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一个优美不等式的简证加强和推广
马占山;陈金霞
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2014(000)010
【摘要】题目已知a,b,c∈R＋,求证（a2＋ ab＋b2）（b2＋ bc＋c2）（a2＋ac ＋c2）≥（ab＋bc＋ac）3. 文[1][2]用构造三角形中的费尔马点，再利用三角形面积，余弦定理转化为三角形不等式证明．文[3]利用代换和三元均值不等式给出了证明．
【总页数】2页(P21-22)
【作者】马占山;陈金霞
【作者单位】宁夏固原市五原中学 756000;宁夏固原市五原中学 756000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一个优美不等式的简证及推广 [J], 董永春;邓喜成;
2.一个优美不等式的优美简证 [J], 黄兆麟
3.一个优美不等式的简证及推广 [J], 董永春;邓喜成
4.一个优美不等式的简证与再推广 [J], 徐彦辉
5.一个优美不等式的简证和推广 [J], 李雅萍;查正开
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在文[1]中，安振平老师提出了26个优美不等式与广大数学工作者研讨，这26个不等式犹如投入江水中的巨石一般，自见刊之日起，就激发了无数数学爱好者的兴趣，不断有人去探索、证明、加强、推广（见文[2]-[17]），真是魅力不小．纵览之，可对这26个不等式进行粗略地分类．第1、2、3、4个优美不等式为一类：它们是四个形式相似的分式不等式，观察1、2，发现分子相同，仅仅是分母作一轮换，能否将分母继续轮换得到新的不等式？3、4则有明显的几何意义，将根号下的式子与余弦定理的形式联系起来便会豁然开朗；第5、6、7个优美不等式是一类：它们的题设条件完全一致，结论又形似神似，能否找到统一的证法与渊源？这给我们留下了极大的思考空间，探究后对于建立一类不等式的证明方法与技巧大有裨益；第8、9个优美不等式为一类：8、9为两个不等式猜想，是从二元情形到三元情形的试探性推广，观其面目就觉证明不易，值得静下心来思考；第15、21个优美不等式像是一类：都为含有n次根号的代数不等式，但21较15形式上简单得多，证明也是如此吗？第17、19个优美不等式像是一类：均为线性约束下的条件不等式，但其结论却稍有差异，猜测其证法也会不同；第22、23、24、25、26个优美不等式都与三角形有关，算作一类；剩下的第10、11、12、13、14、16、18、20个优美不等式各成一类．1.不要被不等式的表象所迷惑俗话说：“人不可貌相，海水不可斗量”，不等式证明亦是如此．在这26个优美不等式中，有些并不难．2.“失效”的柯西不等式柯西不等式在不等式证明中可谓是一把利器，屡建奇功．然而其在这26个不等式的证明中却屡次“失效”．运用柯西不等式的三次“失败”不得不让我们反思：柯西不等式的“神通”在这里为什么没有显现？这些题目真的不能运用柯西不等式吗？还是我们的运用仅仅停留在了低层次水平上？3.“局部不等式”显神威不等式证明中最难的要属构造证明了，要构造的式子常常被称为“局部不等式”．局部不等式往往要兼顾题设条件和要证明的式子，还要保证其自身在大环境下是成立的．在一些较难的不等式证明中，往往会冒出个局部不等式，至于是如何想到的，很少有人给出个所以然，这在初学者看来，是极不自然的．局部不等式仿若一架中间桥梁，贯通了待证不等式左端与右端之间的道路，促使问题向有利的方向转化，使天堑变通途！4.用函数的眼光看问题函数思想的渗透为不等式证明带来了一缕春风．当然这里不涉及多元函数微分学和条件极值等高等数学的内容，然而不等式证明中的变量又往往不止一个，于是我们需要利用题设条件将多变量转为单变量，将条件不等式问题转化为函数最值问题，从而便于我们运用函数的单调性、对称性、凹凸性等一系列性质去证题．5.活用三角形的内切圆代换三角形中的内切圆代换是不等式证明中十分常用且有效的一种代换．