第1-2讲 抽屉原理

抽屉原理教案14篇抽屉原理优质课教案篇一××老师的《抽屉原理》一课结构完整，过程清晰，充分体现了学生的主体地位，为学生提供了足够的自主探索的空间，引导学生在观察、猜测、操作、推理和交流等数学活动中初步了解“抽屉原理”，并学会了用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

1、本节课充分放手，让学生自主思考，采用自己的方法“证明”：“把4枝笔放入3个文具盒中，不管怎么放，总有一个杯子里至少放进2枝筷子”，然后交流展示，为后面开展教与学的活动做了铺垫。

此处设计注意了从最简单的数据开始摆放，有利于学生观察、理解，有利于调动所有学生的积极性。

在有趣的类推活动中，引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理：当物体个数大于抽屉个数时，一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。

这样的教学过程，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

在评价学生各种“证明”方法，针对学生的不同方法教师给予针对性的鼓励和指导，让学生在自主探索中体验成功，获得发展。

在学生自主探索的基础上，进一步比较优化，让学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。

2、在教学过程中充分发挥了学生的主体性，在抽屉原理（2）的推导过程中，至少是“商+余数”，还是“商+1”个物体放进同一个抽屉。

让学生互相争辩，再由学生自己想办法来进行验证，使学生更好的理解了抽屉原理。

另外，本节课中，学生争先恐后的学习行为，积极参与自学、交流、合作、展示、补充、互评、提问、质疑、反思等的学习过程，“自主、合作、探究”的学习方式，给人留下了深刻的印象，学生主体地位得到了充分的落实。

3、注意渗透数学和生活的联系。

并在游戏中深化知识。

学了“抽屉原理”有什么用？能解决生活中的什么问题？教学中教师注重了联系学生的生活实际。

课前老师设计一个游戏：“学生在一副去掉了大小王的扑克牌中，任意抽取五张，老师猜：总有一种花色的牌至少有两张。

”这是为什么？学生很惊讶。

5数火箭第六讲抽屉原理把3本书分给了2个人，会出现什么现象? 把4根骨头分给3只小狗，会出现什么现象?把8之鸽子放入7只笼子，会出现什么现象?这些简单的道理同学们都能理解，如果把条件中那些被分配的对象都想象成苹果，而把接受它们的对象都想象成抽屉，那么我们就可以象匈牙利的数学家那样，得出一个重要的原理——抽屉原理（鸽笼原理）抽屉原理是众人皆知的一个原理：把N+1个的苹果放进N个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或以上的苹果。

抽屉原理解题的一般步骤：①确定将什么看成“苹果”，这是应用抽屉原理的前提；②确定将什么看成“抽屉”，这是应用抽屉原理的关键；③只要苹果多，抽屉少，由抽屉原理就可得到有关结论。

抽屉原理一：苹果：用于分配的对象，抽屉：用于接收分配的对象1、把5支笔放入4个文具盒。

苹果（）抽屉（）2、把15朵花放入12个花盆苹果（）抽屉（）3、14个同学过生日苹果（）抽屉（）4、13个同学的属相苹果（）抽屉（）如果把N+1个苹果分配给N个抽屉，那么至少有2个苹果放进了同1个抽屉里。

