初中数学因式分解中的换元法学法指导

初中数学换元法的学习技巧初中数学换元法的学习技巧初中数学10种解题方法之换元法我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

上面的内容是初中数学10种解题方法之换元法，希望同学们看过后可以做好笔记并灵活运用了。

接下来还有更多的初中数学讯息尽在哦。

初中数学解题方法之常用的公式下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。

对于常用的公式如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，如11～25的平方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。

总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。

你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。

初中数学解题方法之学会画图数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。

学会画图画图是一个翻译的过程。

读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。

这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。

有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。

尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。

所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。

画图时应注意尽量画得准确。

画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。

初中数学解题方法之审题对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。

审题认真、仔细地审题。

审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。

读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。

初中数学什么是换元法换元法是一种在初中数学中常用的解题方法，特别适用于一些复杂的方程或不等式的求解过程。

通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。

下面我将为您详细介绍换元法的定义、原理以及应用方法。

一、换元法的定义换元法是指通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解的解题方法。

通过将问题中的变量进行替换，可以改变问题的形式，使其更易于处理。

换元法在解方程、求不等式的最值、证明等问题中都有广泛的应用。

二、换元法的原理换元法的原理是通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式。

新的未知数或代换的选择通常是根据问题的特点和需要来确定的。

通过合理的选择，可以使问题的形式更简单，从而更容易求解。

三、换元法的应用方法换元法的应用方法可以根据具体问题的不同而有所变化。

下面我将分别介绍在解方程、求不等式的最值以及证明中的换元法应用方法。

1. 解方程：a. 对于一元一次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于方程2x + 3 = 7，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y = 7，进而求得x的值。

b. 对于一元二次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以引入新的未知数y = x + 1，转化为y^2 + 2 = 0，进而求得x的值。

2. 求不等式的最值：a. 对于一元一次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y > 5，进而求得x的取值范围。

b. 对于一元二次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，可以引入新的未知数y = x - 2，转化为y^2 - 1 > 0，进而求得x的取值范围。

因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。

解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。

原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

因式分解的数学方法因式分解的数学方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，方便大家查阅。

一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。

① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。

用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。

【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

因式分解换元法解题技巧和方法我折腾了好久因式分解换元法解题，总算找到点门道。

就说这换元法吧，一开始我真是瞎摸索。

比如说有这么一个式子：(x ²+ 2x + 1)(x²+ 2x + 3)+1。

我就看着这式子发蒙，完全不知道从哪下手。

我最开始就想着常规的因式分解方法，提公因式啊，公式法啊，但是在这个式子上完全用不上。

后来我就想尝试换元法。

我就盯着这个式子看，发现x²+ 2x是重复出现的部分。

那我就设u = x²+ 2x。

这时候式子就变成了(u + 1)(u + 3)+1。

这个看起来就简单多了，就像是把复杂的一堆东西装到一个小盒子里去简化它。

然后我就按照正常的多项式乘法展开，得到u²+3u+u + 3 + 1 ，也就是u²+4u + 4。

这一看不就是个完全平方式嘛，就是(u + 2)²。

最后再把u = x²+ 2x换回来，就得到(x²+ 2x+2)²。

我还犯过一些错呢。

有一回啊，我设换元的部分设错了。

式子好像是那种很复杂的混合了高次幂和低次幂的式子，我光看到一个数重复就设元了，结果越做越复杂。

这就告诉我啊，设元的时候一定要找准关键的部分，这个部分最好是多次重复，而且设元之后整个式子能够大大简化才行。

再比如说，有些式子看起来并不是很明显能找到换元的部分。

我有一次遇到一个式子像2(x²- 3x + 1)²- 3(x²- 3x+1)(x²- 3x - 3)-2(x²- 3x- 3)²。

我一开始都没看出来能换元，还在那死磕呢。

后来我才发现可以设y = x²- 3x+1，z = x²- 3x - 3。

那式子就变成2y²- 3yz - 2z²。

这一下就变成我们熟悉的可以因式分解的式子啦，最后再把y和z代回去换回来。

从这些经历里啊，我就得出这么些个心得体会。

换元法因式分解
【原创实用版】
目录
1.换元法因式分解的概念
2.换元法的基本步骤
3.换元法因式分解的实际应用
4.换元法因式分解的优点与局限性
正文
一、换元法因式分解的概念
换元法因式分解，是一种将复杂多项式进行因式分解的有效方法。

