八年级数学上册《角平分线的判定》学案 新人教版

第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质（第二课时）【学习目标】1．掌握角平分线的判定．2．熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题【课前预习】1．下列四个命题中，假命题是（）A．“等边对等角”与“等角对等边”是互逆定理B．等边三角形是锐角三角形C．角平分线上的点到角两边的距离相等D．真命题的逆命题是真命题2．△ABC内一点P到三边距离相等，则点P一定是△ABC（）A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条中线的交点3．下列语句中正确的是（）A．三角形的一个外角等于两个内角的和B．有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等C．有两边分别相等的两个直角三角形全等D．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上4．下列说法正确的有（）①角平分线上任意一点到角两边的距离相等②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等A．1个B．2个C．3个D．4个5．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，△A＝60°，则△BOC的度数为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1．到角的两边距离相等的点在________________．所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是________________．符号表示：如图，∵OP平分∠AOB（或∠1=∠2），PD⊥OA,PE⊥OB,∴ PD＝PE2．如图12-83，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB 的距离DE 是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm3．如图12-84，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A ．PD ＝PEB ．OD ＝OEC ．∠DPO＝∠EPOD ．PD ＝OD互学探究1：角平分线的判定定理问题1：如图，已知PD ⊥OA 于D ， PE ⊥OB 于E ，并且PD=PE ，请问：点P 的位置有什么特殊性吗？猜想：点P 在 上。

新人教版八年级数学上册《12.3.2角的平分线的判定》导学案学习目标1、理解角的平分线的性质及判定；2、能用角的平分线的性质及判定方法解决一些简单的实际问题。

重点：角平分线的性质和判定的应用；难点：角平分线的性质和判定的应用。

时间分配预习检测2分、合作探究18分、提升10 分、检测巩固10分学习过程自主学习案课堂导学案一、复习回顾1、角的平分线有那些性质？2、什么叫点到直线的距离？二、自主学习教材自主探究1、我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等。

反过来，到角两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？2、结合上一节课我们总结的证明几何命题的一般步骤来证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，且PC=PD，垂足分别为C和D点。

求证：∠AOP=∠BOP证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB∴∠OCP=∠ODP=90°在Rt△POC和Rt△POD中OP=OP PC=PD∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)∴∠AOP=∠BOP强调说明：1、通过上述证明可得：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上是真命题。

可用它来判定点在不在角平分线上或者某线段是不是角的平分线；2、有了角平分线的判定我就能顺利解决开始提出的问题了；3、角平分线的性质和判定容易混淆，注意抓住其条件来区别。

导课（设疑导入）如课本图12．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？本节课就来探究认识这一问题，看能否从中得到新的数学知识。

教材自主探究1、指导学生小组讨论后得出猜测结论：到角两边距离相等的点在角的平分线上。

2、指导学生思考并师生同参与进行证明上述猜测。

得出结论。

典例合作探究典例合作探究例2、如课本图12．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA的距离相等．证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等．反思拓展：1、三角形的角平分线（能或不能）相交于一点；2、三角形的角平分线相交于一点，这一点到三角形三条边的距离相等。