苹果分配给抽屉，N+1和N的关系，至少有2个在一起抽屉原理一：说明题。

例一：1、姐姐有5颗奶糖，把她们分给4个弟弟。

会出现什么情况2、刘大爷把自己家的50头牛送给了全村的49户农民。

会出现什么情况练习一1、证明:13个同学中,至少有2个同学出生在同一个月里.2、证明:把10个乒乓球放入8个盒子，至少有两个乒乓球放入了同一个盒子。

抽屉原理二：（求结论数）例二：把30个苹果放进12个抽屉里,)那么至少有多少个苹果被放进了同一个抽屉？总结：把A个苹果放进B个抽屉里(A> B),那么至少有结论个苹果在同一个抽屉里:A÷B = 商…余数(1)当余数 = 0时,结论=商(2)(2)当余数 > 0时,结论=商+1(跟余数是多少没有关系)练习二1、五年级共有48个人,问至少有几个人在同一月出生.2、19枝铅笔放入4个铅笔盒里，至少有多少支铅笔放入了同一个盒里？3、58个弹珠分给8个同学至少有几个弹珠被分给了同一个同学？4、一班有30个女同学,问至少有几个女孩子出生在同一月？抽屉原理三：（求苹果数）例三: 把一些玩具分给20名小朋友，为了保证有1名小朋友至少得到4件玩具，至少要准备多少玩具？总结：苹果数=抽屉数×（保证数-1）+1练习三：1、把一些苹果放入3抽屉中，为了保证总有1个抽屉存在至少4个苹果。

教案抽屉原理一本讲学习目标初步抽屉原理的方法和心得。

二概念解析把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到：抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。

比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。

应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。

三例题讲解例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

课题抽屉原理（一）课型新授课备课人XXX 执教时间教学目标知识目标经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

能力目标通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

情感目标通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

重点初步了解“抽屉原理”。

难点会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

教学过程教学预设个性修改目标导学复习激趣→目标导学→自主合作→汇报交流→变式训练创境激疑一、问题引入。

师：同学们，你们玩过抢椅子的游戏吗？现在，老师这里准备了3把椅子，请4个同学上来，谁愿来？1．游戏要求：开始以后，请你们5个都坐在椅子上，每个人必须都坐下。

2．讨论：“不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学”这句话说得对吗？合作探究二、探究新知（一）教学例11．出示题目：有4枝铅笔，3个盒子，把4枝铅笔放进3个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？师：请同学们实际放放看，谁来展示一下你摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师出示各种情况。

板书：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），问题：4个人坐在3把椅子上，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学。

4支笔放进3个盒子里呢？引导学生得出：不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝笔。

问题：（1）“总有”是什么意思？（一定有）（2）“至少”有2枝什么意思？（不少于两只，可能是2枝，也可能是多于2枝？）教师引导学生总结规律：我们把4枝笔放进3个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

这是我们通过实际操作现了这个结论。

那么，你们能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢？学生思考并进行组内交流。

问题：把6枝笔放进5个盒子里呢？还用摆吗？把7枝笔放进6个盒子里呢？把8枝笔放进7个盒子里呢？把9枝笔放进8个盒子里呢？……你发现什么？（笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

）总结：只要放的铅笔数盒数多1，总有一个盒里至少放进2支。

第五章 抽屉原理和Ramsey 理论抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理，是组合数学中两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理。

其道理并无深奥之处，且正确性也很明显。

但若能灵活运用，便可能得到一些意料不到的结果。

抽屉原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合问题中，要计算某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性。

1930年英国逻辑学家F. P. Ramsey 将这个简单原理作了深刻推广，即Ramsey 定理，也被称为广义抽屉原理。

它是一个重要的组合定理，有许多应用。

5.1 抽屉原理（一）基本形式定理5.1.1 （基本形式）将n ＋1个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个。

证 反证之。

将抽屉编号为：1,2, …,n ，设第i 个抽屉放有i q 个物品，则 121+=+++n q q q n但若定理结论不成立，即1≤iq ，即有n q q q +++ 21≤n ，从而有 n q q q n n ≤+++=+ 211矛盾。

例 5.1.1 一年365天，今有366人，那么，其中至少有两人在同一天过生日。

注：与概率的区别：抽屉原理讲的是所给出的结论是必然成立的，即100%成立。

而概率反映的是不确定性现象发生的可能性问题，不讨论100%成立的确定性概率问题。

生日悖论：随机选出n 个人，则其中至少有二人同一天出生的概率为()A P n =n n P 3651365-特例：()A P 23=50.73%，()A P 100=99.99997%例 5.1.2 箱子中放有10双手套，从中随意取出11只，则至少有两只是完整配对的。

