空间向量及其线性运算-人教A版高中数学选修第一册优秀课件

能否用向量a,b表示?怎样表示?
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1

2
1
+
2 1
1

2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1

2
1

2
+ + +
++
1

2
+ 1 =
1

2
=
=
1

使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2]成立.
2 = ,
-1 = 2( + 1),
1
∴k=− 2.
∴
题型三、向量的共线问题
【例 3】 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,CD
的中点,请判断向量 与
是否共线?
解:如图,取AC的中点记为G,连接EG,FG,
1
位置关系？反过来呢？
结论：可以发现，如果两个向量a, b不共线，那么向量p与向量a, b共面的
充要条件是存在唯一的有序实数对（x, y），使p xa yb
做一做：设 e1 , e2是空间两个不共线的向 量，若 AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 ,
AD 3e1 3e2，求证 A, B, C , D四点共面。
向量的加减法以及数乘运算：
OB
（1）a b OA AB ___
(2)a b OA OC _____
CA
PQ
(3)当 0时，a OA ____
MN
当 0时，a OA ______
当 0时，a _____
0
【做一做 1】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中
2
+
).
又
=
而
2
=
, = −
3
所以
=
=
1
(
3
+
=
,
+
2 1
+ × (
3 2
+
+
2
3
=
+

则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a / /b 零向量和任意向量共线
空间向量的加减运算
b
B
C
b
a
Oa
A
a b OA OB OC
a b OA OB BA
空间向量的数乘运算
实数 λ 与空间向量 a 的积是一个向量，记作 a 若 λ > 0，a 与 a 的方向相同 若 λ < 0，a 与 a 的方向相反 若 λ＝0，a 0
l
a
P
O
方向向量
在直线 l 上取非零向量 a ， 把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量
l
a
共面向量
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
c b
a
α
任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？ 任意两个空间向量总是共面的 但三个空间向量既可能共面，也可能不共面
b
a
c
人教2019A版选择性必修 第一册
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
在滑翔过程中，飞行 员会受到来自不同方
向、大小各异的力
例如 绳索的拉力 重力、风力等
这些力不在 同一平面内
能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？
空间向量
空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量 空间向量用有向线段表示，或用字母 a , b , c , … 表示
p
bp .
αO a
一、空间向量的有关概念
①②③④
A D
C
二、空间向量的线性运算
AB1 AD1 AC1 0
AD AF EF
CA1 AM

0
单位向量
模为__的向量
1
―→
|a|＝1 或| AB |＝1
相反
相等
与向量 a 长度______而方向______的
相反向量
－a
向量称为 a 的相反向量
相等向量
相同
相等
方向______且模______的向量
共线向量或平 表示若干空间向量的有向线段所在的
行向量
直线互相平行或重合
―→ ―→
a＝b 或 AB ＝ CD
的两个向量．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量平行．
(
)
―→
―→
(2)向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等．
(
)
(3)空间向量 a 用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．
(
答案：(1)√
(2)√
(3)√
)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
个;单位向量有
个;模为√5的向量有
.
解析:(1)①错误.两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与起点和终
点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.
③正确.由正方体的定义知, 与1 1 模相等,方向相同,故 与1 1 是相
等向量.
④错误.由 = ,知| |=| |,且向量 与同向,但点 A 与 C,点 B 与
所以 + 1 =
1

2
1
+
2 1
1

2
+
1
=-2a+

• 2.直观想象：向量运算的几何意义；
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．

三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
发现： AB AD AA' AB AA' AD AC '
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平
行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的
向量．
发现：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
（三）共线向量
1.定义(类比平面向量)
及推论的应用．(重点、难点)
逻辑推理的核心素养.
二.情景引入
这是一个做滑翔伞运动
的场景.可以想象,在滑翔过
程中,飞行员会受到来自不同
方向、大小各异的力.显然这
些力不在同一个平面内.这就
是我们今天要学习的空间向
量.
三.新知初探
(一)空间向量的有关概念
1.定义：在空间，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量.
2.长度或模：空间向量的 大小.
3.表示方法：
①字母表示法：用小写黑体字母, , ,
表示；模为||, ||, ||，
②几何表示法：用 有向线段 表示；若向量的起点是 A ,
→
→
|AB
| .
终点是 B ,也可记作： AB ，其模记为
终点
A
B
起点 A
C
, ,
O
B
4.几个特殊的向量概念：
A
当 0 ， a OA MN
当 0或 a 0 ， a 0
M
λa
a
O
λa
λ >0
P
λ <0
N
运算律：对于空间中任意向量a和向量b,以及实数λ和μ，
①结合律：（ a）=(）a，
②分配律：( + )a a + a, (a b) a + b,

