高中新课程数学(新课标人教B版)必修一3.3《幂函数》3教案

人教版高中必修一《幂函数》教案一、教学目标1.了解幂函数的定义和特点；2.学习叠加思想，并掌握简单的幂函数叠加方法；3.能够解决一些实际问题。

二、教学重难点1.幂函数的定义及其特点；2.幂函数的叠加思想；3.幂函数的绘图方法；三、教学过程1.引入幂函数的定义：$y=x^p(p\\in \\mathbb{R})$让学生发现x的取值范围对函数图象的影响，并对函数图象进行描述。

2. 概念讲解1.首先讲解幂函数的定义，指出它是一种基本函数；2.介绍幂函数的性质，让学生知道幂函数的图像不可能横切x轴；3.引入幂函数的叠加思想，让学生知道可以将不同的函数图像叠加在一起。

3. 具体例子讲解1.书写公式，说明函数图象的性质；2.给出幂函数的图象，描出函数的图象；3.确定函数图象的性质，让学生明白函数图象的变化。

4. 例题解析1.给出实际问题，提供数据；2.根据实际问题列出函数式，确定函数图象；3.通过实际问题，解释函数图象的意义。

5. 分组讨论1.将学生分成若干小组，每组做一道练习题；2.每组向其他组展示自己的想法、方法及结果；3.学生之间相互交流，共同探讨出最佳答案。

四、教学方法1.板书法：结合具体例子进行讲解；2.案例法：让学生通过实际问题练习解题思路；3.分组讨论法：提高学生探究问题、思考问题和解决问题的能力。

五、教学帮助1.帮助学生理解定义和性质；2.尤其帮助学生掌握幂函数的叠加思想，找出函数图象的变化规律。

六、课堂反馈1.倾听学生提出的疑问和问题；2.鼓励并指导学生提出自己的解决方案；3.搜集学生反馈，及时调整教学进度和方法。

七、课堂作业1.完成教师布置的作业；2.阅读教材给出的例题；3.自己找出一些幂函数的例子进行探究。

幂函数三维目标 一、知识与技能1.理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象. 2.结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质. 二、过程与方法1.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.2.使学生进一步体会数形结合的思想. 三、情感态度与价值观1.通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.2.利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.教学重点常见幂函数的概念、图象和性质. 教学难点幂函数的单调性及比较两个幂值的大小. 教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、创设情景，引入新课（多媒体显示以下5个问题，同时附注相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕上弹出）问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数p =w 元，这里p 是w 的函数.问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S =a 2，这里S 是a 的函数. 问题3：如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数. 问题4：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长a =S 21，这里a 是S 的函数. 问题5：如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v =t －1 km/s ，这里v 是t 的函数.引导学生观察上述例子中函数模型，几个函数表达式的共同特征：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量.结论：变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数. （引入新课，书写课题） 二、讲解新课 1.幂函数的概念师：如果设变量为x ，函数值为y ，就得到函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21.它们的一般式为y =x α.（得出幂函数的定义，师板书）一般地，函数y =x α叫做幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数. 合作探究：幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念，明确两者的区别，得出如下结论） 结论：从它们的解析式来看有如下区别： 幂函数——底数是自变量，指数是常数； 指数函数——指数是自变量，底数是常数. 2.几个常见幂函数的图象和性质请在同一坐标系内画出幂函数y =x 、y =x 2的图象.根据同学们的学习经历，请同学们在同一坐标系内画出函数y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象. （生动手画图，师巡视，进行个别辅导，明确作以上函数图象的步骤和方法，指导学生借助计算器作出函数y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象）.借助计算机利用《几何画板》软件，画出函数y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象. 合作探索：观察函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象，将你发现的结论写在下表内.（师多媒体显示如下图表，师生共同完成下列表格的填写）合作探索：根据上表的内容并结合图象，试总结函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21的共同性质.让学生交流，师结合学生的回答组织学生总结出如下性质： （1）函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象都过点（1，1）； （2）函数y =x ，y =x 3，y =x－1是奇函数，函数y =x 2是偶函数；（3）在第一象限内，函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x 21是增函数，函数y =x －1是减函数；（4）在第一象限内，函数y =x －1的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近.合作探索：函数y =x 3，y =x 21是增函数，y =x －1在区间（－∞，0）和区间（0，+∞）上是减函数，能否说函数y =x －1在定义域内是减函数？ 