它通过引入一个新的变量，将原多项式转化为一个新的多项式，从而简化因式分解的过程。

这种方法在代数学、解析几何等领域有着广泛的应用。

二、换元法的基本步骤
1.选择一个合适的换元函数，通常记为 y=f(x)。

2.将原多项式中的 x 用换元函数表示，即用 y 代替 x，得到一个新的多项式。

3.对新多项式进行因式分解。

4.将因式分解后的新多项式中的 y 用 x 替换，得到原多项式的因式分解式。

三、换元法因式分解的实际应用
例如，对多项式 x^3 - 3x^2 - 12x + 9 进行因式分解，可以采用换元法。

1.选择换元函数 y=x^2-3x，将原多项式写成 (x^2-3x)^2 -
12(x^2-3x) + 9 的形式。

2.对新多项式进行因式分解，得到 (y-3)^2。

3.将 y 用 x 替换，得到原多项式的因式分解式为 (x^2-3x-3)^2。

四、换元法因式分解的优点与局限性
换元法因式分解的优点在于，通过引入新的变量，可以将原多项式转化为一个更容易因式分解的新多项式，从而简化因式分解的过程。

（八年级数学教案）《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳八年级数学教案知识体系梳理添项拆项法有的多项式由于缺项”或并项”因此不能直接分解。

通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。

一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。

如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。

待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。

然后再把积乘出来。

用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。

换元法所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），贝惟使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。

换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。

（1）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。

（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。

（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式回归”★★典型例题、方法导航方法一：添项拆项法【例1】分解因式：分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。

可考虑添项拆项法分解。

从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成±1 ±2因此我们可猜想分解的结果可能是或或，但的中间项是，因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。

下面请看：解:其结果是我们猜想中的第一种。

此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。

方法二：方法三：方法四：方法五：方法六：（余下过程同学自己完成）方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数有关的因式。

中考数学复习知识点专题讲解 换元法在初中数学中的应用利用换元法解题，具有极大的灵活性。

关键在于根据问题的结构特征，恰当地引入辅助未知数，达到以简驭繁，化难为易的目的。

在具体应用时，换元的具体形式也是多种多样的。

要在解题的实践中，不断摸索规律，积累经验，掌握有关的变换技巧，提高运用换元法解题的能力。

下面举例说明换元法在初中数学中应用。

一、用换元法分解因式例1 把(4)(2)(1)(1)72x x x x −−−+−分解因式。

本题如果把括号、合并同类项以后，会得到关于x 的四次式，分解起来比较困难。

认真观察题目的结构，可以发现2(4)(1)34,x x x x −+=−−2(4)(2)(1)32x x x x x −−−=−+，它们的二次项、一次项完全相同，这就具备了换元的条件，选用换元法进行降次处理，就使得分解变得简单易行。

在设辅助未知数时，方法比较灵活，如可设23y x x =−，或设234y x x =−−等，一般地，设y 等于234x x −−和232x x −+的算术平均式比较简捷。

解 22(4)(2)(1)(1)72(34)(32)72x x x x x x x x −−−+−=−−−+−设231y x x =−−，则22343,323x x y x x y −−=−−+=+原式=2(3)(3)72972(9)(9)y y y y y −+−=−−=+−=22(38)(310)x x x x −+−−=2(38)(5)(2)x x x x −+−+总结提示 当在一个多项式中出现相同的部分时，一般可采用换元法来解决问题。

二、换元法在解方程中作用 掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求而在解高次方程、分式方程、无理方程时，要注意方程的特点创造运用换元法的条件往往会简化求解过程。

例2 解下列方程:①222(23)64x x −+=解 原方程变形为222(23)2(23)0x x −−−=。

因式分解的几种方法(一提二套三分四造),换元法和十字相乘法的运用因式分解是代数运算中的一项重要技能，它可以帮助我们将复杂的表达式简化，便于理解和计算。

在中学数学学习中，我们通常会接触到多种因式分解的方法，其中包括一提二套三分四造、换元法、十字相乘法等。

本文将对这些方法进行详细介绍，以帮助大家更好地掌握因式分解的技巧。

一、一提二套三分四造1. 一提：提取公因式提取公因式是将多项式中的公共因子提取出来，从而简化表达式。

例如，对于表达式x^2 +2x +1，我们可以提取出公因式x，得到x(x +1)^2。

2. 二套：套用公式套用公式主要包括平方差公式和完全平方公式。

平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)完全平方公式：a^2 ±2ab + b^2 = (a ± b)^2例如，对于表达式x^2 -4，我们可以利用平方差公式分解为(x +2)(x -2)。