第2课时角的平分线的判定1.探究并证明角的平分线的判定定理.（难点）2.会判断一个点是否在一个角的平分线上.（重点）一、新课导入【情境导入】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）学习了今天的内容，我们就能很快地解决这个问题了.二、新知探究知识点1角的平分线的判定【提出问题】我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？【学生猜想】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.（也有一部分学生得不到准确答案）教师鼓励学生按照上节课学过的证明命题的步骤，验证一下他的猜想！【学生思考】给学生思考的时间，可同桌之间讨论.提醒应将文字语言转化为数学语言，同时画出图形，找准“已知”和“求证”，并写出证明过程.之后点名一位学生上台板演，对于错误和不完整的地方，其他学生纠正或补充.教师利用多媒体展示如下验证过程：如图，P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线OC上.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，{PD＝PE，PO＝PO，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOC＝∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线OC上.学生有异议的，及时提出，教师予以纠正.【归纳总结】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.该性质定理的几何语言：∵P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.提醒学生：（1）前提条件：使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部，且该点到角两边的距离相等；（2）定理的作用：角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.【提出问题】现在你能解决集贸市场的问题了吗？【学生回答】教师点名一位学生回答解题过程及依据.教师利用多媒体展示如下作图过程：解：如图，作出公路和铁路相交的角的平分线OC，按照比例尺的比例，在OC上截取OD＝2.5cm.点D的位置即为建集贸市场的位置.知识点2三角形的内角平分线【提出问题】我们知道三角形有三条内角平分线，你会画出它的三条内角平分线吗？动手试一试吧？【实际操作】学生在已经剪好的锐角、直角和钝角三角形卡纸上分别画出它们的三个内角的平分线.之后我们发现：三角形三个内角的平分线交于一点，该交点位于三角形的内部.【提出问题】那么三角形的三条内角平分线的交点到三角形三边的距离有什么特点呢？【实际操作】学生继续在锐角、直角和钝角三角形卡纸上过交点分别作这三个三角形三边的垂线，并测量每一组垂线段的长度.我们发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.【提出问题】由于作图和测量存在误差，我们仍需来证明一下我们的猜想.教师利用多媒体展示如下验证猜想的题目.例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE.同理PE＝PF.∴PD＝PE＝PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.【提出问题】点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？【学生回答】学生集体回答.（由PD＝PF可知，点P在∠A的平分线上.从而也验证了“三角形的三条角平分线交于一点”这一结论.）知识点3角的平分线的性质定理与判定定理的关系教师利用多媒体展示表格，学生根据表格中的内容，集体回答；教师引导学生观察所填内容，由不同颜色标注的内容可知角平分线的性质定理中的“已知”变成了角平分线的判定定理中的“结论”.角的平分线的性质 角的平分线的判定 图形已知条件∠1＝∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB PD ⊥OA ，PE ⊥OB PD ＝PE 结论PD ＝PE ∠1＝∠2 【归纳总结】点在角的平分线上（角的内部）点到角的 两边的距离相等正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.【跟踪训练】判断，不正确的请说明原因.①如图，若PD ＝PE ，则OC 平分∠AOB .（ ✕ ）因为PD 不垂直OA ，PE 不垂直OB ，即PD ，PE 均不是角平分线上的点到角两边的距离.②如图，若点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则OC 平分∠AOB .（ ✕ ）因为没有说明PD 与PE 的等量关系，只有PD ＝PE 时，OC 才平分∠AOB .三、课堂小结角的平分线的判定{ 判定定理{内容➡角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上作用➡判定点在平分线上（判定两角相等）三角形的三条角平分线➡交于一点，且该点到三角形三边的距离相等角平分线的性质定理与判定定理的关系四、课堂训练1.如图，P 是△ABC 外部一点，PD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，PE ⊥AC ，交AC的延长线于点E ，PF ⊥BC 于点F ，且PD ＝PE ＝PF .关于点P 有下列三种说法：①点P 在∠DBC 的平分线上；②点P 在∠BCE 的平分线上；③点P 在∠BAC 的平分线上.其中说法正确的个数为（ D ）A.0B.1C.2D.32.如图， 已知D ，E ，F 分别是△ABC 三边上的点，CE ＝BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等.求证：AD 平分∠BAC .解：如图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N .∵△DCE 的面积与△DBF的面积相等，∴12BF ·DM ＝12CE ·DN .又CE ＝BF ，∴DM ＝DN .∴AD 平分∠BAC .。