结论：不能说函数y =x －1在定义域内是减函数.理由：如果说函数y =x－1在定义域内是减函数，根据函数单调性的定义，对于定义域（－∞，0）∪（0，+∞）内的任意的自变量的值，当x 1、x 2∈（－∞，0）∪（0，+∞）且x 1＞x 2，恒有y 1＜y 2，但在－2＜1时，（－2）－1＜1－1，不能满足减函数的定义.方法引导：当函数f （x ）的定义域不连续时，如果它在两区间上都单调递增或单调递减，不能说函数f （x ）在定义域上单调递增或单调递减，需分区间分别叙述函数f （x ）在各个区间上的单调性.3.例题讲解【例1】 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性. （1）y =x 52；（2）y =x43-；（3）y =x －2.方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式（组），解不等式（组）即可得到所求函数的定义域.①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负； ③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0. 观察以上函数的解析式，解析式中的自变量x 有哪些限制？结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域.师：现在我们就能解决这个问题了.解：（1）函数y =x 52，即y =52x ，其定义域为R ，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减.（2）函数y =x43-，即y =431x，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减.（3）函数y =x －2，即y =21x ，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）上都单调递减.【例2】 证明幂函数f （x ）=x 在［0，+∞）上是增函数.请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答，师板书. 证明：设0≤x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=1x －2x =212121))((x x x x x x ++-=2121x x x x +-，因为x 1－x 2＜0，1x +2x ＞0，所以f （x 1）＜f （x 2），即幂函数f （x ）=x 在 ［0，+∞）上是增函数.以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性，作简要分析，提出注意点：在证得)()(21x f x f ＜1后，要比较f （x 1）与f （x 2）的大小，要注意分母的符号. 合作探究：【例3】 比较下列各组数的大小： （1）1.531，1.731，1；（2）（－22）32-，（－710）32，1.134-；（3）3.832-，3.952，（－1.8）53；（4）31.4，51.5.方法指导：比较两个或多个数值的大小，一般情况下是将所要比较的两个或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题，进而根据所确定的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“－1”或“0”这些数作为中间量来进行比较.解：（1）∵所给的三个数之中1.531和1.731的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.531、1.731、1的大小就是比较1.531、1.731、131的大小，也就是比较函数y =x 31中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y =x 31的单调性即可，又函数y =x 31在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.731＞1.531＞1.（2）（－22）32-=（22）32-，（－710）32=（107）32-，1.134-=［（1.1）2］32-=1.2132-.∵幂函数y =x 32-在（0，+∞）上单调递减，且107＜22＜1.21，∴（107）32-＞（22）32-＞1.2132-，即（－710）32＞（－22）32-＞1.134-.（3）和学生一起分析：利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.832-＜1，3.952＞1，（－1.8）53＜0，从而可以比较出它们的大小.（4）和学生一起分析：它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5.方法总结：（1）在第（1）题中，底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.（2）在第（2）题中，通过观察发现，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数的单调性比较大小.在比较幂值大小问题时，分析数据特征，合理变换数据形式，是比较数值大小的方法之一.（3）在第（3）题中，若所给的几个数底数和指数都不能化成相同的，可分组分别根据各自对应的函数的单调性比较大小，再借助于中间量1，－1或0这些中间桥梁来比较它们的大小.（4）在第（4）题中，底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较.4.目标检测（1）下列函数中，是幂函数的是 A.y =－x 21B.y =3x 2C.y =x1 D.y =2x（2）下列结论正确的是A.幂函数的图象一定过（0，0）和（1，1）B.当α＜0时，幂函数y =x α是减函数C.当α＞0时，幂函数y =x α是增函数 D.函数y =x 2既是二次函数，也是幂函数 （3）函数y =x 53的图象大致是 （4）幂函数f （x ）=ax mm82（m ∈Z ）的图象与x 轴和y 轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a 和m .答案：（1）C （2）D （3）D （4）a =1，m =1，3，5，7. 三、课堂小结1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象和性质.3.幂值的大小比较方法. 四、布置作业 板书设计2.3 幂函数1.幂函数的概念2.幂函数的性质一、幂函数的图象和性质探索过程 二、例题解析及学生训练 三、幂值大小比较的方法总结 四、课堂小结与布置作业。

