九年级上学期数学第一次月考试题

重庆市第94中学校2024-2025学年度（上）第一次定时作业九年级数学试题（全卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟）一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．在实数中，无理数是（ ）A． B ．0 CD2．下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列说法正确的是（ ）A ．四条边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形5的结果在（ ）A．7和8之间 B ．8和9之间 C ．9和10之间 D ．10和11之间6．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑬图中共有n 个小三角形，这里的（ ）．①② ③ ④A ．110 B ．112C ．114D ．1167．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．如图，正方形中，E 为上一点，过B 作于点G ，延长至点F ，使得，13-13-233a a a +=222()a b a b +=+()3251a a ÷=22(2)4a a -=2n =2250x x --=2(1)6x +=2(1)6x -=2(2)9x +=2(2)9x -=ABCD BC BG AE ⊥BG AG GF =连接．若，则一定等于（ ）A ．αB ．C ．D ．9．如图，菱形的边长为2，，M ，N 分别是上的两个动点，则的最小值为（ ）A ．1 BCD ．210．有依次排列的两个整式，用后一个整式B 与前一个整式A 作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B 求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式;②整式;③整式、整式和整式相同：④．正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．计算：_____．12．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____．13．已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_______．,CF AF DAF α∠=DCF ∠602α︒-2α45α︒-ABCD 60DAB ∠=︒,AD AC DN MN +1,1A x B x =-=+1C 1C 2C 2C 1C 3C 3C 2C 4C 31C x =+53C x =+2C 5C 8C 20242021202320232C C C C =+2012)2-⎛⎫--= ⎪⎝⎭1980︒2(21)20ax a x a +++-=14．如图，在中，，以点C 为圆心，长为半径画弧，分别交于点D ，E ，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）．15．如图，长方形纸片，点E 在边上，将沿折叠，点A 恰巧落在边上的点F 处；点G 在上，将沿折叠，点C 恰好落在线段上的点H 处，那么的长度是_______．16．如图，在正方形中，绕点B 逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点E ，则线段的长为____．17．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多５个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为_________．18．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m ，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则_____;若“倍和数”m 千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为_____．三、解答题（本大题共8小题，19小题8分，其余小题各10分，共78分）19．计算：Rt ABC △90,30,2C A BC ∠=∠=︒=︒CB ,AC AB ,5,3ABCD AB BC ==AD ABE △BE CD CD BCG △BG BF HF ABCD AD =BC 30︒BP AP CD PE 13122ax x x ++=--43(2)122y y y y a ≥-⎧⎪⎨--<⎪⎩()F m (2136)F =()2411F m +（1） （2）20．某市开展茶文化论坛，为了解A 、B 两种绿茶的亩产量，工作人员从两种类型的绿茶产区中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x 表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：10亩A 型绿茶的亩产量：50，54，55，5555，57，57，58，59，60．10亩B 型绿茶中“良好”等级包含的所有数据为:57，57，57，59抽取的A 、B 型绿茶亩产量统计表：型号A B 平均数5656中位数56众数a 57方差7.415.8“优秀”等级所占百分比10%20%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：________，________，_________;（2）根据以上数据，你认为哪款绿茶更好？请说明理由（写出一条理由即可）;（3）若该市今年种植B 型绿茶3000亩，估计今年B 型绿茶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？21．学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用无刻度直尺和圆规，过点C 作的垂线，垂足为点D ，点P 在边上．（只保留作图痕迹，不写作法）2230x x --=2241244x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭5055x ≤<5560x ≤<60x ≥a =b =m =AB CD BC已知：如图，在中，于点E ，于点F ．求证：．证明：如图，连接．，．，∴①__________________，即．∵②________________，，∴③________________．再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④___________________．22．如图，在菱形中，对角线交于点O ，，动点P 从点A 出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达B 点停止运动，设点P 的运动时间为t 秒，的面积为y．ABC △,AB AC PE AB =⊥PF AC ⊥PE PF CD +=AP ,,PE AB PF AC CD AB ⊥⊥⊥ 111,,222APB APC ABC S AB PE S AC PF S AB CD ∴=⋅=⋅=⋅△△△APB APC ABC S S S += △△△12AB CD =⋅AB PE AC PF AB CD ⋅+⋅=⋅()AB PE PF AB CD ∴⋅+=⋅ABCD ,AC BD 6,4AC BD ==A O B →→PAD △（1）直接写出y 关于t 的函数表达式，并注明自变量t 的取值范围;（2）在直角坐标系中画出y 与t 的函数图象，并写出它的一条性质;（3）根据图象直接写出当时t 的取值范围．23．