12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教学目标：1.探究并证明角平分线的判定方法.2.会用角的平分线的判定解决实际问题.3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.教学重难点：重点:角平分线的判定.难点:三角形的内角平分线的应用.教学过程：课堂导入我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,反过来,到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢?这节课我们来对这个问题进行探究.讲授新课知识点1角平分线的判定定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗?也就是交换角的平分线的性质中的已知和结论.下面我们证明这个命题的正确性.已知:如图所示,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上(OP平分∠AOB).证明:因为PD⊥OA,PE⊥OB(已知),所以∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中,{PO=PO,PD=PE,所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).所以∠POD=∠POE.即点P在∠AOB的平分线上.[归纳]角的平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意:(1)使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部;(2)角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.几何语言:如图所示,因为点P 是∠AOB 内的一点,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, 所以点P 在∠AOB 的平分线OC 上.范例应用例1 如图所示,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路和铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000)? 解:因为图上距离500=120000, 所以图上距离=0.025 m=2.5 cm.如图所示,P 点即为所求.理由:P 点在这个交叉口的角平分线上,所以P 点到公路与铁路的距离相等.知识点2 角的平分线的性质定理与判定定理的关系点在角的平分线上(角的内部)点到角的两边的距离相等.正确理解两个定理的条件和结论,性质定理和判定定理的条件和结论是相反的,性质定理是证明两条线段相等的依据,判定定理是证明两个角相等的依据.知识点3 三角形三个内角平分线的性质1.如图所示,三角形的三个内角的角平分线已画出,从位置上你能观察出什么结论? 答案:三角形三个内角的平分线的交点位于三角形的内部.2.如图所示,过交点分别作三角形三边的垂线,根据角平分线的性质定理你能得出什么结论? 答案:过交点作的三角形三边的垂线段相等.范例应用例2 如图所示,△ABC 的角平分线AD,BE,:点P 到△ABC 三边AB,BC,CA 的距离相等. 证明:如图所示,过点P 作PM ⊥BC ,PN ⊥AC ,PO ⊥AB ,垂足分别为M ,N ,O.因为AD为△ABC的角平分线,所以PN=PO.因为BE为△ABC的角平分线,所以PM=PO.因为CF为△ABC的角平分线,所以PM=PN.所以PM=PN=PO,即点P到△ABC三边AB,BC,CA的距离相等.课堂训练1.判断题:(1)如图(1)所示,若QM=QN,则OQ平分∠AOB.(×)(2)如图(2)所示,若QM⊥OA于点M,QN⊥OB于点N,则OQ平分∠AOB.(×)2.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)处处处处第2题图第3题图3.如图所示,O是△ABC内一点,O到三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=125°.4.如图所示,:AP平分∠BAC.证明:如图所示,作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上,所以PM=PQ,PN=PQ.所以PM=PN.又PM⊥AE,PN⊥AF,所以AP平分∠BAC.课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个,且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的思路:先设其中的两线交于一点,再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部,要找一点到三边距离相等时,只要作出两个角的平分线,其交点即是.4.角平分线的判定与性质的关系:由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的,即在三角形内,到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.板书设计第2课时角平分线的判定角平分线的判定{学会用添加辅助线的方法解题判定定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上应用——综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题教学反思本课时教学应重视以下几点:(1)由定理得到它的逆命题,并证明它的正确性,把两个定理正确地运用;(2)尽力体现数学与生活的联系,从实际中学习新知,使学生认识这种学习方法.(3)课堂中,可采用口答、动手做等方式组织学生比赛,教师依据具体情形予以点评指点,查缺补漏,使学生从本质上理解知识.。

八年级数学上册角的平分线的判定学案（新
版）新人教版
学习难点：灵活运用角平分线的性质与判定。

学习过程：
1、自主学习ACDEBF
1、角平分线的性质定理：。

2、如图：在△ABC中，∠C=90 AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB
2、合作探究
1、命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的题设是：
结论是：。

2、
【猜想】
命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的题设与结论互换可得：。

3、
【验证】
已知：
求证：。

证明：
【结论】
角平分线的判定：。

【几何语言】
三、知识应用例1 如图，在四边形ABCD中，，EC平分∠BCD 交AB于E，且AE=BE，求证：DE平分∠CDA 例
2、如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝2cm，AB＝9cm，BC＝6cm，求△ABC的面积、
四、发现总结
五、当堂检测
1、在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为
、2、如图，的三边、、的长分别为
20、
30、40，其三条角平分线的交点为，则、3、的平分线上一点，到的距离为，则到的距离为
、4、如图，在直线上求一点，使得点到射线和的距离相等、5、如图，B是∠CAF内一点，D在AC上，E在AF上，且DC=EF，△BCD与△BEF的面积相等、求证：AB平分∠CAF、6、总结反思。