3. 三分：分组分组是将多项式中的项进行分组，从而便于提取公因式或使用其他分解方法。

例如，对于表达式x^3 +6x^2 +9x，我们可以将x^3+6x^2分为一组，9x分为一组，然后分别提取公因式，得到x(x +3)(x +3)。

4. 四造：创造公因式创造公因式是指在多项式中寻找隐藏的公因式。

例如，对于表达式x^2 +5x +6，我们可以将6分解为2 ×3，然后找到公因式(x +2)，得到(x +2)(x +3)。

二、换元法换元法是将多项式中的某一项或几项替换为新的变量，从而简化表达式。

通过换元，我们可以将复杂的表达式转化为更简单的形式，便于分解。

例如，对于表达式x^2 +5x +6，我们可以令x +2 = y，得到y^2 -3y +2 = (y -1)(y -2)。

三、十字相乘法十字相乘法是一种分解二次多项式的方法。

对于表达式ax^2 + bx + c，我们可以通过构造一个十字相乘的表格，从而找到分解式。

因式分解有妙方,化繁为简“换元法”“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法。

在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的。

下面，我们谈谈因式分解中的“换元法”。

一、整体代换例1 因式分解：a2（__y）-b2（__y）。

题目中出现了相同的因式__y。

我们可以将__y看作一个整体，提取公因式，运用整体代换的方法。

解：a2（__y）-b2（__y）=（__y）（a2-b2）=（__y）（a+b ）（a-b）。

当题中出现相同因式，我们可以将其看作一个整体进行运算。

为让式子更为简约，我们也可以在这道题中令u=__y，变原式为a2u-b2u，那么下一步的提取公因式就更为明朗。

这种方法我们称之为“换元法”。

要注意的是，最终的结果不能写成u·（a+b）（a-b），要将换掉的“元”重新换回去，将结果书写为（__y）（a+b）（a-b）的形式。

例2 因式分解：（x+y）2-4（x+y）+4。

题目中出现了相同因式（x+y），我们用整体代换，将x+y看作整体，令u=x+y。

解：令u=x+y，得原式=u2-4u+4=（u-2）2，即原式=（x+y-2）2。

例3 因式分解：（m2-3m+2）（m2-3m-4）+9。

本题如果利用整式乘法将两个多项式相乘，会得到一个四次多项式。

高次多项式因式分解是比较困难的。

我们可以看到题目中两个括号内也有相同因式m2-3m，利用换元法，令t=m2-3m。

解：令t=m2-3m，得（t+2）（t-4）+9=t2-2t+1=（t-1）2，即原式=（m2-3m-1）2。

本题利用整体代换达到降次目的，但要注意，最后将“元”换回去后，括号里的因式是否还能进行分解，如果可以，则要继续分解到不能分解为止。

二、平均代换对于例3，有同学会疑惑：能将m2-3m+2看成一个整体进行换元吗？当然可以。

那么m2-3m加上任意一个常數为新元可以吗？哪种换元法呈现出的因式最简洁？下面我们给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换。

初中换元法解题技巧和方法总结嘿，同学们！今天咱就来讲讲初中数学里超有用的换元法解题技巧和方法。

咱先想想啊，有时候数学题就像一团乱麻，直接去解那可真是让人头疼。

但换元法呢，就像是一把神奇的剪刀，咔嚓一下，把这团乱麻剪成一段段好处理的小线头。

比如说，遇到那种式子特别长、特别复杂的方程或者代数式，换元法就派上大用场啦！咱可以把其中的一部分看成一个整体，给它换个“新名字”，这样不就简单多了嘛。

就好比你有个特别难记的朋友名字，你给他起个好记的外号，那下次提起他不就容易多了嘛。

举个例子哈，看到一个式子，里面有个部分一直重复出现，那咱就把它设成一个字母，比如设成 t。

然后呢，原来复杂的式子瞬间就变得清晰明了啦！换元法还能帮我们化繁为简呢！有些题目看上去超级复杂，各种式子纠缠在一起，让人摸不着头脑。

但用了换元法，把复杂的部分一替换，哇，就像拨开云雾见青天一样。

咱再想想，这换元法是不是就像给题目做了一次整容手术呀，把那些难看的、复杂的部分整得漂漂亮亮、简简单单的。

还有啊，换元法也能让我们的解题思路更加清晰。

就好像走在迷宫里，突然找到了一条明确的路。

同学们可别小瞧了这换元法哦，它能解决好多难题呢！有时候你苦思冥想半天都没头绪的题，用换元法一试，说不定就迎刃而解啦！那怎么用好换元法呢？这可得细心啦！首先得找对可以换元的部分，这就需要我们有一双敏锐的眼睛，能从复杂的式子中发现那个关键的部分。