人教版高中必修1(B版)3.3幂函数课程设计一、背景与目的幂函数作为数学分析中的一种基本函数，是大学教育中非常重要的课程内容，但是在高中数学中，尤其是在必修课中，幂函数的教学并不够充分。

因此，本课程设计旨在通过引导学生深入探究幂函数的性质与应用，提升学生对幂函数的认识与理解，为大学数学课程打下更加牢固的基础。

二、教学内容与方法1. 教学内容本课程设计主要围绕以下内容展开：1.幂函数的定义与性质；2.幂函数的图像与变化趋势；3.幂函数与指数函数的关系；4.幂函数的应用：指数函数模型。

2. 教学方法1.探究式教学法。

此方法通过引导学生自主学习、自主探究的方式，让学生体验到数学发现的乐趣，增强他们对知识的掌握及运用能力。

在本课程设计中，可以让学生通过编写程序或利用数学软件，探究幂函数的各种性质与变化趋势。

2.讨论式教学法。

此方法通过给学生一定的问题或案例，引导学生进行思考和探讨，培养学生的合作意识、批判思维和创造力。

在本课程设计中，可以通过案例分析的方式，让学生探讨幂函数在生活中的应用，并结合实际问题进行计算与解答。

三、教学过程1. 课前准备1.设备：计算机、投影仪、数学软件等；2.材料：教材相关内容、探究性课题、案例等；3.学生：提前学习幂函数基本知识，具备使用数学软件的能力。

2. 教学步骤第一步：幂函数的定义与性质1.进行知识普及，回顾幂函数的定义；2.引导学生自主探究幂函数性质：奇偶性、单调性、零点、渐进线、极值点等；3.通过数学软件绘制幂函数图像，让学生了解幂函数在不同情况下的变化趋势和特点。