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？24．金秋十一月，阳光大草坪正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B 在入口A 的正西方向，入口C 在入口B 的正北方向，入口D 在入口C 的北偏东方向处，入口D 在入口A 的北偏西方向处．)(1)求的长度；（结果精确到1米）(2)小明从入口D 处进入前往M 处赏花，点M 在上，距离入口B 的处．小明可以选择鹅卵石步道①,步行速度为,也可以选择人工步道②,步行速度为,请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到)25．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x 轴、y 轴于点A 、点B ,点C 在x 轴正半轴且4y ≤ABCD 60︒400m 45︒1000m 1.73≈≈AB AB 500m D C B M ---50m /min D A M --60m/min 0.1min 6y x =+．图1图2 图3(1)求直线的解析式；(2)如图2，过点A 的直线交线段于点M ,且满足与的面积比为，点在线段上，点E 和点F 是x 轴上的两个动点（点E 在点F 左边）且满足,连接,求的最小值．(3)如图3，在(2)的条件下，将点M 沿着射线方向平移个单位得到点,若点P 是直线上的一个动点，当时，请直接写出所有满足条件点P 的坐标，并写出其中一个点P 的求解过程．26．在中，．(1)如图1，当时，取上一点D ,取上一点E ,连接．若平分,求的长；(2)如图2，当时，取上一点F ,取上一点G ,连接,延长至点H ,连接．已知，,求证：;(3)当，点P 在内部时，连接．当的值最小时，请直接写出的值．2OB OC =BC ABM △BC ACM △1:2()5,1N -AB 2EF =,NE MF NE EF MF ++AB M 'BC 45BM P '∠-︒ABC △AB AC =90A ∠=︒AC BC ,BD DE BD ,2ADE AD DE ∠==AC 60BAC ∠=︒AB BC ,FG AG BC AH 60GAH ∠=︒AH AG FG =+CH BF =60BAC ∠=︒ABC △,,AP BP CP 2AP BP ++BPC ABCS S △△。

江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知Rt ABC V 中，90C o ∠=，3AC =，4BC =，以C 为圆心，r 为半径的圆与边AB 有两个交点，则r 的取值范围是（ ）A ．125r =B ．125r >C ．34r <<D ．1235r <≤ 2．关于x 的一元二次方程2(1)10a x x a -++-=的一个根为0，则实数a 的值为A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1 3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x 2﹣13x +15＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．8B ．11.5C ．10D ．8或11.5 4．已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a ---的值为（ ）A B C ．﹣1 D ．1 5．关于x 的方程()20a x m b ++=的解是122,1=-=x x （a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程()220a x m b +++=的解是（ ） A ．122,1=-=x xB ．121,3==x xC ．124,1=-=-x xD ．无法求解6．已知关于x 的一元二次方程2104x x m -+=有实数根，设此方程得一个实数根为t ，令24454y t t m =--+，则（ ）A ．2y >-B ．2y ≥-C ．2y ≤-D ．2y <- 7．已知关于x 的方程25ax bx c ++=的一个根是2，且二次函数2y ax bx c =++的对称轴是直线2x =，则这条抛物线的顶点坐标为（ ）A ．(2,3)-B ．(2,1)C ．(2,5)D ．(5,2) 8．如图，在同一平面直角坐标系中，函数2(0)y ax a =+≠与22(0)y ax x a =--≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A ．()3,6--B ．()3,0-C ．()3,5--D ．()3,1--二、填空题10．已知关于x 的方程（m ＋2）x ²＋4m x ＋1＝0是一元二次方程，则m 的取范围值是． 11．方程220210x x -=中较小的根是 ．12．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(0,1)和，则OAB △外接圆的圆心坐标是 ．13．若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程27100x x -+=，则此三角形的周长为．14．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是． 15．如图，在等腰直角△ABC 中，斜边AB 的长度为8，以AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接BP ，取BP 的中点M ，则CM 的最小值为．16．若一元二次方程20x x a -+=有实数根，则a 的取值范围是． 17．已知8ab -=，160ab +≤，则2+a b 的值为．18．如图，在△AOB 中，∠AOB ＝90°，∠A ＝30°，OB ＝4，以点O 为圆心，OB 为半径画弧，分别交OA 、AB 于点C 、D ，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）19．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a +b ＝0；③a ﹣b +c ＜0；④b 2＞4ac ；⑤当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，你认为其中正确的是 .（填序号）20．当1x ≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为．三、解答题21．如图，AD 为ABC V 外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD ．(1)求证：BD CD =；(2)请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由．22．已知一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的一个根为1，且a 、b 满足b ，求c 的值．23．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣m 2＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个实数根x 1，x 2满足12123x x x x ++＝，求m 的值．24．矩形ABCD 中，AB =17，BC P 在AB 边上，且满足AP =3PC ，求PB 之长．25．已知CD 为△ABC 的中线，∠A 及∠BDC 的度数分别是方程x 2-75x +1350=0的两根， （1）求∠A 及∠BDC 的度数；（2）求∠B 的度数．26．王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，2(2)0x +≥Q ，2(2)11x ∴++≥．当2(2)0x +=时，2(2)1x ++的值最小，最小值是1．245x x ∴++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出2(1)3x -+的最小值为 ．(2)求代数式21032x x ++的最小值．(3)你认为代数式21253x x -++有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若27110x x y -+-=，求x y +的最小值．27．如图一，AB 是O e 的直径，AC 是弦，直线EF 和O e 相切与点C ，AD EF ⊥，垂足为D ．（1）求证：CAD BAC ∠=∠；（2）如图二，若把直线EF 向上移动，使得EF 与O e 相交于G ，C 两点（点C 在点G 的右侧），连结AC ，AG ，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与CAD ∠相等的角．若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．。