然后呢，换元之后要记得把新的式子整理清楚，可别换了之后更乱啦！最后，解出答案后，还要记得把换的元换回来哦，不然可就闹笑话啦！总之呢，换元法是我们初中数学的一个好帮手，大家一定要好好掌握它呀！它能让我们在数学的海洋里畅游得更轻松、更愉快！相信大家只要多练习，多尝试，一定能把换元法用得炉火纯青，到时候什么难题都不怕啦！加油吧，同学们！。

因式分解换元法一、引言因式分解是数学中重要的概念之一，它在代数运算和解方程中起着重要作用。

在因式分解中，换元法是一种常用的技巧，它能够将复杂的代数式转化为更简单的形式，从而使问题的求解更加便利。

本文将介绍因式分解的换元法，并通过几个具体的例子来说明其应用。

二、基本概念1. 因式分解因式分解是将一个代数式表示为几个因子的乘积的过程。

通过因式分解，我们可以将复杂的代数式简化为更简单的形式，便于我们进行计算和求解问题。

2. 换元法换元法是一种将复杂的代数式通过引入新的变量，从而将原式转化为更简单形式的方法。

通过选择合适的换元方法，我们可以使原问题的求解变得更加容易和直观。

三、因式分解的换元法1. 一次换元法一次换元法是指通过引入一个新的变量，将原式转化为一次方程的形式。

例如，对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过令x=y+m，其中m是一个常数，来进行一次换元。

通过一次换元，我们可以将原方程转化为一个新的二次方程，其中不含有一次项，从而更容易求解。

2. 二次换元法二次换元法是指通过引入一个新的变量，将原式转化为一个完全平方的形式。

例如，对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过令x=y+m，其中m是一个常数，来进行二次换元。

通过二次换元，我们可以将原方程转化为一个新的二次方程，其中含有完全平方的项，从而更容易求解。

3. 分组换元法分组换元法是指通过将原式中的项进行分组，引入新的变量，从而简化原式的形式。

例如，对于一个多项式ab+ac+bd+cd，我们可以通过将其进行分组，引入新的变量，例如令x=a+b，y=c+d，从而将原式转化为一个更简单的形式，从而更容易求解。

四、应用实例1. 例题一将代数式x^2+2xy+y^2进行因式分解。

解：我们可以通过引入一个新的变量，令z=x+y，从而将原式转化为(z-y)^2。

通过展开，我们可以得到z^2-2zy+y^2。

因此，原代数式可以写为(z-y)^2。

中考数学解题方法选讲@3——换 元 法1、换元法在因式分解中的应用例1.分解因式：()()442++-+y x y x例2.分解因式：()()()22224432134-+--+--x x x x x x使用换元法的关键是选择辅助元。

在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。

2、换元法在化简二次根式中的应用例3. 化简ab a b b a a +-解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样会使得式子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。

3、换元法在解方程中的应用（1）利用换元法解分式方程的四种常见类型a 、直接换元：解方程015)1(2)1(2=----x x x xb 、配方换元：解方程 1)1(3)1(222=+-+x x x x .c 、倒数换元：解方程031)1(21122=-+++++x x x x .d 、变形换元：解方程12222422=+-+-x x x x .（2）一元二次方程形如()()()02=++c x bf x f a 令()x f u =，原方程化为一元二次方程02=++c bx ax 解得a ab c c u 242-±-=，原方程化为两个简单方程()aab c c x f 2421-+-=，()aab c c x f 2422---= 当()x f 是整式时，上述两方程的根都是原方程的跟，当()x f 是分式或无理式时，应进行验根。