第二步：幂函数与指数函数的关系1.回顾指数函数的定义与性质；2.引导学生探究幂函数与指数函数的关系，并解释幂函数的性质对其图像的影响。

第三步：幂函数的应用1.结合生活实际问题，引导学生运用幂函数进行模型构建与解答；2.通过案例分析，让学生掌握幂函数在实际问题中的应用。

四、课程评估1. 教学成果评估1.以小组形式完成探究性课题的撰写与汇报，评选出优秀课题；2.编写课程设计反思材料，评价本课程设计的教学效果。

人教版必修1B版3.3 幂函数教学设计3.3 幂函数教学设计教学目标一. 通过对幂函数的研究，理解、掌握幂函数的图象与性质，并掌握研究幂函数的一般方法；二．渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力；三．培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程.教学重、难点本节课的重点内容是幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法.相对于指数函数与对数函数来说，幂函数的情况比较复杂，因此对幂函数图象的共性的归纳是本节课的难点.学情分析及教学内容分析一. 学情分析本课例的实施对象具有如下特点：1.知识储备方面学习幂函数之前，学生在初中已经掌握了一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数几类基本初等函数，并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质，基本掌握了研究函数的一般方法与过程.由于幂函数的情况比较复杂，学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难.2. 思维水平方面所授课班级是理科实验班学生，学生有较高的数学素养和较强的数学思维能力，对数学充满探索精神，同时对课堂教学有较高需求.3. 技术使用方面学生能够熟练掌握图形计算器的操作，并具有利用信息技术进行自主探究的意识.二. 教学内容分析1.幂函数在教材中的地位幂函数是新课标教材新增的内容，位于必修1第三章基本初等函数（Ⅰ）的第三节.在过渡性教材中，曾将幂函数这一内容删掉了，新课标又把幂函数重新编入教材，而相比起人教版的旧教材，幂函数的地位和难度都有所下降，新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后，并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质.2.幂函数的作用新教材将幂函数重新加入,主要考虑到幂函数在以下几方面的作用：第一，是幂函数在实际中的应用.第二，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.第三，幂函数是基本初等函数（Ⅰ）研究的最后一个函数，在指数函数和对数函数之后，幂函数的学习与探究过程可体现类比的学习方法，渗透分类讨论数形结合的数学思想，培养归纳、概括的能力，并使学生进一步体会并掌握研究基本初等函数的一般思路与方法.教学过程一．创设情境，建构概念1.定义的给出本节课教学任务较重，难度较大，但是所授班级为理科实验班，学生的数学素养较好，因此采取了由指数函数直接引入幂函数定义的方法.指出对于关系式：ab=N,当底数a为常数，b作为自变量，N为b的函数时，就构成了指数函数；当指数b为常数，底数a为自变量，N为a的函数时，构成的函数就称为幂函数.由此得到幂函数的定义：形如的函数称为幂函数.（目前我们只研究指数为有理数的情况）2.