高考数学第十章算法初步、复数、推理与证明第四节直接证明与间接证明教案文苏教版

2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明 教案【教学重点】：了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。

【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。

【教学过程设计】：ABC 中，A ，B ，C 成ABC 为等边三明：由A ，B ，C ∵A ，B ，C ABC 的内∴A+B+C= 3B π= ABC 为等1. P89.1 充： :xy>0,求证【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（ ）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法 答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。

2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。

证明：ααααααα2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+而20πα<<，故02sin ,20><<απα∴12sin 211cos sin 244<-=+ααα 求证式成立。

3. 求证：5321232log 19log 19log 19++<证明：因为1log log a b b a=，所以左边= 23191919191919log 52log 33log 2log 5log 3log 2++=++=23191919log (532)log 360log 3612⨯⨯=<=所以5321232log 19log 19log 19++<成立4．求证：如果lg lg ,0,lg22a b a ba b ++>≥则证明：当,0,2a ba b +>≥有上式两端取对数得：lg 2a b+≥从而lg()lg lg lg 222a b ab a b ++≥=所以，命题得证。

(a1－2a2)＋(a2－2a3)＋(a3－2a4)＋…＋(a2 017－2a1)＝k×m＋
(2 017－k)×(－m)＝(2k－2 017)m.
②
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由①②知：(2k－2 017)m＝0.③ 而 2k－2 017 为奇数，不可能为 0，所以 m＝0. 于是知：a1＝2a2，a2＝2a3，a3＝2a4，…，a2 016＝2a2 017，a2 017 ＝2a1.所以 a1＝22 017·a1，即得 a1＝0. 从而 a1＝a2＝a3＝…＝a2 017＝0.命题得证．
(a2 017－2a1)＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a2 017)＝0.
①
另一方面，令|a1－2a2|＝|a2－2a3|＝|a3－2a4|＝…＝|a2 017－
2a1|＝m，则 a1－2a2，a2－2a3，a3－2a4，…，a2 017－2a1 中 每个数或为 m 或为－m.
设其中有 k 个 m，(2 017－k)个－m，则
(2)集合 M 中的元素 f(x)具有下面的性质：若 f(x)的定义 域为 D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在 x0∈(m，n)，使得等 式 f(n)－f(m)＝(n－m)f′(x0)成立．试用这一性质证明：方程 f(x)－x＝0 有且只有一个实数根．
第三十页，共39页。
[解] (1)①当 x＝0 时，f(0)＝0，所以方程 f(x)－x＝0 有 实数根为 0；
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
证明否定性命题 [例 1] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{an}中任意三项不可能按原来顺序成等差数列．
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[解] (1)当 n＝1 时，a1＋S1＝2a1＝2，则 a1＝1. 又 an＋Sn＝2， 所以 an＋1＋Sn＋1＝2， 两式相减得 an＋1＝12an， 所以{an}是首项为 1，公比为12的等比数列， 所以 an＝2n1－1.

直接证明与间接证明--综合法与分析法教学目标：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

教学重点：
了解分析法和综合法的思考过程、特点
教学过程
一、复习：证明的方法
二、引入新课
1、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

2、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
证明：(用分析法思路书写)
要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，
只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
即需证a2-ab+b2＞ab成立。

(∵a+b＞0)
只需证a2-2ab+b2＞0成立，
即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0
亦即a2-ab+b2＞ab
由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证
小结：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.。

