初中数学妙用换元法分解因式学法指导.doc

奇妙的换元法一、引入所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，把整个式子的一部分看作一个量，然后用一个字母去代替它，从而简化复杂式子的结构，使问题易于解决。

今天这一讲我们着重学习换元法的应用。

二、例题选讲例1． 把1)1(2)(2-++-+n m n m 分解因式分析：在原式中，重复出现了m+n ，不妨把m+n 看成u解：设m+n = u1)1(2)(2-++-+n m n m= 1)1(22-+-u u 换元= 322--u u= )1)(3(+-u u 回代= )1)(3(++-+n m n m*此例通过换元使原多项式的形式简洁了，分解容易了。

因而，在因式分解中，换元法有较为普遍的应用。

例2．分解因式 8)43)(33(22-++-+x x x x分析：此式展开后是n 的四次多项式，若将其展开，一定复杂。

根据本题特征，可设 y x x =+32。

通过换元，将x 的四次多项式转化为y 的二次多项式，化繁为简，变难为易。

解：设y x x =+32，则原式 = 8)4)(3(-+-y y 换元= 202-+y y= )5)(4(+-y y = )53)(43(22++-+x x x x 回代= )53)(4)(1(2+++-x x x x*本题除了可设y x x =+32换元以外，还有其它的换元方法（可设y x x =-+332或y x x =++432均可）例3． 分解因式2)1()2)(2-+-+-+xy y x xy y x （ 分析：直接分解因式较困难，观察所给式子，发现式子中只有x+ y 和xy ，若将x+ y 和xy 换元成a 和b ，则原式可以化为2)1()2)(2-+--b a b a （的形式，分解因式后再将a 、b 用x+ y 与xy 代入即可。

解：设x+ y = a ，xy = b 则原式 = 2)1()2)(2-+--b a b a （= 1242222--++--b b b ab a a= 1)22()2(22++-++-b a b ab a= 1)(2)(2+---b a b a= 2)1(--b a = 2)1(--+xy y x= 2)]1()1([y y x --- = 2)]1)(1[(y x --= 22)1()1(--y x*从本题特征看，把x+ y 、xy 各看作一个整体换元可使问题简化，事实上本题解法较多，同 学们可以自己在课后加以研究。

因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。

解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。

原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher 微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher 第十讲 因式分解—换元法 热身小练 1. 1xx<-. 答案：12x＜

2. 2321431xxx-+-+-<. 答案：3759x＜＜

3. 723xx+--< 答案：-1x＜

4. 23xx-> 答案：13xx＜或＞

5. 32112xxx+--<+ 答案：2-25xx＜或＞

6. 121xx--+> 答案：-10xx＜或＞

7. a取何值时，不等式2542xxa++-答案：9a 微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher 微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher 知识讲解 （1）换元法是数学中的一种重要方法，它可以使复杂的、不熟悉的问题转化为简单的、熟悉的问题．在解题或证明中换元法常常起着桥梁的作用． （2）“换元”就是“字母代式”，即用新的“元”去代替原式中的式，是一种整体思想．换元法又称设辅助未知数法，它是字母代表数这一数学思想的延续和发展．

例题分析 【换次数较高或出现相同的项】 【例题1】分解因式： 解：令，则原式 原式

【例题2】分解因式：124848)19(408)19(222xxxx

【备用练习】 分解因式：111xyxyxy 解法一：令1axy， 原式11aaxyxyaxayxyxxyy 解法二：21111xyxyxyxyxyxyxyxy

2

222483482xxxxxx

248yxx

22322yxyxyxyx

22258682458xxxxxxxx微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher

微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher 11xyxxyy

初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。

综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。

在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。

对于十字相乘法，我们分为四种类型。

给大家做详细的讲解。

针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。

数学因式分解的方法数学因式分解的方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，希望能够对大家有所帮助！一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。

① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。

用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。

【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

因式分解的几种方法(一提二套三分四造),换元法和十字相乘法的运用因式分解是代数运算中的一项重要技能，它可以帮助我们将复杂的表达式简化，便于理解和计算。

在中学数学学习中，我们通常会接触到多种因式分解的方法，其中包括一提二套三分四造、换元法、十字相乘法等。

本文将对这些方法进行详细介绍，以帮助大家更好地掌握因式分解的技巧。

一、一提二套三分四造1. 一提：提取公因式提取公因式是将多项式中的公共因子提取出来，从而简化表达式。

例如，对于表达式x^2 +2x +1，我们可以提取出公因式x，得到x(x +1)^2。

2. 二套：套用公式套用公式主要包括平方差公式和完全平方公式。

平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)完全平方公式：a^2 ±2ab + b^2 = (a ± b)^2例如，对于表达式x^2 -4，我们可以利用平方差公式分解为(x +2)(x -2)。

