第二节 数列的极限一、数列极限的定义如果按照某一法则，对每个n N +∈，对应着一个确定的实数n x ，这些实数n x 按照下标n 从小到大排列得到的一个系列12,,,,n x x x 就叫做数列，记为{}.n x数列中的每一个数叫做数列的项，第n 项n x 叫做数列的一般项（或通项）． 数列{}n x 可以看作自变量为正整数n 的函数(),.n x f n n N +=∈当自变量n 依次取一切正整数1,2,3, 时，对应的函数值就排成数列{}.n x一个非常重要的问题是：当n 无限增大时（即n →∞时），对应的()n x f n =是否无限接近某个确定的数值？对于数列()11n n n -⎧⎫+-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，其通项()()111111.n n n n x nn--+-==+- ()()01123451111111111,111,1,1,1,1122345x x x x x =+-=+=+-=-=+=-=+ 678910111111,1,1,1,1,678910x x x x x =-=+=-=+=-1112131411111,1,1,1,11121314x x x x =+=-=+=- 易知，当n 无限增大时，n x 的值无限接近于1.也即当n 无限增大时，()11111n n x n n--=-=的值无限接近零． 给定1100，要使 11100n x -<， 只需11100n <，即100n >．故当100n >时，11.100n x -<给定11000，要使 111000n x -<， 只需111000n <，即1000.n >故当1000n >时，11.1000n x -<一般地，任意给定一个正数ε，存在一个正整数N ，使得当n N >时，不等式 1n x ε-<都成立．事实上，要使11n x n ε-=<，只需1n ε>．故取正整数1max ,1N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，n ε1⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，1n ε>，1.n x ε-<注：设m 为整数，x 为实数，且[]m x >，则.m x >这是因为m 为整数，且[]m x >，所以[]111.m x x x ≥+>-+=一般地，有如下数列极限的定义．定义 设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时，有n x a ε-<，那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a ，记为lim ,n n x a →∞=或().n x a n →→∞例1 证明数列()11n n n -⎧⎫+-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的极限是1.证 上面已经证过，在此从略可 例2 已知()()211n n x n -=+，证明数列{}n x 的极限是0.证 ()()()222111011n n x n n n --==<++ 0ε∀>，要使0n x ε-<，只需21n ε<，即n >取正整数max ,1N ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >时，有0.n x ε-< 故lim 0.n n x →∞=例3 设1q <，证明等比数列 211,,,,,n q q q -的极限是0.证 0ε∀>，要使1110n n n q q qε----==<，只需1ln ln ,n qε-<即()ln 1ln ln ,1.ln n q n qεε-<>+取正整数ln max 1,1ln N q ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，有 0n x ε-<， 故1lim 0.n n q -→∞=二、收敛数列的性质定理1 如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一． 证 假设同时有n x a →及n x b →，且a b <．取2b aε-=．因为lim n n x a →∞=，故存在正整数1N ，使得当1n N >时，.2n b ax a --<（2-2） 因为lim n n x b →∞=，所以存在正整数2N ，使得当2n N >时，.2n b ax b --<（2-3） 取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时（2-2）和（2-3）同时成立．故当n N >时，由（2-2）得.2n a b x +<当n N >时，由（2-3）得2n a bx +>．矛盾． 例4 证明数列()()111,2,n n x n +=-= 是分散的．证 如果这数列是收敛的，根据定理1，它有唯一的极限．设极限为a ，即lim .n n x a →∞=按数列极限定义，对于12ε=，∃正整数N ，当n N >时，11111,,,.22222n n n x a a xa x a a ⎛⎫-<-<<+∈-+ ⎪⎝⎭但这是不可能的，因为当n N >且n 为奇数时，1n x =-，当n N >且n 为偶数时1n x =，而1和1-不可能同时属于长度为1的开区间11,22a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内． 对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得,1,2,n x M n ≤= ，则称数列{}n x 有界．否则称数列{}n x 无界． 数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭有界，数列{}2n 无界．定理2（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 有界．证 因为数列{}n x 收敛，设lim n n x a →∞=．根据数列数列极限定义，对于1ε=，存在正整数N ，当n N >时，1n x a -<． 于是，当n N >时，()1.n n n x x a a x a a a =-+≤-+<+ 取{}12max ,,,,1N M x x x a =+ ，则,.n x M n N +≤∈ 故数列{}n x 有界．定理3（收敛数列的保号性）如果lim n n x a →∞=，且0a >（或0a <），那么存在正整数N ，当n N >时，0n x >（或0n x <）．证 就0a >的情形证明．由数列极限定义，对02aε=>，∃正整数N ，当n N >时， ,2n ax a -<于是， 0.22n a ax a >-=> 推论 如果数列{}n x 从某项起0n x ≥（或0n x ≤），且lim n n x a →∞=，那么0a ≥（或0a ≤）．证 只证明其中一种情形，另一种情形类似可证．如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥，则存在正整数1N ，当1n N >时，0n x ≥．假设lim 0n n x a →∞=<，则由定理3得，∃正整数2N ，当2n N >时，0.n x <取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时，1n N >，2n N >，由1n N >得0n x ≥，但由2n N >得0n x <，矛盾．习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势，写出它们的极限：（1）12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；解 收敛，1lim0.2n n →∞= （3）212n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭；解 收敛，lim n →∞212 2.n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（5）(){}1nn -；解 发散．（7）1n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；解 发散．2.（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？ （2）无界数列是否一定发散？ （3）有界数列是否一定收敛？ 解 （1）必要条件． （2）一定发散．（3）未必一定收敛，如数列(){}1n-有界，但它是发散的．5.根据数列极限的定义证明：（1）21lim0n n →∞=； 证 0ε∀>，要使22110n n ε-=<，只需n >．取正整数max ,1N⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >时，210n ε-<， 故21lim0.n n →∞= （2）313lim 212n n n →∞+=+；证 因为()31311.2122214n n n n +-=<++ 0ε∀>，当14nε<时，313.212n n ε+-<+ 要使14n ε<，只需1.4n ε> 取正整数1max ,14N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，313.212n n ε+-<+故313lim .212n n n →∞+=+（3） 1.n →∞= 证 当0a =时，所给的数列为常数列，显然有此结论． 以下设0.a ≠因为22212a n -=<．0ε∀>，当222a n ε<时，1ε<．要使222a n ε<，只需n >．取正整数max ,1N ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >1 1.-<故 1.n →∞=（4）lim0.999=1.n n →∞个证 0ε∀>，要使10.999110nn ε-=< 个，只需1lg n ε>． 取正整数1max lg ,1N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，0.9991n ε-< 个．故lim 0.999=1.n n →∞个7.设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=，证明：lim 0.n n n x y →∞=证 因数列{}n x 有界，故0M ∃>，使得对一切n N +∈有.n x M ≤0ε∀>，由于lim n n y →∞=0，故对1Mεε=，N N +∃∈，当n N >时，1n y Mεε<=，从而0,n n n n x y x y M Mεε-=<⋅=所以lim 0.n n n x y →∞=。