１．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．（１）综合法：从已知的条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．（２）分析法：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．（３）综合法与分析法的推证过程如下：综合法——错误!⇒…⇒…⇒错误!；分析法——错误!⇐…⇐…⇐错误!.２．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．[小题体验]１．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）综合法是直接证明，分析法是间接证明．（）（２）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．（）（３）用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a≤b”．（）（４）反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）×２．设a＝lg ２＋lg ５，b＝e x（x＜0），则a与b的大小关系为________．答案：a＞b３．下列条件：１ab＞0，２ab＜0，３a＞0，b＞0，４a＜0，b＜0，其中能使错误!＋错误!≥２成立的条件的个数是________．解析：要使错误!＋错误!≥２成立，则错误!＞0，即a与b同号，故１３４均能使错误!＋错误!≥２成立．答案：３１．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．２．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．[小题纠偏]１．错误!—２错误!与错误!—错误!的大小关系是________．解析：假设错误!—２错误!＞错误!—错误!，由分析法可得，要证错误!—２错误!＞错误!—错误!，只需证错误!＋错误!＞错误!＋２错误!，即证１３＋２错误!＞１３＋４错误!，即错误!＞２错误!.因为４２＞４0，所以错误!—２错误!＞错误!—错误!成立．答案：错误!—２错误!＞错误!—错误!答案：都不大于１错误!错误![题组练透]１．（２0１9·南通模拟）已知m＞0，a，b∈R，求证：错误!２≤错误!.证明：∵m＞0，∴１＋m＞0，∴要证错误!２≤错误!，即证（a＋mb）２≤（１＋m）（a２＋mb２），即证m（a２—２ab＋b２）≥0，即证（a—b）２≥0，而（a—b）２≥0显然成立，故错误!２≤错误!.２．（易错题）已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：错误!＋错误!＝错误!.证明：要证错误!＋错误!＝错误!，即证错误!＋错误!＝３，也就是错误!＋错误!＝１，只需证c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），需证c２＋a２＝ac＋b２，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b２＝c２＋a２—２ac cos 60°，即b２＝c２＋a２—ac，故c２＋a２＝ac＋b２成立．于是原等式成立．[谨记通法]１．利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证．２．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．错误!错误![典例引领]（２0１9·徐州检测）设a，b是非负实数，求证：a３＋b３≥错误!（a２＋b２）．证明：因为a３＋b３—错误!（a２＋b２）＝a２错误!（错误!—错误!）＋b２错误!·（错误!—错误!）＝（错误!—错误!）[（错误!）５—（错误!）５]，当a≥b时，错误!≥错误!，从而（错误!）５≥（错误!）５，得（错误!—错误!）[（错误!）５—（错误!）５]≥0；当a＜b时，错误!＜错误!，从而（错误!）５＜（错误!）５，得（错误!—错误!）[（错误!）５—（错误!）５]＞0．所以a３＋b３≥错误!（a２＋b２）．[由题悟法]综合法证明问题的思路（１）分析条件选择方向分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法（２）转化条件组织过程把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化（３）适当调整回顾反思回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取[即时应用]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A sin B＋sin B sin C＋cos ２B＝１．（１）求证：a，b，c成等差数列．（２）若C＝错误!，求证５a＝３b.