定义域为R，y＝2f（x）﹣sin x是偶函数，y＝f（x）﹣cos x是奇函数，则[f(x)]2+[f(π2+x)]2=（）A．5B．2C．32D．548．已知函数f（x）＝lg|x|﹣cos x，记a＝f（log0.51.5），b＝f（1.50.5），c＝f（sin（1﹣π）），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列各式中，计算结果为1的是（）A．sin75°cos15°+cos75°sin15°B．cos222.5°﹣sin222.5°C．√3−tan15°1+√3tan15°D．tan22.5°1−tan222.5°10．若a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a （a +c ）＞b （b +d ）C ．d a+d＜c b+cD ．b+d b+c＜a+d a+c11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x −23B ．y ＝2|x |+1C ．y ＝x 2﹣x ﹣2D ．y ＝2x ﹣2﹣x12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm ），它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm 由关系式ℎ=Asin(πt +π4)确定，其中A ＞0，t ≥0．则下列说法正确的是（ ）A ．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB ．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cmC ．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为12sD ．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[2014，2114)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合M ＝{x |﹣2≤x ＜2}，N ＝{x |x +1≥0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜2}B ．{x |﹣1＜x ＜2}C ．{x |﹣2≤x ≤﹣1}D ．{x |1≤x ＜2}2．函数y =log 12(2x +1)的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．[−12，+∞)C ．(−12，+∞)D ．(−∞，−12)3．命题“∃x ∈R ，使得|x ﹣2|≤3”的否定为（ ） A ．∃x ∈R ，|x ﹣2|≥3 B ．∀x ∈R ，都有|x ﹣2|≥3 C ．∃x ∈R ，|x ﹣2|＞3D ．∀x ∈R ，都有|x ﹣2|＞34．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x ﹣2B ．y ＝﹣lnxC ．y =12x D ．y ＝e |x |5．已知a ＝2﹣π，b ＝log 0.32，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a6．已知a ，b ，c 是任意实数，且a ＞b ＞c ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．c a ＜cbB ．a +b ＞2cC ．a |c |＜b |c |D ．a +b ＞c7．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1，则“a ＜0”是“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现两岁燕子的飞行速度v （单位：m /s ）可以表示为v =5log 2Q10，其中Q 表示燕子耗氧量的单位数．某只两岁燕子耗氧量的单位数为Q 1时的飞行速度为v 1，耗氧量的单位数为Q 2时的飞行速度为v 2，若v 2﹣v 1＝7.5（m /s ），则Q 2Q 1的值为（ ）A ．√2B ．√43C ．2√2D ．√249．已知函数f(x)={2x ，x ≤1log 2x ，x ＞1，若方程f （x ）＝﹣x +k 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（1，3）B ．（1，3]C ．（1，+∞）D ．（1，2]10．悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为y =c 2(e x c +e −x c )，其中c 为参数，当c ＝1时，该方程就是双曲余弦函数f(x)=e x +e −x 2，类似的我们有双曲正弦函数g(x)=e x −e −x2，下列说法错误的是（ ） A ．[f （x ）]2﹣[g （x ）]2＝1 B ．函数y =g(x)f(x)的值域（﹣1，1）C ．∀x ∈R ，f （x ）＞x 2恒成立D ．方程g(x)f(x)=−x +1有且只有一个实根二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.11．已知幂函数f （x ）＝x a 的图象经过点(2，√2)，那么f （4）＝ ． 12．若圆心角为2π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 ．13．已知函数f(x)=1−x −2x (x ＞0)，则当x ＝ 时，函数f （x ）取到最大值且最大值为 ．14．若点A （cos α，sin α）关于x 轴的对称点为B(cos(α−π3)，sin(α−π3))，则角α的一个取值为 ．15．如图，函数f （x ）的图象为折线ACB ，函数g （x ）是定义域为R 的奇函数，满足g （4﹣x ）+g （x ）＝0，且当x ∈（0，2]时，g （x ）＝f （x ），给出下列四个结论： ①g （0）＝0；②函数g （x ）在（﹣4，8）内有且仅有3个零点； ③g(−72)＞g(2024)＞g(3)；④不等式f （x ）≤|log 2（x +1）|的解集(−1，−12]∪[1，2]．其中正确结论的序号是 ．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（13分）已知不等式x 2﹣x ﹣6≤0的解集为A ，非空集合B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}． （1）求集合A ；（2）当m ＝2时，求A ∪B ；（3）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点P(−√55，−2√55)．（1）求sin α﹣cos α的值；（2）若角α的终边绕原点O 按逆时针方向旋转π2，与单位圆交于点Q ，求点Q 的坐标．18．（14分）已知cosα=−513且α的范围是_____． 从①(0，π2)，②(π2，π)，③(π，3π2)，④(3π2，2π)，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （Ⅰ）求sin α，tan α的值； （Ⅱ）化简求值：sin(−α)cos(π+α)sin(2024π+α)tan(π−α)．19．（15分）已知函数f(x)=x+ax 2+4是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数f （x ）在区间[2，+∞）上的单调性，并用定义证明；（Ⅲ）若g （x ）＝f （x ）﹣k （k ∈R ）有两个零点，请写出k 的范围（直接写出结论即可）．20．（14分）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产B 芯片的毛收入y （亿元）与投入的资金x （亿元）的函数关系为y ＝kx a （x ＞0），其图象如图所示． （1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （亿元）与投入资金x （亿元）的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入40亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 亿元生产B 芯片，用f （x ）表示公司所获净利润，当x 为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A 芯片毛收入+B 芯片毛收入﹣研发耗费资金）21．（15分）对于定义域为I 的函数f （x ），如果存在区间[m ，n ]⊆I ，使得f （x ）在区间[m ，n ]上是单调函数，且函数y ＝f （x ），x ∈[m ，n ]的值域是[m ，n ]，则称区间[m ，n ]是函数f （x ）的一个“优美区间”． （Ⅰ）判断函数y ＝x 2（x ∈R ）和函数y =3−4x(x ＞0)是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）（Ⅱ）如果函数f （x ）＝x 2+a 在R 上存在“优美区间”，求实数a 的取值范围．2023-2024学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合M＝{x|﹣2≤x＜2}，N＝{x|x+1≥0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1≤x＜2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|﹣2≤x≤﹣1}D．{x|1≤x＜2}解：集合M＝{x|﹣2≤x＜2}，N＝{x|x+1≥0}＝{x|x≥﹣1}，则M∩N＝{x|﹣1≤x＜2}．故选：A．2．函数y=log12(2x+1)的定义域为（）A．（0，+∞）B．[−12，+∞)C．(−12，+∞)D．(−∞，−12)解：函数y=log12(2x+1)，则2x+1＞0，解得x＞−12，故函数y的定义域为（−12，+∞）．故选：C．3．命题“∃x∈R，使得|x﹣2|≤3”的否定为（）A．∃x∈R，|x﹣2|≥3B．∀x∈R，都有|x﹣2|≥3C．∃x∈R，|x﹣2|＞3D．∀x∈R，都有|x﹣2|＞3解：“∃x∈R，使得|x﹣2|≤3”的否定为：∀x∈R，都有|x﹣2|＞3．故选：D．4．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x﹣2B．y＝﹣lnx C．y=12xD．y＝e|x|解：y＝x﹣2，y＝﹣lnx，y=12x在（0，+∞）上单调递减，故ABC错误；y＝e|x|在区间（0，+∞）上单调递增，故D正确．故选：D．5．已知a＝2﹣π，b＝log0.32，c＝log23，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a 解：a＝2﹣π∈（0，1），b＝log0.32＜0，c＝log23＞1，故c＞a＞b．故选：A．6．已知a，b，c是任意实数，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A．ca＜cbB．a+b＞2c C．a|c|＜b|c|D．a+b＞c解：当c＝0时，AC均不成立，a＞b＞c，则a＞c，b＞c，故a+b＞c+c＝2c，故B正确；a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3，满足a ＞b ＞c ，但a +b ＝c ，故D 错误． 故选：B ．7．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1，则“a ＜0”是“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：f （x ）＝x 2﹣2ax +1＝（x ﹣a ）2﹣a 2+1开口向上，对称轴为x ＝a ， 函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，则a ≤0，“a ＜0”能推出“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”，但“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”不能推出a ＜0，a 有可能等于0， 故“a ＜0”是“函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A ．8．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现两岁燕子的飞行速度v （单位：m /s ）可以表示为v =5log 2Q10，其中Q 表示燕子耗氧量的单位数．某只两岁燕子耗氧量的单位数为Q 1时的飞行速度为v 1，耗氧量的单位数为Q 2时的飞行速度为v 2，若v 2﹣v 1＝7.5（m /s ），则Q 2Q 1的值为（ ）A ．√2B ．√43C ．2√2D ．√24解：∵v =5log 2Q 10，∴v 2﹣v 1=5log 2Q 110−5log 2Q 210=5log 2(Q110Q 210)=5log 2Q 1Q 2=7.5，∴log 2Q 1Q 2=32，∴Q 1Q 2=232=2√2．故选：C ．9．已知函数f(x)={2x ，x ≤1log 2x ，x ＞1，若方程f （x ）＝﹣x +k 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（1，3）B ．（1，3]C ．（1，+∞）D ．（1，2]解：方程f （x ）＝﹣x +k 有两个不相等的实数根，即函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝﹣x +k 的图象有两个交点， 作出y ＝f （x ）的图象及直线y ＝﹣x +k ，如图所示： 直线y ＝﹣x +k 斜率为﹣1，在y 轴上的截距为k ， 要使直线与曲线有两个交点，则1＜k ≤3． 故选：B ．10．悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为y =c 2(e xc +e −x c )，其中c 为参数，当c ＝1时，该方程就是双曲余弦函数f(x)=e x +e −x 2，类似的我们有双曲正弦函数g(x)=e x −e −x2，下列说法错误的是（ ） A ．[f （x ）]2﹣[g （x ）]2＝1 B ．函数y =g(x)f(x)的值域（﹣1，1）C ．∀x ∈R ，f （x ）＞x 2恒成立D ．