广东省阳江市第一中学实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．213y x =B ．23y x =C ．32y x =-+D ．3x y = 2．方程(3)2(3)x x x -=-的根是（ ）A ．3x =B ．2x =C ．12x =，23x =D ．13x =，22x =- 3．抛物线()2423y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()2,3--D ．()2,3- 4．若a 为方程250+-=x x 的解，则21a a ++的值为（ ）A ．4-B ．4C ．9D ．6 5．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，最大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 6．若函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．3k < B ．3k <且0k ≠ C ．3k ≤ D ．3k ≤且0k ≠ 7．将抛物线y =3x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A ．y =3(x +2)2-3 B ．y =3(x +2)2-2 C ．y =3(x -2)2-3 D ．y =3(x -2)2-2 8．如果点(1,3),(,3)A B m 是抛物线2(4)y a x h =-+上两个不同的点，那么m 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．已知方程20ax bx c ++=的解是14x =，25x =-，则方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的解是（ ）A ．13x =，26x =-B ．15x =，24x =-C ．15x =，26x =D ．13x =-，26x =-10．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，下列结论：①0abc >， ②240b ac ->， ③930a b c ++>， ④80a c +<，其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题11．写出一个经过点()02，，开口向下的抛物线解析式为． 12．已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x ，则可列出方程． 13．如图，二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(1,4)A -， (6,2)B ，则使12y y <成立的x 的取值范围是．14．设A (－2，y 1)、B (1，y 2)、C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋k 上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线213y x =于点B ，C ，则BC 的长为．三、解答题16．对于任意实数a ，b ，定义一种运算：22a b a b *=-，若(1)20x +*=，求x 的值．17．已知二次函数图象经过点()1,3A ，其对称轴为直线2x =，函数的最大值为5.(1)求此函数的解析式；(2)当y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围为____________（请直接写出答案）. 18．将一个正方形的场地扩建，一边加长5m ，一边加长2m 后变成矩形，且矩形的面积是254cm ，求原来正方形的边长．19．如图是二次函数y ＝a (x ＋1)2＋2的图象的一部分，根据图象回答下列问题：(1)抛物线与x 轴的一个交点A 的坐标是，则抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标是；(2)确定a 的值；(3)设抛物线的顶点是P ，试求△P AB 的面积．20．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上，坐标原点O 在边BC 上，AD ＝6，OA 、OB 的长分别是关于x 的一元二次方程x 2﹣7x +12＝0的两个根．且OA ＞OB ． （1）求点C 、D 的坐标．（2）求证：射线AO 是∠BAC 的平分线．21．某商城在2024年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价为2500元，标价为3000元．(1)商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台2430元的价格卖给中奖者．求每次降价的百分率；(2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低50元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？22．已知二次函数2y x bx c =++，该函数图象的对称轴为直线1x =，与x 轴相交于点A 和点B （点B 在点A 右侧），与y 轴交于点(0,3)C -．(1)求该二次函数的表达式；(2)如图①，点D 是直线BC 下方抛物线上的动点，过点D 作DE x ∥轴交直线BC 于点E ，求DE 的最大值；(3)如图②，点P 是直线BC 下方抛物线上的动点，PQ BC ⊥于点Q ，当PQ 取最大值时，求点P 的坐标．23．如图，在Rt ABC △中，90B ??，40cm AC =，30C ∠=︒．点D 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D ，B 运动的时间是()020s t t <≤，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE EF ，．(1)用含t 的代数式表示DA =，DF =．(2)是否存在某一时刻t ，使点F 在线段AC 的中垂线上?若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．是是(3)当t 为时，ADB V 为直角三角形．（直接写答案）(4)是否存在某一时刻t ，使DEF V 的面积是ABC V 面积的625，若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．。

