领航两个变量之间的关系
一、知识要点
表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法
◆要点1 变量、自变量、因变量
(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。
(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行，路程S 、速度V 、时间T 三个量中，速度V 一定，路程S 则随着时间T 的变化而变化。则T 为自变量，路程为因变量。 ◆要点2 列表法与变量之间的关系
(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小 ◆要点3 用关系式表示变量之间的关系
(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。 (2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。
(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。 ◆要点4 用图象法表示变量的关系
(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。
(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。 (3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。 (4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象
★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。 ★若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”①表示物体匀速运动；“水平线段”②表示物体停止运动，“下降的线段”③表示物体反向运动。如图BL —01(1)、(2)：
二、例题讲解
（一）列表法表示变量之间的关系
例1、果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
BL —01
（2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？
例2
(1) 弹簧不挂物体时的长度是多少？
(2) 如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？请写出y与x之间的关系式。
(3) 如果此弹簧的最大挂重为25千克，您能够预测当挂重为14千克时，弹簧的长度是多少吗？
（二）、用关系式表示两个变量之间的关系
例1、一辆汽车正常行驶时每小时耗油8升，油箱现有52升汽油。(1) 如果汽车行驶时间为t(时)，那么油箱中所存油量Q (升)与t(时)的关系式是什么？(2) 油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？(3) 当t的值分别为1，2，3时，Q相应的值是多少？
例2、一个梯形，它的下底长比上底长长2cm，它的高为3cm，设它的上底长为x cm，它的面积为y cm2。
(1) 写出y与x之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量？
(2) 当x由5变到7时，y如何变化？
(3) 用表格表示当x从3变到10时(每次增加1)，y的相应值；
(4) 当x每增加1时，y如何变化？并说明你的理由；
(5) 这个梯形的面积能等于9cm2吗？能等于2cm2吗？为什么？
例3、长方形的长是20cm，当宽由小到大地变化时，长方形面积也随之变化。
(1) 在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是___________。
(2) 如果长方形的宽为a cm，面积为S cm2，则S与a之间的关系式为_________。
(3) 当a=15cm时，S是__________。
(4) 当面积S是280时，这时的宽a是______________。
例
4、某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果校长买全票一张，则学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”，若全票价甲乙旅行社均为240元。
(1) 设学生为x ，甲乙旅行社收费分别为y 甲(元)和y 乙(元)，分别写出两个旅行社收费的关系式； (2) 哪家旅行社收费更优惠？
例5、某移动通信公司开设了“全球通”和“金卡快捷通”两种业务，前者每月先缴30元月租费，每通话1分钟付费0.4元，后者不缴月租费，但每分钟付费0.6元，若某人的每月通话时间在200分钟左右，则他应选用哪种业务比较合算？并简明叙述理由。（思路1：直接计算200分钟应付的话费进行比较；思路2：先求出付费相同的通话时间，再看200分钟比这个时间多还是少。）
（三）用图像法表示两个变量之间的关系
例1、小丽和她的邻居小明一起离家步行上学。
(1) 小丽一开始就跑，跑累了便走着去，小明开始走着，当他快到学校时跑了起来，他们同时到达学校。图BL —02中，图________表示小丽的行程，图______表示小明的行程最好。
(2) 若小丽在上学的路上以固定的速度前进，如图BL —03中虚线所示，小明在上学的路上以小丽速度的2倍行进，小名的速度以实线表示，他们先后到达学校，则图______可以描述这种情况。
例2、小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，如图BL —04中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用的时间t （分）之间的关系（ ）
BL —02
BL —03
提高训练一
1、一棵树苗栽下去时高0.8m，以后10
年内每年平均长高0.4m，x 年后树高y m。
(1) 这个问题中，常量是_________，变量是_________；
(2) 这个问题中x值是________量，y值是_________量；
(3) 生长5年后树高_______m，生长了10年树高__________m；
(4) 请你写出y随x变化而变化的关系式_______________。
2、长方形的长为a cm，宽为6 cm，则它的周长C与长a 之间的关系为______。
3、某种情况下，声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x (℃)之间存在如下关系：331
5
3
+
=x
y，
(1) 当气温x=15℃时，声音的速度y=________ m/s；
(2) 当气温x=22℃时，某人看到烟花燃放5s 后才听到声音响，则此人与燃放的烟花所在地相距________m。4、
数量x(kg) 1 2 3 4 5
售价y(元) 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5
5、如图BL—05，一个矩形推拉窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积a(平方米)与拉开长度b(米)之间的
关系式为__________。
6、某电影院有1000个座位，门票每张3元可达客满，若每张票提高x元，将有200x张门票不能售出，
提价后每场电影票房收入y元与提高的票价x元之间的关系是_______________。
7、小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，形成情况如图BL—06所示，若返回时上坡、下坡的速度
仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是________分钟。
8、根据河道的剩水量Q(m3)与水泵抽水时间t (h)的关系图象如图BL—07，回答下列问题：
(1) 水泵抽水前，河道内有_________的水，水泵最多抽________小时；
(2) 水泵抽8小时后，河道剩水量为_________ m3；
(3) 当河道剩水量为100 m3时，水泵已抽水__________小时；
(4) 水泵平均每小时抽水_________ m3。
9、有一边长为2 cm的正方形，若边长增加x cm，面积就增加y (cm2)，则y =________。
BL—05 BL—06 BL—07
BL—04
10、 一杯开水10分钟后冷却下来，在这个变化过程中，自变量是_________，因变量是________。 11、 亮亮拿6元钱去邮局买面值为0.80元的邮票，买邮票所剩钱数y(元)与买邮票的枚数x(枚)的关系式
为______________，最多可以买________枚。 12、 根据图BL —08所示的程序计算，若输入的x 的值是
2
3
，则输出的结果是（ ） A.