例4.解方程()()376276222=---x x x x4、换元法在证明不等式中的应用例5.已知a >2,b >2,求证：b a +<ab。

因式分解—待定系数法、换元法、添项拆项法引言因式分解是初中数学中的一个重要知识点，也是解决代数式化简、解方程等问题的基础方法。

在因式分解中，待定系数法、换元法和添项拆项法是常用的三种方法。

本文将分别介绍这三种方法的基本思想、操作步骤和应用场景。

一、待定系数法1. 基本思想待定系数法是一种通过猜测待定系数的方法来进行因式分解的技巧。

在待定系数法中，我们假设因式分解的结果中存在未知系数，并通过代数运算和方程求解的方法确定这些未知系数的值，从而完成因式分解过程。

2. 操作步骤待定系数法的操作步骤如下：1.根据给定的代数式，猜测待定系数的形式，通常选择简单的常数作为待定系数；2.将猜测出的待定系数带入原代数式中，得到待定系数的方程组；3.解方程组，确定待定系数的值；4.将确定的待定系数带入原代数式中进行验证；5.若验证正确，将原代数式分解为因式的乘积，其中包含待定系数。

3. 应用场景待定系数法常用于分解小数项的平方差式、三项立方差式等情况。

通过猜测待定系数的形式，可以简化复杂的因式分解过程，并在解题过程中培养学生的逻辑思维和方程求解能力。

二、换元法1. 基本思想换元法是一种通过引入新的变量来进行因式分解的方法。

通过适当选择新的变量，可以将原代数式转化为较简单的形式，从而便于因式分解。

2. 操作步骤换元法的操作步骤如下：1.分析原代数式的结构和特点，选取适当的新变量；2.对原代数式进行变量替换，将原代数式转化为新变量的代数式；3.对新的代数式进行因式分解；4.将因式分解的结果转化回原变量，得到最终的因式分解形式。

3. 应用场景换元法常用于分解含有平方根、分数等特殊形式的代数式。

通过适当的变量替换，可以将原代数式转化为一次方程、二次方程等常见形式，从而简化因式分解的过程。

三、添项拆项法1. 基本思想添项拆项法是一种通过添加、拆分代数式中的项来进行因式分解的方法。

通过适当添加一些项，并进行合并和拆分，可以将原代数式转化为更简单的形式，从而便于因式分解。

妙用换元法分解因式吴健换元法是中学数学中的一个极其重要的数学思想方法。

利用换元法分解因式，就是将多项式中的某一部分用一个新字母（元）来代替，进行变量替换，将问题转化，从而起到化繁为简、化隐为显、化难为易的作用。

一、直接换元例1. 分解因式：()()a a a a a 22216112++-++解：设a m 21+=，则原式=+-+()()m a m a a 6122=-+=--=+-+-=-+-m am a m a m a a a a a a a a 22222256231213311()()()()()()二、双元换元例2. 分解因式：()()()a b b c c a ----24解：设b c m c a n -=-=，则a b m n -=-+()，原式=-+-[()]m n mn 24=-=---=+-()[()()]()m n b c c a a b c 2222三、和积换元例3. 分解因式：()()()a b ab a b ab +-+-+-2212解：设a b m ab n +==，原式=--+-()()()m n m n 2212=---+=--=+--=--()()()()()()m n m n m n a b ab a b 22222211111四、和差换元例4. 分解因式：()()()ab a b ab a b --+---1222解：设a b ab m n +-=+22--=-a b m n则m ab n a b ab =-=+--11，原式=-+-m m n m n 2()()=--=m m n n 2222()=+--=--()()()a b ab a b 111222五、常值换元例5. 分解因式：a a a 42200320022003+++解：设2003=m ，则20021=-m ，原式=++-+a ma m a m 421()=-+++()()a a m a a 421=++-+=++-+()()()()a a a a m a a a a 2222112003六、均值换元例6. 分解因式： ()()()()x m x m x m x m m +++++2344解：原式=+++++()()x mx m x mx m m 222245456 设n x mx m x mx m =+++++1254562222[()()] =++x mx m 2255则原式=-++()()n m n m m 224 ==++n x mx m 222255()七、倒数换元例7. 分解因式： 291492432a a a a -+-+ 解：原式=-+-+a a a a a222291492() =+-++a a a a a 222219114[()()] 设a am +=1，则 原式=--+a m m 2222914[()]=-+=--a m m a m m 2222910225()()()=+-+-=-+-+=---a a a a aa a a a a a a 222212225212521221()()()()()()()八、变形后换元例8. 分解因式：()()()a b b c c a abc ++++解：原式=++-++-++-+()()()a b c c a b c a a b c b abc 设a b c m ++=，则原式=---+()()()m c m a m b abc=-+++++-+=-+++=++++m a b c m ab bc ca m abc abc m m m ab bc ca mab bc ca a b c 3232()()()()()·九、整体换元例9. 分解因式： ()()()a a a 212472----解：原式=+----[()()][()()]a a a a 141272=---+-()()a a a a 22343272设a a m 232-+=，则原式=--()m m 672=--=-+=-+--++=+--+m m m m a a a a a a a a 222267212632123262538()()()()()()()十、局部换元例10. 分解因式： ()12323+++-m m m m解：设12++=m m a ，则原式=+-()a m m 323 =++-=++-=++-=++-=++++++a am m m a am m m a am m m aa a m m m m m m m m m 23632333233343223422121211()()()()()。