方程g(x)f(x)=−x +1有且只有一个实根解：对于A ，[f （x ）]2﹣[g （x ）]2=e 2x +2+e −2x 4−e 2x −2+e −2x4=1，故A 正确；对于B ，y =g(x)f(x)=e x −e −x e x +e −x =e x +e −x −2e −x e x +e −x =1−2e −x e x +e −x =1−2e 2x +1， 因为e 2x ＞0，所以e 2x +1＞1，所以0＜2e 2x +1＜2，所以﹣1＜1−2e 2x +1＜1， 所以函数y =g(x)f(x)的值域（﹣1，1），故B 正确； 对于C ，因为e 2+e −22＜2．82+12．722=7.84+17.292＜7.84+16.252=4＝22，即f （x ）＜22，故C 错误；对于D ，y =g(x)f(x)=1−2e 2x +1， 令u ＝e 2x +1，函数u ＝e 2x +1为增函数，且u ＝e 2x +1＞1， 而函数y ＝1−1u在u ∈（1，+∞）上为增函数，所以函数y =g(x)f(x)=1−2e 2x +1是增函数， 令F （x ）=g(x)f(x)+x ﹣1， 因为函数y =g(x)f(x)，y ＝x ﹣1都是增函数， 所以函数F （x ）=g(x)f(x)+x ﹣1是增函数， 又F （0）＝﹣1＜0，F （1）＝1−2e 2+1＞0，所以函数F （x ）=g(x)f(x)+x ﹣1有唯一零点，且在（0，1）上， 即方程g(x)f(x)=−x +1有且只有一个实根，故D 正确．故选：C ．二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上. 11．已知幂函数f （x ）＝x a 的图象经过点(2，√2)，那么f （4）＝ 2 ．解：因为幂函数f （x ）＝x a 的图象过点(2，√2)，所以2a =√2，解得a =12，所以f （4）=412=2．故答案为：2． 12．若圆心角为2π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π4．解：扇形的圆心角为2π3，弧长为π，则扇形的半径为r =l α=π2π3=32， 所以该扇形的面积为S =12lr =12×π×32=3π4．故答案为：3π4．13．已知函数f(x)=1−x −2x(x ＞0)，则当x ＝ √2 时，函数f （x ）取到最大值且最大值为 1−2√2 ．解：f （x ）=1−x −2x =1−(x +2x )≤1−2√x ⋅2x =1−2√2，当且仅当x =2x，即x =√2时，等号成立， 故当x =√2时，函数f （x ）取到最大值且最大值为1−2√2． 故答案为：√2，1−2√2．14．若点A （cos α，sin α）关于x 轴的对称点为B(cos(α−π3)，sin(α−π3))，则角α的一个取值为 π6（答案不唯一，只要符合α=π6+k π，k ∈Z 均可） ． 解：∵点A （cos α，sin α）关于x 轴的对称点为B(cos(α−π3)，sin(α−π3))，∴cos α＝cos （α−π3），sin α＝﹣sin （α−π3），∴α+α−π3=2k π，k ∈Z ，解得α=π6+k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得α=π6，∴角α的一个取值为π6．故答案为：π6（答案不唯一，只要符合α=π6+k π，k ∈Z 均可）．15．如图，函数f （x ）的图象为折线ACB ，函数g （x ）是定义域为R 的奇函数，满足g （4﹣x ）+g （x ）＝0，且当x ∈（0，2]时，g （x ）＝f （x ），给出下列四个结论：①g （0）＝0；②函数g （x ）在（﹣4，8）内有且仅有3个零点； ③g(−72)＞g(2024)＞g(3)；④不等式f （x ）≤|log 2（x +1）|的解集(−1，−12]∪[1，2]．其中正确结论的序号是 ①③④ ．解：因为函数g （x ）是定义域为R 的奇函数，所以g （﹣x ）＝﹣g （x ），故g （﹣0）＝﹣g （0），即g （0）＝0，故①正确； 又g （4﹣x ）+g （x ）＝0，所以g （4+x ）+g （﹣x ）＝0，所以g （4+x ）﹣g （x ）＝0， 即g （4+x ）＝g （x ），所以函数周期为T ＝4，由图象可知g （2）＝0，所以g （﹣2）＝0，由周期知g （4）＝0，g （6）＝0， 故函数g （x ）在（﹣4，8）内有﹣2，0，2，4，6共5个零点，故②错误； 因为g(−72)=g(4−72)=g(12)，g(2024)=g(0)=0，g(3)=g(3−4)=−g(1)，由图象可知，g(12)＞0，−g(1)＜0，又g （0）＝0，所以g(−72)＞g(2024)＞g(3)，故③正确；由图象，利用待定系数法可知f(x)={2x +2，−1≤x ≤0−x +2，0＜x ≤2，在同一坐标系下，作出y ＝f （x ），y ＝|log 2（x +1）|的图象如下，由图易知x 1=−12，x 2=1，所以结合图象知不等式f （x ）≤|log 2（x +1）|的解集(−1，−12]∪[1，2]，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（13分）已知不等式x 2﹣x ﹣6≤0的解集为A ，非空集合B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}． （1）求集合A ；（2）当m ＝2时，求A ∪B ；（3）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：（1）不等式x 2﹣x ﹣6≤0，即（x +2）（x ﹣3）≤0，解得﹣2≤x ≤3， 所以集合A ＝{x |﹣2≤x ≤3}＝[﹣2，3]；（2）当m ＝2时，集合B ＝{x |1＜x ＜5}＝（1，5）， 结合A ＝[﹣2，3]，得A ∪B ＝[﹣2，5）；（3）根据题意，非空集合B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}，可得m ﹣1＜2m +1，解得m ＞﹣2． 若B ⊆A ，则{m −1≥−22m +1≤3，解得﹣1≤m ≤1，即实数m 的取值范围是[﹣1，1]．17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点P(−√55，−2√55)． （1）求sin α﹣cos α的值；（2）若角α的终边绕原点O 按逆时针方向旋转π2，与单位圆交于点Q ，求点Q 的坐标．解：（1）∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点P(−√55，−2√55)，∴sin α=−2√55，cos α=−√55， ∴sin α﹣cos α=−2√55+√55=−√55； （2）设角α的终边绕原点O 按逆时针方向旋转π2所对的角为β，则β=α+π2，∴sin β＝sin （α+π2）＝cos α=−√55，cos β＝cos （α+π2）＝﹣sin α=2√55，∴点Q （2√55，−√55）．18．（14分）已知cosα=−513且α的范围是_____． 从①(0，π2)，②(π2，π)，③(π，3π2)，④(3π2，2π)，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （Ⅰ）求sin α，tan α的值；（Ⅱ）化简求值：sin(−α)cos(π+α)sin(2024π+α)tan(π−α)．解：cosα=−513＜0，则②③符合，①④不符合，若选②，（Ⅰ）cosα=−513且x∈(π2，π)，则sinα=√1−cos2α=1213，tanα=sinαcosα=−125；（Ⅱ）sin(−α)cos(π+α)sin(2024π+α)tan(π−α)=−sinα⋅(−cosα)sinα⋅(−tanα)=−cosαtanα=−−513−125=−25156．若选③，（Ⅰ）cosα=−513且x∈(π，3π2)，则sinα=−√1−cos2α=−1213，tanα=sinαcosα=125；（Ⅱ）sin(−α)cos(π+α)sin(2024π+α)tan(π−α)=−sinα⋅(−cosα)sinα⋅(−tanα)=−cosαtanα=−−513125=25156．19．（15分）已知函数f(x)=x+ax2+4是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间[2，+∞）上的单调性，并用定义证明；（Ⅲ）若g（x）＝f（x）﹣k（k∈R）有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）．解：（Ⅰ）根据题意，函数f(x)=x+ax2+4是定义在R上的奇函数，则有f（0）=a4=0，解可得a＝0，当a＝0时，f（x）=xx2+4，定义域为R，有f（﹣x）=−xx2+4=−f（x），f（x）为奇函数，符合题意，故a＝0；（Ⅱ）根据题意，f（x）在[2，+∞）上的单调递减；证明：由（Ⅰ）的结论，f（x）=xx2+4，设2≤x1＜x2，有f（x1）﹣f（x2）=x1x12+4−x2x22+4=x1(x22+4)−x2(x12+4)(x12+4)(x22+4)=(x1x2−4)(x2−x1)(x12+4)(x22+4)，又由2≤x1＜x2，则x1x2﹣4＞0，x2﹣x1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在[2，+∞）上的单调递减；（Ⅲ）根据题意，设0≤x1＜x2＜2，有f（x1）﹣f（x2）=x1x12+4−x2x22+4=x1(x22+4)−x2(x12+4)(x12+4)(x22+4)=(x1x2−4)(x2−x1)(x12+4)(x22+4)，又由0≤x1＜x2＜2，则x1x2﹣4＜0，x2﹣x1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）在[0，2）上的单调递增，在区间（0，+∞）上，f （x ）的最大值为f （2）=14，且f （x ）＞0恒成立； 又由f （x ）为定义在R 上的奇函数，则在区间（﹣∞，0）上，f （x ）的最小值为f （﹣2）=−14，且f （x ）＜0恒成立；f （x ）的图象大致如图：f （x ）的最大值为14，最小值为−14， 若g （x ）＝f （x ）﹣k （k ∈R ）有两个零点，即函数y ＝f （x ）与直线y ＝k 有两个不同的交点， 必有﹣1＜k ＜0或0＜k ＜1，即k 的取值范围为（﹣1，0）∪（0，1）．20．（14分）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产B 芯片的毛收入y （亿元）与投入的资金x （亿元）的函数关系为y ＝kx a （x ＞0），其图象如图所示．（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （亿元）与投入资金x （亿元）的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入40亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 亿元生产B 芯片，用f （x ）表示公司所获净利润，当x 为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A 芯片毛收入+B 芯片毛收入﹣研发耗费资金）解：（1）设投入资金x 亿元，则生产A 芯片的毛收入y =x 4(x ＞0)， 将（1，1），（4，2）代入y ＝kx α，得{k =1kx α=2，解得{k =1α=12，∴生产B 芯片的毛收入y =√x(x ＞0)； （2）由x 4＞√x ，得x ＞16；由x 4=√x ，得x ＝16；由x 4＜√x ，得0＜x ＜16， ∴当投入资金大于16亿元时，生产A 芯片的毛收入更大；当投入资金等于16亿元时，生产A ，B 芯片的毛收入相等；当投入资金小于16亿元时，生产B 芯片的毛收入更大．（3）由题意知投入x亿元生产B芯片，则投入（40﹣x）亿元资金生产A芯片，公司所获净利润f(x)=40−x4+√x−2，令√x=t，则t2＝x，∴f(x)=40−t24+t−2=−14(t−2)2+9，故当t＝2，即x＝4亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元．21．（15分）对于定义域为I的函数f（x），如果存在区间[m，n]⊆I，使得f（x）在区间[m，n]上是单调函数，且函数y＝f（x），x∈[m，n]的值域是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的一个“优美区间”．（Ⅰ）判断函数y＝x2（x∈R）和函数y=3−4x(x＞0)是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）（Ⅱ）如果函数f（x）＝x2+a在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）存在区间[0，1]，使得y＝x2在区间[0，1]上单调递增，且值域为[0，1]，所以函数y＝x2（x∈R）存在“优美区间”；函数y=3−4x(x＞0)不存在“优美区间”，由y=3−4x(x＞0)为（0，+∞）上的增函数，则有f（m）＝m，f（n）＝n，也就是说方程3−4x=x有两个不同的解m，n，即方程x2﹣3x+4＝0有两个不同的实数解，而Δ＝9﹣16＝﹣7＜0，可知该方程无实数解，所以y=3−4x(x＞0)不存在“优美区间”．（Ⅱ）函数g（x）＝x2+a在（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，如果函数g（x）＝x2+a在R上存在“优美区间”[m，n]，则有以下两种情况：①当[m，n]⊆[0，+∞）时，则{f(m)=m f(n)=n，即m、n是方程x2﹣x+a＝0的两个不相等的非负实根，可得Δ＝1﹣4a＞0且a≥0，解得0≤a＜1 4；②当[m，n]⊆（﹣∞，0]时，则{f(m)=m2+a=nf(n)=n2+a=m，两式相减并化简，可得m+n＝﹣1，则m2+a＝﹣1﹣m，n2+a＝﹣1﹣n，所以m，n是方程x2+x+a+1＝0的两个不相等的非正实数根，则Δ＝1﹣4（a+1）＞0且a+1≥0，解得−1≤a＜−34．综上所述，如果函数g（x）＝x2+a在R上存在“优美区间”，则实数a的取值范围是[−1，−34)∪[0，14)．。