2024年九年级上学期数学9月同步练习一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 3的相反数是（ ） A. 13−B.13C. 3−D. 32. 下列方程一定是一元二次方程是（ ） A. 210x -=B. 20++=x x yC. 110x x++= D. 210x x−= 3. 如图有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.4. 一元二次方程2320x x +−=根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能判定5. 某县2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A. ()22.71 2.36x += B. ()22.361 2.7x += C. ()22.71 2.36x −=D. ()22.361 2.7x −=6. 以下函数的图象的顶点坐标为()2,0的是（） A. 223y x =+B. 23(2)y x =−−C. 22(2)y x =−+D. 22y x =−+7. 已知m ，n 是一元二次方程2310x x +−=两个根，则()()11m n ++的值（ ） A. 3−B. 3C. 1D. 1−8. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(),P c b 所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9. 若24217M x x =−+，2327N x x =++，x 为实数，则M 与N 的大小关系为（ ）的的A. M N >B. M N <C. M ND. M N 、大小关系与x 的取值有关10. 若点A （﹣3，1y ），B （1，2y ），C （m ，3y ）在抛物线y ＝ax 2+4ax +c 上，且1y ＜3y ＜2y ，则m 的取值范围是（ ） A. ﹣3＜m ＜1 B. ﹣5＜m ＜﹣1或﹣3＜m ＜1 C. m ＜﹣3或m ＞1D. ﹣5＜m ＜﹣3或﹣1＜m ＜1二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 若关于x 的一元二次方程220x x m −+=的一个根为1x =，则m 的值为____． 12. 点()3,4−关于原点对称点为__________．13. 将抛物线21y x =+向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是__________．14. 如图，在ABC 中，45BAC ∠=°，15C ∠=°，将ABC 绕点A 逆时针旋转α角度()0180α°<<°得到ADE ，若DE AB ∥，则α=______度．15. 已知关于x 的函数()()222020x x x y x x x +≤ = −+>，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为n 的点，恰好只有两个，则1n =或1−；④点()1,M x m ，()2,N x m 是该函数图象上的两个点，则MN 的最大距离是4．其中正确的结论是__________．（填写序号） 16. 已知二次函数2221y x mx m =−+−（m 为常数），当该二次函数的图象与x 轴交于点A B 、两个点．若线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数，则m 的取值范围是__________．三、解答题（共8小题，72分）17. 解下列方程： （1）221x x −=； （2）2650x x ++=．18. 如图，五边形ABCDE 中，90EAB BCD ∠∠== ，AB BC =，ABC α∠=，AE CD DE +=．的在（1）将ABE 绕点B 顺时针旋转α，画出旋转后的BCM ，并证明D C M 、、三点在一条直线上； （2）求证：△≌△EBD MBD ．19. 关于 x 的方程 x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0 有两个实数根 x 1，x 2． （1）求 k 的取值范围；（2）请问是否存在实数 k ，使得 x 1+x 2＝1﹣x 1x 2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由． 20. 抛物线243y x x =−+与x 轴交于A B 、两点，A 在B 左侧，与y 轴交于C 点． （1）C 点坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）不等式2430x x −+>的解集是 ； （3）当x 满足23x −≤≤时，y 的取值范围 ．21. 如图是由小正方形组成的1010×网格，每个小正方形的顶点叫做格点．、、A B C 三点是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．（1）在图1中，将线段AB 绕A 点逆时针旋转90°至AE ，设AB 的中点D ，标出D 点旋转后的对应点F ；（2）在图2中，过B 点作AC 的平行线BG ，在BG 上取一点M ，使MAB CAB ∠=∠． 22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x 为整数，且该商品的月销售量y （件）是售价x （元/件）的一次．函数．，其售价（元/件）、月销售量y （件）月销售利润w （元）的部分对应值如下表：()=×− 月销售利润月销售量售价进价售价x /（元/件） 30 35 月销售量y /件300250月销售利润w /元 4500 5000（1）商品的进价为 元/件，y 关于x 的函数表达式为 ； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m 元利润()10m ≤给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则m = ． 23. 在菱形ABCD 中，60ABC ∠=°，BD 为菱形的一条对角线．（1）如图1，过A 作AE BC ⊥于点E 交BD 于点F ，求证：2FD BF =； （2）在（1）的条件下，若2FE =，则菱形ABCD 面积为 ；（3）如图2，M 为菱形ABCD 外一动．点且CM CB =，连接AM ，DM ，BBBB ，试探究DM BM AM 、、的数量关系，请写出三条线段的数量关系 ．（选择其中一种数量关系，并写出其证明过程）24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线()230y ax bx a =+−≠与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ，与y 轴交于点C ，D 是该抛物线上的一动点．．．（1）C 点坐标 ，该抛物线解析式为 ，顶点为 ；为（2）如图1中，连接AC BD 、，直线AC 交直线BD 于点G ，若45CGB∠=°，求此时D 点坐标； （3）如图2，连接BC ，过D 点作BC 的平行线交该抛物线于点E （不与D 重合），连接CD BE 、，直线CD 与直线BE 交于点P ，求点P 的横坐标．2024年九年级上学期数学9月同步练习一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 3的相反数是（ ） A. 13− B.13C. 3−D. 3【答案】C 【解析】【分析】本题考查相反数的定义，熟记相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义即可直接选择． 【详解】解：3的相反数是3−． 故选：C ．2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. 