27 B.49 C.23 D. 2
9
13、 在关系式y=3x+5中，下列说法：①x 是自变量，y 是
因变量；②x 的数值可以任意选择；③ y 是变量，它的值与x 无关；④用关系式表示的不能用图象表
示；⑤y 与x 的关系还可以用列表法和图象法表示。其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①②⑤
14、 中国工程院院士袁隆平研究的超级杂交水稻以单季亩产1138kg 创世界纪录，农户王文清家有x 亩地，
今年晚稻改种超级杂交水稻，如果每亩产量达到1130kg ，那么王文清家水稻的总产量y 与x 之间的关系为（ ）
A. y=1130x
B. y=1138x
C. y=(1138-1130)x
D. y=(1130+1138)x
15、 托运行李p 千克(p 为整数)的费用为c 元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克(不足
1千克按1千克计)需增加费用5角，则计算托运行李费用c 的公式是（ ） A. c=0.5p B. c=0.5p+1 C. c=0.5p+1.5 D. c=0.5p+2
16、 在地球某地，温度T(℃)与高度d (m)的关系可近似地用150
10d
T -
=来表示，则当高度d=900 m 时，温度T 为（ ）
A. 4℃
B. 3℃
C. 2℃
D. 1℃
17、 如图BL —09是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差
最大的一天是（ ）
A.5月1日
B. 5月2日
C. 5月3日
D. 5月5日
18、 从山顶上滚到山脚下的一块石头，图BL —10中能大致描述速度v 随时间t 变化的图象是（ ）
BL —08
BL —09
BL —10
19、某礼堂的座位排列呈弧形，横排座位按下列方式设置：
则第n排有座位(
)个
A. 10n+4
B. 20+4n
C. 20+4(n-1)
D. 20+3(n-1)
20、丽丽放学回家进门后觉得口渴，可家里没有凉开水，于是她用水壶接了水，放在炉子上烧开，烧开后
又倒入水杯中晾凉后才喝到嘴里，如图BL—11中，可以近似地刻画出水的温度随时间的变化而变化
的图象是（）
21、三峡工程在2003年6月1日至10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现
人间，假设水库水位匀速上升，那么如图BL—12所示的图象中，能正确反映这10天水位h(米)随时间t (天)变化的是（）
22、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用s1、s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图BL—13的图象中与故事情节相吻合的是（）
23、小明早上7:00点出发到社区作义务劳动，开始匀速步行，后碰上小亮，小明就停下和小亮聊了一会
儿，为了保证能准时到达，他加快了速度，但仍然保持匀速步行，结果准时到达，如图BL—14中，以下四个图象中能准确描述小明离家的距离与时间的关系的是（）
24、下表给出了桔农老李去年卖桔子的收入随桔子卖出的质量变化的有关数据。
排数 1 2 3 4 …
座位数20 24 28 32 …
BL—11
BL—13
BL—14
BL—12
质量(千克) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
收入(元) 2 4 6 8 10 12 14 16 18
(1) 上表反映了那两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2) 当桔子卖出5千克时，收入是多少？当桔子卖出50千克时，收入又是多少？
(3) 如果用x表示桔子卖出的质量，y表示收入，按表中的关系，用一个式子表示出来。
25、在课堂45分钟内，什么时候学生的接受能力最强?心理学家发现，学生对概念的接受能力与老师提出
时间(分钟) 0 2 10 12 13 14 16 24 26 接受能力43 47.8 59 59.8 59.9 59.8 59 47.8 43
(2) 根据表中的数据，你认为老师在第_________分钟提出概念比较适宜？说说你的理由。
26、如图BL—15，一边靠墙，其他三边用12米长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花圃。
(1) 如果设花圃靠墙的一边的长为x(米)，花圃的面积为y(平方米)，求x，y 满足的关系式；
(2) 当长x从4米变到6米时，面积y变化如何？
(3) 当长x从6米变到8米时，面积y变化如何？
BL—15
27、某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行调查的基
础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，获得了每千克蔬菜的利润与月份的关系如下表(表中数据前“－”表示亏损)
月份 2 3 4 5 6 7 8 利润(元·千克) -0.67 1 2.33 2.67 2 1 -0.67
(2) 如果4月份该基地生产这种蔬菜4.5吨，则4月份该基地可获得多少利润？
(3) 如果你是该市场负责人之一，你认为这种蔬菜应在哪几个月上市最好？为什么？
28、
每月每户用水量每吨价(元)
不超过10吨部分0.50
超过10吨而不超过20吨部分0.75
超过20吨部分 1.50
(1) 现已知小明家4
(2) 写出每月用户的水费y（元）与用水量x(吨)之间的关系式；
(3) 若小明家某月缴水费17元，问：他家该月用水多少吨？
29、两个人分别骑自行车和摩托车从甲地到乙地，时间与路程关系如图
BL—17所示，根据图象回答下列问题：
(1) 甲地到乙地的路程是多少千米？自行车的速度与摩托车的速度
各是多少？
(2) 自行车比摩托车早出发几小时？摩托车比自行车早到几小时？
(3) 摩托车出发后几小时追上骑自行车的人？
30、小丽家离学校2 km ，步行到校需30 min ，小丽的同学小军上学
要经过小丽家，小军骑车上学行驶的路程与时间的关系如图BL—
18所示．
(1)小军家离学校多远？骑车上学的平均速度是多少？
(2)如果小丽与小军同时从家里出发上学，试在小军
上学的路程与时间的关系图上画出小丽上学的路程
与时间的关系图．
(3)他们同时从家里出发，途中能相遇吗？
提高训练二
一、选择题
1、如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y 与x之间的关系应该是（）
（A）y=12x（B）y=18x（C）y=2
3
x（D）y=
3
2
x
2、已知△ABC的底边BC上的高为8cm，当它的底边BC从16cm变化到5cm时，△ABC的面积（）（A）从20cm2变化到64cm2（B）从64c m2变化到20cm2
（C）从128cm2变化到40cm2（D）从40cm2变化到128cm2
输入… 1 2 3 4 5 …
输出…
1
22
5
3
10
4
17
5
26
…
（A）8
61
（B）
8
63
（C）
8
65
（D）
8
67
BL—17
BL—18
