高中数学第三章推理与证明1.1.2类比推理教案含解析北师大版选修1_2
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1.2 类比推理
类比推理
三角形有下面两个性质:
(1)三角形的两边之和大于第三边; (2)三角形的面积等于高与底乘积的1
2
.
问题1:你能由三角形的这两个性质推测空间四面体的性质吗?试写出来. 提示:(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的1
3
.
问题2:由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么?
提示:由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征,即由特殊到特殊.
定义
特征
由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,把这种推
理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.
合情推理
合情推理的含义
(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.
(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.
1.类比推理是从人们已经掌握了的事物特征,推测正在被研究中的事物的特征.所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠;
2.类比推理以旧的知识作为基础,推测新的结果,具有发现功能.
平面图形与空间几何体的类比
[例1] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦; (2)与圆心距离相等的两弦长相等; (3)圆的周长C =πd (d 是直径); (4)圆的面积S =πr 2
.
[思路点拨] 先找出相似的性质再类比,一般是点类比线、线类比面、面积类比体积. [精解详析] 圆与球有下列相似的性质:
(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合;球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合.
(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形;球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形.
通过与圆的有关性质类比,可以推测球的有关性质.
圆
球
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线
垂直于截面
与圆心距离相等的两条弦长相等
与球心距离相等的两个截面的面积相等
圆的周长C =πd 球的表面积S =πd 2
圆的面积S =πr 2
球的体积V =43
πr 3
[一点通] 解决此类问题,从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,将平面几何的相关结论类比到立体几何中,相关类比点如下:
平面图形 立体图形 点 点、线 直线 直线、平面 边长 棱长、面积
面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 平行四边形
平行六面体
圆
球
1.下面类比结论错误的是( )
A .由“若△ABC 一边长为a ,此边上的高为h ,则此三角形的面积S =1
2ah ”类比得出
“若一个扇形的弧长为l ,半径为R ,则此扇形的面积S =1
2
lR ”
B .由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”
C .由“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中,垂直于同一个平面的两个平面平行”
D .由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边” 解析:选C 只有C 中结论错误,因为两个平面还有可能相交.
2.如图所示,在△ABC 中,射影定理可表示为a =b ·cos C +c ·cos B ,其中a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想.
解:如图所示,在四面体P ABC 中,S 1,S 2,S 3,S 分别表示△PAB ,△PBC ,△PCA ,△
ABC 的面积,α,β,γ依次表示平面PAB ,平面PBC ,平面PCA 与底面ABC 所成二面角的
大小.
我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为S =S 1·cos α+S 2·cos β+S 3·cos γ.
定义、定理与性质的类比
[例2]
[精解详析] ①两实数相加后,结果是一个实数,两向量相加后,结果仍是向量; ②从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律, 即:a +b =b +a ,a +b =b +a ,
(a +b )+c =a +(b +c ),(a +b )+c =a +(b +c ); ③从逆运算的角度考虑,二者都有逆运算,即减法运算, 即a +x =0与a +x =0都有唯一解,x =-a 与x =-a ;
④在实数加法中,任意实数与0相加都不改变大小,即a +0=a .在向量加法中,任意向量与零向量相加,既不改变该向量的大小,也不改变该向量的方向,即a +0=a .
[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象,本例中实数加法的对象为实
数,向量加法的对象为向量,且都满足交换律与结合律,都存在逆运算,而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位.因此我们可以从这四个方面进行类比.
3.试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.
等式
不等式
a =
b ⇒a +
c =b
+c
① a =b ⇒ac =bc ② a =b ⇒a 2=b 2
③
答案:①a >b ⇒a +c >③a >b >0⇒a 2
>b 2
(说明:“>”也可改为“<”)
4.已知等差数列{a n }的公差为d ,a m ,a n 是{a n }的任意两项(n ≠m ),则d =
a n -a m
n -m
,类比上述性质,已知等比数列{b n }的公比为q ,b n ,b m 是{b n }的任意两项(n ≠m ),则q =________.
解析:∵a n =a m q
n -m
,∴q =⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a n a m 1n -m
.
答案:⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a n a m 1n -m
1.类比推理先要寻找合适的类比对象,如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.
2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法,类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法,归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想,许多数学知识都是通过归纳与类比发现的.
1.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A .三角形 B .梯形 C .平行四边形
D .矩形
解析:选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑,用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适.
2.设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =
2S
a +
b +c
;
类比这个结论可知:四面体P ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球的半径为r ,