3. 三分：分组分组是将多项式中的项进行分组，从而便于提取公因式或使用其他分解方法。

例如，对于表达式x^3 +6x^2 +9x，我们可以将x^3+6x^2分为一组，9x分为一组，然后分别提取公因式，得到x(x +3)(x +3)。

4. 四造：创造公因式创造公因式是指在多项式中寻找隐藏的公因式。

例如，对于表达式x^2 +5x +6，我们可以将6分解为2 ×3，然后找到公因式(x +2)，得到(x +2)(x +3)。

二、换元法换元法是将多项式中的某一项或几项替换为新的变量，从而简化表达式。

通过换元，我们可以将复杂的表达式转化为更简单的形式，便于分解。

例如，对于表达式x^2 +5x +6，我们可以令x +2 = y，得到y^2 -3y +2 = (y -1)(y -2)。

三、十字相乘法十字相乘法是一种分解二次多项式的方法。

对于表达式ax^2 + bx + c，我们可以通过构造一个十字相乘的表格，从而找到分解式。

中考数学解题方法选讲@3——换 元 法1、换元法在因式分解中的应用例1.分解因式：()()442++-+y x y x例2.分解因式：()()()22224432134-+--+--x x x x x x使用换元法的关键是选择辅助元。

在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。

2、换元法在化简二次根式中的应用例3. 化简ab a b b a a +-解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样会使得式子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。

3、换元法在解方程中的应用（1）利用换元法解分式方程的四种常见类型a 、直接换元：解方程015)1(2)1(2=----x x x xb 、配方换元：解方程 1)1(3)1(222=+-+x x x x .c 、倒数换元：解方程031)1(21122=-+++++x x x x .d 、变形换元：解方程12222422=+-+-x x x x .（2）一元二次方程形如()()()02=++c x bf x f a 令()x f u =，原方程化为一元二次方程02=++c bx ax 解得a ab c c u 242-±-=，原方程化为两个简单方程()aab c c x f 2421-+-=，()aab c c x f 2422---= 当()x f 是整式时，上述两方程的根都是原方程的跟，当()x f 是分式或无理式时，应进行验根。

例4.解方程()()376276222=---x x x x4、换元法在证明不等式中的应用例5.已知a >2,b >2,求证：b a +<ab。

因式分解—待定系数法、换元法、添项拆项法引言因式分解是初中数学中的一个重要知识点，也是解决代数式化简、解方程等问题的基础方法。

在因式分解中，待定系数法、换元法和添项拆项法是常用的三种方法。

本文将分别介绍这三种方法的基本思想、操作步骤和应用场景。

一、待定系数法1. 基本思想待定系数法是一种通过猜测待定系数的方法来进行因式分解的技巧。

在待定系数法中，我们假设因式分解的结果中存在未知系数，并通过代数运算和方程求解的方法确定这些未知系数的值，从而完成因式分解过程。

2. 操作步骤待定系数法的操作步骤如下：1.根据给定的代数式，猜测待定系数的形式，通常选择简单的常数作为待定系数；2.将猜测出的待定系数带入原代数式中，得到待定系数的方程组；3.解方程组，确定待定系数的值；4.将确定的待定系数带入原代数式中进行验证；5.若验证正确，将原代数式分解为因式的乘积，其中包含待定系数。

3. 应用场景待定系数法常用于分解小数项的平方差式、三项立方差式等情况。

通过猜测待定系数的形式，可以简化复杂的因式分解过程，并在解题过程中培养学生的逻辑思维和方程求解能力。

二、换元法1. 基本思想换元法是一种通过引入新的变量来进行因式分解的方法。

通过适当选择新的变量，可以将原代数式转化为较简单的形式，从而便于因式分解。

2. 操作步骤换元法的操作步骤如下：1.分析原代数式的结构和特点，选取适当的新变量；2.对原代数式进行变量替换，将原代数式转化为新变量的代数式；3.对新的代数式进行因式分解；4.将因式分解的结果转化回原变量，得到最终的因式分解形式。

3. 应用场景换元法常用于分解含有平方根、分数等特殊形式的代数式。

通过适当的变量替换，可以将原代数式转化为一次方程、二次方程等常见形式，从而简化因式分解的过程。

三、添项拆项法1. 基本思想添项拆项法是一种通过添加、拆分代数式中的项来进行因式分解的方法。

通过适当添加一些项，并进行合并和拆分，可以将原代数式转化为更简单的形式，从而便于因式分解。