南充市2023—2024学年度上期普通高中年级学业质量监测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，{}26A x x =<<，{}04B x x =<≤，则()U B A ⋂=ð（）A.{}02x x <≤ B.{}02x x << C.{}0,2 D.∅2.命题“01x ∃>，20010x ax ++≤”的否定是（）A .1x ∀>，210x ax ++≤ B.1x ∀>，210x ax ++>C.1x ∀≤，210x ax ++≤ D.1x ∀≤，210x ax ++>3.函数()sin f x x x =⋅的部分图象可能是（）A. B.C. D.4.函数()2log 4f x x x =+-的零点所在的一个区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,45.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.36.已知33log 2a =，2log 5b =，3πcos 4c =，则（）A.a b c<< B.b c a << C.c a b<< D.b a c<<7.已知()33ln43xf x ax b x+=+--，若()26f =，则()2f -=（）A.14- B.14C.6- D.108.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ektc t c -=描述，假定该药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量03000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.10.99h二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如果0a b >>，那么下列不等式正确的是（）A.11a b< B.22ac bc < C.11a b b a+>+ D.22a ab b <<10.下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2；B.已知1x >，则41y x x =+-的最小值为5；C.若正数x 、y 满足213x y+=，则2x y +的最小值为3；D.设x 、y 为实数，若223x y xy ++=，则x y +的取值范围为[]22-,.11.已如定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()40f x f x ++=且对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，则以下判断正确的是（）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 的最小正周期是4C.函数()f x 在[]2,6上单调递增D.直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴12.已知函数()2log ,04ππ2sin ,41666x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.()[)123422,x x x x ∞+++∈+ D.31x x 取值范围为()1,7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()20243,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1f f =______.14.如果1sin 3α=-，α为第三象限角，则3πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭______.15.若()()11121a a ---<+，则实数a 的取值范围为______.16.我们知道，函数()f x 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()f x 为奇函数，由此可以推广得到：函数()f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数()2xn f x m =+的图象关于点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，则m n -=______.第Ⅱ卷四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{A x y ==，{}521B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18.（1）求值：1ln 222314lg 25lg 2e log 9log 22+++-⨯（2）已知()tan π2α+=.求222sin sin cos cos αααα-⋅+的值.19.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的周期以及单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 值.20.已知函数()21f x x mx =-+.（1）若关于x 的不等式()10f x n +-≤的解集为[]1,2-，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()()10f x x m m -+->∈R 的解集.21.已知()22xxf x a -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式()()92350xxf f t -++⋅-<在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围.22.已知函数()2log 1f x x =+，()22xg x =-.（1）求函数()()()()2123F x f x mf x m =--+∈⎡⎤⎣⎦R 在区间[]2,4上的最小值；（2）若函数()()()h x g f x =，且()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n =-⋅+⎡⎤⎣⎦的图象有3个不同的交点，求实数n 的取值范围.南充市2023—2024学年度上期普通高中年级学业质量监测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，{}26A x x =<<，{}04B x x =<≤，则()U B A ⋂=ð（）A.{}02x x <≤ B.{}02x x << C.{}0,2 D.∅【答案】A 【解析】【分析】应用集合的交补运算求集合.【详解】由题设{|2U A x x =≤ð或6}x ≥，故(){|02}U A B x x ⋂=<≤ð.故选：A2.命题“01x ∃>，20010x ax ++≤”的否定是（）A.1x ∀>，210x ax ++≤B.1x ∀>，210x ax ++>C.1x ∀≤，210x ax ++≤D.1x ∀≤，210x ax ++>【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定是将存在改为任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题知：原命题的否定为1x ∀>，210x ax ++>.故选：B3.函数()sin f x x x =⋅的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】定义判断函数的奇偶性并结合π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，应用排除法即可得答案.【详解】由()sin()sin ()f x x x x x f x -=-⋅-==且定义域为R ，即函数为偶函数，排除A 、C ；由πππsin 0444f ⎛⎫=⋅>⎪⎝⎭，排除B.故选：D4.函数()2log 4f x x x =+-的零点所在的一个区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】C 【解析】【分析】根据解析式判断单调性，结合零点存在定理确定区间.【详解】由解析式知()2log 4f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，又()130f =-<，()210f =-<，()23log 310f =->，所以零点所在的一个区间为()2,3.故选：C5.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】应用诱导公式及由弦化切化简目标式为2tan 1tan 2αα-+，结合三角函数的定义求得tan 3α=，即可求值.【详解】由()()()()2sin πcos π2sin cos 2tan 1sin 2π2cos sin 2cos tan 2αααααααααα-++--==++-++，又tan 3α=，所以2tan 12311tan 232αα-⨯-==++.故选：B6.已知33log 2a =，2log 5b =，3πcos 4c =，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b<< D.b a c<<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数的单调性及中间量0和2即可求解.【详解】因为333log 2log 8a ==，函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，所以330log 8log 92<<=，即02a <<.又因为函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 5log 42>=，即2b >.又因为3πcos 042c ==-<，所以c a b <<.故选：C.7.已知()33ln43xf x ax b x+=+--，若()26f =，则()2f -=（）A.14- B.14C.6- D.10【答案】A 【解析】【分析】构造(x)(x)4g f =+并判断其奇偶性，利用奇偶性求()2f -即可.【详解】令33()()4ln3xg x f x ax b x+=+=+-，且定义域为()3,3-，3333()ln ln ()33x xg x ax b ax b g x x x-+-=-+=--=-+-，即()g x 为奇函数，所以()()()()80g x g x f x f x -+=-++=，即()(2)28(2)14f f f -+=-⇒-=-.故选：A8.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ektc t c -=描述，假定该药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量03000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.10.99h【答案】D 【解析】【分析】由题设有103000e1000t-≥，利用指数函数单调性及指对数关系求解，即可得答案.【详解】由题意()103000e 1000t c t -=≥，则1ln 10ln 310.99103t t -≥⇒≤≈小时.故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如果0a b >>，那么下列不等式正确的是（）A.11a b< B.22ac bc < C.11a b b a+>+ D.22a ab b <<【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式性质判断A 、C 、D ；特殊值0c =判断B.【详解】由0a b >>，则22a ab b >>，110b a >>，故11a b b a+>+，A 、C 对，D 错；当0c =时22ac bc =，故B 错.故选：AC10.下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2；B.已知1x >，则41y x x =+-的最小值为5；C.若正数x 、y 满足213x y+=，则2x y +的最小值为3；D.设x 、y 为实数，若223x y xy ++=，则x y +的取值范围为[]22-,.【答案】BCD 【解析】【分析】由0x <对应函数符号即可判断A ；应用基本不等式及其“1”的代换、一元二次不等式解法判断B 、C 、D ，注意取最值条件.【详解】A ：当0x <时，210x y x+=<，若存在最小值，不可能为2，错；B ：由10x ->，411151y x x =-++≥=-，当且仅当3x =时取等号，所以41y x x =+-的最小值为5，对；C ：由题设12112212(2)((5)(53333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当1x y ==时取等号，所以2x y +的最小值为3，对；D ：22222()()3()4x y x y xy x y xy x y +=+-=++-+≥，可得2()4x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，则22x y -≤+≤，故x y +的取值范围为[]22-,，对.故选：BCD11.已如定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()40f x f x ++=且对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，则以下判断正确的是（）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 的最小正周期是4C.函数()f x 在[]2,6上单调递增D.直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴【答案】CD 【解析】【分析】由题设()()f x f x -=-且()(4)f x f x =-+、()f x 在[]2,0-上递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性.【详解】由()()0()()f x f x f x f x +-=⇒-=-，函数为奇函数，A 错；由()()40()(4)(8)f x f x f x f x f x ++=⇒=-+=+，函数的周期为8，B 错；对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-⋅-<⎣⎦，所以()f x 在[]2,0-上递减，结合奇函数知：函数在[0,2]上递减，即函数[2,2]-上函数递减，由上可知()()(4)f x f x f x =--=-+，即()(4)f x f x -=+，故()f x 关于2x =对称，所以()f x 在[]26,上单调递增，且直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴，C 、D 对.故选：CD12.已知函数()2log ,04ππ2sin ,41666x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.