高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
问题1
空间向量是平面向量的推广。
我们已经学过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给
出空间向量的概念和线性表示吗？
高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
新知讲解:
一 空间向量的概念、表示
1.空间向量的概念：在空间，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量.
2.空间向量的长度或模：向量的 大小 .
→ →
4.向量AB与AC是共线向量，则 A，B，C 三点必在一条直线上.( √ )
高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
四 空间向量的运算律
1.运算律
交换律：＋＝＋；
结合律：＋(＋)＝(＋)＋，λ(μ)＝(λμ)；
分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ.
高中数学
而不是一个数.
（2）混淆向量共线与线段共线、点共线.
高中数学
选择性必修第一册
RJ·A
典例剖析
例1
(多选题)下列说法中正确的是（
）
A.若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C.空间向量的加法满足结合律
D.任一向量与它的相反向量不相等
解析
||＝||，说明与模相等，但方向不确定；对于的相反向量＝－，故||＝||，从而B正确；
→ →
→
→
→
→
→
→
→ →
共面. 由OP＝OA＋xAB＋yAC，可得AP＝xAB＋yAC，所以向量AP与向量AB，AC共面，
故点 P 与点 A，B，C 共面.
高中数学
选择性必修第一册

O
B
C
O
B
C
向量加法结合律在空间中仍成立
A
A
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
向量加法运算的推广
*
例2
练习：
*
课堂小结（1分钟）
1.空间向量的相关定义：2.空间向量的线性运算法则及运算律：
三角形法则和平行四边形法则
当堂检测（12分钟）
C
问题3 平面向量的加法、减法运算法则是什么？
向量加法的三角形法则
减向量终点指向被减向量终点
导学问题1（2分钟）
阅读课本p2：类比平面向量的定义，你能得到空间向量的相关定义吗？
大小
方向
大小
模
有向线段
点拨运用1（4分钟）
相等
相反
相同
相等
互相平行或重合
共线向量
平行向量
*
练习：（多选）下列关于空间向量概念的命题中，正确的是
BC
导学问题2（5分钟）
阅读课本p3并思考：1.空间向量的线性运算及其法则与平面向量有区分吗？为什么？2.如何借助平行六面体理解空间向量的加法运算的运算律？
加法:三角形法则或平行四边形法则
减法:三角形法则
加法结合律
成立吗？
点拨运用2（18分钟）
1.1.1空间向量及其线性运算 第一课时（加减数乘）
学习目标（1分钟）
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。2.掌握空间向量的加减数乘运算。
*
问题1 平面向量是什么？我们是如何表示平面向量的？
平面中既有大小又有方向的量
复习回顾（2分钟）

ab
c
一.空间向量的概念
相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量， 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过 平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不 共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空问向量都可以平移到同一个 平面内，成为同一平面内的两个向量。
一.空间向量的概念
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量， 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示， 有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B， 则a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
A
a B A
C
O
B
一.空间向量的概念
特殊向量
A 零向量：规定长度为0的向量叫零向量，
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
An A2
A3
A4
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终 点的向量．
二.空间向量的线性运算
在空间中，任意两个向量都可以平 移到同一个平面内，所以空间向量的 加法和减法运算与平面向量相同.
（2）空间向量的减法运算： AB OB OA
注：起点相同，差向量为减向量终点指向被减向量的终点
二.空间向量的线性运算
数乘运算
实数与向量a的积是一个向量，这种 运算叫向量的数乘 . 记作 a，它的长度和方向规定 如下： (1) a a ; (2)当 0时， a的方向与a的方向相同；
当 0时， a的方向与a的方向相反； 当 0时， a 0.
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.

表达式推得EH,EF,EG 共面的表达式.
例 1如图，已知oABCD, 过平面AC外 一 点O, 作射线
OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H ,
使
求证：E,F,G ,H 四点共面。
证明：因为
OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.
因为ABCD是口，所以AC=AB+AD.
=k(AB+AD)=k(OB-OA+0D-0A)
=OF-OE+OH-OE=EF+EH
由向量共面可知，EH,EF,EG 共面， 又EH,EF,EG 过同一点E, 从而E,F,G,H 四点共面.
6.如图，已知E,F,G,H F,G,H 四点共面
分别为四面体ABCD 的 棱AB,BC,CD,DA
的中点，求证：E,
空间向量与立体几何
1.1空间向量及其运算
本图展示的是一个做滑翔伞运动的场景。可以想象，在滑翔 过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索 的拉力、风力、重力等， 显 熊 ，这些力不全凤一个平面内.联想 用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向 量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢?下面我门类比平面向量 研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量
a,b(b≠0),a11b 的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
如图，0是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a, 则对于直线 l 上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数λ,使得OP=λa.
我们把与向量a平行的非零向量称为直线 a
三、空间向量的线性运算 (1)OB=0A+AB=a+b