证明：（１）由已知得sin A sin B＋sin B sin C＝２sin２B，因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝２sin B，由正弦定理，有a＋c＝２b，即a，b，c成等差数列．（２）由C＝错误!，c＝２b—a及余弦定理得（２b—a）２＝a２＋b２＋ab，即有５ab—３b２＝0，所以错误!＝错误!，即５a＝３b.错误!错误![典例引领]设a＞0，b＞0，且a＋b＝错误!＋错误!.证明：（１）a＋b≥２；（２）a２＋a＜２与b２＋b＜２不可能同时成立．证明：由a＋b＝错误!＋错误!＝错误!，a＞0，b＞0，得ab＝１．（１）由基本不等式及ab＝１，有a＋b≥２错误!＝２，即a＋b≥２．当且仅当a＝b时取等号．（２）假设a２＋a＜２与b２＋b＜２同时成立，则由a２＋a＜２及a＞0，得0＜a＜１；同理，0＜b＜１，从而ab＜１，这与ab＝１矛盾．故a２＋a＜２与b２＋b＜２不可能同时成立．[由题悟法]反证法证明问题的３步骤（１）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）（２）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（３）立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．（命题成立）[即时应用]等差数列{a n}的前n项和为S n，a１＝１＋错误!，S３＝9＋３错误!.（１）求数列{a n}的通项a n与前n项和S n.（２）设b n＝错误!（n∈N*），求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：（１）设等差数列{a n}的公差为d.由已知得错误!所以d＝２，故a n＝２n—１＋错误!，S n＝n（n＋错误!）．（２）证明：由（１）得b n＝错误!＝n＋错误!，假设数列{b n}中存在三项b p，b q，b r（p，q，r∈N*，且互不相等）成等比数列，则b错误!＝b p b r.即（q＋错误!）２＝（p＋错误!）（r＋错误!），所以（q２—pr）＋错误!（２q—p—r）＝0，因为p，q，r∈N*，所以错误!所以错误!２＝pr，（p—r）２＝0，所以p＝r，与p≠r矛盾，所以数列{b n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．一保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·海门中学检测）用反证法证明命题“若a２＋b２＝0，则a，b全为0”，其反设为“________”．解析：命题“若a２＋b２＝0，则a，b全为0”，其题设为“a２＋b２＝0”，结论是“a，b全为0”，用反证法证明该命题时，其反设为“a，b不全为0”．答案：a，b不全为0２．（２0１8·徐州模拟）若P＝错误!＋错误!，Q＝错误!＋错误!（a≥0），则P，Q的大小关系是________．解析：因为P２＝２a＋7＋２错误!·错误!＝２a＋7＋２错误!，Q２＝２a＋7＋２错误!·错误!＝２a＋7＋２错误!，所以P２＜Q２，所以P＜Q.答案：P＜Q３．（２0１8·江阴调研）设a，b是两个实数，给出下列条件：１a＋b＞２；２a２＋b２＞２．其中能推出：“a，b中至少有一个大于１”的条件的是________（填序号）．解析：１中，假设a≤１，b≤１，则a＋b≤２与已知条件a＋b＞２矛盾，故假设不成立，所以a，b 中至少有一个大于１，１正确；２中，若a＝—２，b＝—３，则a２＋b２＞２成立，故２不能推出：“a，b中至少有一个大于１”．答案：１４．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若x１＋x２＞0，则f（x１）＋f（x２）________0（填“＞”“＜”或“＝”）．解析：由f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，可知f（x）是R上的单调递减函数，由x１＋x２＞0，可知x１＞—x２，f（x１）＜f（—x２）＝—f（x２），则f（x１）＋f（x２）＜0．答案：＜５．（２0１9·吕四中学检测）若0＜a＜１,0＜b＜１，且a≠b，则在a＋b,２错误!，a２＋b２和２ab 中最大的是________．解析：因为0＜a＜１,0＜b＜１，且a≠b，所以a＋b＞２错误!，a２＋b２＞２ab，a＋b—（a２＋b ２）＝a（１—a）＋b（１—b）＞0，所以a＋b最大．答案：a＋b6．如果a错误!＋b错误!＞a错误!＋b错误!，则a，b应满足的条件是__________．解析：a错误!＋b错误!＞a错误!＋b错误!，即（错误!—错误!）２（错误!＋错误!）＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b7．已知点A n（n，a n）为函数y＝错误!图象上的点，B n（n，b n）为函数y＝x图象上的点，其中n ∈N*，设c n＝a n—b n，则c n与c n＋１的大小关系为________．解析：由条件得c n＝a n—b n＝错误!—n＝错误!，所以c n随n的增大而减小，所以c n＋１＜c n.答案：c n＋１＜c n8．