()[)123422,x x x x ∞+++∈+ D.31x x 取值范围为()1,7【答案】ABD 【解析】【分析】根据解析式画出函数大致图象，数形结合可得02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<，结合对数函数、正弦型函数性质可得121=x x 、3420x x +=，综合运用基本不等式、区间单调性判断各项正误.【详解】由函数解析式可得函数大致图象如下，由上图，要使方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<，3421020x x +=⨯=，由2122|log ||log |x x =，则212221212log log log ()01x x x x x x -=⇒=⇒=，A 、B 对；所以1234111202022x x x x x x +++=++≥+，又1114x <<，即等号取不到，所以()1234(22,)x x x x ∞+++∈+，C 错；由图知：()f x 在区间(1,14)、(4,7)上单调性相同，且1311,474x x <<<<，所以13,x x 随m 变化同增减，故31x x 取值范围为()1,7，D 对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据解析式得到图象并确定02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<为关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()20243,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1f f =______.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数的解析式，从内到外运算求解即可．【详解】由题意，()20241log 10f ==，则()()1f f =0(0)31f ==．故答案为：1．14.如果1sin 3α=-，α为第三象限角，则3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】3【解析】【分析】由平方关系及角所在象限得cos 3α=-，应用诱导公式即可求函数值.【详解】由1sin 3α=-，α为第三象限角，则cos 3α=-，33πsin cos 2αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：315.若()()11121a a ---<+，则实数a 的取值范围为______.【答案】()1,2,12⎛⎫-∞-⋃-⎪⎝⎭【解析】【分析】利用函数1y x -=的单调性，分三类讨论即可求解.【详解】考虑函数1y x -=.因为函数1y x -=的单调递减区间为()0,∞+和(),0∞-.所以不等式()()11121a a ---<+等价于10210121a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪->+⎩或者10210a a -<⎧⎨+>⎩或者10210121a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩，解得：2a <-或112a -<<.所以实数a 的取值范围为：()1,2,12∞⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭.故答案为：()1,2,12∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭16.我们知道，函数()f x 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()f x 为奇函数，由此可以推广得到：函数()f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数()2x n f x m =+的图象关于点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，则m n -=______.【答案】2±【解析】【分析】由题设定义有()11[()]22f x f x -+=-+，进而得到22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立，求参数值，即可得答案.【详解】由题意()12y f x =+为奇函数，所以()11[()]22f x f x -+=-+，则112222x x n n m m -=+++--，所以202(2221)(12)(2)122(12)(2)10x x x x x x x x x n n n m m m m m m m ⋅+⋅+++=⋅+++⋅++++⇒=⋅，所以22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立，故2012101m n m m mn n +==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩或11m n =⎧⎨=-⎩，所以2m n -=±.故答案为：2±【点睛】关键点点睛：根据定义得到22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立为关键.第Ⅱ卷四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{A x y ==，{}521B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}45A B x x ⋃=-≤≤（2）[]2,3【解析】【分析】（1）先将集合A 化简，利用并集运算得解；（2）根据题意可得AB ，列式运算可求解.【小问1详解】由y =+，所以2050x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得25x ≤≤，{}25A x x ∴=-≤≤，当1m =时，{}43B x x =-≤≤，{}45A B x x ∴⋃=-≤≤.【小问2详解】由题x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，即A B ，则25521521m m m m -≥-⎧⎪≤+⎨⎪-≤+⎩（等号不同时取），解得23m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]2,3.18.（1）求值：1ln 222314lg 25lg 2e log 9log 22+++-⨯（2）已知()tan π2α+=.求222sin sin cos cos αααα-⋅+的值.【答案】（1）3；（2）75.【解析】【分析】（1）应用指对数运算性质及指对数关系化简求值；（2）由题设tan 2α=，再应用“1”的代换及齐次运算求值即可.【详解】（1）原式232lg 5lg 222log 3log 2523=+++-⨯=-=；（2）由()tan πtan 2αα+==，22222222222sin sin cos cos 2tan tan 1222172sin sin cos cos sin cos tan 1215ααααααααααααα-⋅+-+⨯-+-⋅+====+++.19.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的周期以及单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 值.【答案】19.π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈20.最大值为1，相应的5π12x =；最小值为2-，相应的0x =.【解析】【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求解函数的周期；利用整体代入法和正弦函数的性质即可求出函数的单调增区间.（2）利用整体代入法和正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】由()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得：函数()f x 的周期为2ππ2T ==.令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解得：π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．【小问2详解】令π23t x =-，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以当ππ232x -=，即5π12x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可取得最大值，最大值为1；当233x -=-ππ，即0x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可取得最小值，最小值为.故()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为1，相应的5π12x =；最小值为2，相应的0x =.20.已知函数()21f x x mx =-+.（1）若关于x 的不等式()10f x n +-≤的解集为[]1,2-，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()()10f x x m m -+->∈R 的解集.【答案】（1）1,2m n ==-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由不等式解集可得1,2-是20x mx n -+=的两个根，利用根与系数关系求参数值；（2）由题意有()(1)0x m x -->，讨论1m <、1m =、1m >求不等式解集.【小问1详解】由题设20x mx n -+≤的解集为[]1,2-，即1,2-是20x mx n -+=的两个根，所以121,122m n =-+==-⨯=-.【小问2详解】由题意()21(1)()(1)0f x x m x m x m x m x -+-=-++=-->，当1m <时，解得x m <或1x >，故解集为(,)(1,)m -∞+∞ ；当1m =时，解得1x ≠，故解集为{|1}x x ∈≠R ；当1m >时，解得1x <或x >m ，故解集为(,1)(,)-∞+∞ m ；21.已知()22x xf x a -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式()()92350x x f f t -++⋅-<在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】21.1a =22.单调递增，答案见解析23.(,∞-【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出a 的值；（2）先判断单调性，再根据函数单调性的定义判断即可；（3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为3t m m<+，利用基本不等式求出最值即可．【小问1详解】()f x 是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，对任意x ∈R ，即()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-，即()()1220x x a --+=，对任意x ∈R 恒成立，10a ∴-=，即1a =.【小问2详解】()f x 为R 上的增函数，证明如下：任取1x ，2R x ∈，且12x x <，()()()1122122222x x x x f x f x ---=---()121212222222x x x x x x -=-+⋅()1212122122x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⋅⎝⎭，12x x < ，1212122,1022x x x x ∴<+>⋅，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 为R 上的增函数.【小问3详解】不等式()()92350x x f f t -++⋅-<在R 上恒成立，()()()929235x x x f f f t ∴--+=->⋅-，又()f x 为R 上的增函数，9235x x t ∴->⋅-在R 上恒成立，即()23330x x t -⨯+>，令3x m =，0m >，上式等价于230m tm -+>对0m >恒成立，即3t m m <+，令()3g m m m =+，只需()min t g m <即可，又()3g m m m =+≥()min g m ∴=，t ∴<.所以实数t的取值范围为(,∞-.22.已知函数()2log 1f x x =+，()22x g x =-.（1）求函数()()()()2123F x f x mf x m =--+∈⎡⎤⎣⎦R 在区间[]2,4上的最小值；（2）若函数()()()h x g f x =，且()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n =-⋅+⎡⎤⎣⎦的图象有3个不同的交点，求实数n 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）25n ³【解析】【分析】（1）根据已知条件求出()[]()()222log 2log 13F x x m x m =-++∈R ，令2log x t =换元后()F x 变为2223y t mt m =--+，利用二次函数的性质确定最小值；（2）求出()2log 12222x h x x +=-=-，进而确定()()()22h g x g x =-，令()g x a =换元后有()()y h g x =化为22y a =-，()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦化为243y a na n =-+，问题转化为()242320a n a n -+++=有两个根，且一个根在()0,2内，一个根在[)2,+∞内，设()()24232a a n a n ϕ=-+++，通过限制二次函数根所在区间得出不等式，求解不等式即可解出实数n 的取值范围.【小问1详解】()()()()2123F x f x mf x m ⎡⎤=--+∈⎣⎦R ，所以()()()()222log 2log 13F x x m x m =-++∈R ，令2log x t =，因为[]2,4x ∈，则[]1,2t ∈，所以()F x 变为2223y t mt m =--+，函数的对称轴为t m =，当1m £时，函数在[]1,2上单调递增，1t =时，函数有最小值44m -；当12m <<时，函数在[]1,m 上单调递增减，函数在(],2m 上单调递增，t m =时，函数有最小值223m m --+；当2m ≥时，函数在[]1,2上单调递减，2t =时，函数有最小值67m -+.【小问2详解】()()()h x g f x =即()()2log 122220x h x x x +=-=->，所以()22y g x =-，令()g x a =，所以()()y h g x =化为：()220y a a =->，()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦化为243y a na n =-+；令22243a a na n -=-+，整理有：()242320a n a n -+++=；因为()22xa g x ==-，作出简图如下注意到0a >，可得：当02a <<时，22x a =-有两个根；当2a ≥时，22x a =-有一个根；因为()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦的图象有3个不同的交点，所以()242320a n a n -+++=有两个根，且一个根在()0,2内，一个根在[)2,+∞内，设()()24232a a n a n ϕ=-+++，则有：()x ϕ为关于a 的二次函数，图象开口向上，对称轴为21a n =+，根据题意有：()()0020ϕϕ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即320520n n +>⎧⎨-+<⎩解得25n >，或()()00200212n ϕϕ⎧>⎪=⎨⎪<+<⎩，即3205201122n n n ⎧⎪+>⎪-+=⎨⎪⎪-<<⎩解得25n =综上所述：25n ³.【点睛】方法点睛：①换元法的应用，注意取值范围；②数形结合的应用.。