（二）推广形式定理5.1.2 （推广形式）将121+-+++n q q q n 个物品放入n 个抽屉，则下列事件至少有一个成立：即第i 个抽屉的物品数不少于i q 个。

（证）反证。

不然，设第i 个抽屉的物品数小于i q （i ＝1,2, …,n ）(即该抽屉最多有1-i q 个物品)，则有11+-∑=n q n i i ＝物品总数≤()n q q ni i n i i -=-∑∑==111与假设矛盾。

一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的 问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以 解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用•许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。

我们称这种现象为抽屉原理。

方法、特殊值方法.【例1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以 从口袋中随意取出 2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一 样•你能说明这是为什么吗？【巩固】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借 两本不同类的书，最少借一本•试说明：必有两个学生所借的书的类型相同【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、 排球和篮球，有66个同学来仓库拿球， 要求每个人至少拿一个,最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要 有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【例2】 红、蓝两种颜色将一个 2 5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色. 是 否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？第八讲：抽屉原理（二）三、抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题苹果十抽屉=商……余数余数：（1）余数=1,（2）余数=x 1 YxY ： n-1,（3）余数=0,（二） 、利用最值原理解题结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 结论：至少有（商+1 ）个苹果在同一个抽屉里结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想 “任我意”第 第 第 第 第一二三列 列 列【例3】 从2、4、6、8 ----------- 50这25个偶数中至少任意取出多少个数， 才能保证有2个数的和是52 ?【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【巩固】 从1, 4, 7, 10,…，37, 40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有 2个数的和是41.【巩固】 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取 9个数，证明其中一定有两个数之和是 34.从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两 个数，它们的差是12.【巩固】 从1, 2, 3, 4，…，1988 , 1989这些自然数中，最多可以取 ___________________ 个数，其中每两个数的差不等于4.【例5】从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出 ____________________________ 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍.【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数.【巩固】 从1 , 3, 5, 7,…，97, 99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另 个数的倍数?【巩固】 从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数,【例4】从1 , 2, 3, 4,…,都不等于9.1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差【巩固】其中的一个是另一个的倍数【例6】从1 , 2, 3,……49, 50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除, 则最多能取出多少个数?【例7】从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数.证明：⑴ 在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50; (3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于 1 .【例8】有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同•现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子【例9】要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？【例10】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？【例11】在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米? 【巩固】在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米.【巩固】在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米.【例12】在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1.【巩固】在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米.【巩固】 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。

抽屉原理一、知识结构图抽屉原理二、方法讲解抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。

它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。

1、抽屉原理将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

例如：有5个苹果放进4个抽屉，那么一定有一个抽屉至少放了 个苹果；将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。

例如：如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。

如果把97个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。

如果把98个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。

2、最不利原则这是一种从反面思考问题的思想，也是抽屉原理中非常重要的思考方法，就是从最不利的方向出发分析问题。

例如：口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。

问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？解析：（1）如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，答案是 ，这是从最有利原则考虑的，这是最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同，而不是“保证至少有4个小球颜色相同”。

（2）为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。

如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。

“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出 个红球、 个黄球和 个蓝球，此时三种颜色的球都是 个，却无 个球同色。

这样摸出的 个球是“最不利”的情形。

这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。

所以回答应是最少摸出 个球。

抽屉原理一．什么是抽屉原理？实例1：把3个苹果放在两个抽屉里，不论怎样放，“必有一个抽屉里至少放了2个苹果”。

实例2：把七只山雀,任意装入3只鸟笼内，则其中必有一只鸟笼至少装有3只山雀。

上述问题共同点都是在“任意放入”的条件下，得出“必然的结论”，这就是抽屉原理的基本思想二．抽屉原理的几种常见形式原理1。

把m 件物体，任意放在)(m n n <个抽屉里，则其中必有一个抽屉里至少放有两件物体。

原理2。

把)1(≥+k k mn 个物体放进n 个抽屉，则至少有一个抽屉里要放进1+m 个或更多个物体原理3。

把)1(321≥++++k k m m m m n 个物体放入n 个抽屉里，那么或在第一个抽屉里至少放入11+m 个物体，或在第二个抽屉里至少放入12+m 个物体，……，或在第n 个抽屉里至少放入1+n m 个物体。