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝１，求证：错误!错误!错误!＞8．证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝１，所以错误!—１＝错误!＝错误!＞错误!，１错误!—１＝错误!＝错误!＞错误!，２错误!—１＝错误!＝错误!＞错误!，３又x，y，z为正数，由１×２×３，得错误!错误!错误!＞8．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a３＝５，S8＝6４．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）求证：错误!＋错误!＞错误!（n≥２，n∈N*）．解：（１）设等差数列{a n}的公差为d，则错误!解得a１＝１，d＝２．故所求的通项公式为a n＝２n—１．（２）证明：由（１）可知S n＝n２，要证原不等式成立，只需证错误!＋错误!＞错误!，即证[（n＋１）２＋（n—１）２]n２＞２（n２—１）２，只需证（n２＋１）n２＞（n２—１）２，即证３n２＞１．而３n２＞１在n≥２时恒成立，从而不等式错误!＋错误!＞错误!（n≥２，n∈N*）恒成立．１0．如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝２AD＝２CD＝２，E是PB的中点．（１）求证：EC∥平面PAD；（２）求证：平面EAC⊥平面PBC.证明：（１）作线段AB的中点F，连结EF，CF（图略），则AF＝CD，AF∥CD，所以四边形ADCF是平行四边形，则CF∥AD.又EF∥AP，且CF∩EF＝F，所以平面CFE∥平面PAD.又EC⊂平面CEF，所以EC∥平面PAD.（２）因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC.因为四边形ABCD是直角梯形，且AB＝２AD＝２CD＝２，所以AC＝错误!，BC＝错误!.所以AB２＝AC２＋BC２，所以AC⊥BC，因为PC∩BC＝C，所以AC⊥平面PBC，因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.二上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·南通调研）已知数列{a n}各项均为正数，且不是常数列．（１）若数列{a n}是等差数列，求证：错误!＋错误!＜２错误!；（２）若数列{a n}是等比数列，求证：１—a n,１—a n＋１,１—a n＋２不可能成等比数列．证明：（１）要证错误!＋错误!＜２错误!，只需证a１＋a３＋２错误!＜４a２，∵数列{a n}是等差数列，∴a１＋a３＝２a２，∴只需证错误!＜a２，即证a１a３＜a错误!＝错误!２，∵数列{a n}各项均为正数，∴a１a３＜a错误!＝错误!２成立，∴错误!＋错误!＜２错误!.（２）假设１—a n,１—a n＋１,１—a n＋２成等比数列，则（１—a n＋１）２＝（１—a n）（１—a n＋２），即１—２a n＋１＋a错误!＝１＋a n a n＋２—（a n＋a n＋２），∵数列{a n}是等比数列，∴a错误!＝a n a n＋２，∴２a n＋１＝a n＋a n＋２，∴数列{a n}是等差数列，∴数列{a n}是常数列，这与已知相矛盾，故假设不成立，∴１—a n,１—a n＋１,１—a n＋２不可能成等比数列．２．若无穷数列{a n}满足：只要a p＝a q（p，q∈N*），必有a p＋１＝a q＋１，则称{a n}具有性质P.（１）若{a n}具有性质P，且a１＝１，a２＝２，a４＝３，a５＝２，a6＋a7＋a8＝２１，求a３；（２）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b１＝c５＝１，b５＝c１＝8１，a n＝b n＋c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；（３）设{b n}是无穷数列，已知a n＋１＝b n＋sin a n（n∈N*），求证：“对任意a１，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．解：（１）因为a５＝a２，所以a6＝a３，a7＝a４＝３，a8＝a５＝２，于是a6＋a7＋a8＝a３＋３＋２．又因为a6＋a7＋a8＝２１，所以a３＝１6．（２）由题意，得数列{b n}的公差为２0，{c n}的公比为错误!，所以b n＝１＋２0（n—１）＝２0n—１9，c n＝8１·错误!n—１＝３５—n，a n＝b n＋c n＝２0n—１9＋３５—n.a１＝a５＝8２，但a２＝４8，a6＝错误!，a２≠a6，所以{a n}不具有性质P.（３）证明：充分性：当{b n}为常数列时，a n＋１＝b１＋sin a n.对任意给定的a１，若a p＝a q，则b１＋sin a p＝b１＋sin a q，即a p＋１＝a q＋１，充分性得证．必要性：假设{b n}不是常数列，则存在k∈N*，使得b１＝b２＝…＝b k＝b，而b k＋１≠b.下面证明存在满足a n＋１＝b n＋sin a n的数列{a n}，使得a１＝a２＝…＝a k＋１，但a k＋２≠a k＋１.