4、下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b与下降高度d的关系，
下面能表示这种关系的式子是（）
d 50 80 100 150
b 25 40 50 75
（A）2
b d
=（B）2
b d
=（C）
2
d
b=（D）25
b d
=+
5、小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。车修好
后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶。下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图
像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是（）
6、为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和
一个出水管（两个进水管的进水速度相同）一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点
到6点（到少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，
只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水.则一定正确的论断是（）
A、①③
B、②③
C、③
D、①②
7、用一水管向图中容器内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注满容器
的过程中，容器内水面升高的速度( )
A、保持不变
B、越来越慢
C、越来越快
D、快慢交替变化
8、甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离
s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，
有下列说法：( )
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地。
A B C D
图2
水池蓄水量
时间
6
4
1
8
5
4
2
1
1
1
进水量
时间
进水量
时间
图1
水池蓄水量
时间
6
4
1
8
5
4
2
1
1
1
进水量
时间
进水量
时间
出水量
进水量
S（千米）
18
t（小时）
甲
乙
O
第8题图
1 2.5
其中，符合图象描述的说法有
A.2个
B.4个
C.3个
D.5个
9、一辆汽车由韶关匀速驶往广州，下列图象中大致能反映汽车距离广州的路程s（千米）和行驶时间t（小
时）的关系的是【】.
A B C D
10、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为1
2
32+
+
=t
t
s，则当4
t=
时，该物体所经过的路程为【】.
A.28米B．48米C．57米D．88米
12、在某次试验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：
m 1 2 3 4
v0.01 2.9 8.03 15.1
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的【】.
A．22
v m
=-B．21
v m
=-C．33
v m
=-D．1
v m
=+
11、正常人的体温一般在C0
37左右,但一天中的不同时刻不尽相同,如图1反映了一
天24小时内小红的体温变化情况,下列说法错误的是【】.
A.清晨5时体温最低
B.下午5时体温最高
C.这一天小红体温T C0的范围是36.5≤T≤37.5
D.从5时至24时,小红体温一直是升高的
12、如图2，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列
说法中错误的是【】.
A.第3分时汽车的速度是40千米/时
B.第12分时汽车的速度是0千米/时
C.从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D.从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
13、向高为10厘米的容器中注水，注满为止，若注水量V（厘米3）与水深h（厘米）
之间的关系的图象大致如图3所示，则这个容器是下列四个图中的【】.
36.5
17
12
5
T/()C0
t/h
24
37.5
图1
图2
图3
(1) (2) (3) (4)
二、填空题
14、某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为-度.
月用水量不超过12度的部分超过12度不超过18度
的部分
超过18度的部分
收费标准（元/度） 2.00 2.50 3.00
10、如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象.下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是
15、下表是某报纸公布的我国“九五”期间国内生产总值（GDP）的统计表，那么这几年间我国国内生产总值平均每年比上一年增长万亿元．
年份1996 1997 1998 1999 2000
GDP(万亿元) 6.6 7.3 7.9 8.2 8.9
16、如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形．
例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位，。依此规律。则第（5）个图形的表面积个平方单位．
17、下面是用棋子摆成的“上”字型图案：
按照以上规律继续摆下去，通过观察，可以发现：（1）第五个“上”字需用枚棋子；（2）第n 个“上”字需用枚棋子．
18、右图是护士统计一位病人的体温变化图，这位
病人中午12时的体温约为
19、某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年时，树
木的分枝数为．
x
y
4
3
2
1
1 2
(2,4
甲
乙
第10题
第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字
第17题图
第18题图
三、解答题
20、为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：
月用水量（吨）
10
13
14
17
18
户数
2
2
3
2
1
(1) 计算这家庭的平均月用水量；
(2) 如果该小区有500户家庭，根据上面的计算结果，估计该小区居民每月共用水多少吨？
21、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析式.(注：此题答案不唯一，以上答案仅供参考.若有其它答案，只要是根据图象得出的信息，并且叙述正确都可以)
22、某公司有2位股东，20名工人. 从2000年至2002年，公司每年股东的总利润和每年工人的工资总额如下图所示．
（Ⅰ）填写下表：
年 份 2000年 2001年
2002年
工人的平均工资（元） 5000 股东的平均利润（元）