概念的辨析在给出了幂函数的定义后，请学生举出了大量幂函数的例子，目的在于对幂函数进行辨析，学生举的例子中含有已学过的函数，因此通过这个环节使学生感知到幂函数并不是完全陌生的，学习幂函数是为了对幂函数进行更一般的研究.同时针对学生的例子中出现的指数为无理数的情况，指出了现阶段只研究指数为有理数的情况.二. 联想类比，自主探究1.自主探究在这个环节中引导学生自由选择不同的幂函数，利用图形计算器通过画图，探究它们的图象与性质.并将自己的探究结果记录在表格中，在研究过程中，学生会选择幂指数不同的多个幂函数进行研究，分别记录它们的图象与性质，并在探究过程中对幂指数的作用进行了初步的探索.2.图象展示在这一环节中教师请学生将他们研究的幂函数从形态上看不同的图象分别画到黑板上，在学生的相互补充、教师的及时纠错和引导下，最终得到了十种不同形态的图象.由教师补充了学生遗漏的y=x的图象，最后黑板上一共展示了十一种不同形态的幂函数的图象.三. 深入探究，归纳性质1.对图象的进一步探究在得到了十一种不同形态的图象后，教师指出，幂函数的情况比指数函数和对数函数的情况复杂得多，继而提出问题：我们该如何去把握幂函数的图象呢？学生提出根据幂指数的不同范围分α1，0α1，-1α0，α-1几类，进行讨论.在这个环节中针对学生出现的几个问题，教师进行了适当引导，并且在这个过程中有效地突破了本节课的教学难点：（1）学生回答当α1时，幂函数的图象具有相同的共性.此时教师引导学生观察图象，说明α1时的几个幂函数的图象形态并不相同.进一步引导学生发现实际上它们在第一象限图象的形态是一样的.从而提出实际上由于函数的奇偶性，我们只需考虑幂函数在第一象限内的图象规律即可，这样就大大简化了讨论的过程，这也是本节课的教学难点.（2）在共同讨论-1α0和α-1时幂函数的图象时，发现它们在第一象限图象从形态上来看没有差异，指出对幂函数图象的讨论只需分α1，0α1，α0，α=1，α=0这几种情况即可.2.对幂函数在第一象限图象的归纳在这一环节中教师引导学生将幂函数在第一象限不同形态的图象画出来，并请一名学生将图象画到黑板上，通过对学生所画图象的纠错与分析和学生共同归纳出幂函数在第一象限的图象与性质：（1）图象必过(1,1)点.（2）α1时，过(0,0)点，且y随x的增大，函数图象向y轴方向延伸，图象是下凸的.在第一象限是增函数.（3）0α1时，随x的增大，函数图象向x轴方向延伸，函数图象是上凸的.在第一象限是增函数.（4）α0时，随x的增大，函数图象与x轴、y轴无限接近，但永不相交.在第一象限是减函数.（5）α=1和α=0的情况.（略）四．练习与巩固1.画出的草图.在这一环节中，教师首先选择了学生在课堂初始时举出的一个幂函数：作为例子，引导学生画出函数的图象.通过此例使学生进一步熟悉一般幂函数的研究方法与过程：先将分数指数幂化为根式，确定函数定义域，再根据解析式确定函数奇偶性，最后根据第一象限函数的图象特征确定函数图象.2.寻找一个幂函数使其图象类似于y=x2的图象.学生回答y=x4，y=x10，教师引导学生寻找幂指数为分数的情形，学生给出了这个函数.通过画的图象，进一步巩固了研究幂函数的一般方法，以及幂函数图象的特征.通过这一环节，进一步明确了研究幂函数的一般方法与过程，同时也是本节课教学效果的一个反馈.五．课堂小结本节课给出了下面的小结：今天这节课我们研究了幂函数的性质，同学们通过对一些特殊的幂函数的研究，又一次体验了研究一类函数的一般方法.掌握了幂函数在第一象限图象的特征，在研究过程中我们应当认识到，重要的不是去记忆某个具体幂函数的图象与性质，而应当注意掌握研究幂函数的一般方法和过程.六．布置作业这节课通过对一些具体的幂函数的研究归纳概括出了幂函数的图象随幂指数变化的情况.对于理科实验班的学生，这一结论应从理论上加以完善，因此布置了以下作业：当α为有理数(p,q为整数，且为既约分数)时，对幂函数的图象与性质进行一般性的讨论.。