210x -= B. 20++=x x yC. 110x x++= D. 210x x−= 【答案】A 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答．【详解】解：方程20++=x x y 含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B 不符合题意； 方程110x x++=和方程210x x −=都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项C 、D 不符合题意； 210x -=符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A 符合题意；故选：A ．3. 如图有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】A 、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；B 、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；C 、图形绕某一点旋转180°后与原来图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；D 、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；故选：B ．4. 一元二次方程2320x x +−=根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能判定【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得2498170b ac ∆=−=+=>，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程2320x x +−=中，1,3,2a b c ===−， ∴2498170b ac ∆=−=+=>，∴一元二次方程2320x x +−=有两个不相等的实数根， 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．5. 某县2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A. ()22.71 2.36x += B. ()22.361 2.7x += C. ()22.71 2.36x −= D. ()22.361 2.7x −=【答案】B 【解析】【分析】设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x ，根据题意得，()22.361 2.7x +=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 6. 以下函数的图象的顶点坐标为()2,0的是（）的A. 223y x =+B. 23(2)y x =−−C. 22(2)y x =−+D. 22y x =−+【答案】B 【解析】【分析】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．因为抛物线()2y a x h k =−+，顶点坐标是(),h k ，根据这个模式求出每个函数的顶点坐标，再比较． 【详解】解：A 、223y x =+的顶点坐标是(0,3)，不符合题意； B 、23(2)y x =−−的顶点坐标是(2,0)，符合题意； C 、22(2)y x =−+的顶点坐标是()2,0−，不符合题意； D 、22y x =−+的顶点坐标是(0,2)，不符合题意． 故选：B ．7. 已知m ，n 是一元二次方程2310x x +−=的两个根，则()()11m n ++的值（ ） A. 3− B. 3C. 1D. 1−【答案】A 【解析】关系．根据一元二次方程根与系数的关系得出3m n +=−，1mn =−，代入整理后的代数式，即可求解．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2310x x +−=的两个根， ∴3m n +=−，1mn =−，∴()()1113131mm m n m n =+++=−−+++=−， 故选：A ．8. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(),P c b 所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C的【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限．首先根据二次函数的图象及性质判断c 和b 的符号，从而得出点(),P c b 所在象限．【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴0a >，02ba−>， ∴0b <，二次函数的图象与y 轴的交点在原点下方，∴0c <，∴(),P c b 在第三象限，故选：C ．9. 若24217M x x =−+，2327N x x =++，x 为实数，则M 与N 的大小关系为（ ） A. M N > B. M N <C. M ND. M N 、的大小关系与x 的取值有关【答案】A 【解析】【分析】本题考查了整式的加减，配方法的应用．直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案．【详解】解：∵24217M x x =−+，2327N x x =++， ∴()224217327M N x x x x −=−+−++224217327x x x x =−+−−− 2410x x =−+ ()226x =−+，∵()220x −≥， ∴(xx −2)2+6>0， ∴M N >． 故选：A ．10. 若点A （﹣3，1y ），B （1，2y ），C （m ，3y ）在抛物线y ＝ax 2+4ax +c 上，且1y ＜3y ＜2y ，则m 的取值范围是（ ） A. ﹣3＜m ＜1 B. ﹣5＜m ＜﹣1或﹣3＜m ＜1 C. m ＜﹣3或m ＞1 D. ﹣5＜m ＜﹣3或﹣1＜m ＜1【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x ＝﹣2，分a ＜0和a ＞0两种情况讨论，分别根据图像上点的坐标特征得到关于m 的不等式，然后解不等式即可解答． 【详解】解：抛物线y ＝ax 2+4ax +c 的对称轴为x ＝﹣42aa＝﹣2， ∵点A （﹣3，y 1），B （1，y 2），C （m ，y 3）在抛物线y ＝ax 2+4ax +c 上，且y 1＜y 3＜y 2， ∴当a ＜0，则|m +2|＜1且|m +2|＞3，（不存在）；当a ＞0，则1＜|m +2|＜3，解得﹣5＜m ＜﹣3或﹣1＜m ＜1． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、解一元一次不等式组，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m 的一元一次不等式．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 若关于x 的一元二次方程220x x m −+=的一个根为1x =，则m 的值为____． 【答案】1 【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．把1x =代入一元二次方程得到120m −+=，然后解一次方程即可． 【详解】解：把1x =代入方程220x x m −+=得120m −+=， 解得1m =． 故答案为：112. 点()3,4−关于原点对称点为__________． 