1-3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2021届高考数学总复习：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、知识点1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。

(2)命题p∧q、p∨q、非p的真假判定2.量词及含有一个量词的命题的否定(1)全称量词和存在量词①全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示。

②含有全称量词的命题，叫做全称命题。

“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)。

③含有存在量词的命题，叫做特称命题。

“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)。

(2)含有一个量词的命题的否定1．用“并集”的概念来理解“或”，用“交集”的概念来理解“且”，用“补集”的概念来理解“非”。

2．记忆口诀：(1)“p或q”，有真则真；(2)“p且q”，有假则假；(3)“非p”，真假相反。

3．命题p∧q的否定是(非p)∨(非q)；命题p∨q的否定是(非p)∧(非q)。

一、走进教材1．(选修2－1P27A组T3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．∃x0∈R，x20＋x0≤0 B．∃x0∈R，x20＋x0<0C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0解析由全称命题的否定是特称命题知命题B正确。

故选B。

答案 B2．(选修2－1P18A组T1(3)改编)已知命题p：2是偶数，命题q：2是质数，则命题非p，非q，p∨q，p∧q中真命题的个数是()A．1B．2 C．3D．4解析p和q显然都是真命题，所以非p，非q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题。

故选B。

答案 B二、走近高考3．(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2。

下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧(非q)C．(非p)∧q D．(非p)∧(非q)解析因为x>0，所以x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以对于∀x>0，ln(x＋1)>0，故p为真命题。

2021届江西省高考理科数学总复习第3讲：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[最新考纲] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)﹁p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则﹁q”，否命题是“若﹁p，则﹁q”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．()(2)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．()(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．∃x0∈R，x20＋x0≤0 B．∃x0∈R，x20＋x0＜0C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x＜0B[由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B.]2．下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0C[当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，si n0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x ＞0，则D为真命题．故选C.]3．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题﹁p，﹁q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1B．2 C．3D．4B[p和q显然都是真命题，所以﹁p，﹁q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．存在一个实数的平方不是正数[全称命题的否定是特称命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]考点1全称命题、特称命题(1)全称命题与特称命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．②否定结论：对原命题的结论进行否定．(2)全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假全称命题、特称命题的否定(1)(2019·西安模拟)命题“∀x＞0，xx－1＞0”的否定是()A．∃x＜0，xx－1≤0B．∃x＞0,0≤x≤1C．∀x＞0，xx－1≤0 D．∀x＜0,0≤x≤1(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为() A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数(1)B(2)D[(1)因为xx－1＞0，所以x＜0或x＞1，所以xx－1＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选B.。

3．含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立”可用 符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
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C 基础知识梳理
梳 理 三 充含有一个量词的命题的否定
梳理自测3 1．(2012·高考湖北卷)命题“∃x0∈∁RQ，x30∈Q”的 否定是( D ) A．∃x0∉∁RQ，x30∈Q B．∃x0∈∁RQ，x30∉Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 2．下列命题中，真命题是( A ) A．∃m∈R，使函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数 B．∃m∈R，使函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．∀m∈R，函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
C 聚焦考向透析
考向二 全称命题、特称命题真假判断
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(2014·湖南省五市十校联考)下列命题中 是假命题的是( ) A．∃α，β∈R，使 sin(α＋β)＝sin α＋sin β B．∀φ∈R，函数 f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶 函数 C．∃m∈R，使 f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．∀a＞0，函数 f(x)＝ln2 x＋ln x－a 有零点
是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
限定的集合 M 中，找到一个 x＝x0，使 p(x0)
D．∀a＞0，函数 f(x)＝ln2 x＋ln x－a 有零点 成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
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C 聚焦考向透析
考向二 全称命题、特称命题真假判断