25000
2000
2001 年份
2002
5 15 2.5
12.5 10 7.5 万元
·
·
· · ·
工人工资总额 股东总利润
·
年 份 分 枝 数
第1年 1
第2年 1 第3年 2 第4年
3 第5年 5
第19题图
第17题图
（Ⅱ）假设在以后的若干年中，每年工人的工资和股东的利润都按上图中的速度增长，那么到哪一年，股东的平均利润是工人的平均工资的8倍？
23、下面的统计图反映了某中国移动用户5月份手机的使用情况，该用户的通话对象分为三类：市内电话，本地中国移动用户，本地中国联通用户．
（1）该用户5月份通话的总次数为 次．
（2）已知该用户手机的通话均按0.6元/分钟计费，求该用户5月份的话费（通话时间不满1分钟按1分钟计算。例如，某次实际通话时间为1分23秒，按通话时间2分钟计费，话费为1.2元）；
（3）当地中国移动公司推出了名为“越打越便宜”的优惠业务，优惠方式为：若与其它中国移动用户通话，第1分钟为0.4元，第2分钟为0.3元。第3分钟起就降为每分钟0.2元，每月另收取基本费10元，其余通话计费方式不变。如果使用了该业务，则该用户5月份的话费会是多少？
24、某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册。该纪念册每册需要10张8K 大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表．
（1）印制这批纪念册的制版费为 元；（2）若印制2千册，则共需多少费用？
提高训练三
一、填空题
1、一个弹簧，不挂物体时长10厘米，挂上物体以后弹簧会变长，每挂上一千克物体，弹簧就会伸长1.5厘米，如果所挂物体总质量为X （千克），那么弹簧伸长的长度y （CM ）可以表示为＿＿＿，在这个问题中自变量是＿＿＿，因变量是＿＿＿；如果所挂物体总质量为X （千克）那么弹簧的总长度Y （CM
）可以
4
3
2
第23题图
时
时间表示为＿＿＿，在这个问题中自变量是＿＿＿，因变量是＿＿＿。
2、为了美化校园，学校共划出84米2的土地修建4个完全相同的长方形花坛，如果每个花坛的一条边为X （米），那么另一条边y （米）可以表示为＿＿＿。
3、一辆汽车正常行驶时每小时耗油8升，油箱内现有52升汽油，如果汽车行驶时间为t (时)，那么油箱中所存油量Q （升）可以表示为＿＿＿，行驶3小时后，油箱中还剩余汽油＿＿＿升，油箱中的油总共可供汽车行驶＿＿＿小时。
4、一圆锥的底面半径是5cm ，当圆锥的高由2cm 变到10cm 时，圆锥的体积由________
变到______
．
5、梯形上底长16，下底长x ，高是10，梯形的面积s 与下底长x 间的关系式是_______．当x ＝0时，表示的图形是_______，其面积________.
6、如右图，甲、乙二人沿相同的路线前进，横轴表示时间，纵轴表示路程。 （1）刚出发时乙在甲前面＿＿＿千米。（2）两人各用了＿＿＿小时走完路程。 （3）甲共走了＿＿＿千米，乙共走了＿＿＿千米。
7、长方形的宽为6cm,则它的周长L 与长a 之间的关系为 .
8、某种储蓄的年利率为1.5%,存入1000元本金后,则本息和y(元)与所存年数x 之间的关系式为 ,3年后的本息和为 元(此利息要交纳所得税的20%).
9、一辆汽车以45km/h 的速度行驶,设行驶的路程为s(km),行驶的时间为t(h),则s 与t 的关系式为 ,自变量是 ,因变量是 .
10小时他完成工作量的百分数是 ; (2)小华在 时间里工作量最大;
(3)如果小华在早晨8时开始工作,则他在 时间没有工作.
11、某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中 是自变量， 是因变量。
12、地面温度为15 oC ，如果高度每升高1km ，气温下降6 oC ，则高度h(km)与气温t(oC)之间的关系式为 。
13、汽车以60km/h 速度匀速行驶，随着时间t 间的关系式为 。
14、小明和小强进行百米赛跑，小明比小强跑得快，如果 两人同时起跑，小明肯定赢，如图所示，现在小明让小强 先跑 米，直线 表示小明的路程与时间的 关系，大约 秒时，小明追上了小强，小强在这次赛 跑中的速度是 。
15、小雨拿5元钱去邮局买面值为80分的邮票，邮票的枚数x （枚）之间的关系式为 。 二、选择
1、某种储蓄的月利率是0.36%，现存入本金100元，本金与利息和月数x(月)之间的关系式为（ ）。
A. y=100+0.36x
B. y=100+3.6x
C. y=1+136x
D. Y=1+100.36X
3cm 3cm
年
时间
1960年
时间1960年
时间1960年
时间(A)
(B)
(C)
(D)
2、某次实验中，测得两个变量v 和m 的对应数据如下表，则v 和m 之间的关系最接近于下列关系中的（ ）。
A.v=m 2+1
B. v=2m
C. v=3m-1
D. v=2/ m
3、某市1960年只有5%的成年工作者在家工作，至1970年在家工作的人数增 到8%，1980年大约有15%的人在家工作，而在1990年则有30%，试问下图中（ ）是这种情形的最佳
4、某同学骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途因车出了毛病，只好停下修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度，继续匀速行驶，下图是行驶路程S 关于行驶时间t 的图象。其中横轴表示行驶时间，纵轴表示行驶路程，那么符合这个同学形式情况的图象大致是（ ）。
5、报载：我省人均耕地已从1951年的2.93亩减少到1999年的1.02亩，平均每年约减少0.04亩。若不采取措施，继续按此速度减下去，若干年后我省将无地可耕。无地可耕的情况最早会发生在（ ）
A 、2022年
B 、2023年
C 、2024年
D 、2025
6、某辆汽车油箱中原有汽油100L ，汽车每行驶50km ，耗油10L ，则油箱中剩余油量y （L ）与汽车行驶
测长度y （A ． x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量
(D)
(C)(B)
B
．
弹簧不挂重物时的长度为
0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为7kg时,
弹簧长度为13.5cm
8、雪撬手从斜坡顶部滑了下来，图中可以大致刻画出雪撬手下滑过程中速度——时间变化情况的是（）
9、如图：向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定）注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的关系大致是下列图象中的（）
10、如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系？( )
A B C D
11、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t（分）之间的关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）
A.从家出发，到了一个公共阅读报栏，看了一会儿报，就回家了.
