2011数学建模优秀获奖论文
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： S15030
所属学校（请填写完整的全名）： 河南理工大学
参赛队员 (打印并签名) ：1. 王景佩
2. 付玉洁
3. 刘争光
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 竞赛指导组
日期： 2011 年 9 月 12 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
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人
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注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
1 城市表层土壤重金属污染分析
摘要
随着经济的发展，城市土壤的污染越来越严重，尤其是土壤重金属的污染。本文就某一城区进行取样调查，要求根据调查数据来评价不同区域的重金属污染程度，并说明其主要原因，且建立模型来确定污染源的位置并进行优化。
对于问题一，首先我们应用软件surfer 9.0，采用克立格插值法分别画出8种重金属在该城区的空间分布图；然后以污染指数来表现污染程度，先根据单因子指数法求出每种金属的污染指数，再利用内梅罗指数法求解出8种重金属的综合污染指数，最后依据土壤综合污染程度分级标准，来评价每个区域的污染程度。通过上述过程的求解，可得到如下结果：
功能区 生活区 工业区 山区 交通区 公园绿地区
综合指数 3.1706 7.3583 1.2484 3.8290 2.7344
污染程度 中度污染 重度污染 警界线 中度污染 轻度污染
问题二要求通过数据分析来说明污染原因，我们采用多元统计数学中的因子分析法，首先建立中金属污染浓度矩阵，进行标准化处理消除量纲的影响，进而借助matlab求得各因子对重金属污染的累积贡献率，依此数据为依据来分析重金属污染的主要原因为：工业“三废”，交通机动车尾气排放，人类生活废水的排放等。
问题三要求建立模型来确定污染源位置。我们通过分析得出重金属主要通过物理沉降和水平流动方式进行传播的特性，进而借用数理统计中的聚类分析法建立重金属污染浓度系数矩阵，进行标准化，距离化处理后，根据其污染权系数进行分类，最后把污染权系数最大的类别中的取样点位置作为污染源。
问题四研究的是城市地质环境的演变模式，而重金属污染物运移后的实际空间分布对其有一定影响。由于前三问没有考虑土壤环境，而土壤的紧实程度、质地、含水率不同对重金属污染物的运移产生重要影响，从而造成土壤中重金属污染物浓度空间分布的极大差异。当考虑土壤环境时，我们根据土壤密度、土壤含水率、对流速度，建立了重金属污染物浓度与时间、水平方向和铅垂方向的偏微分方程。此偏微分方程可用于求解新的条件下重金属污染污的时空分布。
关键词：单因子指数法 内梅罗指数法 聚类分析法 偏微分方程
2 一．问题的重述
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、„„、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求通过数学建模来完成以下任务：
(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？
二．问题的分析
2.1问题一的分析
2.1.1重金属元素的空间分布
本题要求给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，而附件1中列出了采样点的位置、海拔高度等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，通过分析这些数据，要画出空间分布图，则可通过软件surfer 9.0来实现。再结合克立格插值法，则可分别画出8种重金属在该城区的空间分布图并对其进行分析。
2.1.2不同区域的污染程度
题中将城区分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区五类区，
3 因此我们分别对这五类区域进行考虑。首先，分析一类区的重金属综合污染程度，本文将综合污染程度用综合污染指数来表示。要想对8种重金属综合污染程度进行评价，那么需要分别求出每种金属元素的污染综合指数。而每种金属元素的污染指数可用单因子污染指数法来求解，然后再应用内梅罗综合污染指数法，结合上面求得的每种金属的综合污染指数值，可得出重金属综合污染指数。最后将重金属综合污染指数与土壤综合污染程度分级标准进行对比，即可得出一类区域的重金属污染程度。
工业区、山区、主干道路区及公园绿地区的重金属污染程度可用上述同样的方法求得。然后对得出的结果进行合理的分析。
2.2重金属污染的主要原因
对于所给大量的数据来探究重金属污染的主要原因，直观上难以发现。故我们采用多元统计中的因子分析法，将多个变量转化为少数几个线性不相关的综合指标从而简化数据处理，用这些少数具有代表性的因子来代表众多变量所要提取的主要信息。然后根据每个因子对应的贡献率来确定各个因子对应的重金属种类对污染的重要程度，依此数据为依据来分析重金属污染的主要原因。
2.3分析污染源的位置
通过对图中的各个区域作图，观察分析发现五类区域分布比较分散,用确切的坐标位置来代表污染源，这种方法缺乏科学性,而且我们也知道，污染源不止一个，那么作为同一种重金属的污染源，应该有一定的共性。根据常识可知，污染源处的金属浓度应该很高，所以污染源的重金属高浓度是它们的相似性。故我们利用统计回归中聚类的方法,对题目所给的取样点标准化,距离化后进行聚类,然后比较污染物对应的各类距离大小关系,以权值较大的区域作为污染源。
2.4问题四的分析
由于前面没有考虑土壤的环境，而土壤的紧实程度、质地、含水率不同对重金属污染物的运移产生重要影响，从而造成土壤中重金属污染物浓度空间分布的极大差异，因此对城市地质环境的演变模式造成影响。实际上重金属污染物在土壤运移过程主要受对流、扩散、弥散和吸附作用等因素的影响。这些因素是由土壤的环境决定的。当考虑土壤环境时，我们可以根据土壤密度、土壤含水率、对流速度，建立重金属污染物浓度空间分布函数。由此求得出在新的条件下重金属污染物浓度空间分布。
三．模型的假设
（1）每个采样点的金属元素浓度代表其所在的整个子区域的金属元素浓度；
（2）重金属均是通过土壤和水流传播；
（3）污染程度可用污染指数来表示；
（4）每种金属污染程度相近的可归为一类；
（5）将污染最严重的区域看做污染源。
4 四.符号的说明
iP 土壤中金属元素i的污染指数
i（=1,2，„，8） 重金属的种类依次为As、Cd、Cr、Cu、Ni、Hg、Pb、Zn
j（=1,2，„，5） 分别代表生活区、工业区、山区、交通区、公园绿地区
iC i金属元素的实测浓度
iB 城区土壤重金属i的环境背景值
IP j区重金属i的jn个参与计算的采样点的污染综合指数
jn j区的中参与计算的采样点数
3dcmg 土壤密度 33cmcm 土壤含水率 gcmKd3 分配系数
dcmvz 纵向对流系数
dcmvx 横向对流系数 dcmDz2 纵向弥散系数 dcmDx2 横向弥散系数
表2
五．模型的建立
5.1重金属空间分布与各区域污染程度
5.1.1重金属元素的空间分布
根据采样点各金属元素的浓度，采用克立格插值法，并应用surper 9.0软件对8种重金属的分布进行空间分析。其各个金属的空间分布图如下：
图1 As在不同区域的浓度分布图 图2 Cd在不同区域的浓度分布图