2023-2024学年山东省东营市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2560,{10}A x x x B x x =-+≥=-<，则A B = （）A ．(,1)-∞B ．(2,1)--C ．(3,1)--D ．(3,)+∞【正确答案】A【分析】解不等式求得集合,A B ，由此求得A B ⋂.【详解】()()256230x x x x -+=--≥，解得2x ≤或3x ≥，所以(][),23,A =-∞⋃+∞，而(),1B =-∞，所以A B = (,1)-∞.故选：A2．十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其中位数为a ，众数为b ，第一四分位数为c ，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c <<B ．<<c a bC ．c b a <<D ．a c b<<【正确答案】B【分析】根据中位数、众数、分位数的定义求解.【详解】对生产件数由小到大排序可得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，所以中位数151515,2a +==众数为b =17，100.25 2.5⨯=，所以第一四分位数为第三个数，即c =14，所以<<c a b ，故选:B.3．已知函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】通过反例和奇函数的性质可直接得到结论.【详解】若()2f x x =，则()00f =，此时()f x 为偶函数，充分性不成立；若()f x 为奇函数，且其定义域为R ，则()00f =恒成立，必要性成立；∴函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.4．如图是函数()f x 的图象，则下列说法不正确的是（）A ．()02f =-B ．()f x 的定义域为[]3,2-C ．()f x 的值域为[]22-,D ．若()0f x =，则12x =或2【正确答案】C【分析】结合函数的图象和定义域，值域等性质进行判断即可．【详解】解：由图象知(0)2f =-正确，函数的定义域为[3-，2]正确，函数的最小值为3-，即函数的值域为[3-，2]，故C 错误，若()0f x =，则12x =或2，故D 正确故选：C ．5．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg20.3010,lg30.4771≈≈，设71249N =⨯，则N 所在的区间为（）A ．()131410,10B ．()141510,10C ．()151610,10D ．()161710,10【正确答案】C【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可.【详解】因为712712142449,lg lg4lg9lg2lg314lg224lg3 4.21411.450415N N =⨯=+=+=+≈+≈.6644，所以()15.664415161010,10N =∈.故选：C6．方程24x x +=的根所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】B构造函数()24xf x x =+-，利用零点存在定理可得出结论.【详解】构造函数()24xf x x =+-，则函数()f x 为R 上的增函数，()110f =-< ，()220f =>，则()()120f f ⋅<，因此，方程24x x +=24x x +=的根所在的区间为()1,2.故选：B.7．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且2是它的一个零点，则不等式(1)0f x ->的解集为（）A ．(1,3)-B ．(,3)(1,)-∞-+∞C ．(3,1)-D ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞【正确答案】A【分析】根据函数的单调性和奇偶性解不等式.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(],0-∞上单调递增，又因为2是它的一个零点，所以(2)0f =，所以(2)(2)0f f -==，所以当22x -<<时()0f x >，所以由(1)0f x ->可得212x -<-<解得13x -<<，故选:A.8．设()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞满足()()2112120x f x x f x x x->- 且(1)2f =，则不等式()2f x x >的解集为（）A ．(1,0)(1,)-⋃+∞B ．(1,0)(0,1)-C ．,1(),)1(-∞-⋃+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞ 【正确答案】A 【分析】设()()f x F x x=，判断出()F x 的奇偶性、单调性，由此求得不等式()2f x x >的解集.【详解】设()()f x F x x =，由于()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-，所以()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数.任取120x x <<，120x x -<，则：()()()()()()1221121212120f x f x x f x x f x F x F x x x x x --=-=<，()()12F x F x <，所以()F x 在()0,∞+上递增，则()F x 在(),0∞-上递减.()(1)21f f ==-，()()()11211f F F ===-，对于不等式()2f x x >，当0x >时，有()2f x x >，即()()11F x F x >⇒>；当0x <时，由()2f x x<，即()()110F x F x <-⇒-<<，综上所述，不等式()2f x x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞.故选：A二、多选题9．有一组样本数据123,,,,n x x x x ，由这组数据得到新样本数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ ，则下列结论正确的是（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【正确答案】CD【分析】根据一组数据的平均数、中位数、标准差和极差的定义求解.【详解】数据123,,,,n x x x x 的平均数为123nx x x x x n++++=，新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的平均数为123123222222n n x x x x x x x x nx n n++++++++++++==++ ，故A 错误；若数据123,,,,n x x x x 的中位数为i x ，则新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的中位数为2i x +，故B 错误；数据123,,,,n x x x x 的标准差为s =，新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的标准差为1s s ==，故C 正确；若数据123,,,,n x x x x 中的最大数为,m x 最小数为n x ，则极差为m n x x -，则数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的极差为22m n m n x x x x +--=-，故D 正确，故选：CD.10．若a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22lg lg a b >B ．22a b--<C ．11a b<D ．33a b >【正确答案】BD【分析】应用特殊值23a b =>=-，判断A 、C ，根据2x y =，3y x =的单调性判断B 、D.【详解】当23a b =>=-时，则()22239<-=，而lg 4lg9<，又1123>-，∴A ，C 不正确；∵2x y =，3y x =都是R 上单调递增函数，∴B ，D 是正确的.故选：BD.11．关于x 的方程221x k xx x x-=--的解集中只含有一个元素，则k 的值可能是（）A ．0B ．1-C ．1D ．3【正确答案】ABD【分析】由方程有意义可得0x ≠且1x ≠，并将方程化为220x x k +-=；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况：方程220x x k +-=有且仅有一个不为0和1的解、方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为0，另一根不为1、方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0；由此可解得k 所有可能的值.【详解】由已知方程得：210x x x -≠-≠⎧⎨⎩，解得：0x ≠且1x ≠；由221x k x x x x-=--得：220x x k +-=；若221x k x x x x-=--的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：①方程220x x k +-=有且仅有一个不为0和1的解，440k ∴∆=+=，解得：1k =-，此时220x x k +-=的解为1x =-，满足题意；②方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为0，另一根不为1；由0200k +⨯-=得：=0k ，220x x ∴+=，此时方程另一根为2x =-，满足题意；③方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0；由1210k +⨯-=得：=3k ，2230x x ∴+-=，此时方程另一根为3x =-，满足题意；综上所述：1k =-或0或3.故选：ABD.12．已知函数2()21xx f x =+，下列说法正确的是（）A ．若2()1f a >，则0a >B ．()f x 在R 上单调递增C ．当120x x +>时，()()121f x f x +>D ．函数()y f x =的图像关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称【正确答案】ABC【分析】根据指数不等式、函数单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()21f a >，即221,2221,21,021aa a a aa ⨯>⨯>+>>+，A 选项正确.B 选项，1221()12111212x x x x xf x ==+=-+++-，由于121x y =+在R 上递减，所以()f x 在R 上递增，B 选项正确.C 选项，当120x x +>时，12x x >-，所以()()12f x f x >-，即12122221212112x x x x x -->=+++，所以()()1221222122221212121211x x x x x x x f x f x +=>++=++++，C 选项正确.D 选项，()()112212122x x xf x f x ---==≠-++，D 选项错误.故选：ABC三、填空题13．已知幂函数()f x x α=的图像经过点(8,2)，则1()f x -=_________．【正确答案】3x 【分析】根据幂函数的的知识求得α，然后根据反函数的知识求得正确答案.【详解】依题意，幂函数()f x x α=的图像经过点(8,2)，所以182,3αα==，所以()13f x x =，令13y x =，解得3x y =，交换,x y 得3y x =，所以13()f x x -=故3x 14．设两个相互独立事件A 与B ，若事件A 发生的概率为p ，B 发生的概率为1p -，则A 与B 同时发生的概率的最大值为______.【正确答案】14##0.25【分析】求出相互独立事件同时发生的概率，利用二次函数求最值.【详解】因为事件A 与B 同时发生的概率为()[]()221110,124p p p p p p ⎛⎫-=-=--+∈ ⎪⎝⎭，所以当12p =时，最大值为14.故1415．已知函数(),y f x x =∈R ，且(1)(2)()(0)3,2,2,,2,N (0)(1)(1)f f f n f n f f f n *===∈- ，写出函数()y f x =的一个解析式：________．【正确答案】()32xf x =⨯【分析】利用累乘的方法可求解函数解析式.