B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了.
C.从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D.从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回.
D
C
B
A
时间
时间
时间
速度
速度
速度
时间
速度
100
第10题图
t
h
A
0t
h
B
0t
h
C
t
h
D
血液含药量（微克/毫升）
时间（小时）
65
4321
17
16151413121110987
654
321
12、李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修
车，车修好后，因怕耽误时间，于是加快了车速．如用s 表示李明离家的
距离，t 为时间．在下面给出的表示s 与t 的关系图6—41
中，符合上述情况的是 ( )
13、一辆轿车在公路上行驶，不时遇到各种情况，速度随之改变，先加
速，再匀速
又遇到情况而减速，过后再加速然后匀速，下公路、上小路，到达目的地．图6—43哪幅图象可近似描述上面情况 ( )
三、解答题
1、某种药物服下后，血液中含药量随时间的变化如图所示，横轴表示时间，纵轴表示每毫升血液中的含药量，读图象回答下列问题。）
（1）服药＿＿小时时，血液中的含药量最大，最大的含药量是＿＿＿微克/毫升。
（2）血液含药量4微克/毫升为有效期，药物的有效期大约有＿小时。（3）大约＿小时后，血液中将不再含有该药物。
2、如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况。 （1）A 、B 两点分别表示汽车是什么状态？
（2）请你分段描写汽车在第0分到第19分的行驶状况。
（3）司机休息5分钟后继续上路，加速1分钟后开始以60km/h 的速度匀速行驶，5分钟后减速，用了2分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间汽车速度与时间的关系图。
3
享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”。若全票价为240元。
（1）设学生数为x ，甲、乙旅行社收费分别为甲y （元）和乙y （元），分别写出两个旅行社收费的表达式。
（2）哪家旅行社收费更优惠？
4、某机动车辆出发前油箱中有油42升，行驶若干小时后，在途中加油站加油若干.油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(时) 之间的关系如图，请根据图像填空： ⑴机动车辆行驶了 小时后加油.⑻中途加油 升. ⑵加油后油箱中的油最多可行驶
小时.
⑶如果加油站距目的地还有230公里，机动车每小时走40 公里，油箱中的油能否使机动车到达目的地？答： 。
5、小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所
示）.
（1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）10时和13时，他分别离家多远？
（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （4）11时到12时他行驶了多少千米？ （5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？
所挂物体的质量/千克 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧的长度/cm
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
⑵如果用x 表示弹性限度内物体的质量，用y 表示弹簧的长度，那么随着x 的变化，y 的变化趋势如何？写出y 与x 的关系式.
⑶如果此时弹簧最大挂重量为25千克，你能预测当挂重为14千克时，弹簧的长度是多少？
7、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为 y(km)，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系，根据图像进行以下探究， （1）、甲、乙两地之间的距离为 km （2）、请解释图中B 点的意义: (3)、求慢车和快车的速度，
（4）、求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （5）、若第二列快车也冲甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢
车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少 小时？
x/h
y/km
D
C B
A
900
12
4
O
2.3变量间的相互关系（一）、（二） 问题提出 1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 2. 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 3. 这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义. 知识探究（一）：变量之间的相关关系 思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄. 思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？ 你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？ 思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.思考4：函数关系与相关关系之间的区别与联系. 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系. 函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系. 3. 函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化. 例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 练习 1.已知下列变量，它们之间的关系是函数关系的有①，是相关关系的有②③. ①已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式△=b2－4ac; ②光照时间和果树亩产量； ③每亩施用肥料量和粮食产量.
课时提升作业15变量之间的相关关系两个变量的线性相关 1.对变量x,y有观测数据(x i ,y i)(i=1,2,…，10),得散点图(1);对变量u,v有观测数据 2.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点中心(即(，))为(4,5),则回归直线的方程是( ) A.网=1.23x+4 B.壯1.23X+5 C. =1.23x+0.08 D』；：I=0.08x+1.23 3.在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 4.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线 方程」=：，+ ' x中，回归系数'( ) 5.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) 6.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归方程，分别得到以下四个 结论：①y与x负相关且 =2.347x-6.423; ②y与x负相关且「=-3.476x+5.648; ③y 与 x 正相关且?’ =5.437x+8.493;④y 与 x 正相关且?’ =-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 7.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据 (X i,y i)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(，) (U i,V i)(i=1,2,…,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断 A.变量x与y正相关,u与v正相关 B. 变量x与y正相关,u 与v负 相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D. 变量x与y负相关,u 与v负 相关 A.不能小于0 B.不能大于0 C.不能等于0 D.只能小于0 A. =-10x+200 B. =10x+200 C. =-10x-200 D. =10x-200 0 1 25 4 5 67 J
变量间的相关关系同步练习题 1. 下列两个变量具有相关关系的是（ ） A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与体重 C. 匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D. 球的半径与体积 2. 两个变量成负相关关系时，散点图的特征是（ ） A. 点散布在从左下角到右上角的区域内 B. 点散布在某带形区域内 C. 点散布在某圆形区域内 D. 点散布在从左上角到右下角的区域内 3. 由一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ），得到回归方程a bx y +=∧ ，那么下面说法不正确的是（ ） A. 直线a bx y +=∧ 必经过点（x ，y ） B. 直线a bx y +=∧至少经过点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）中的一个点 C. 直线a bx y +=∧的斜率为 ∑∑==--n 1 i 2 2i n 1 i i i x n x y x n y x D. 直线a bx y +=∧ 和各点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）的偏差 ()[]∑=+-n 1 i 2 i i a bx y 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线 4. 若施化肥量x （单位：kg ）与水稻产量y （单位：kg ）的回归方程为250x 5y +=∧ ，则当施化肥量为80kg 时，预计水稻产量为___________。 5. 相关关系与函数关系的区别是___________。 （1）作出这些数据的散点图； （2）通过观察这两个变量的散点图，你能得出什么结论？ 7. 某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究回收率y 和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得： ∑==8 1 i i 52x ， ∑==8 1 i i 228y ， ∑=8 1 i 2 i x 478=， ∑==8 1 i i i 1849y x ，则y 与x 的回归方程是（ ） A. x 62.247.11y +=∧ B. x 62.247.11y +-=∧ C. x 47.2262.2y +=∧ D. x 62.247.11y -=∧