3.3幂函数
教学目标：了解幂函数的概念
教学重点：了解幂函数的概念
教学课时：1课时
教学过程：
1、 概念：形如α
x y =（R ∈α），的函数叫做幂函数
2、 本节课只研究α为有理数的情形
图1 令n m =α，其中Z n m ∈,且1),(=n m ，就1>α，10<<α，0<α时 n m ,分别取奇数、偶数，偶数、奇数，奇数、奇数共九种情形进行分类。

选取以上的图形作为各类的代表
3．除教材上给出的性质外还可补充：
（1）幂函数图象在第一、二、三象限分别相交于点（1，1），（－1，1），（－1，－1），第四象限无图象。

（2）在第一象限，直线把第一象限分割成四片区域。

两块正方形（或开放正方形）区域（图二），两块矩形区域（图三）。

当n＞0时，图象在两片正方形区域内通过；当n＜O时、图象在两片矩形区域内通过。

（3）图象形状：当n＞0（n≠1）时，图象为抛物线型，n＜O时图象为双曲线型，当n＝0或1时，图象为直线型。

（4）n由小往大的变化规律如图四，从－∞O1（左拐90°）＋∞。

4、提问思考。

根据以上规律、如何迅速画出幂函数的图象草图呢？应先画函数图象在第一象限内的部分。

要先从右端入手，根据n的值，确定“入场”区域（分三区：n＜0，0＜n ＜1，n＞1＝对号入场，注意纽交点两侧情况。

再根据定义域，奇偶性确定它在第二、第三象限有无图象，若有，由对称性就可以画出了。

课堂练习：教材第118页练习题3-3A、3-3B
小结：了解幂函数的概念
课后作业：略。

高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。

二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。

三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。

四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。

2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。

3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。

4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。

五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。

六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。

七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。

八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。

九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。

十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。

十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。

以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。

祝教学顺利！。

3．3 幂函数整体设计教学分析幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝21x 等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数α＞0时，幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时，幂函数的图象都经过点(1,1)，且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习．将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质．其中，学生在初中已经学习了y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x－1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识．现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构．学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．三维目标1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象．2．通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣．3．了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质． 4．通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望．5．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力． 6．了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力．教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质． 教学难点：根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小． 课时安排 1课时 教学过程导入新课思路1.(1)如果张红购买了每千克1元的水果w 千克，那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系？根据函数的定义可知，这里p 是w 的函数．(2)如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数． (3)如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数． (4)如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a ＝21S ，这里a 是S 的函数． (5)如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的速度v ＝t －1 km/s ，这里v 是t 的函数． 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)．(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课，书写课题：幂函数)． 思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数：二次函数、指数函数和对数函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书课题：幂函数．推进新课新知探究 提出问题问题①：给出下列函数：y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3，考察这些解析式的特点，总结出来，是否为指数函数？问题②：根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论．问题③：我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么样的思路？研究幂函数的性质呢？问题④：画出y＝x，y＝x 12，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五个函数图象，完成下列表格．问题⑤：通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？问题⑥：通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示．讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数．②由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：一般地，形如y＝xα(x∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．如y ＝x 2，y ＝21x ，y ＝x 3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本初等函数．③我们研究指对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此．④学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象．利用描点法，在同一坐标系中画出函数y ＝x ，y ＝21x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x－1的图象．列表：描点、连线．画出以上五个函数的图象，如下图．让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质．通过观察图象，完成表格．⑤第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断．⑥幂函数y＝xα的性质．(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)(原因：1x＝1)．