若原不等式是关于三角形三边的不等式，利用该代换，可以解除三边之间需满足的长度关系，转化为三个任意正数的代数不等式；若原不等式是关于三个任意正数的不等式，反用内切圆代换，则或许可将其转化为三角形中的三角不等式，拓宽证题思路．下面给出三角形内切圆代换的一些基本结论，这在不等式证明中是极其有用的．保持代数不等式、几何不等式、三角不等式随时随地的相互转化是一种数学修养，可以为证明提供新的思路，但若转化之后仍不好证，那么转化就失去了其本身的意义．参考文献[1] 安振平．二十六个优美不等式[J]．中学数学教学参考（上旬），2010，1-2．[2] 殷长征．第十个优美不等式的另一证明[J]．中学教研，2011，5．[3] 尚生陈．第十个优美不等式的证明[J]．中学数学教学参考（上旬），2010，9．[4] 袁合才，程宏．三个优美不等式猜想的证明[J]．数学教学通讯，2011，27．[5] 卫福山．几个优美不等式的渊源及证明[J]．中学数学．2012，5．[6] 邹生书．第十四个优美不等式的证明及推广[J]．中学数学研究（南昌），2011，6．[7] 黄传军．对《第十四个优美不等式的证明及推广》一文的一点修正[J]．中学数学研究（南昌），2011，9．[8] 陈宇．对第十四个优美不等式推广的加强[J]．中学数学研究（南昌），2011，10．[9] 陈宇．对第十四个优美不等式下界的探究[J]．中学数学研究（南昌），2012，6．[10] 彭代元．利用Schur不等式证明两个优美不等式[J]．数学教学通讯，2011，21．[11] 卫福山．对一个优美不等式的证明及联想[J]．中国数学教育，2012，5．[12] 王凯成．第19个优美不等式的证明[J]．中学数学教学参考（上旬），2010，6．[13] 王伟宣．第19个优美不等式的另证[J]．中学数学教学参考（上旬），2010，11．[14] 郑日峰．对一个优美不等式的进一步探讨[J]．数学通报，2012，1．[15] 王耀辉．第19个优美不等式的又一另证[J]．中学数学研究，2012，5．[16] 查正开．几个优美不等式的统一证明及推广[J]．高中数学教与学，2012，4．[17] 吴裕东．第8个优美不等式的证明．数学教学通讯[J]，2012，15；．浅谈安振平老师的26个优美不等式(综述)。
一个优美不等式的简证及推广文[1]提出猜想，设c b a ,,是正实数，且2,1≥=++n c b a 的正整数，则有)1)(1(n n b a ++ 3)311()1(nn c +≥+,笔者通过研究发现此猜想是正确的，现给出简证，并对参数、次数做了推广，使得结论更完整。
叙述如下：引理文[2] 非负实数n x x x ⋅⋅⋅,,21满足01>=∑=s xn i i ，若)(x f 在),0(s 是严凸函数，则)0,0,0,(),,(),,,(21⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅n F x x x F ns n s n s n s F n 若为严凹，则不等号反向。
猜想的证明：构造函数,0)1()(,)(,1)(21≥-=''⋅='+=--n n n x n n x f x n x f x x f 知()f x 为凸函数，3)311()1)(1)(1(n n n n c b a +≥+++ 推广1：c b a ,,是正实数，且2,11≥=∑=n an i i 的正整数，则有121(1)(1)(1)(1)n n n n n na a a n ++⋅⋅⋅+≥+ 推广2：cb a ,,是正实数，且2,11≥=∑=n a n i i 的正整数，0>λ，则有n n n n n n n a a a )1()1()1)(1(21λλλλ+≥+⋅⋅⋅++ 证明：构造函数12()1,(),()(1)0n n n f x x f x nxf x n n x λλλ--'''=+==-≥，知()f x 为凸函数，n n n n n n n a a a )1()1()1)(1(21λλλλ+≥+⋅⋅⋅++ 一些常见的具有条件11n i i a ==∑的轮换、对称不等式，每一变量地位相同，笔者[2] [3] [4] [5]前期也进行了一些研究与推广，经过总结，发现变元和为定值，且特征函数的二阶导存在，就可以借助凸函数理论进行简单的机械证明。