课题：§2.3.1变量之间的相关关系 一．教学任务分析: （1）通过具体示例引导学生考察变量之间的关系，在讨论的过程中认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性. (2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断. (3) 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用. 二．教学重点与难点： 教学重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系. 教学难点：理解变量间的相关关系. ↓ ↓ ↓ 1．创设情景，揭示课题 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说,事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度,所以说，函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系. 生活中存在着许多相关关系的问题: 问题1：商品销售收入与广告支出之间的关系. 问题2:粮食产量和施肥量之间的关系. 问题3:人体内的脂肪含量与年龄之间的关系. 由上述问题我们知道,两个变量之间的关系,可能是确定关系或非确定关系.当自变量取
值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系. 2.两个变量的线性相关 问题4: 在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 问题5:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 根据上述数据,气温与热茶销售量之间的有怎样的关系? 学生活动:为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下
变量间的相关关系 一、教材分析 学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算基础。 教材地位和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。为以后更好地研究选修2-3第三章 3.2节回归分析思想的应用奠定基础。 二、教学目标 1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及线性回归方程系数公式的推导过程，求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。 2 、过程与方法： ①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力。 3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。 三、教学重点、难点 重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求出回归方程。 难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解，教学实施过程中的难点是根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 四、教学设计） （一）、创设情境导入新课 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”。通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。 （二）、初步探索，直观感知 1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。下面我们就用这些方法来研究相关关系。看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？ 一个点。
第3节变量间的相关关系与统计案例 【最新考纲】 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 【高考会这样考】考查回归分析、独立性检验的基本思想和简单应用． 要点梳理 1.相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)， 其回归方程为y^＝b^x＋a^__，则b^＝∑ n i＝1 （x i－x－）（y i－y－） ∑ n i＝1 （x i－x－）2 ＝ ∑ n i＝1 x i y i－nx－y－ ∑ n i＝1 x2i－nx－2 ，a^＝y－－b^x－.其中， b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心(x－，y－). 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
第二章统计 2.3变量间的相关关系 2.3.1变量之间的相关关系 学习目标 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据,认识变量间的相关关系. 2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题1:某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍,经有人统计发现了一个有趣的现象,如果村庄附近栖息的天鹅多,那么这个村庄的婴儿出生率也高,天鹅少的地方婴儿的出生率低,于是,他就得出一个结论:天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗?如何证明这个结论的可靠性? 问题2:(1)“粮食产量与施肥量有关系吗?”“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系?你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗? (2)两个变量间的相关关系是什么?有几种? (3)怎样判断两个变量之间是否具有相关关系? 二、信息交流,揭示规律 问题2讨论结果: 散点图 :
分析数据:大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来进一步分析. 散点图的概念:将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图,如图. 从散点图可以看出,年龄越大,体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论. (a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系.b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.) 三、运用规律,解决问题 【例1】下列关系中,带有随机性相关关系的是. ①正方形的边长与面积之间的关系 ②水稻产量与施肥量之间的关系 ③人的身高与年龄之间的关系 ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系 【例2】有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗? 四、变式训练,深化提高 1.对课间操的分数与学习成绩作出相关分析,并且将结论与同学们交流. 2.有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给
“变量间的相关关系”中的核心概念和思想方法解读及教学建议 河北师范大学数学与信息科学学院程海奎 《变量间的相关关系》的主要内容为采用定性和定量相结合的方法研究变量之间的相关关系，主要研究线性相关关系．主要概念有“相关关系”、“散点图”、“回归直线和回归直线方程”、“相关系数”等．研究方法为先绘制散点图，直观表示观测数据，定性描述变量间相关关系的类型、方向、相关程度．然后应用最小二乘法确定变量间相关关系的具体表达形式，描述变量间的数量规律，并由一个变量的取值去推测另一个变量的取值． 这部分内容涉及到一些重要的统计思想和方法，对学生的学习和教师的教学都有一定的难度．本文就研究对象、核心概念、研究方法、统计思想及相关应用进行简单的解读，提出一些教学建议，希望对教学能提供一些帮助． 一、相关概念及统计思想方法 1．相关关系——变量间的不确定关系 两个变量之间的数量关系有两种不同的类型：一种是函数关系，一种是相关关系．当一个变量取一定的值时，另一个变量有确定的值与之对应，我们称这种关系为确定的函数关系．一般把作为影响因素的变量称为自变量，把与之对应变化的变量称为因变量． 当一个变量取一定的数值时，与之对应的另一个变量的值虽然不确定，但它按某种规律在一定的范围内变化，变量间的这种关系称为不确定性的相关关系．或者说两个变量之间确实存在某种关系，但不具备函数关系所要求的确定性． 函数关系和相关关系都是指两个变量之间的数量关系．函数关系是两个非随机变量之间的一种确定关系，是一种因果关系．而相关关系是两个变量之间的一种不确定的关系，这两个变量中至少有一个是随机变量．两个相关变量之间可能有内在联系（真实相关），也可能完全不存在内在联系（虚假相关）．之所以X和Y之间是相关关系，原因是变量X是影响变量Y的主要因素，但不是唯一因素，还有其他种种因素，而这些因素我们又不能完全把握．
变量间的相关关系的教学设计 本节教学设计主要是使用TI92图形计算器，对普通高中课程标准实验教科书数学③第二章《统计》中的“两个变量的线性相关”进行有益的教与学探究。学生通过对 TI图形计算器的操作，具体形象地利用散点图等直观图形认识变量之间的相关关系，同时，经历描述两个变量的相关关系的过程。学生亲自体验了发现数学、领悟数学的全过程。与此同时，教师在落实新课程标准的相关理念上作了一些有益的探讨。 教学设计与实践： [教学目标]： 1、明确事物间的相互联系。认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。 2、通过TI技术探究用不同的估算方法描述两个变量的线性相关关系的过程，学会用数学的有关变量来描述现实关系。 3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推导。会用TI图形计算器来求回归方程，相关系数。 [教学用具]： 学生每人一台TI图形计算器、多媒体展示台、幻灯 [教学实践情况]： 一、问题引出：请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ） 然后回答如下问题：①“你的数学成绩对你的物理成绩有无影响？”②“ 如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩也不会太差，如果你的数学成绩差，那么你的物理成绩也不会太好。”对你来说，是这样吗？同意这种说法的同学请举手。 根据同学们回答的结果，让学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。）教师总结如下：