角的平分线的判定【学习目标】1．掌握角的平分线的判定，认识三角形的重心．2．学会运用角平分线的性质和判定解决几何证明、计算与实际问题．【学习重点】角的平分线的判定定理．【学习难点】角的平分线的性质与判定定理的灵活运用．教学行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．教师提示：角的平分线的性质和判定适用的条件：在运用角的平分线的性质和判定时，往往错误地将一条线段当作“距离”，主要原因是不能正确理解角平分线的性质和判定，因此在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件．情景导入生成问题1．点到直线的距离，就是这一点到直线间的垂线段的长度．2．角平分线的点到角的两边的距离相等．3．(2015·衢州中考)如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为( B)A．1 B．2 C．3 D．4自学互研生成能力知识模块一探究角平分线的判定定理(一)自主学习阅读教材P49“思考”～P50，完成下面的内容：问题：把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？这个命题是真命题吗？如何证明？命题：如果一个点在角的内部，且到角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上．(二)合作探究证明上面得出的命题：如图，已知PD⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，PD ＝PE.求证：点P 在∠AOB 的平分线上． 证明：经过点P 作射线OC.∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO ＝∠PEO＝90°.在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OP ＝OP ，PD ＝PE ，∴Rt △PDO ≌Rt △PEO(HL )．∴∠AOC ＝∠BOC.∴OC 是∠AOB 的平分线．∴点P 在∠AOB 的平分线上． 归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．知识模块二 角平分线的判定定理的运用(一)自主学习阅读教材P 50，完成下面的内容：已知：如图，AD 、BE 是△ABC 的两条角平分线，AD 、BE 相交于点P.求证：点P 在∠C 的平分线上．证明：过点P 作PM⊥BC 于点M ，PN ⊥AC 于点N ，PG ⊥AB 于点G.∵PM⊥BC，PN ⊥AC ，PG ⊥AB ，AD 、BE 是△ABC 的两条角平分线，∴PG ＝PN ，PG ＝PM.∴PM＝PN.又∵PM⊥BC，PN ⊥AC ，∴点P 在∠C 的平分线上．证明角平分线的一般步骤：1．根据图形，构造要证的角平分线上的一点到角的两边的距离；2．根据已知条件，证明所构造的两段距离相等；3．根据角平分线的判定定理，即可证得角平分线．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决．小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在展示的时候解决．积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据． 问题：由上题可以说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 答：三角形的三条角平分线交于一点．(二)合作探究如图，P 是∠BAC 内的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，AE ＝AF.求证：(1)PE ＝PF ；(2)点P 在∠BAC 的角平分线上．证明：(1)连接AP 并延长．∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠AEP ＝∠AFP＝90°.在Rt △AEP 和Rt △AFP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AP ，AE ＝AF ， ∴Rt △AEP ≌Rt △AFP(HL )．∴PE ＝PF.(2)∵Rt △AEP ≌Rt △AFP ，∴∠EAP ＝∠FAP.∴AP 是∠BAC 的平分线，即点P 在∠BAC 的角平分线上．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究角平分线的判定定理知识模块二 角平分线的判定定理的运用检测反馈 达成目标1．到三角形三边的距离相等的点是三角形( B )A ．三条边上的高线的交点B ．三个内角平分线的交点C ．三条边上的中线的交点D ．以上结论都不对2．如图，A D⊥OB，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA ＝PB ，则∠1与∠2的大小关系是( A )A．∠1＝∠2 B．∠1>∠2C．∠1<∠2 D．无法确定3．已知△ABC中，AD是角平分线，AB＝5，AC＝3，且S△ADC＝6，则S△ABD＝10．课后反思查漏补缺1．本节课学到了什么知识？还有什么困惑？2．改进方法。

八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《角的平分线的性质》是人教版八年级数学上册第12.3节的内容，这部分内容是学生在学习了角的概念、角的运算、垂线的性质等知识的基础上进行学习的。

角的平分线是数学中的一个重要概念，它在几何学习中有着广泛的应用。

本节内容主要介绍了角的平分线的性质，包括角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的平分线垂直于角的对边等。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对角的概念、角的运算、垂线的性质等有一定的了解。

但是，学生对角的平分线的性质的理解可能还不够深入，需要通过实例来帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.理解角的平分线的性质，能够运用角的平分线解决一些几何问题。

2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.角的平分线的性质的理解和运用。

2.角的平分线与垂线的性质的联系和区别。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式来学习和理解角的平分线的性质。

六. 教学准备1.准备相关的几何图形和实例。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式引导学生回顾角的概念、角的运算、垂线的性质等知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）利用多媒体展示角的平分线的定义和性质，引导学生观察和思考，通过实例来帮助学生理解和掌握角的平分线的性质。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些有关角的平分线的问题，学生通过合作解决问题，巩固对角的平分线的性质的理解和运用。

4.巩固（10分钟）教师给出一些有关角的平分线的问题，学生独立解答，教师进行讲解和指导，帮助学生巩固对角的平分线的性质的理解和运用。

5.拓展（10分钟）教师给出一些有关角的平分线和垂线的性质的问题，学生进行思考和讨论，通过实例来理解角的平分线和垂线的性质的联系和区别。

八年级数学上册 12.3 角平分线的判定 第2课时 优质学案
一、学习目标
1、掌握角的平分线的性质；
2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题．
二、温故知新
1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.
1、 写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等” 的逆命题.
三、自主探究 合作展示
（一）思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是真命题？若是真命题，请给出证明过程。

已知：如图1，
求证：
证明：
结论：
（二）思考：
如图2所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m ，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
（三）应用举例
例： 如图3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ． 求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．
例题反思：
四、双基检测
1.如图4，在ABC △中，90C ∠=， AD 平分CAB ∠，8cm BC BD =，的距
离是 cm ．
2.如图5，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .
(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明理由;
(2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.
3、如图6，所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为AO ⊥BC 。

五、学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

B 图2 图6 图1。