【详解】因为(1)(2)()(0)3,2,2,,2,N (0)(1)(1)f f f n f n f f f n *===∈- ，所以(1)(2)()(0)32(0)(1)(1)n f f f n f f f f n ⨯⨯⨯=⨯- ，即()32n f n =⨯，所以函数()y f x =的一个解析式为()32x f x =⨯，故答案为:()32x f x =⨯.16．已知函数2()|2|4f x x x a a a =-+-，若函数()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则123111x x x ++的取值范围是_________．【正确答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】将()f x 表示为分段函数的形式，对a 进行分类讨论，求得12123,,x x x x x +，由此求得123111x x x ++的取值范围.【详解】()222224,224,2x ax a a x af x x ax a a x a ⎧-+-≥=⎨-++-<⎩，当0a >时，方程有3个不相等的实数根，()f x 在()2,a +∞上递增，所以2x a ≥时，22240x ax a a -+-=有1个根，且2x a <时，22240x ax a a -++-=有2个根，所以()222444040a a a a a ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得24a <<.由于123x x x <<，则2121232,4,2x x a x x a a x a +==-+=+，所以122123123111124x x a x x x x x x a a +++=+=+-+()24a a a =+-()()244a a a a a a -=-==--()()221111=----，)2111,311<<-<<，)22110-<-<，()2111<-()212214211+-<=-.当a<0时，当2x a >时，方程22240x ax a a -+-=的判别式()22444160a a a a ∆=--=<，所以此时不符合题意.当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭.故12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭研究含有绝对值的函数的零点，关键点在于去绝对值，将所研究的函数表示为分段函数的形式，由此再对参数进行分类讨论，结合零点个数来求得参数的取值范围.在分类讨论时，要注意做到不重不漏.四、解答题17．求解下列问题：(1)2433641)27--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；(2)2log 3491lg2log 27log 8100-+-⋅．【正确答案】(1)2916(2)74-【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案.（2）根据对数运算求得正确答案.【详解】（1）2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭24333324123--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦224123--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭9129116416=++=.（2）2log 3491lg2log 27log 8100--⋅221233223lg10ln e 3log 3log 2-=-+-⋅2313323log 3log 2222=--+-⋅192324=--+-74=-.18．甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，将样本数据分成［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］五组，并整理得到如下频率分布直方图：已知甲测试成绩的中位数为75.（1）求x ，y 的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；（2）从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率.【正确答案】（1）0.025x =；0.02y =；甲的平均分为74.5，乙的平均分为73.5；（2）35.（1）根据甲测试成绩的中位数为75，由0.0110100.04(7570)0.5y ⨯+⨯+⨯-=，求得y ,再利用各矩形的面积的和为1，求得x ,然后利用平均数公式求解.（2）易得甲测试成绩不足60分的试卷数2，乙测试成绩不足60分的试卷数3，先得到从中抽3份的基本事件数，再找出恰有2份来自乙的基本事件数，代入古典概型公式求解.【详解】（1）∵甲测试成绩的中位数为75，∴0.0110100.04(7570)0.5y ⨯+⨯+⨯-=，解得0.02y =.∴0.0110100.0410100.005101y x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.025x =.同学甲的平均分为550.0110650.0210750.0410850.02510950.0051074.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.同学乙的平均分为550.01510650.02510750.0310850.0210950.011073.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）甲测试成绩不足60分的试卷数为200.01102⨯⨯=，设为A ，B .乙测试成绩不足60分的试卷数为200.015103⨯⨯=，设为a ，b ，c .从中抽3份的情况有(),,A B a ，(),,A B b ，(),,A B c ，(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A b c ，(),,B a b ，(),,B a c ，(),,B b c ，(),,a b c ，共10种情况.满足条件的有(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A b c ，(),,B a b ，(),,B a c ，(),,B b c ，共6种情况，故恰有2份来自乙的概率为63105=.19．已知关于x 的不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >）.(1)求a ，b 的值；(2)当0x >，0y >，且满足1a b x y+=时，有226x y k k +>--恒成立，求k 的取值范围.【正确答案】(1)41a b =⎧⎨=⎩(2)(3,5)-【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可得1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，从而利用韦达定理建立方程组即可求解；（2）由均值不等式中“1”的灵活运用可得min ()9x y +=，从而解一元二次不等式22150k k --<即可得答案.【详解】（1）解：因为不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >），所以1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，所以5141a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得41a b =⎧⎨=⎩；（2）解：由（1）知411x y+=，且0x >，0y >，所以414()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即63x y =⎧⎨=⎩时等号成立，依题意有2min ()26x y k k +>--，即2926k k >--，所以22150k k --<，解得35k -<<，所以k 的取值范围为(3,5)-.20．甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（1）求乙获胜的概率；（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.【正确答案】（1）1327；（2）427.【分析】（1）根据规则乙先投进，分情况讨论，求各个情况下概率和即可；（2）根据规则第四次乙先进球或第五次甲先进球，符合题意，求概率和即可.【详解】（1）记“乙获胜”为事件C ，记甲第i 次投篮投进为事件i A ，乙第i 次投篮投进为事件iB 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()()()()111122112233P C P A B P A B A B P A B A B A B =+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅()()()()()()()()()()()()111122112233P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B =++⋅22332121211332323227⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()()()112211223P D P A B A B P A B A B A =⋅⋅+⋅⋅⋅()()()()()()()()()112211223P A P B P A P B P A P B P A P B P A =+⋅22222121143232327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：50,020,60,20120.140x v k x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．2.646=）【正确答案】(1)（1）车流速度v 不小于40千米/小时，车流密度x 的取值范围为(0，80]；(2)（2）隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．【分析】（1）由120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时）求得k ，可得v 关于x 的关系式，再由40v 求解x 的范围得结论；（2）结合（1）写出隧道内的车流量y 关于x 的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．【详解】（1）解：由题意，当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入60140k v x=--，得060140120k =--，解得1200k =．∴50,020120060,20120140x v x x <⎧⎪=⎨-<⎪-⎩，当020x <时，5040v =，符合题意；当20120x <时，令12006040140x--，解得80x ，2080x ∴<．综上，080x <．故车流速度v 不小于40千米/小时，车流密度x 的取值范围为(0，80]；（2）由题意得，50,020120060,20120140x x y x x x x <⎧⎪=⎨-<⎪-⎩，当020x <时，50y x =为增函数，20501000y ∴⨯=，等号当且仅当20x =时成立；当20120x <时，12002020(140)28006060()60[140140140x x x y x x x x x x--=-=-=+---2800280060(2060[160(140)140140x x x x=+-=-----60(16060(1603250-=-≈．当且仅当2800140140x x-=-，即14087(20x =-≈∈，120]时成立，综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．22．函数()()lg 93x x f x a =+-．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)当0a ≤时，若()f x 的值域为R ，求实数a 的值；(3)在（2）条件下，()g x 为定义域为R 的奇函数，且0x >时，()()109f x x g x =-，对任意的R t ∈，解关于x 的不等式()32()2|()|g x g x tx t g x +-≥．【正确答案】(1)0a ≤；(2)0a =；(3)答案详见解析.【分析】（1）由930x x a +->恒成立分离常数a ，结合指数函数、二次函数的性质求得正确答案；（2）令()93x x h x a =+-，结合()h x 的值域包含()0,∞+列不等式，由此求得正确答案；（3）先求得()g x 的解析式，由此化简不等式()32()2|()|g x g x tx t g x +-≥.对t 进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】（1）由题930x x a +->恒成立，则93x x a <+恒成立，由于1130,322x x >+>，所以211933024x x x ⎛⎫+=+-> ⎪⎝⎭，所以0a ≤；（2）令()93x x h x a =+-，则()h x 的值域包含()0,∞+，因为21193324x x x a a a ⎛⎫+-=+-->- ⎪⎝⎭，所以0a -≤，即0a ≥,又因为0a ≤，所以0a =；（3）当0x >时，()()1093f x x x g x =-=；若0x <，0x ->，()3x g x --=，又因为()g x 为定义域为R 的奇函数，所以当0x <时，()3xg x -=-，所以()3,00,03,0x x x g x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，()()3g x g x =()()20g x x ≠，不等式()()()322g x g x tx t g x +-≥等价于()()()2220g x tx t g x x +-≥≠，由于()3,00,03,0x x x g x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩在()(),00,∞-+∞U 上是单调递增函数，所以原不等式等价于()2220x tx t x x +-≥≠，即：()()()200x x t x -+≥≠，当2t <-时，解集为{|2x x ≤且0x ≠或}x t ≥-；当2t =-时，解集为{}0x x ≠；当20t -<≤时，解集为{|x x t ≤-且0x ≠或}2x ≥；当0t >时，解集为{|x x t ≤-或}2x ≥.根据函数的奇偶性求函数的解析式要注意的地方有：1.如果函数的定义域为R ，则对于奇函数来说，必有()00f =，偶函数则不一定；2.当0x >时，0x -<（或当0x <时，0x ->），需要代入对应范围的解析式，结合()()=f x f x -或()()f x f x =--来求得函数的解析式.。