物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。但决非唯一因素，还有其它因素，如图所示（幻灯片给出）： （影响你的物理成绩的关系图） 因此，不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。 二、引出相关关系的概念 教师提问：“像刚才这种情况在现实生活中是否还有？” 学生甲：粮食产量与施肥用量的关系； 学生乙：人的体重与食肉数量的关系。 …… 从而得出：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。 三、探究线性相关关系和其他相关关系 问题：在一次对人体脂肪和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 人体的脂肪百分比和年龄
两个变量间的相关关系 变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”,我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.相关关系又分为两种:(1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势.(2)负相关:两个变量具有相反的变化趋势. 对相关关系的理解可以从下面三个角度把握： 相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系. 对相关关系的理解应当注意以下几点： 其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系. 相关关系与函数关系的异同点为： 相同点：均是指两个变量的关系. 不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系. 其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. 其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断. 我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子： 【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？ 解析:“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生.所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系.生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞”. 【例2】历史上,有人认为人们的着装与经济好坏有关系,着装越鲜艳,经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？ 解析:人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况,与经济的好坏没有任何关系,并不能反映经济的景气与否.所以,着装与经济并没有“着装越鲜艳,经济越景气”这种相关关系.
变量间的相关关系 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。 例1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。下面我们就用这些方法来研究相关关系。看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？ 结论：随着年龄增长，脂肪含量在增加。用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。一组样本数据就对应着一个点。
2、散点图 这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。 3、判断正、负相关、线性相关： 请观察这4幅图，看有什么特点？ 图1呈上升趋势，图2呈下降趋势。这就像函数中的增函数和减函数。即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关。图2中的两个变量的相关关系，称为负相关。 后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状。从数学的角度来解释：即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。这条直线叫做回归直线。图3、4中的两个变量是非线性相关关系 1、找回归直线 下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图， 图1 2 图图3 图4
山西大学附中高一年级(上)数学学案编号15 变量间的相关关系(1) 学习目标: (1)通过具体示例考察变量之间的关系，认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,体会研究变量之间的相关关系的重要性. (2) 在解决统计问题的过程中，体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用. 重难点:理解变量间的相关关系. 学习过程: 一.复习回顾： 函数的定义 二.情景设置： 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 知识探究：变量之间的相关关系 思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系： （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ 思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？ 思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系
的含义如何？ 思考4：相关关系与函数关系的异同点： 小结：对相关关系的理解应当注意以下几点： 其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系. 其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. 其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.（对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.） 检测:P85;P94.A组1. 1、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？ 2、下列变量之间的关系是相关关系的是( ) ①球的体积与半径的关系； ②动物大脑容量的百分比与智力水平的关系； ③人的年龄与体重之间的关系； ④降雨量与农作物产量之间的关系。
第四节 变量间的相关关系__ 统计案例 1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是________；与函数关系不同，________是一种非确定性关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________． 2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有________________，这条直线叫做________． (2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x － y － ∑i ＝1 n x 2i －n x － 2 ， a ^＝y －－b ^x －． (3)通过求Q ＝∑i ＝1 n y i －bx i －a 2 的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点 到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法． (4)相关系数： 当r ＞0时，表明两个变量________； 当r ＜0时，表明两个变量________． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验 假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
K 2 ＝n ad －bc 2 a ＋ b a ＋ c b ＋ d c ＋d (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)． [小题体验] 1．(教材习题改编)已知x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝0．95x ＋a ^，则a ^ ＝________． 2．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表： 已知P (K 2≥3．841)≈0．05，P (K 2≥5．024)≈0．025． 根据表中数据，得到K 2 的观测值k ＝50× 13×20－10×7 2 23×27×20×30 ≈4．844．则认为选修文科 与性别有关系出错的可能性为________． 1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x －，y － )点，可能所有的样本数据点都不在直线上． 3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值，而实质上是预测值(期望值)． [小题纠偏] 1．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组
高中数学必修3 变量间的相关关系教案 教学分析 教材通过收集实际问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的相关关系． 值得注意的是：散点图直观地描述了两个变量之间有没有相关关系，教学中指导学生作出散点图，并利用散点图直观认识两变量的相关关系．三维目标 1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系． 2．明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．3．通过讨论相关关系，培养学生普遍联系的思想． 重点难点 教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系． 教学难点：变量之间相关关系的理解． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.在学校里，老师经常这样对学生说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系．这种说法有没有根据呢？教师点出课题．思路2.某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率也低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子．你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？教师点出课题．推进新课 新知探究 提出问题 1．粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高．教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的例子吗？ 2．两个变量间的关系有几种？什么是相关关系？ 3．怎样判断两个变量间的相关关系？ 4．什么是正相关、负相关？ 讨论结果： 1．粮食产量与施肥量有关系，一般是在标准范围内，施肥越多，粮食产量