因式分解的换元技巧1．整体换元例1分解因式：x(x+1)(x+2)(x+3)+1=______．解原式适当组合化为(x2+3x)(x2+3x+2)+1设 x2+3x=y，则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+3x+1)22．常值换元例2分解因式：x4+1987x2+1986x+1987=______．解设m=1987，则原式=x4+mx2+(m-1)x+m=x4+mx2+mx-x+m=(x4-x)+(mx2+mx+m)=x(x-1)(x2+x+1)+m(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2-x+m)=(x2+x+1)(x2-x+1987)计算①632+372+63×74；②982-15×98-34．解：①令a=63，b=37．原式=a2+b2+2ab=(a+b)2=(63+37)2=104．②令a=98，原式=a2-15a-34=(a+2)(a-17)=8100．3．均值换元例3在实数范围分解因式：(a2+a+1)(a2-6a+1)+12a24．双重换元例4分解因式：(a+b)(a+b-2ab)+(ab-1)(ab+1)．解设a+b=x，ab=y，则原式=x(x-2y)+(y-1)(y+1)=x2-2xy+y2-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)=(a+b-ab+1)(a+b-ab-1)=(a-1)(1-b)(a+b-ab+1)分解因式的变形策略因式分解中的10种变换一、指数变换例1 因式分解x n+1-3x n+2x n-1．解 x n+1-3x n+2x n-1=x2·x n-1-3x·x n-1+2x n-1(指数变换)=x n-1(x+1)(x-2)．二、符号变换例2 因式分解(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)．解 (a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)(符号变换)=(a-b)(x-y+x+y)=2x(a-b)．三、换元变换例3 因式分解(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6．解设x2+5x-2=y，则(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6=(y+5)y-6(换元)=y2+5y-6=(y+6)(y-1)=(x2+5x+4)(x2+5x-3)=(x+1)(x+4)(x2+5x-3)．四、整体变换例4 因式分解(x+y)2-4(x+y-1)．解 (x+y)2-4(x+y-1)=(x+y)2-4(x+y)+4(将x+y看作一整体) =(x+y-2)2．五、拆项变换例5 因式分解x2-11x+24．解 x2-11x+24=x2-3x-8x+24(将-11x拆为-3x-8x)=x(x-3)-8(x-3)=(x-3)(x-8)六、添项变换例6因式分解 4x4+1．解 4x4+1=(4x4+4x2+1)-4x2(添4x2项)=(2x2+1)2-(2x)2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)七、主元变换例7因式分解 18x2-21xy-5y2．解 18x2-21xy+5y2=5y2-21xy+18x2(将原式看作关于y的二次三项式)=(5y-6x)(y-3x)．八、分组变换例8因式分解 x4-x3+x-1解 x4-x3+x-1=(x4-x3)+(x-1) (分解)=x3(x-1)+(x-1)=(x-1)(x+1)(x2-x+1) ．九、数域变换例9因式分解 4a4-1．解 4a4-1=(2a2+1)(2a2-1) (有理数范围)注意：2a2+1到高中后还可以继续分解．十、综合变换例10因式分解a6-b6解 a6-b6=(a2)3-(b2)3 (指数变换)=(a2-b2)(a4+a2b2+b4) (公式变换)=(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2) (添项变换)=(a2-b2)[(a4+2a2b2+b4)-(ab)2] (分组变换)=(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) (公式变换) 一、符号变形例1 分解因式：x2(x-z)+z2(z-x)解原式=x2(x-z)-z2(x-z)=(x-z)(x2-z2)=(x+z)(x-z)2．二、指数变形例2 分解因式：x6-z6．解原式=(x3)2-(z3)2=(x3+z3)(x3-z3)=(x+z)(x2-xz+z2)(x-z)(x2+xz+z2)．三、分组变形例3 分解因式：a(a+b+c)+bc．解原式=a[(a+b)+c]+bc=a(a+b)+(ac+bc)=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c)．