2023-2024学年山东省日照市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A ＝{x |﹣1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |x ≥﹣1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |﹣1≤x ≤2}D ．{x |﹣1≤x ＜1}2．命题“∀x ＞1，x 2﹣1＞0”的否定形式是（ ） A ．∀x ＞1，x 2﹣1≤0 B ．∀x ≤1，x 2﹣1≤0C ．∃x ＞1，x 2﹣1≤0D ．∃x ≤1，x 2﹣1≤03．函数f （x ）＝2x +3x ﹣4的零点所在的大致区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）4．若命题“∀x ∈[﹣1，2]，m ≤x 2+1”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞） B ．（﹣∞，2] C ．（﹣∞，1] D ．（﹣∞，5]5．“1＜x ＜3”是“1x−2＞1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若ae a ＝blnb ＝clgc ＝1，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b7．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为910，23，12，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（ ） A ．310B ．910C ．2930D ．59608．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0e x+2，x ≤0，若函数y =f(f(x)a )所有零点的乘积为1，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（2，3）B ．（0，2]∪（3，+∞）C ．（3，+∞）D ．[1，2]∪（3，+∞）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年江西省高一上册期末考试数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4,6A =，{}4,5B =，则()U A B = ð（）A ．{}4B ．{}5C ．{}3,5D ．{}3,4,5【正确答案】D由{}3,5U A =ð，代入()U A B ⋃ð计算即可得解.【详解】由{}3,5U A =ð，可得{}()3,4,5U A B = ð，故选：D.本题考查了集合的运算，考查了补集和并集的计算，属于基础题.2．若,x y R ∈，则下列不等式一定成立的是（）A ．2112x x ≥+B ．2112x x <+C ．22245x y x y +≥--D ．22245x y x y +<--【正确答案】C 作差法分别比较21x x +与12、22x y +与245x y --的大小.【详解】()()()2222211*********x x x x x x x ---+--==≤+++ ，2112x x ∴≤+，故A 、B 错；()2222(245)(1)20x y x y x y +---=-++≥ ，22245x y x y ∴+≥--.故选：C本题考查作差法比较数或式的大小，属于基础题.3．已知命题“R x ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是真命题，则a 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()1,3-C ．()3,+∞D ．()(),13,-∞-⋃+∞【正确答案】D【分析】由题意可知：不等式对应的二次函数开口向上，若命题“R x ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是真命题，则相应的二次方程有不等的实根,利用判别式即可求解.【详解】因为命题“R x ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是真命题，所以方程()2110x a x +-+=有两个不等的实数根，所以2(1)40a ∆=-->，解得：1a <-或3a >，故选.D4．命题“[)210,,04x x x ∀∈+∞-+≥”的否定是（）A ．[)200010,,04x x x ∃∈+∞-+≥B ．[)200010,,04x x x ∃∈+∞-+<C ．()201,0,04x x x ∀∈-∞-+≥D ．[)2010,,04x x x ∀∈+∞-+<【正确答案】B根据全称命题的否定为特称命题即可解答.【详解】解：命题为全称命题，则全称命题“[)210,,04x x x ∀∈+∞-+≥”的否定是[)00,∃∈+∞x ，200104x x -+<故选：B ．本题主要考查含有量词的命题的否定，含有量词命题的否定：结论否定，量词相应改变，属于基础题.5．某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（）A ．2022年甲系列产品收入比2020年的多B ．2022年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多C ．2022年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的13D ．2022年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍【正确答案】C【分析】利用已知条件可分别得出2022年和2020年5种系列产品所占总收入的比例，结合该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，逐一检验选项，得出答案．【详解】对于A ，2022年甲系列产品收入占了总收入的20%，2020年甲系列产品收入占了总收入的30%，而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年甲系列产品收入比2020年的多，正确；对于B ，2022年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的55%，该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多，正确；对于C ，2022年丁系列产品收入占了总收入的5%，2020年丁系列产品收入占了总收入的20%，而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的12，错误；对于D ，2022年戊系列产品收入占了总收入的20%，2020年戊系列产品收入占了总收入的20%，而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍，正确；故选：C6．用二分法求方程81log 03x x-=近似解时，所取的第一个区间可以是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,4)【正确答案】B【分析】()81log 3f x x x=-，判断函数得单调性，在求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.【详解】解：令()81log 3f x x x=-，因为函数81log ,3y x y x==-在()0,∞+上都是增函数，所以函数()81log 3f x x x=-在()0,∞+上是增函数，()()81111110,2log 2036366f f =-<=-=-=>，所以函数()81log 3f x x x=-在区间(1,2)上有唯一零点，所以用二分法求方程81log 03x x-=近似解时，所取的第一个区间可以是(1,2).故选：B.7．设正数x ,y 满足x +4y =40,则lgx +lgy 的最大值是A ．40B ．10C ．4D ．2【正确答案】D【详解】0,0,440;40x y x y >>+=∴≥= 100;xy ∴≤所以lg lg lg lg1002x y xy +=≤=故选D8．函数()()9f x x a a a R x=+-+∈在区间[]1,9上的最大值为10，则实数a 的最大值为（）A ．6B ．8C ．9D ．10【正确答案】B【分析】令9t x x=+，[1,9]x ∈，则[6,10]t ∈，问题转化为||y t a a =-+在[6,10]t ∈上的最大值为10，对a 分四种情况讨论求出最大值即可得解.【详解】令9t x x =+，[1,9]x ∈，则函数9t x x=+在[1,3)上单调递减，在[3,9]上单调递增，所以当3x =时，min 6t =，当9x =时，max 10t =，所以[6,10]t ∈，所以||y t a a =-+在[6,10]t ∈上的最大值为10，①当10a ≥时，||y t a a =-+2a t a a t =-+=-，所以2610max y a =-=，8a ∴=，舍去；②当6a ≤时，||y t a a =-+t a a t =-+=10≤，此时命题成立;③当68a <<时，max |10|10y a a =-+=，此时命题成立;④当810a ≤<时，max |6|626y a a a a a =-+=-+=-，所以2610a -=，解得8a =，此时命题成立;综上所述：实数a 的取值范围是8a ≤，即实数a 的最大值为8，故选：B ．本题考查了对勾函数的单调性，考查了转化化归思想，考查了分类讨论思想，考查了由函数的最大值求参数的取值范围，属于中档题.二、多选题9．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a=-1【正确答案】CD【分析】先根据一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，求得a<0，然后结合选项与充分不必要条件的概念即可求出结果.【详解】因为一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，所以2024010a a a⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪<⎩，解得a<0，结合选项与充分不必要条件的概念可知选CD ，故选：CD.10．小张一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．储蓄金额为300元B ．日常开支比食品中的其他开支多150元C ．娱乐开支比通信开支多50元D ．肉类开支占总开支的13【正确答案】ABC【分析】根据图表信息一一分析可得；【详解】解：由食品开支图，可知食品开支有30401008050300++++=元，所以一星期的总开支30030%1000÷=元，其中储蓄金额为100030%300⨯=元，故A 正确；日常开支为100020%200⨯=元，故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B 正确；娱乐开支比通信开支多()100010%5%50⨯-=元，故C 正确；肉类开支占总开支的1100100010÷=，故D 错误；故选：ABC11．已知函数2(2)41([2,2])f x x x =+∈-，下列说法正确的是（）A ．(1)5f =B ．2()1f x x =+C ．()f x 的定义域为[1,1]-D ．(1)f x -的图像关于1x =对称【正确答案】BD【分析】先求解函数()f x 的表达式及定义域，根据函数()f x 的性质判断各项正误.【详解】解：因为2(2)41([2,2])f x x x =+∈-，所以2()1f x x =+，故B 项正确；(1)112f =+=，故A 项错误；因为[]2,2x ∈-，所以[]24,4x ∈-，故()f x 的定义域为[]4,4-，故C 项错误；因为2()1f x x =+，所以()f x 为偶函数，则(1)f x -的图像关于1x =对称，故D 项正确.故选：BD.12．已知函数224,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是（）A ．124x x +=-B ．341x x ⋅=C ．414x <<D ．123404x x x x <≤【正确答案】AB【分析】作出函数()f x 的图象，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，则直线y t =与函数()y f x =的图象4个交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，可得出04t <<，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.【详解】函数224,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，则04t <<，则直线y t =与函数()y f x =的图象4个交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，对于A ：函数24y x x =--的图象关于直线2x =-对称，则124x x +=-，故A 正确；对于B ：由图象可知2324log log x x =，且3401x x <<<，∴2324log log x x -=，即()234log 0x x =，所以341x x =，故B 正确；当0x ≤时，22()4(2)44f x x x x =--=-++≤，由图象可知()24log 0,4x ∈，则4116x <<，故C 错误；由图象可知142x -<<-，所以()21234111121(2)4(0,4)44x x x x x x x x x =⋅--=--∈=-++，故D 错误.故选：AB.三、填空题13．已知幂函数()f x 满足()42f =，则()16f =________．【正确答案】4【分析】先求得()f x 的解析式，然后求得()16f .【详解】设()f x x α=，则()()()11222144=22,1616=42f f x x f ααα==⇒==⇒=.故答案为.414．已知函数()()()()21lg 11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则((1))=f f ______．【正确答案】0【分析】由内向外，逐步代入，即可求出结果.