数学必修2第四章知识点-总结

第1章空间几何体11 。

1柱、锥、台、球的结构特征1. 2空间几何体的三视图和直观图11 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下22 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等33直观图:斜二测画法44斜二测画法的步骤：（1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；(2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）。

画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：(1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4)成图1。

3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5 球的表面积24R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ⨯=底2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（4球体的体积 334R V π=第二章 直线与平面的位置关系2。

1空间点、直线、平面之间的位置关系2。

1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示(1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图) （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等. 3 三个公理：(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为222r rl S ππ+= D CBAαA ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用:判断直线是否在平面内（2）公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

必修(bìxiū)二第一章空间(kōngjiān)几何体知识点：1、空间(kōngjiān)几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥(yuánzhuī)、圆台、球。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些(zhèxiē)面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、长方体的对角线长；正方体的对角线长3、球的体积公式：，球的表面积公式：4、柱体，锥体，锥体截面积比：5、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；⑵圆锥(yuánzhuī)侧面积：典型(diǎnxíng)例题：★例1：下列命题(mìng tí)正确的是( )Ａ.棱柱(léngzhù)的底面一定是平行四边形Ｂ.棱锥(léngzhuī)的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A 倍B 倍C 2倍D 倍★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（）Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱正视侧视俯视★★例4：一个(yīɡè)体积为的正方体的顶点(dǐngdiǎn)都在球面上，则球的表面积是A．B. C． D．二、填空题★例1：若圆锥(yuánzhuī)的表面积为平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个(zhè ge)圆锥的底面的直径为_______________．★例2：球的半径(bànjìng)扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点：1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