(2)当α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞)上是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升)．特别地，当α＞1时，x∈(0,1)，y＝x2的图象都在y＝x图象的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大．当0＜α＜1时，x∈(0,1)，y＝x2的图象都在y＝x的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴．应用示例思路1例1比较下列两个代数式值的大小：(1)(a ＋1)1.5，a 1.5；(2)(2＋a 2)－23，2－23.解：(1)考察幂函数y ＝x 1.5，在区间[0，＋∞)上是单调增函数． 因为a ＋1＞a ，所以(a ＋1)1.5＞a 1.5. (2)考察幂函数y ＝23－x ，在区间[0，＋∞)上是单调减函数．因为2＋a 2≥2，所以(2＋a 2)－23≤2－23. 点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.例2讨论函数y ＝32x 的定义域、奇偶性，作出它的图象．并根据图象说明函数的增减性．解：函数y ＝32x ＝3x 2，定义域是实数集R . 因为f(－x)＝32)(x －＝[(－x)2]＝(x 2)＝32x ， 所以函数y ＝x 23是偶函数．因此函数的图象关于y 轴对称． 列出函数在[0，＋∞)上的对应值表：作这个函数在[0，＋∞)上的图象，再根据这个函数的图象关于y 轴对称，作出它在(－∞，0]上的图象，如下图所示．由它的图象可以看出，这个函数在区间(－∞，0]上是减函数，在区间[0，＋∞)上是增函数．变式训练证明幂函数f(x)＝x 在[0，＋∞)上是增函数．活动：学生先思考或讨论，再回答，教师根据实际，可以提示引导．证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性． 证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2，因为x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0，所以x 1－x 2x 1＋x 2＜0.所以f(x 1)＜f(x 2)，即f(x)＝x 在[0，＋∞)上是增函数．思路2例1判断下列函数哪些是幂函数．①y ＝0.2x ；②y ＝x －3；③y ＝x －2；④y ＝51x .活动：学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答．根据幂函数的定义判别，形如y ＝x α(x ∈R )的函数称为幂函数，变量x 的系数为1，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断．解：①y ＝0.2x 的底数是0.2，因此不是幂函数； ②y ＝x －3的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数； ③y ＝x－2的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；④y ＝51x 的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数． 点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.例2函数y ＝(x 2－2x)21－的定义域是( )A ．{x|x≠0或x≠2}B ．(－∞，0)∪(2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．(0,2)解析：函数y ＝(x 2－2x)21－化为y ＝1x 2－2x，要使函数有意义需x 2－2x ＞0，即x ＞2或x ＜0，所以函数的定义域为{x|x ＞2或x ＜0}．答案：B点评：注意换元法在解题中的应用.知能训练1．下列函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x 3 C ．y ＝1x D ．y ＝2x2．下列结论正确的是( ) A ．幂函数的图象一定过原点B ．当α＜0时，幂函数y ＝x α是减函数C ．当α＞0时，幂函数y ＝x α是增函数D ．函数y ＝x 2既是二次函数，也是幂函数 3．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝23x4．已知某幂函数的图象经过点(2，2)，则这个函数的解析式为__________． 答案：1.C 2.D 3.A 4.y ＝21x拓展提升分别在同一坐标系中作出下列函数的图象，通过图象说明它们之间的关系． ①y ＝x －1，y ＝x －2，y ＝x －3；②y ＝x 21－，y ＝x31－；③y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3；④y ＝21x ，y ＝x.活动：学生思考或交流，探讨作图的方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演示． 解：利用描点法，在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如下图甲、乙、丙、丁．甲乙丙丁①观察上图甲得到：函数y ＝x －1、y ＝x －2、y ＝x －3的图象都过点(1,1)，且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴，指数越小，向右无限接近x 轴的图象在下方，向上离y 轴越远．②观察上图乙得到：函数y ＝x 21－、y ＝x 31－的图象都过点(1,1)，且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴，指数越小，向右无限接近x 轴的图象在下方，向上离y 轴越远．③观察上图丙得到：函数y ＝x 、y ＝x 2、y ＝x 3的图象过点(1,1)、(0,0)，且在第一象限随x 的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越大图象下凸越大，在第一象限来看，图象向上离y 轴近，向下离y 轴近．④观察上图丁得到：函数y ＝21x 、y ＝x 的图象过点(1,1)、(0,0)，且在第一象限随x 的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数，指数越大图象上凸越大，在第一象限来看，图象在点(1,1)的左边离y 轴近，在点(1,1)的右边离x 轴近．根据上述规律可以判断函数图象的分布情况． 课堂小结1．幂函数的概念．2．幂函数的性质．3．幂函数的性质的应用．作业课本习题3—3 A 3、4.设计感想幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，课本内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些课本上没有的题目类型，以扩展同学们的视野，同时由于作图的内容较多，建议抓住关键点作图，要会熟练地运用计算机或计算器作图，强化对知识的理解．备课资料历史上数学计算方面的三大发明你知道数学计算方面的三大发明吗？这就是阿拉伯数字、十进制和对数．研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题，我们采用的十进制是中国人的一大发明．在商代中期的甲骨文中已有十进制，其中最大的数是3万，印度最早到六世纪末才有十进制．但是，目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用，后来传到阿拉伯，由阿拉伯人传到欧洲，并被欧洲人所接受．十进制位置计数法的诞生，是自然数发展史上的一次飞跃，同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值．无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭，所有的自然数都可以方便清楚地表示出来．16世纪前半叶，由于实际的需要，对计算技术的改进提出了前所未有的要求．这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要．为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法．苏格兰数学家纳皮尔(Napier ，J.1550～1617)在球面天文学的三角学研究中，首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中，阐述了他的对数方法，对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs，H.1561～1630)所认识，他与纳皮尔合作，并于1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数．常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献，而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具．恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始，微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命．”一直到18世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，L.1707～1783)才发现了指数与对数的关系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们所接受．。