【详解】由题意，1(1)22f ==，()()1(2)lg10f f f ∴===．故015．已知函数()24log 1,1()4,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若(1)f =a ，则()f a =______．【正确答案】72【分析】通过()1f a =求出a ，代入解析式求得结果.【详解】因为()411log 22a f ===所以()1174222f a f ⎛⎫==-=⎪⎝⎭本题正确结果：72本题考查利用分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题.16．已知函数()1f x x =+，()2g x x=，用()m x 表示()(),f x g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，则()m x 的值域是______.【正确答案】(](],10,2-∞-⋃【分析】令()()f x g x =可求得临界点，结合()(),f x g x 的图像可确定()m x 的图像，由此可得结果.【详解】令()()f x g x =，即21x x+=，解得：2x =-或1x =，则()(),f x g x 图像如下图所示，由此可确定()m x 图像如下图所示，由图像可知：()m x 的值域为(](],10,2-∞-⋃.故答案为.(](],10,2-∞-⋃四、解答题17．已知0a >，记关于x 的不等式()()10-+<x a x 的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .（1）若3a =，求集合P ；（2）若Q P ⊆，求a 的取值范围.【正确答案】（1）{}13x x -<<；（2）(2)，+∞.（1）直接解不等式得解；（2）先化简集合,P Q ,再根据Q P ⊆，得到关于a 的不等式得解.【详解】（1）由()()310x x -+<，得{}13P x x =-<<；（2）{}{}1102Q x x x x =-≤=≤≤.由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)，+∞.18．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是[]0100，，样本数据分组为)020⎡⎣，，)2040⎡⎣，，)4060⎡⎣，，)6080⎡⎣，，)80100⎡⎣，．(1)求直方图中x 的值；(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．【正确答案】(1)0.0125x =(2)72名(3)33.6分钟.【分析】（1）利用概率和为1列方程即可得解．（2）计算出新生上学时间不少于1小时的频率为0.12，问题得解．（3）直接利用均值计算公式求解即可．【详解】解：（1）由直方图可得：200.025200.0065200.0032021x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，解得0.0125x =.（2）新生上学时间不少于1小时的频率为0.0032020.12⨯⨯=，因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.（3）由题可知200.0125100.0252030⨯⨯+⨯⨯0.006520500.00320700.0032090+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯33.6=分钟.故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分钟.本题主要考查了频率分布直方图的知识，考查了概率的应用，还考查了平均值的计算公式，属于中档题．19．已知函数()()1,f x a b ax b =∈+R ，且()113f =，()11f -=-．(1)求a 、b 的值；(2)试判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性，并证明；(3)求函数()f x 在[]2,6x ∈上的最大值和最小值．【正确答案】(1)2a =，1b =(2)函数()f x 在()2,+∞上为减函数，证明见解析(3)最大值为15，最小值为113【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数a 、b 的方程组，即可得解；（2）根据反比例函数的单调性可得出函数()f x 在()2,+∞上的单调性，然后任取1x 、()22,x ∈+∞且12x x >，作差()()12f x f x -，通分、因式分解后判断()()12f x f x -的符号，即可证得结论成立；（3）根据函数()f x 在[]2,6上的单调性可求得()f x 在[]2,6x ∈上的最大值和最小值．【详解】（1）解：由已知可得()()1113111f a b f b a ⎧==⎪⎪+⎨⎪-==-⎪-⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩.（2）解：由（1）可知，()121f x x =+，函数()f x 在()2,+∞上为减函数，证明如下：任取1x 、()22,x ∈+∞且12x x >，则210x x -<，1210x +>，2210x +>，()()()()()21121212211021212121x x f x f x x x x x --=-=<++++，()()12f x f x ∴<，所以，函数()f x 在()2,+∞上为减函数.（3）解：由（2）可知，函数()f x 在[]2,6上为减函数，当[]2,6x ∈时，()()max 125f x f ==，()()min 1613f x f ==.故函数()f x 在[]2,6上的最大值为15，最小值为113.20．某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、54、58；为了预测以后各月的患病人数，根据今年1月、2月、3月的数据，甲选择了模型()2f x ax bx c =++，乙选择了模型x y p q r =⋅+，其中y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．(1)如果4月、5月、6月份的患病人数分别为66、82、115，你认为谁选择的模型较好？请说明理由；(2)至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．（参考数据：1021024=88.28≈）【正确答案】(1)应将250x y =+作为模拟函数，理由见解析(2)至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人【分析】（1）分别将1x =，2，3代入两个解析式，求得a ，b ，c ，p ，q ，r ，求得解析式，并分别检验4x =，5，6时函数值与真实值的误差，分析即可得答案.（2）令2502000x +>，可求得x 的范围，根据所给数据进行分析，即可得答案.【详解】（1）由题意，把1x =，2，3代入()f x 得：52,4254,9358,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1a =，1b =-，52c =，所以()252f x x x =-+，所以()24445264f =-+=，()25555272f =-+=，()26665282f =-+=，则()4662f -=，()58210f -=，()611533f -=；把1x =，2，3代入()xy g x p q r ==⋅+，得：2352,54,58,pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得1p =，2q =，50r =，所以()250xg x =+，所以()4425066g =+=，()5525082g =+=，()66250114g =+=，则()4660g -=，()5820g -=，()61151g -=因为()4g ，()5g ，()6g 更接近真实值，所以应将250x y =+作为模拟函数；（2）令2502000x +>，解得2log 1950x >由于101121024195020482=<<=即()2log 195010,11∈，所以至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．21．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{}1x x x b 或.(1)求,a b 的值；(2)当0x >，0y >，且满足1a bx y+=时，有221x y k +≥-恒成立，求k 的取值范围.【正确答案】(1)1,2a b ==(2)[]3,3-【分析】（1）由一元二次不等式的解集可得该二次不等式对应的一元二次方程的两个根，再利用韦达定理即可解出,a b 的值.（2）221x y k +≥-恒成立等价于()2min 12k x y -≤+，结合（1）的结论再利用均值不等“1”的代换即可求出()min 2x y +，最后解出不等式即可.【详解】（1）因为不等式2320ax x -+>的解集为{}1x x x b 或，所以1,b 为方程2320ax x -+=的两个根，由韦达定理可得3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩.故：1,2a b ==（2）因为0x >，0y >时，有121x y+=，所以()1242222428x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即2,4x y ==时等号成立.又因为221x y k +≥-恒成立，所以()2min 12k x y -≤+，即218k -≤，解得33k -≤≤.故：k 的取值范围为[]3,3-.22．已知函数()()()log log 2(01)m m f x x m x m m m =-+->≠且.(1)当12m =时，解不等式()2log 50f x +>；(2)若对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，求实数m 的取值范围；(3)在（2）的条件下，是否存在5,,2m αβ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，使()f x 在区间[α，β]上的值域是[]log ,log m m βα？若存在，求实数m 的取值范围:若不存在，说明理由.【正确答案】(1){}13x x <<(2)112m ≤<(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据对数函数性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解，注意对数函数的定义域；（2）根据对数函数性质求得()f x 在[3,4]m m 上的最大值max ()f x ，由max ()1f x ≤可得；（3）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在5(,)2m+∞上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解可得．【详解】（1）∵12m =∴()()11221log log 12f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的定义域为（1，+∞）.由()()1211222111log 1log 5log 1log 0225x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=--+> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，化简得()1152x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得332x -<<，又1x >，∴所求不等式的解集为{}13x x <<.（2）对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，等价于max ()1f x ≤，∵()()()()22log 2log 32([3,4])m m f x x m x m x mx m x m m ⎡⎤=--=-+∈⎣⎦设[]()22223323,424m t x mx m x m x m m ⎛⎫=-+=--∈ ⎪⎝⎭则t 在[3,4]m m 上是增函数，下面按照log m y t =的单调性分类讨论:当01m <<时，()f x 在[3,4]m m 上递减，则()()()2max 3log 21m f x f m m ==≤，解得112m ≤<，当1m >时，()f x 在[3,4]m m 上递增，则()()()2max 4log 61m f x f m m ==≤，解得106m <≤与1m >矛盾，故舍去.综上，112m ≤<.（3）∵112m ≤<，∴()f x 在(52m,+∞)上递减，∴()()log log m m f f ααββ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()()22a m a m m m αβββ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，即关于x 方程()()2x m x m x --=在(52m ,+∞)上有两个不等的实根，设()()()()222312h x x m x m x x m x m =---=-++，则22112Δ(31)80315225(02m m m m m m h ⎧≤<⎪⎪=+->⎪⎪⎨+>⎪⎪⎪>⎪⎩，即211261012103m m m m m ⎧≤<⎪⎪++>⎪⎪⎨<⎪⎪⎪>⎪⎩m ⇒∈∅．综上，不存在这样的α，β满足条件.结论点睛：一元二次方程根的分布：20ax bx c ++=(0)a >，记2()f x ax bx c =++，（1）方程20ax bx c ++=的两根都大于m ⇔Δ02()0b m a f m ≥⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩；（2）方程20ax bx c ++=的两根都小于m ⇔Δ02()0b m a f m ≥⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩；（3）方程20ax bxc ++=的一根大于m ，一根小于m ⇔()0f m <；（4）方程20ax bx c ++=的两根都都在区间(,)m n 上⇔Δ02()0()0b m n a f m f n ≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩．。