课后课时作业[A组·基础达标练]1．[2015·滨州模拟]命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数答案 D解析该命题是全称命题，其否定是特称命题，即存在实数，它的平方不是正数，结合选项知D正确．2．[2015·偃师模拟]已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则() A．p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0答案 B解析命题p为特称命题，故綈p为全称命题，又对∀x而言，3x＋1>1，从而log2(3x＋1)>0恒成立，故p为假命题．3．[2015·唐山一模]命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2,0)．则() A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真答案 A解析∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，在这个范围内没有自然数，命题p为假命题．∵对∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，log a1＝0，即f(x)的图象过点(2,0)，命题q为真命题．故选A.4．已知命题p ：(a －2)2＋|b －3|≥0(a ，b ∈R )，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是假命题； ③命题“(綈p )∨q ”是真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题． 其中正确的是( ) A ．②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④答案 D解析 命题p 、q 均为真命题，则綈p 、綈q 为假命题．从而结论①②③④均正确，故选D.5．[2016·江西九校联考]已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0，给出命题p ：l 1∥l 2的充要条件是a ＝－3或a ＝2；命题q ：l 1⊥l 2的充要条件是a ＝－35.对于以上两个命题，下列结论中正确的是( )A ．“p ∧q ”为真B ．“p ∨q ”为假C ．“p ∨(綈q )”为假D ．“p ∧(綈q )”为真 答案 C解析 对于命题p ，因为当a ＝2时，l 1与l 2重合，故命题p 为假命题；当l 1⊥l 2时，2a ＋3a ＋3＝0，解得a ＝－35，当a ＝－35时，l 1⊥l 2，故命题q 为真命题，綈q 为假命题，故命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题，p ∧(綈q )为假命题，故选C.6．[2015·昆明三模]若“p ：∃x 0∈[1,4]，log 12x 0≤a ”是真命题，则实数a 的最小值是( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1答案 C解析 问题转化为y ＝log 12x 0在x 0∈[1,4]上的取值范围，则y ∈[－2,0]，∴a ≥－2，∴a 的最小值是－2.故选C.7．[2015·揭阳一模]已知命题p ：函数y ＝sin4x 是最小正周期为π2的周期函数，命题q ：函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∨qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )答案 D解析 函数y ＝sin4x 的最小正周期T ＝2π4＝π2，所以p 是真命题；函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，故q 是假命题，所以綈p 为假，綈q 为真，从而(綈p )∨(綈q )为真，故选D.8．[2016·南昌调研]下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件 D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假答案 D解析 易知A 、B 正确；由xy ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y 知C 正确；对于D ，命题“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．9．[2016·西城模拟]已知命题p ：函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅.若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 要使函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增， 则c －1>0，解得c >1. 所以p ：c >1.因为不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅， 所以判别式Δ＝1－4c <0， 解得c >14，即q ：c >14. 因为p 且q 为真命题． 所以p ，q 同为真， 即c >14且c >1，解得c >1.所以实数c 的取值范围是(1，＋∞)．10．给出下列命题：①命题“∃x ≥2，x 2－2x ＋1<3”的否定为“∀x <2，x 2－2x ＋1≥3”；②“若a >0，b >0，则a ＋b >0”的否命题为“若a ≤0，b ≤0，则a ＋b ≤0”；③若p 是綈q 的充分非必要条件，则綈p 是q 的必要非充分条件；④“a <b ”是“am 2<bm 2”的必要不充分条件．其中是真命题的有________(把你认为正确命题的序号都填上)．答案 ③④解析 ①错误，命题的否定应为“∀x ≥2，x 2－2x ＋1≥3”；②错误，否命题应为“若a ≤0或b ≤0，则a ＋b ≤0”；③正确，由已知可知“若p ，则綈q ”为真命题且“若綈q ，则p ”为假命题，利用原命题与其逆否命题的等价性可知：“若q ，则綈p ”为真命题且“若綈p ，则q ”为假命题，所以綈p 是q 的必要非充分条件；④正确，令命题p ：a <b ，命题q ：am 2<bm 2，若a <b ，当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以p ⇒ q ；当am 2<bm 2时，显然m 2≠0，∴a <b ，∴q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．11．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p或q ”为真，求实数c 的取值范围．解 因为函数y ＝c x 在R 上单调递减，所以0<c <1. 即p ：0<c <1，因为c >0且c ≠1， 所以綈p ：c >1.又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0<c ≤12，因为c >0且c ≠1， 所以綈q ：c >12，且c ≠1.又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以p 真q 假或p 假q 真． ①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c | c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c | 12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c | 0<c ≤12＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪12<c <1. 12．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a (x ≥2a )，2a (x <2a )且y >1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．解 若p 是真命题，则0<a <1， 若q 是真命题，则y >1恒成立， 即y 的最小值大于1，而y 的最小值为2a ，只需2a >1， ∴a >12，∴q 为真命题时，a >12. 又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 一真一假， 若p 真q 假，则0<a ≤12； 若p 假q 真，则a ≥1，故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0<a ≤12或a ≥1. [B 组·能力提升练]1．下列四个命题中是真命题的是( )①存在x ∈(0，＋∞)，使不等式2x <3x 成立；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x <log 3x 成立；③对任意的x ∈(0,1)，不等式log 2x <log 3x 成立；④对任意的x ∈(0，＋∞)，不等式log 2x <1x 成立．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 A解析 ①中取x ＝1即可满足；②中取x ＝132即可使不等式成立；画图可知③为真命题；④中取x ＝4，不等式不成立．故选A.2．[2014·课标全国卷Ⅰ]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案 C 解析画出不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的可行域D 如图阴影部分：两直线交点A (2，－1)，设直线l 0的方程为x ＋2y ＝0.由图象可知，∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥0.故p 1为真命题，p 2为真命题，p 3，p 4为假命题．3．[2016·衡水调研]直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线的顶点．(1)当OP →与ON →平行时，b ＝________； (2)给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形； ②∃a <0且b <0，使得OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1恒成立． 其中，所有正确命题的序号是________． 答案 (1)－1 (2)①②③解析 (1)∵OM →＝(1,2)，ON →＝(1，－2)， ∴OP →＝aOM →＋bON →＝(a ＋b,2a －2b )． ∵OP →∥ON →，∴2a －2b ＋2(a ＋b )＝0， ∴a ＝0.∵抛物线的准线为x ＝－1，点P 在准线上， ∴P 点的横坐标为－1， ∴a ＋b ＝－1， ∴b ＝－1.(2)对于①，假设是等边三角形，则P (－1,0)，|PM |＝22，|MN |＝4，|MN |≠|PM |，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，OP →与ON →垂直，OP →·ON →＝0，得到a ＝53b ，∴②正确；③显然成立．4．[2015·天水模拟]已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2(x ≥0)，且函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又g (1)＝0，f (3)＝2－ 3.(1)求f (x )的表达式及值域；(2)问是否存在实数m ，使得命题p ：f (m 2－m )<f (3m －4)和q ：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14>34满足复合命题p 且q 为真命题？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)由g (1)＝0，f (3)＝2－3可得a ＝－1，b ＝1， 故f (x )＝1＋x 2－x (x ≥0)，由于f (x )＝11＋x 2＋x在[0，＋∞)上递减，所以f (x )的值域为(0,1]．(2)存在．因为f (x )在[0，＋∞)上递减， 故p 真⇒m 2－m >3m －4≥0⇒m ≥43且m ≠2；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝12，即g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34， 故q 真⇒0<m －14<12≤1⇒1<m <3.故存在m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2∪(2,3)满足复合命题p 且q 为真命题．。