高考2019版二轮复习数学高考5个大题 题题研诀窍 概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图

Earlybird

[思维流程——找突破口] [技法指导——迁移搭桥]

概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略

(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立等．

(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生等．

(3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等．

(4)分清是古典概型还是几何概型后再求概率．

(5)会套用求b^、K2的公式，再作进一步求值与分析．

(6)理解各图表所给信息，利用信息找出所要数据.

[典例] (2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7)

频数 1 3 2 4 9 26

5

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6)

频数 1 5 13 10 16 5

(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率； Earlybird

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

[快审题]

第(1)问

求什么

想什么 作频率分布直方图，想到频率分布直方图的画法．

给什么用什么 给出了频数分布表，计算各组的频率，结合每组的组距计算频率与组距的比值.

第(2)问

求什么想什么 求概率，想到利用频率来估计概率．

给什么用什么 给出了数据，计算对应的频率，然后利用频率估计概率.

第(3)问

求什么想什么 求一年来节省多少水，想到一天能省多少水．

给什么用什么 给出50天的日用水量数据，可计算日用水量的平均数．

差什么找什么 计算一年节省多少水，应计算一天节省多少水，即求两种情况下日平均用水量差.

[稳解题]

(1)频率分布直方图如图所示．

(2)根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，

因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估Earlybird

计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

x1＝150×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

x2＝150×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．

[题后悟道]

(1)求概率的关键：定型——定性——定数量(几何量)——求概率．

(2)求解统计案例问题的关键：作图(列表格)——计算——得结论．

[针对训练]

春节期间，支付宝用户都可通过集齐福卡(爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福)，在除夕夜22：18获得一份现金红包．某高校一个社团在寒假开学后随机调查了该校80位在读大学生，就除夕夜22：18之前是否集齐五福进行了一次调查(若未参与集五福的活动，则等同于未集齐五福)，得到具体数据如下表：

是否集齐五福

性别 是 否 总计

男 30 10

40

女 35 5 40

总计 65 15 80

(1)根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“集齐五福与性别有关”？

(2)计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10 000名在读大学生中集齐五福的人数；

(3)为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该社团从集齐五福的学生中，选取2名男生和3名女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的3次采访对象中至少有1名男生的概率．

附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 Earlybird

k0 2.706 3.841 5.024

6.635

解：(1)由列联表中的数据得K2的观测值为

k＝80×30×5－35×10240×40×65×15≈2.051<3.841.

故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“集齐五福与性别有关”．

(2)这80位大学生集齐五福的频率为30＋3580＝1316.

据此估算该校10 000名在读大学生中集齐五福的人数为10 000×1316＝8 125.

(3)选取的2名男生和3名女生分别记为A1，A2，B1，B2，B3，随机选取3次采访的所有结果为{A1，A2，B1}，{A1，A2，B2}，{A1，A2，B3}，{A1，B1，B2}，{A1，B1，B3}，{A1，B2，B3}，{A2，B1，B2}，{A2，B1，B3}，{A2，B2，B3}，{B1，B2，B3}，共10种，而至少有1名男生的结果有9种，故所求概率为910.

[总结升华]

概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解．而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途．另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件．

[专题过关检测]

A组——“6＋3＋3”考点落实练

一、选择题

1．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )

A．0.3 B．0.4

C．0.6 D．0.7

解析：选B 由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.

2．(2019届高三·湖北五校联考)已知定义在区间[－3,3]上的函数f(x)＝2x＋m满足f(2)＝6，在[－3,3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为( )

A.16 B.13

C.12 D.23

解析：选B ∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.

由f(x)≥4，得2x＋2≥4，即x≥1，而x∈[－3,3]，

故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝26＝13.故选B. Earlybird

3．(2019届高三·武汉部分学校调研)标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为( )

A.12 B.15

C.35 D.25

解析：选A 5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)．共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P＝1020＝12，故选A.

4．(2018·洛阳第一次统考)在区间(0,2)内随机取一个实数a，则满足 2x－y≥0，y≥0，x－a≤0的点(x，y)构成区域的面积大于1的概率是( )

A.18 B.14

C.12 D.34

解析：选C 作出约束条件 2x－y≥0，y≥0，x－a≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积S＝12×a×2a＝a2>1，∴1

5．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为( )

A.112 B.19

C.536 D.16

解析：选A 先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种．以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为336＝112.

6．(2019届高三·重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问Earlybird

其内切圆的直径为多少步．”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )

A.3π10 B.3π20

C．1－3π10 D．1－3π20

解析：选D 如图，直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设其内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3，∴内切圆的面积为πr2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－9π12×8×15＝1－3π20.

二、填空题

7．(2018·石家庄质量检测)口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为________．

解析：一次摸出两个球，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个可能结果，其中两个球编号之和大于6的有(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共4个可能结果，所以所求概率为410＝25.

答案：25

8．已知实数x，y满足|x|≤3，|y|≤2，则任取其中的一对实数x，y，使得x2＋y2≤4的概率为________．

解析：如图，在平面直角坐标系xOy中，满足|x|≤3，|y|≤2的点在矩形ABCD内(包括边界)，使得x2＋y2≤4的点在图中圆O内(包括边界)．

由题意知，S矩形ABCD＝4×6＝24，S圆O＝4π，故任取其中的一对实数x，y，使得x2＋y2≤4的概率P＝S圆OS矩形ABCD＝4π24＝π6.

答案：π6

9．从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．

解析：从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的种数为5，即△ABD，△ACD，△ACE，△BCE，△BDE，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率P＝510＝12.