4.1.1圆的标准方程4. 1.2圆的一般方程+ + 2yDxEyF21、圆的一般方程：02、圆的一般方程的特点：（1） 0x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy 这样的二次项.（2） 圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F,因之只要求岀这三个系数，圆的方程就确定了. （3） 、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4・2・1圆与圆的位置关系=++++ =____1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.DE> 2y 2DxEyF =设直线1： axbycO.iC x0,圆的半径为「圆心）< （，22到直线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当dr 时，直线1与閱C 相禺；（2）当dr 时，直线1与侧C 相切； （3）当dr 时，直线1与閱C 相父； 4.2.2圆与圆祜位曹关系=*两圆的位置关系.丄一 V V +设两圆的连心线长为 1 •则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:屮的标准方ZZZ(x 羽(ybfr2、点M （Xo, yo ）与圜 圆心为A （①b ）,半径为r 的圆的方程一 z 比一 =（xa ） （yb ） r 的关(1)_ 2厶 (xa) (yb) > 00zz (xa) (yb)< 002 _ +r •点在圆外（2）■ 殆 （嚅（心2 r •点在恻上= —V —（1）当1讣2时，圆C1与圆C2相离；（2）当lrr时，圆C1与圆C2外切；（3）当时，圆Ci与圆C2相交;(4)当1 时，圆G与圆C2内切；(5)当1 :rrl时，圆Ci与圆S内含;4. 2. 3直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:第一步：建立适当的平而直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题;第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.4. 3・1空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z). x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标2、有序实数组(x, y, z).对应着空间直角坐标系屮的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x, y, z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记M(x, y, z). x叫做点M的横坐标.y叫做点M的纵坐标.z叫同步检测第四章圆与方程一、选择题，1.若圆C的圆心坐标为(2, —3),且圆C经过点M (5-7),则圆C的半径为()・厂A. 5B. 5C. 25D. 102.过点A(l, -1), B(-l, 1)且圆心在直线x+ y— 2= 0上的圆的方程是()•A . (x— 3) ~+ D~= 4B・(x+ 3)"+ (y~ 1)"= 4z zC・(x— 1) + (y—=4D・(x+ 1)1) 2+ (y +1)zA. (x_ 3) ~+(y+ 4)_= 16B. (x+ 3)■+ (y — 4)2= 16A. 0 或 2B. 2C. 2D.无解5圆(x — 1) + &+ 2)~= 20在x 轴上截得的弦长是()・ A. 8B. 6C. 62D. 432+y 2+ 2x+ 2y-2 = 0 与 C 2+ y 2- 4x- 2y + 1= 0 的位置关系为()・6. 两个圆Ci ：x 2： xA ・内切相交C ・外切D ・相离2+y 2-2x-5 = 0与圆x 2+y 2+2x-4y-4 =0的交点为A, B,则线段AB 的垂直 7•圆x平分线的方程是()・A. x+y —l=0B ・ 2x —y+l=0 C. x — 2y+ l = 0D. x —y+ 1 = 02+ y 2 —2x= 0和圆x 2+ y 2 + 4y= 0的公切线有且仅有().8•圆xA. 4条B ・3条C ・2条D. 1条9. 在空间直角坐标系中，已知点M(a, b, c),有下列叙述: 点M 关于x 轴对称点的坐标是Mi (a, —b, c):点M 关于yoz 平面对称的点的坐标是M 2 (a, —b, —c)； 点M 关于y 轴对称的点的坐标是M 3 (a, —b, c)； 点M 关于原点对称的点的坐标是Mi(—a, —b, —c)・ 其中正确的叙述的个数是()・10. 空间直角坐标系中，点A(—3, 4, 0)与点B(2, -1, 6)的距离是()・ A. 243B. 221C. 9D. 86 二、填空题+4)切++ (y 9D -3) + (Xzz+ (y~ = 194)ID. 02 + y2—2x—2y+ 1 = 0上的动点Q到直线3x+4y+8 = 0跖离的最小值为.11.EJx12.圆心在直线y=x上且与x轴相切于点(1, 0)的圆的方程为. -13・以点C( — 2, 3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是.22 、乙2+ y=l和(x+4) + (y— a) =25相切，试确定常数a的值.14.两圆x15.圆心为C(3, 一5),并且与直线x—7y+2= 0相切的圆的方程为.H.y2®4x-5 = 0的弦AB的中点射3,1),贝揍B的方程是.三、解答题17.求圆心在原点，且圆周彼篡+4y + 15= 0分成1 ： 2两部分的圆的方程.18.求过原点，在x轴，y轴上截距分别a, b的圆的方程QbHO).19.求经A(4, 2), B(-l, 3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之起2的圆的方20.求经过点(8, 3),并且和直线x=6与x=10都相切的圆的方程.第四章圆与方程参考答案-、选择题1. B圆心C与点M的距离即为圆的半径，(2^)2 + (-3+7)2=5,2. C解析一：由圆心在直线x + y—2= 0上可以得到A, C满足条件，再把A点坐标(1, 一1)代入圆方程.A不满足条件.・••选C.解析二：设圆心C的坐标为(a, b),半径为「因为圆心C在直线x+y—2=0上，・・・b = 2_a・由CA|= CB，得(a-1)"+(b+ 2= (a+ "+ (b—",解得a=l, b=l.1)1) 1)因此所求圆的方程为(x— l)2+ (y- 1)2=4.解析：•・•与x轴相切,.・.r=4・又圆心（一3, 4）, ・・・圆方程迪+3）2+（y-4）2=16.4. B解析：Vx + y+m= 0 与x2+y2= m 相切，厂・•・（0, 0）到直线距离等if2ni= 2.5. A解析：令y=0,・・・(x—2 = 16・1).•.x— 1= ±4,・・Xi=5, x?= — 3.・•・弦长=|5—(一3) | =8.6. B解析后两个圆的方程G： (x+1) 2+(y+l)2=4, C2： (x-2)2+ (y-l)2= 4可求得圆心距d=13G (0, 4) , ri=r2=2,且ri —r2< d<ri+r2故两圆相交，跣7. A解析：对已知圆的方程x'+y‘一2x —5=0, x'+y'+2x—4y —4=0,经配方，得(x—1) 2+ y2— 6, (x4-1)2+ (y—2尸=9・圆心分别肉(1, 0), C2(-l, 2).直线CG的方程妁by — 1 = 0.8. C ____解析：将两圆方程分别配方得(x-1) 2+V= 1和x24 (y+2)2=4,两圆圆6分别肉(1, 0), 02(0, —2), ri=l, r2 = 2, 0i02 = 1 ~5\ 又1 =「一「<5V11 + 匕=3, '+2-2+2-故两圆相交，所以有两条公切线，磁C.9. C解：①②③错，④对.选10. D解析：利用空间两点间的距离公式.二、填空题11. 2.解析：圆心到直线的距离d= 呼+ I =3'5・•・动点Q到直线距离的最小值为d-r= 3- 1 = 2.12.(x- 2+ (y-D2=i.1)解析：画图后可以看出，圆心在(1, 1),半径为1・故所求圆的方程为：(x—1)，+(y—i)2=i・13.(x+ ?+(y_3)2 = 4・2)解析：因为圆心为(一2, 3),且圆与y轴相切，所以圆的半径为2・故所求圆的方程为(x+ 2+ (y-3)V4.2)乂14.0 或±25. J 丁解析：当两圆相外切时，由Io山=「+.知4?=6,即a=±25- 2+2________ +r~~当两圆相内切时，由|OiO2| =ri—r2 (ri>r2)ftJ24a= 4,即a= 0.・・・a的值为0或±25.Z Z1?・(X—+ (y+ =32.3)5)解析：圆的半径即为圆心到直线x- 7y+ 2= 0的距离;16.x+ y— 4= 0.解析：圆X2+y2- 4x-5= 0的圆心为C(2, 0) , P(3, 1)为弦AB的中点，所以直线AB与直线CP垂直，即kAB- kcP=-l,解得kAB=-l,又直线AB过P⑶1),程为x+ y—4=0.三、解答题22+ y=36.17.x 解析：设直线与圆交于A, B两点，则ZA0B=120°,设A 2R所求圆方程为：x2+y2=r2, r15, °则圆心到直线距离为 2 5所"95X2+y2=r2, 5 2 r则圆心到直-B线距离为4以r=6,所求圆方程为x2+y2 = 36.2+厂=36.第17题(第17题) C C「+ y-— ax— by= 0.18.x解析：・・•圆过原点，・・・设圆方程为x2+y2 + Dx+Ey=0.：•圆过(a, 0)和(0, b),a2+Da=0, b2+bE=0.又Va^O, bHO,・°・ D = —E ——b.故所求圆方程为x' + y‘一ax—by= 0・2+y2-2x-12=0.19.x22 解杯设所求圆的方程为x+ y+Dx + Ey+F=O.TA, B两点在圆上，代入方程整理得：D-3E-F= 10 ①4D+2E+F = -20 ②设纵截距为4, b2,横截距为比.在圆的方程中，令x=0得y2+Ey+F= 0, /. bi+ b2 = —E；令y = 0 得xl+a2=—D.2+D X+F=0, A a由已知有一D_E=2③①②③联立方程组得D = -2, E=0, F=-12・故所求圆的方程为x2+ y2-2x-12=0.20.解：设所求圆的方程为(x-a) +®_ =rb) •106根据题意：r = = 2,2圆心的横坐标a= 6+ 2 = 8,所以圆的方程可化为：(x-8) 2+ (y-b)2=4.又因为圆过(8, 3)点，所以(8-8) 2+(3_b)2=4,解得b=5或b=l,所求圆的方程为(x-8) 2+ (y—5尸=4 或(X —8)24- (y- 1)2=4.。

4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。