【答案】(3,−4) 【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，横、纵坐标互为相反数是解题关键．根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答即可． 【详解】解：点()3,4−关于原点O 的对称点为()3,4−．故答案为：()3,4−．13. 将抛物线21y x =+向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是__________．【答案】()224y x =−+【解析】【分析】此题主要考查了函数图象的平移．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数21y x =+向右平移2个单位，得：()221y x =−+；再向上平移3个单位，得：()2213y x =−++，即()224y x =−+； 故答案为：()224y x =−+．14. 如图，在ABC 中，45BAC ∠=°，15C ∠=°，将ABC 绕点A 逆时针旋转α角度()0180α°<<°得到ADE ，若DE AB ∥，则α=______度．【答案】60【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质．先根据旋转的性质可得15C E ∠=°∠=，再根据平行线的性质可得15BAE E °∠==∠，然后根据角的和差可得60EAC ∠=°，由此即可得．【详解】解：由旋转性质得：15C E ∠=°∠=，DE AB ∥，15BAE E °∴=∠=∠，45BAC ∠=° ，60EAC BAC BAE ∴∠=∠+∠=°，即旋转角为60°，60α∴=°，故答案为：60．的15. 已知关于x 的函数()()222020x x x y x x x +≤ = −+>，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为n 的点，恰好只有两个，则1n =或1−；④点()1,M x m ，()2,N x m 是该函数图象上的两个点，则MN 的最大距离是4．其中正确的结论是__________．（填写序号）【答案】②③④【解析】【分析】本题考查了二次函数和图象和性质．根据题意画出草图，根据图象求解即可．【详解】解：对于()22211y x x x =+=+−()0x ≤， 顶点坐标为()1,1A −，令0y =，则220x x +=，解得0x =或2x =−，与x 轴的交点坐标为()2,0D −，OO (0,0)，对于()22211y x x x =−+=−−+()0x >，顶点坐标为()1,1B ， 令0y =，则220x x +=，解得0x =或2x =，与x 轴的交点坐标为()2,0E ，如图，观察图象，①函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，结论①错误；②函数图象上纵坐标为0的点有点D O E 、、，共3个，结论②正确；③满足纵坐标为n 的点，恰好只有两个，即经过点A 或B 且平行于x 轴两条直线与图象的交点，此时1n =或1−，结论③正确；④点()1,M x m ，()2,N x m 是该函数图象上的两个点，由图象知，当0m =时，则MN 的最大距离即4DE =，结论④正确．故答案为：②③④．16. 已知二次函数2221y x mx m =−+−（m 为常数），当该二次函数的图象与x 轴交于点A B 、两个点．若线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数，则m 的取值范围是__________．【答案】 1.51m −<≤−或3 3.5m ≤<．【解析】【分析】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题．先求得二次函数的图象与x 轴的交点坐标，再利用线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数，分两种讨论，分别列不等式组，计算即可求解．【详解】解：令0y =，则22210x mx m −+−=，解得11x =，221x m =−， 不妨设()1,0A ，则()21,0B m −，当点B 在点A 左侧时，由题意得4213m −<−≤−，解得 1.51m −<≤−；当点B 在点A 右侧时，由题意得5216m ≤−<，解得3 3.5m ≤<；综上，m 的取值范围 1.51m −<≤−或3 3.5m ≤<．故答案为： 1.51m −<≤−或3 3.5m ≤<．三、解答题（共8小题，72分）17. 解下列方程：（1）221x x −=；（2）2650x x ++=．【答案】（1）11x =+21x =−（2）11x =−，25x =−．【解析】【分析】本题考查求一元二次方程的解，解一元二次方程的一般方法有配方法、公式法和因式分解法． （1）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，再开平方求解即可；（2）根据因式分解法将方程变为()()150x x ++=，将方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【小问1详解】解：221x x −=，配方得：22111x x −+=+，即()212x −=，∴1x −=解得：1x =±∴11x =21x =【小问2详解】解：2650x x ++=， 分解因式得：()()150x x ++=， ∴10x +=或50x +=， 得：11x =−，25x =−．18. 如图，在五边形ABCDE 中，90EAB BCD ∠∠== ，AB BC =，ABC α∠=，AE CD DE +=．（1）将ABE 绕点B 顺时针旋转α，画出旋转后的BCM ，并证明D C M 、、三点在一条直线上； （2）求证：△≌△EBD MBD ．【答案】（1）画图见解析，证明见解析（2）见解析【解析】【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，利用旋转构造出全等三角形时解本题的关键．（1）先根据题意画出图形，再由旋转的性质可得90EAB BCM ∠∠==°，由90BCD ∠=°，可得180BCM BCD ∠∠+=°；（2）由旋转的性质可得BM BE =，AE CM =，再由AE CD DE +=可得CM CD DE +=，即：DM DE =，最后通过“SSS ”证明△≌△EBD MBD 即可．【小问1详解】如图所示，将ABE 绕点B 顺时针旋转α，AB BC =,ABC α∠=，90EAB BCM ∠∠°∴，90BCD ∠=° ，180BCM BCD ∠∠∴+=°，∴D C M 、、三点在一条直线上；【小问2详解】将ABE 绕点B 顺时针旋转α，得到ACM △，BCM BAE ∴ ≌，BM BE ∴=，AE CM =，AE CD DE += ，CM CD DE ∴+=，即：DM DE =，BD BD = ，()SSS EBD MBD ∴ ≌；19. 关于 x 的方程 x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0 有两个实数根 x 1，x 2．（1）求 k 的取值范围；（2）请问是否存在实数 k ，使得 x 1+x 2＝1﹣x 1x 2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由．【答案】（1）12k ≤ （2）存在，3k =−【解析】【分析】（1）根据关于 x 的方程 x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0 有两个实数根，∆≥0，代入计算求出k 的取值范围．（2）根据根与系数的关系，12= x b x a+−，12=c x x a ，根据题意列出等式，求出k 的值，根据k 的值是否在取值范围内做出判断．