例4 分解因式：(x2+x+1)(x2-6x+1)+12x2．解原式=[(x2+1)+x][(x2+1)-6x]+12x2 =(x2+1)2-5x(x2+1)+6x2=(x2+1-2x)(x2+1-3x)=(x-1)2(x2-3x+1)．四、拆项变形例5 分解因式：x3-9x+8.解原式=(x3-x)-(8x-8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．五、添项变形例6 分解因式：4a4+1．解原式=(4a4+4a2+1)-4a2=(2a2+1)2-4a2=(2a2+2a+1)(2a2-2a+1)．六、展开变形例7 分解因式：ab(c2+d2)+cd(a2+b2) 解原式=abc2+abd2+a2cd+b2cd=(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(ad+bc)(ac+bd)．七、换元变形例8 分解因式：(x-z)2+4(x-y)(z-y)．解设x-y=a，z-y=b，则x-z=a-b．∴原式=(a-b)2+4ab=(a+b)2=(x+z-2y)2．例9 分解因式：(a2+b2)(a2-ab+b2)-2a2b2．解设a2+b2=x，ab=y．原式=x(x-y)-2y2=x2-xy-2y2=(x-2y)(x+y)=(a2+b2-2ab)(a2+b2+ab)=(a-b)2(a2+ab+b2)．八、主元变形例10 分解因式：6a2+11ab+3b2+4a-b-2．解以a为主元，则原式=6a2+(11b+4)a+(3b2-b-2)=6a2+(11b+4)a+(3b+2)(b-1)=6a2+[2(b-1)+3(3b+2)]a+(3b+2)(b-1)=[2a+(3b+2)][3a+(b-1)]=(2a+3b+2)(3a+b-1)．1．添项(拆项)变换例1分解因式 4x3-31x+15解原式=4x3-10x2-2x2+5x+12x2-30x-6x+15=x(4x2-10x-2x+5)+3(4x2-10x-2x+5)=[(4x2-10x)-(2x-5)](x+3)=[2x(2x-5)-(2x-5)](x+3)=(2x-1)(2x-5)(x+3)2．组合变换若多项式的项数较多，需考虑组合变换，对多项式进行组合时，须每组项数一样多，且每组各项有公因式，提出公因式后，所得到的另一因式又是各组的公因式，也有时先拆项，再组合．例2分解因式a2+2b2+3d2+3ab+4ac+5bc解先拆项后组合原式=(a2+ab+ac)+(2ab+2b2+2bc)+(3ac+3bc+3c2)=a(a+b+c)+2b(a+b+c)+3c(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)例3分解因式x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz解原式=(z2x+z2y)+(x2y+y2x)-(y2z+xyz)-(x2z+xyz)=z2(x+y)+xy(x+y)-yz(x+y)-xz(x+y)=(x+y)(z2+xy-yz-xz)=(x+y)(y(x-z)-z(x-z))=(x+y)(x-z)(y-z)3．展合变换有些多项式，须先展开再集项组合才能分解．例4分解因式(a+b-2ab)(a+b-2)+(1-ab)2解原式=a2+2ab+b2-2a-2b-2a2b-2ab2+4ab+1-2ab+a2b2 =a2(b2-2b+1)-2a(b2-2b+1)+(b2-2b+1)=(b2-2b+1)(a2-2a+1)=(a-1)2(b-1)24．对称变换上面例4用对称变换分解如下：令m=a+b，n=ab，则原式=(n-1)2-(m-2n)(2-m)=n2-2n+1-2m+m2+4n-2mn=(m2-2mn+n2)-2(m-n)+1=(m-n)2-2(m-n)+1=(m-n-1)2=(a+b-ab-1)2=(a-1)2(b-1)2例4用对称变换分解，思路容易接通，运算也较简捷．5．配方变换配方变换在因式分解中经常使用，如把x4+x2y2+y4分解因式，式中有x4+y4，若中间出现2x2y2，就能配出(x2+y2)2．例5分解因式x6-y6．解原式=(x2)3-(y2)3=(x2-y2)(x4+x2y2+y4)=(x+y)(x-y)[(x2+y2)2-(xy)2]=(x+y)(x-y)(x2+xy+y2)(x2-xy+y2)6．换元变换例6分解因式(1+a+a2+a3)2-a3．解令1+a+a2=m，则原式=(m+a3)2-a3=m2+2ma3+a6-a3=m2+2ma3+a3(a3-1)=m2+2ma3+a3(a-1)(a2+a+1)=m2+2ma3+a3(a-1)m=m(m+2a3+a4-a3)=m(m+a4+a3)=(1+a+a2)(1+a+a2+a3+a4)7．主元变换例7分解因式a2b2-5a2b-3ab2+15ab-14a2+5b2+42a-25b-70本题从表面上看很复杂，只要视a为主元，问题迎刃而解．解原式=(b2-5b-14)a2-3(b2-5b-14)a+5(b2-5b-14) =(b2-5b-14)(a2-3a+5)=(b+2)(b-7)(a2-3a+5)。