0 AC
9.空间向量共面的充要条件如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面→存在唯一的有序实数对(x,y), 使p=xa+yb
A 、B、P 三点共线< →AP= tA一 OP=OA+tABOP 十(x+J=1)
P与A,B,C共面一 AP=xAB+yAC一 OP=OA+xAB+yAC
λ(@+b)=Aa+Ab
a 十h 十C
三、例题精析[例1]已知平行六面体AC’, 求证：AC+AB'+AD'=2ACD
B'B
A
6.向量共线定理对任意两个空间向量a,b(b≠0),a//b一存在实数入，使a=λb。
7.直线的方向向量O是直线l 上一点，在直线上取非零向量a, 则对于直线上任意一点P, 由数乘向量的定义与向量 共线的充要条件知，存在实数λ,使OP=λa。
(x+J=1) x+y+z=1)
A 、B 、P三点共线
OP=OA+tAB
例 2J 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点 0作射线OA 、OB 、OC 、OD,在四条射线上分别取点E、F、
求证：四点E、F、G、H 共面
G、H, 并 平行的非零向量称为直线/的方向向量，I 上任意一点都可以由直线1上的一点和它 的方向向量表示，即直线可由其上一点和它的方
向向量确定。
8.共面向量如果表示向量a的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线1,如果 直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α。平行于同一个平面的向量，叫共面向量。
(2)空间向量的数乘运算：当λ>0时，当 A<0 时 ，当λ=0时，A7=0

C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：

（2）空间向量的数乘
a
λa
(λ>0)
0时， a 0
λa
(λ<0)
B
例：空间一个平移就是一个向量．
a
a
D’
D
A’
A
C’
C
B
B’
（3）推广
①首尾相接的若干向量之和，
等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
OF -OE OH -OE
EF EH .
∴ E, F , G, H四点共面.
【解决几何问题的常用方法（三部曲）】
• 选择恰当的向量表示问题中的几何元素
• 通过向量运算得出几何元素的关系
• 把运算结果“翻译”成相应的几何意义
练习巩固
练习4（课本P5练习T4）
（1）AB BC CD
A
• 与向量a平行的非零向量成为直线l的方向向量
O
• 直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量确定，
即直线可以由其上一点和它的方向向量确定
若OP xOA yOB( x y 1)，---共线向量
则A、B、P三点共线。
定理的推论
三、共面向量及其定理
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
注意：空间任意两个
向量是共面的，但空
间任意三个向量就不
一定共面的了。
2.共面向量定理: 如果两个向量 a 、b 不共线,则
向量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的
有序实数对 ( x , y) 使 p xa yb .
b
C
A a B

空间向量及其线性运算
一、空间向量的有关概念
一、空间向量的有关概念
情景引入
这是一个做滑翔伞运动 的场景.可以想象,在滑翔过 程中,飞行员会受到来自不同 方向、大小各异的力.
一、空间向量的有关概念
已知F1=10N, F2=15N，F3=15N，这三个力两两之间的夹角都为90度，它们的协力的
大小为多少N？
可以发现,空间两个向量a , b不共线, 向量 p与向量a, b共面 ⇔存在唯一的有序实数对( x, y), 使 p xa yb.
共面定理
p
空间两个向量a, b不共线, 那么向量 p与向量a, b共面 存在唯一的有序实数对( x, y), 使 p xa yb.
B
C
b
a
O
A
三、共线定理、共面定理及其应用
解（1）由图可知，O→Q＝P→Q－P→O＝P→Q－12(P→A＋P→C)＝P→Q－12P→A－12P→C， ∴x＝y＝－12.
（2）∵P→A＋P→C＝2P→O，∴P→A＝2P→O－P→C. ∵P→C＋P→D＝2P→Q，
∴P→C＝2P→Q－P→D，∴P→A＝2P→O－(2P→Q－P→D)＝2P→O－2P→Q＋P→D.
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： A1A2 + A2A3 + A3A4 + + An-1An = A1An
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
A1A2 +A2A3 +A3A4 + +An-1An +AnA1 = 0 ⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
例4 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C 1 D1中，设 AA1 a，BC b，C1D1 c, M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

D1
C1
A1
B1
M
D C
A
B
共线向量与共面向量
a
b
回顾
B
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量.
回顾
平面向量数乘的定义
a 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ， a
它的长度和方向规定如下：
（1） | a || || a |;
零向量
模为0的向量
模为0的向量
单位向量
模为1的向量
模为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量 方向相反且模相等的向量
三、探究新知
3．提出问题：平面向量可以在平面内平移，那么空间 向量能否在空间中平移？
任意两个空间向量，我们总可以把它们平移到 同一个平面内
a // b(b 0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l为经过已知点A且平行已知非零向 量的直线，若点P是直线l上任意一点，则
由 l //知a 存在唯一的t, 满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
l
AP OP OA,
所以
OP
OA
ta
即
OP OA ta
①
aP
B
O
构成一个半径为1的球
三、理解新知 2 ． 在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 分 别 标 出
AB AD AA1 ， AB AA1 AD 表示的向量。能否
得出三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关 系？