【小问1详解】解：∵关于 x 的方程 x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0 有两个实数根根据题意得()22414480k k k ∆=−−=−≥， 解得12k ≤． 【小问2详解】解：存在．根据根与系数关系122()1x x k +=−，212x x k =， ∵x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，∴2()211k k −=−，解得1231k k =−=，， ∵12k ≤． ∴存在实数k =-3，使得x 1+x 2＝1﹣x 1x 2．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程，要注意根据k 的取值范围来进取舍．20. 抛物线243y x x =−+与x 轴交于A B 、两点，A 在B 左侧，与y 轴交于C 点．（1）C 点坐标为 ，顶点坐标为 ；（2）不等式2430x x −+>的解集是 ；（3）当x 满足23x −≤≤时，y 的取值范围 ．【答案】（1）()0,3；()2,1−；（2）1x <或3x >（3）115y −≤≤．【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与两坐标轴的交点及不等式组，本题利用数形结合的思想是关键，从图象中读出不等式组的解集和对应y 的取值．（1）配方可得抛物线顶点M 的坐标；将0x =和0y =代入抛物线的解析式可求得点C 的坐标； （2）将0y =代入抛物线的解析式可求得A ，B 的坐标；画出草图，根据图象得出结论；（3）计算得出当23x −≤≤时对应的函数值，根据图象即可写出二次函数y 的取值范围．【小问1详解】解：()224321y x x x =−+=−− ，∴抛物线顶点M 的坐标为()2,1−；把0x =代入243y x x =−+得3y =；C ∴点坐标为(0,3)；【小问2详解】解：把0y =代入243y x x =−+得2430x x −+=，解得11x =，23x =，A ∴点坐标为(1,0)、B 点坐标为()3,0，草图，如图所示；2430x x −+>，即0y >，由图象得：当1x <或3x >时，0y >，则2430x x −+>；故答案为：1x <或3x >；【小问3详解】解：由图象得：当2x =−时，()()2242348315y =−−×−+=++=；当2x =时，1y =−最小；当3x =时，0y =；所以y 取值范围：115y −≤≤．21. 如图是由小正方形组成的1010×网格，每个小正方形的顶点叫做格点．、、A B C 三点是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．（1）在图1中，将线段AB 绕A 点逆时针旋转90°至AE ，设AB 的中点D ，标出D 点旋转后的对应点F ；（2）在图2中，过B 点作AC 的平行线BG ，在BG 上取一点M ，使MAB CAB ∠=∠． 【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】本题考查作图-旋转变换，平行线的性质，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．（1）利用全等三角形的性质作出AE ，线段AB 与格线交点即为AB 的中点D ，线段AE 与格线交点即为AE 的中点F ；（2）作平行四边形BCHG ，得到BG AC ∥，作正方形ABRE ，分别取AB 和RE 与格线的交点D 和N ，作射线DN 交BG 于点M ，此时MN 是线段AB 的垂直平分线，则MAB GBA CAB ∠∠∠==． 【小问1详解】解：线段AE ，以及点D 和点F 如图1所示；【小问2详解】解：所作图形如图所示：22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x 为整数，且该商品的月销售量y （件）是售价x （元/件）的一次．函数．，其售价（元/件）、月销售量y （件）月销售利润w （元）的部分对应值如下表：()=×− 月销售利润月销售量售价进价 售价x /（元/件）30 35 月销售量y /件 300 250 月销售利润w /元 4500 5000（1）商品的进价为 元/件，y 关于x 的函数表达式为 ；（2）当该商品售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m 元利润()10m ≤给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则m =．【答案】（1）15，10600y x =−+； （2）当该商品的售价是37.5元时，月销售利润最大，最大利润为5062.5元；（3）5【解析】【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．（1）根据表中数据可以求出每件进价，设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；（2）设该商品的月销售利润为w 元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；（3）根据总利润=（单件利润m −）×销售量列出函数解析式，再根据42x ≤时，利用函数性质求解即可．【小问1详解】的解：由表中数据知，每件商品进价为30030455300010×−=（元/件）， 设一次函数解析式为y kx b =+， 根据题意，得3030035250k b k b += +=， 解得：10600k b =− =， 所以y 与x 的函数表达式为10600y x =−+； 故答案为：15，10600y x =−+； 【小问2详解】解：设该商品的月销售利润为w 元，则()15w x y =−()()1510600x x =−−+2107509000x x =−+−()21037.55062.5x =−−+，∵100−<，∴当37.5x =时，w 最大，最大值为5062.5，∴当该商品的售价是37.5元时，月销售利润最大，最大利润为5062.5元；【小问3详解】解：根据题意得： ()()()2151060010750109000600w x m x x m x m =−−−+=−++−−， 对称轴为直线()7501037.52210m m x ++==−×−， ∵10m ≤，∴37.542.52m +≤， ∵100−<，∴当42x =时，w 取得最大值为3960元，∴()()421510426003960m −−−×+=，解得：5m =．故答案为：5．23. 在菱形ABCD 中，60ABC ∠=°，BD 为菱形的一条对角线．（1）如图1，过A 作AE BC ⊥于点E 交BD 于点F ，求证：2FD BF =；（2）在（1）的条件下，若2FE =，则菱形ABCD 面积为 ；（3）如图2，M 为菱形ABCD 外一动．点且CM CB =，连接AM ，DM ，BBBB ，试探究DM BM AM 、、的数量关系，请写出三条线段的数量关系 ．（选择其中一种数量关系，并写出其证明过程）【答案】（1）见解析 （2）（3）DM BM =（答案不唯一），理由见解析 【解析】【分析】（1）利用菱形的性质以及直角三角形的性质求得1122BE AB AD ==，推出ADF EBF ∽，得到2FDAD BF BE==，据此即可证明2FD BF =； （2）同（1）求得ADF EBF ∽，得到2AF AD EF BE==，求得4AF =，6AE =，解直角三角形求得BC AB ==，利用菱形的面积公式即可求解；（3）连接AC ，延长BM 到H ，证明点B M A D 、、、在以点C 为圆心的C 上，利用圆心角与圆周角的关系求得AMD AMH ∠=∠，证明()Rt Rt HL MAN MAG ≌，求得=NM MG ，再证明()Rt Rt HL ANB AGD ≌，求得ABN ADG ∠=∠，BN DG =，然后利用直角三角形的性质即可解决问题．