原理4。

把m 个物体任意放在n 只抽屉里，那么总有一只抽屉里，至多有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 个物体。

三．构造抽屉的几种常用方法在运用抽屉原理解题时，怎样才能构造出符合条件的抽屉呢？关键要合理地进行分类，无论怎样分类，都应当先确定分类的对象，再确定分类的标准，下面就常见的的设计抽屉的方法介绍如下1．分割图形构造抽屉例1． 在边长为1的正三角形中任意放置五个点，则必有两点，它们之间的距离不超过21。

分析：在正三角形内（包括边界）任意两点间的距都不超过其边长（其它多边形无此性质），根据这个性质，如果能把原来正三角形划分为四个边长为21的正三角形即可 解：设正三角形ABC 边长为1，连接三边中点DE 、EF 、FD ，则构成四个边长为21的小正三角形，任意放置五个点，依据抽屉原理，至少在一个小正三角形内（包括边界）不少于两点，它们之间的距离不大于小正三角形的边长。

即证。

例2． 在一个边长为1的正方形内任意给定9点，求证：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于81。

分析：首先要考虑这个正方形需要分割几块，才能保证在某一块里至少有3个点，根据抽屉原理319=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k ，可知,4=k 这就是说，把正方形分割成4块， 证明：将正方形分成四个面积为41的小正方形，根据抽屉原理2，至少有一个小正方形EFGH 所含（在内部或周界上）的给定点不少于3149=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡个，设为A 、B 、C ，显然，若A 、B 、C共线，则命题成立，如果它们不共线，总可以用如图的方法将ABC ∆部分，那么212121==+≤+=∆∆∆EFGH MFGN EMNH CBD ABD ABC S S S S S S例3． 把93⨯的矩形分成27个单位小方格，将每个小方格任意涂上红色或蓝色。

抽屉原理优秀教案《数学广角——抽屉原理》实验小学潘聪聪《数学广角——抽屉原理》【教学内容】：我说讲课的内容是人教版六年级数学下册数学广角《抽屉原理》第一课时，也就是教材70-71页的例1和例2。

【教学目标】：知识与技能：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。

渗透“建模”思想。

过程与方法：经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

情感与态度：通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。

【教学重点】：1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

2、“总有”“至少”具体含义，以及为什么商+1而不是加余数。

【教学难点】：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

【教法和学法】：以学生为课堂的主体，采用创设情境，提出问题，让学生动手操作、自主探究、合作交流。

【教学准备】：一定数量的笔、铅笔盒、课件。

【教学过程】：一、游戏激趣，初步体验师：同学们喜欢做游戏吗？学习新课之前，我们先做个游戏，老师这里准备了2张凳子，请3个同学上来，（找生）听清要求，老师说“请坐”时，每个同学必须都坐下，谁没坐下谁犯规，（师背对）听明白了吗？好“请坐！”告诉老师他们都坐下了吗？老师不用看，就知道一定有一张凳子上至少坐了两名同学，对吗？假如请这3位同学再反复坐几次，老师还敢肯定地说：“不管怎么坐，总有一张凳子上至少坐2名同学，你们相信吗？其实这个游戏里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，想不想通过自己动手实践来发现它？【设计意图：在课前进行的游戏激趣，一是激发学生的兴趣，引起探究的愿望；二为今天的探究埋下伏笔。

】二、操作探究，发现规律1、小组合作，初步感知。

师：下面我们先从简单的情况入手，请看大屏幕（出示例1：4只铅笔放入3个盒子中），有几种不同的放法？你能得到什么结论？下面我们小组合作（出示合作要求，请生读要求），看哪组动作最快？（1）、学生动手操作，讨论交流，老师巡视，指导；（2）、全班交流。