设f（x）＝x—sin x—b，取m∈N*，使得mπ＞|b|，则f（mπ）＝mπ—b＞0，f（—mπ）＝—mπ—b＜0，故存在c使得f（c）＝0．取a１＝c，因为a n＋１＝b＋sin a n（１≤n≤k），所以a２＝b＋sin c＝c＝a１，依此类推，得a１＝a２＝…＝a k＋１＝c.但a k＋２＝b k＋１＋sin a k＋１＝b k＋１＋sin c≠b＋sin c，即a k＋２≠a k＋１.所以{a n}不具有性质P，矛盾．必要性得证．综上，“对任意a１，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．命题点一算法１．（２0１8·江苏高考）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．错误!解析：I＝１，S＝１，此时I＜6，进入循环；I＝３，S＝２，此时I＜6，进入下一次循环；I＝５，S＝４，此时I＜6，进入下一次循环；I＝7，S＝8，此时I＞6，不满足I＜6，退出循环，输出S＝8．答案：8２．（２0１7·江苏高考）如图是一个算法流程图．若输入x的值为错误!，则输出y的值是________．解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y＝错误!所以当输入的x的值为错误!时，y＝２＋log２错误!＝２—４＝—２．答案：—２３．（２0１6·江苏高考）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是________．解析：由a＝１，b＝9，知a＜b，所以a＝１＋４＝５，b＝9—２＝7，a＜b.所以a＝５＋４＝9，b＝7—２＝５，满足a＞b.所以输出的a＝9．答案：9４．（２0１５·江苏高考）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．错误!解析：由程序可知，S＝１，I＝１，I＜8；S＝３，I＝４，I＜8；S＝５，I＝7，I＜8；S＝7，I＝１0，I＞8，此时结束循环，输出S＝7．答案：7命题点二复数１．（２0１8·江苏高考）若复数z满足i·z＝１＋２i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．解析：由i·z＝１＋２i，得z＝错误!＝２—i，∴z的实部为２．答案：２２．（２0１7·江苏高考）已知复数z＝（１＋i）（１＋２i），其中i是虚数单位，则z的模是________．解析：法一：复数z＝１＋２i＋i—２＝—１＋３i，则|z|＝错误!＝错误!.法二：|z|＝|１＋i|·|１＋２i|＝错误!×错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１6·江苏高考）复数z＝（１＋２i）（３—i），其中i为虚数单位，则z的实部是________．解析：因为z＝（１＋２i）（３—i）＝３—i＋6i—２i２＝５＋５i，所以z的实部是５．答案：５４．（２0１５·江苏高考）设复数z满足z２＝３＋４i（i是虚数单位），则z的模为________．解析：因为z２＝３＋４i，所以|z２|＝|z|２＝|３＋４i|＝错误!＝５，所以|z|＝错误!.答案：错误!５．（２0１8·天津高考）i是虚数单位，复数错误!＝________.解析：错误!＝错误!＝错误!＝４—i.答案：４—i命题点三合情推理与演绎推理１．（２0１7·全国卷Ⅱ改编）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有２位优秀，２位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则下列说法正确的序号为________．１乙可以知道四人的成绩２丁可以知道四人的成绩３乙、丁可以知道对方的成绩４乙、丁可以知道自己的成绩解析：依题意，四人中有２位优秀，２位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有１位优秀，１位良好，甲、丁必有１位优秀，１位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩．故４正确．答案：４２．（２0１6·天津高考）已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，b n是a n 和a n＋１的等比中项．（１）设c n＝b错误!—b错误!，n∈N*，求证：数列{c n}是等差数列；（２）设a１＝d，T n＝错误!（—１）k b错误!，n∈N*，求证：错误!错误!＜错误!.证明：（１）由题意得b错误!＝a n a n＋１，c n＝b错误!—b错误!＝a n＋１a n＋２—a n a n＋１＝２da n＋１.因此c n＋１—c n＝２d（a n＋２—a n＋１）＝２d２，所以{c n}是等差数列．（２）T n＝（—b错误!＋b错误!）＋（—b错误!＋b错误!）＋…＋（—b错误!＋b错误!）＝２d（a２＋a４＋…＋a２n）＝２d·错误!＝２d２n（n＋１）．所以错误!错误!＝错误!错误!错误!＝错误!错误!错误!＝错误!·错误!＜错误!.。