【小问1详解】证明：如图1中，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=°，AE BC ⊥，30BAE =∴∠°，AB BC AD ==，AD BC ∥， ∴1122BE AB AD ==，∵AD BE ∥，∴ADF EBF ∽， ∴2FD ADBF BE ==，∴2FD BF =；【小问2详解】解：由（1）ADF EBF ∽， ∴2AFADEF BE ==，∵2FE =，∴4AF =，∴6AE =，∵30BAE ∠=°， ∴cos AE BAE AB ∠=，即6cos30AB °=，∴AB =BC AB ==，∴ABCD S BC AE =⋅=菱形；故答案为：；【小问3详解】解：DM BM =，理由如下：连接AC ，延长BM 到H ，∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=°，∴ABC 和ACD 都是等边三角形，∴60ACB ACD ∠=∠=°，∵CM CB =，∴CB CM CA CD ===，∴点B M A D 、、、在以点C 为圆心的C 上， ∴1302AMD ACD ∠=∠=°，()1302MAB MBA MCB MCA ∠+∠=∠+∠=°， ∵30MAB M HMA BA ∠+∠=°∠=，∴AMD AMH ∠=∠，如图，过A 作AN BH ⊥点N ，AG DM ⊥于点G ，AMN AMG ∠=∠ ，AN MN ⊥，AG DM ⊥，AN AG ∴=，90MNA MGA ∠=∠=° ，AM AM =，AN AG =，()Rt Rt HL MAN MAG ∴ ≌，NM MG ∴=，90ANB AGD ∠=∠=° ，AN AG =，AB AD =，()Rt Rt HL ANB AGD ∴ ≌，∴ABN ADG ∠=∠，BN DG =，120BMD BAD ∠=∠=° ，60NMG ∴∠=°，30AMN AMG ∴∠=∠=°，()2DM BM MG DG BN MN MN ∴−=+−−==，DM BM ∴=+．【点睛】本题考查菱形的性质，圆心角与圆周角，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线()230y ax bx a =+−≠与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ，与y 轴交于点C ，D 是该抛物线上的一动点．．．（1）C 点坐标为 ，该抛物线解析式为 ，顶点为 ；（2）如图1中，连接AC BD 、，直线AC 交直线BD 于点G ，若45CGB∠=°，求此时D 点坐标； （3）如图2，连接BC ，过D 点作BC 的平行线交该抛物线于点E （不与D 重合），连接CD BE 、，直线CD 与直线BE 交于点P ，求点P 的横坐标．【答案】（1）()0,3−，223y x x =−−，()1,4−；（2）此时D 点坐标()1,4−或39,24 −； （3）点P 的横坐标为32． 【解析】【分析】（1）当0x =时，求出点C 坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，最后配方即可求出顶点坐标； （2）先求出直线AC 解析式为33y x =−−，然后分当G 在直线BC 下方时和当G 在直线BC 下方时两种情况分，由相似三角形的判定与性质即可求解；（3）设()2,23E m m m −−，()2,23D n n n −−，然后求出直线BC 解析式为3y x =−，由DE BC ∥，设直线DE 解析式为y x t =+，联立得223x t x x +=−−，整理得：2330x x t −−−=，根据两根关系可得3m n +=，则()23,4D m m m −−，分别出直线CD 解析式为()13y m x =−−，直线BE 解析式为()133y m x m =+−−，联立得()()13313y m x m y m x =+−− =−−，最后解方程即可求解．【小问1详解】解：由抛物线23y ax bx =+−，当0x =时，=3y −，∴CC (0,−3)，∵抛物线与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ，∴309330a b a b −−= +−= ，解得：12a b = =−， ∴抛物线解析式为223y x x =−−，由()222314y x x x =−−=−−，∴顶点坐标为()1,4−，故答案为：()0,3−，223y x x =−−，()1,4−；【小问2详解】解：由（1）得：CC (0,−3)，设直线AC 解析式为11y m x n =+， ∴11103m n n −+= =− ，解得：1133m n =− =− ， ∴直线AC 解析式为33y x =−−， ∵()3,0B ，CC (0,−3)，()1,0A −，∴3OB OC ==，1OA =，∴4AB =，AC 45OBC OCB ∠=∠=°，BC ==， ∴1143622ABC S AB OC =×=××=△， 如图，当G 直线BC 下方时，过G 作GM x ⊥轴于点M ，∵45CGB∠=°， ∴45CGB OBC ∠=∠=°， ∵BAC GAB ∠=∠，∴BAC GAB ∽，∴2258ABC AGB S AC S AB == ， ∴658AGB S = ， ∴485AGB S =，即14825AB GM ×=， ∴148425GM ××=， ∴245GM =， 当245y =−时，24335x −=−−，解得：35x =， ∴324,55G −，在设BG 解析式为11y k x b =+， ∴11113032455k b k b += +=− ，解得：1126k b = =− ， ∴设BG 解析式为26y x =−， ∴22326y x x y x =−− =− ，解得：14x y = =− 或30x y = = （舍去） ∴()1,4D −；如图，当G 在直线BC 上方时，过G 作GN x ⊥轴于点N ，同理∴BAC GBC ∽，∴2259ABC BGC S AC S BC ==， ∴659BGC S = ， ∴545BGC S =，即()15425AB GN OC ×+=， ∴()1544325GN ××+=， ∴125GN =， 当125y =时，12335x =−−，解得：95x =−，∴912,55G −， 设BG 解析式为22y k x b =+， ∴22223091255k b k b += −+= ，解得：221232k b =− =， ∴BG 解析式为1322y x =−+， ∴2231322y x x y x =−− =−+ ，解得：3294x y =− =或30x y = = （舍去） ∴39,24D −； 综上可知：此时D 点坐标()1,4−或39,24 −； 【小问3详解】解：如图，设()2,23E m m m −−，()2,23D n n n −−，∵点E 不与D 重合，∴m n ≠且3m ≠，同上理可得：直线BC 解析式为3y x =−，∵DE BC ∥，∴设直线DE 解析式为y x t =+，∴联立得223x t x x +=−−，整理得：2330x x t −−−=，∴根据两根关系可得3m n +=，∴()23,4D m m m −−， 设直线CD 解析式为33y k x =−， ∴()23433m m m k −=−−，解得：31k m =−， ∴直线CD 解析式为()13y m x =−−，同理直线BE 解析式为()133y m x m =+−−，联立得()()13313y m x m y m x =+−− =−−， ∴()()13313m x m m x +−−=−−，∴23mx m =， ∴32x =， ∴点P 的横坐标为32． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，二次函数和一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．。