变量间的相关关系讲义 一、基础知识梳理 知识点1：变量之间的相关关系 两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。 注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。 点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系 相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 知识点2.散点图. 1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。 2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。 3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。 如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。 注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系。 点睛：散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形。特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势。优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系。散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度 知识点3：回归直线 （1）回归直线的定义 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。 （2）回归直线的特征
变量间的相关关系与统计案例 【知识要点】 1.相关关系的判断 (1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近，我们说变量x 和y 具有线性相关关系． (2)样本数据),(i i y x (i ＝1,2，…，n )的相关系数2 1 2 1 1)()() )((y y x x y y x x r i n i i n i i i n i ----= ∑∑∑=== 当0>r 时， 两变量正相关，当0 第3讲 变量间的相关关系与统计案例 【2013年高考会这样考】 以选择题或填空题的形式考查回归分析及独立性检验中的基本思想方法及其简单应用． 【复习指导】 高考在该部分的主要命题点就是回归分析和独立性检验的基础知识和简单应用．复 习时要掌握好回归分析和独立性检验的基本思想、方法和基本公式． 基础梳理 1．相关关系的分类 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关． 2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． 3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据： (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则 ?? ??? b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2 ＝ ∑i ＝1n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 ， a ^＝y －b ^ x . 其中，b 是回归方程的斜率，a 是在y 轴上的截距． 4．样本相关系数 r＝ ∑ i＝1 n (x i－x)(y i－y) ∑ i＝1 n (x i－x)2∑ i＝1 n (y i－y)2 ，用它来衡量两个变量间的线性相关关系． (1)当r＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r＜0时，表明两个变量负相关； (3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 5．线性回归模型 (1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差． (2)相关指数 用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差 平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好． 6．独立性检验 (1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等． (2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． (3)一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 2×2列联表 y1y2总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝n(ad－bc)2 (a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d) (其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验 第六单元第3讲 变量间的相关关系与统计案例（3课时） 一基础知识 1．相关关系的分类 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关． 2．线性相关 从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． 3．回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据： (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则 1 1 2 2 2 1 1 ()() ,() n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b a y bx x nx x x ====---= = =---∑∑∑∑ 其中，b 是回归方程的斜率，a 是在y 轴上的截距． 4．样本相关系数 r ＝ ∑∑∑∑∑∑======---= ----n i i n i i n i i i n i n i i i n i i i y n y x n x y x n y x y y x x y y x x 1 2 21 2 21 1 2 1 21) )(()()() )((，用它来衡量两个变量 间的线性相关关系． (1)当r ＞0时，表明两个变量正相关； (2)当r ＜0时，表明两个变量负相关； (3)r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． （4）相关性检验的步骤： 变量间的相关关系与散点图（第一课时） 学习目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系 学习重点：直观认识两个变量之间的相关关系 学习难点：对两个变量之间的相关关系的认识 学习过程： 一、自主学习 1、两个变量间的确定关系 (1)函数关系。函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式。对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系。 (2)正方形的边长与面积之间的关系 引言：在学校里，老师经常对学生说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩就没有什么大问题，”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一定的相关关系。这种说法有根据吗？ 下面我们考察下列问题中两个变量间的关系 （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量和施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄； （4）人的身高与年龄之间的关系； （5）降雪量与交通事故的发生率之间的关系； 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ 学生合作讨论得出结论：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系。 二、合作交流 2、相关关系的概念 如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系 3、两个变量之间的关系可以分为三类： （1）确定性的函数关系，例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等； （2）变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的相关关系； （3）不相关，即两变量没有任何关系； 练习1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系 （ ） A 、角度和它的余弦值 B 、正方形的边长和面积 C 、正n 边形的边数和内角角度之和 D 、人的身高和体重 2、下列变量之间的关系是函数关系的是 （ ） A 、正方形的边长与周长 B 、光照时间和果树亩产量 C 、降雪量和交通事故发生率 D 、数学成绩和物理成绩 3、下列说法中正确的是（ ） A 、任何两个变量都具有相关关系 B 、人的知识与其年龄具有相关关系 C 、学习时间与数学成绩具有函数关系 D 、正方形的周长与边长具有相关关系 4、散点图 将各数据在平面直角坐标系中对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做 图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关。 （1）正相关：散点图中的点散布在从 到 的区域 （2）负相关：散点图中的点散布在从 到 的区域 画出散点图，并判断它们是否具有相关关系. （3）已知y x ,之间的数据如下表所示： 从所得的散点图分析，y 与x 线性相关且∧ ∧ +=a x y 95.0，则∧ a =第3讲 变量间的相关关系与统计案例
高中数学-变量间的相关关系与统计案例
变量间的相关关系
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