人教B版高中高一数学幂函数教案设计一、教学目标1.了解幂函数的定义及其性质；2.掌握幂函数的图像变换；3.能够通过图像和函数式子相互转换；4.能够应用幂函数解决实际问题。

二、教学重点1.幂函数的定义及其性质；2.幂函数的图像变换。

三、教学难点1.幂函数的图像解析；2.幂函数与实际问题的综合应用。

四、教学过程设计1. 导入环节教师通过展示一张幂函数的图像，让学生通过观察来了解幂函数的定义。

2. 概念讲解1.幂函数的定义及其性质•定义：设a>0且a eq1，则函数y=a x称为幂函数。

•性质：当a>1时，幂函数y=a x呈增长趋势；当0<a<1时，幂函数y=a x呈下降趋势。

2.幂函数的图像变换•左移/右移：$y=a^{x \\pm k}$ 的图像向左/右平移k个单位；•上移/下移：$y=a^x \\pm k$ 的图像向上/下平移k个单位；•拉伸/压缩：y=a kx的图像沿x轴缩短/拉长k倍，沿y 轴拉长/缩短k倍。

3. 综合练习1.求函数f(x)=2x在点(1,2)的切线方程；2.已知函数g(x)=2−x，求g(1)和g(−1)的值；3.某村庄的归化指数是每年按 $1.2\\%$ 的速度递增，已知该村庄在2010年的归化指数为k，问在2020年底该村庄的归化指数是多少？4. 结论总结幂函数是一种常见的函数类型，通过图像可直观了解函数的增减趋势，通过函数式子可推导出函数的性质、图像变换等。

五、教学反思通过本次课程，学生们掌握了幂函数的定义及其性质，掌握了幂函数的图像变换，学会了将图像和函数式子相互转换，能够应用幂函数解决实际问题。

但是在教学中，有些学生对幂函数的图像变换还不是很理解，需要更多的练习和巩固。

后面需要进行相关习题训练，帮助学生更加深入地理解幂函数的概念和应用。

人民教育出版高中数学B版必修一◆3.3《幂函数》教学设计2.教学过程设计函数的教师通过电脑投影演示)(R x y ∈=αα的标准图象，幂函数的图象随指数α的变化图象的变化情况。

观察教师的演示过程，直观感受幂函数图象特点，函数因变量y 随自变量x 的变化过程，进一步验证小组合作的探究成果。

让学生从静态观察函数图象到动态生成函数图象，感受函数变量对应变化，实现由感性认知到理性认知的跨越。

请学生根据观察出的图象特征，归纳出幂函数的性质。

学生小组合作完成下表，上台展示：函数)(R x y ∈=αα指数 1>α 10<<α 0<α图象过定点单调性函数值特点完善表格，形成知识脉络，突破难点.例1、 比较下列两个代数式值的大小 （1）5.15.1)1(a a + （2）21219.01.1-- 练习:比较下列两个代数式的大小：(1)119.08.0--（2）43434.23.2（3）22)43()32(-- （4）2121)31()21(学生思考，口头回答 教师引导学生总结比较大小的方法。

幂函数概念的应用，加深幂函数性质的理解。

例2：讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象.并根据图象说明函数的增减性。

学生自主完成，选取代表板演。

教师启发引导学生总结研究幂函数性质的规律方法。

例2研究幂函数的性质，培养学生数形结合的思想方法和应用能力，提高思维的严谨性，进一步加深对幂函数图象和性质的理解。

=α 生成新 知典 例剖析六、板书设计[设计意图]板书呈现整堂课的内容与方法，突出本节重难点，体现教学进程，启迪学生思维.设计理念：1.本节课以：“教什么”、“怎么教”，“为什么这样教”与学生的“学什么”、“怎么学”，“为什么这样学”的有机结合为教学设计出发点.2.在教学过程中，从实际问题入手，设置探究题，引导学生自主、合作学习，渗透数学思想方法为教学设计的落脚点.3.在问题解决过程中，以数学应用意识的培养，解决问题能力的提高为教学设计的最终目的.§3.3 幂函数。