第04讲 解一元二次方程——因式分解法与换元法知识点01 因式分解的方法1. 因式分解的方法：①提公因式法：=++cm bm am ；②公式法：平方差公式：=-22b a ；完全平方公式：=+±222b ab a ；③十字相乘法：分解c bx x ++2，若mn c =且b n m =+，则=++c bx x 2 。

题型考点：①对因式分解进行熟练应用。

【即学即练1】1．把下列各式因式分解：（1）2a 2﹣4a ；（2）（a 2+9）2﹣36a 2； （3 ）x 2+2x ﹣15．知识点02 利用因式分解法解一元二次方程1. 因式分解法解一元二次方程的基本步骤：①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为 。

②对方程的左边进行 ，使其成为两个整式的积的形式。

③别分令两个整式为 ，得到两个一元一次方程。

④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。

题型考点：①根据求根公式确定c b a ，，的值。

②利用公式法解一元二次方程。

【即学即练1】2．一元二次方程（x ﹣5）2＝4（x ﹣5）的解为（ ）A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝5x 2＝9D ．x 1＝5x 2＝1【即学即练2】3．方程x 2﹣3x ﹣18＝0的根是（ ）A ．x 1＝3，x 2＝6B ．x 1＝﹣3，x 2＝6C ．x 1＝3，x 2＝﹣6D ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣6 【即学即练3】4．解方程（3x ﹣4）2﹣（4x +1）2＝0．知识点03 整体法或换元法解一元二次方程1. 整体法或换元法：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。

例题讲解：【【【【【【()()041512=+---x x 【 【【【y x =-1，【【【【【【【0452=+-y y 【 【【4121==y y ，【 【y=1【【【x -1=1【【【x =2【【y=4【【【x -1=4【【【x =5【【【【【【【【【x 1=2【x 2=5【题型考点：利用整体法或换元法解一元二次方程。

换元法解题技巧和方法
换元法是数学问题解决中常用的策略之一，旨在将复杂的问题转化为更简单的形式，从而更容易解决。

在解题过程中，正确选择合适的换元方法非常重要。

以下是几种常见的换元法解题技巧和方法：
1. 代入法：将题目中给出的数据或条件分别表示为一个或多个新的变量，然后利用这些新的变量重新表述问题，并解决它。

2. 平移法：引入一个新的变量，通过平移给定函数或方程的坐标系，使得原来的问题变得更容易处理。

3. 三角换元法：如果题目中涉及到三角函数，可以利用三角换元法将其转化为更简单的形式。

常见的三角换元包括正弦换元、余弦换元及正切换元。

4. 对称换元法：当题目中存在对称性时，可以选择合适的新变量，利用对称性质将原问题转化为较简单的形式。

5. 递推换元法：对于递归或迭代的问题，可以引入一个新的变量，利用递推关系将原问题转化为关于新变量的直接求解问题。

6. 迭代换元法：对于需要多次迭代的问题，可以通过引入新的变量，将原问题转化为一个迭代问题，然后使用逐次逼近的方法求解。

7. 反向换元法：当题目给出的问题较难处理时，可以考虑反向思维，使用一个合适的换元将该问题转化为更易解决的问题。

在应用换元法解题时，需要根据题目的特点和所给条件进行灵活选择，并合理确定新的变量。

此外，需要注意换元后问题的合法性和简化程度，避免引入复杂度较高的新问题。

通过熟练掌握换元法解题技巧和方法，可以提高问题解决的效率和准确性。