因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法,

一、提公因式法.：)(c b a m mc mb ma ++=++二、运用公式法.由乘法公式，将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．补充公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是：A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

数学因式分解方法：双十字相乘法与拆法添项法5、双十字相乘法在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的差不多方法，关于比较复杂的多项式，专门是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也能够运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：(1)用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图(2)把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项例5分解因式①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解①原式=(2x-3y+1)(2x+y-3)2x-3y12xy-3②原式=(x-5y+2)(x+2y-1)x-5y2x2y-1③原式=(b+1)(a+b-2)0ab1ab-2④原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)2x-3yz3x-y-2z说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，因此此题也可用分组分解法。

如(ab+a)+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可：6、拆法、添项法关于一些多项式，假如不能直截了当因式分解时，能够将其中的某项拆成二项之差或之和。

再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯独，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。

例6分解因式：x3+3x2-4解析法一：可将-4拆成-1，-3即(x3-1)+(3x2-3)法二：添x4,再减x4,.即(x4+3x2-4)+(x3-x4)法三：添4x,再减4x即，(x3+3x2-4x)+(4x-4)法四：把3x2拆成4x2-x2,即(x3-x2)+(4x2-4)法五：把x3拆为，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。

因式分解的几种方法一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)例1、○18a3b2−12ab3c○23x2−6xy+x○3−4m3+16m2−26m ○42a(b+c)−3(b+c)○56(x−2)+x(2−x)○618b(a−b)2−12(a−b)3○75(x−y)3+10(y−x)2○8−12a2m+1b m+2+20a m+1b2m+4○9(a−b)3+(b−a)2−5(b−a)○10a(a+b+c)(b−c)−b(a+b+c)(c+a)二、公式法：a2－b2=(a+b)(a−b)； a2±2ab+b2=(a±b)2 ；a3±b3=(a±b)(a2ab+b2) a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2；(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3m2−0.01n2例2、○11−25b2○2 x2y2−z2○349○4(x+p)2−(x+q)2○516(a−b)2−9(a+b)2○6x5−x3○7x4−y4○825x4+10x2+1 ○9−x2−4y2+4xy○103ax2+6axy+3ay2○1127−x6○121+a3b38○13x−xy3○1449(x−y)2−25(x+y)2○15x4a2−2a2x2+a2○16−z2+4(x−y)2○17a6−b6○18a2m−b2n○19a3m+b6n ○20x2n−4x n y+4y2○21x3m+3+3x2m+2y n+3+3x m+1y2n+6+y3n+9○2212x2m+x m y n+12y2n(m、n是正整数）○23 a2x m+3−x m+1（m为正整数）○24已知 a+b=1，求 a3+b3+3ab 的值.○25 x3+y3=27,x2−xy+y2=9 ,求x+y 的值.○26证明：比任何奇数的平方少1的数能被8整除.○27证明：任意两个奇数的平方差是8的倍数.○28已知 x2+x+1=0，求x17+1x17的值.○29已知：a2+a+1=0，求 a8+1a8的值.○30分解因式：x−xy6 .三、十字相乘法（也称交叉试算法）：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)例3、(1)x2+3x+2 (2) x2−7x+6 (3) x2+2x−15(4) x2−4x−21 (5) x2+5x+6 (6) x2−5x+6(7) x2−5x−6 (8) x2+5x−6 (9) x4+6x2+8(10) (a+b)2−4(a+b)+3 (11) x2−3xy+2y2(12) x4−3x3−28x2(13) 2x2−7x+3 (14) 6x2−7x−5 (15) 5x2+6xy−8y2(16) 4x4y2−5x2y2−9y2(17)( m2−2m−1)(m2−2m)−6(18)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−3(19) 4a2−4ab+b2+6a−3b−10(20) (x2+3x−3)(x2+3x+4)−8 (21) (x−4)(x−1)(x−2)(x+1)−72(22)(x−1)x(x+1)(x+2)−24(23) (x2+2x−2)(x2+2x+4)+5(24) (a2+3a−2)(a2+3a+4)−27 (25)(2x−7)(2x+5)(x2−9)−91四、分组分解法：(一)按提取公因式分组例4、(1) a2−ab+ac−bc (2) a2−b2+ac−bc (3)2ax−10ay+5by−bx(4)3ax+4by+4ay+3bx (5) m2+5n−mn−5m(二)按系数特征分组(1) 4x3+8x2−x−2(三)按字母次数分组(1) a2−2ab+b2−6a+6b+5(四)按乘法公式分组(1) x2−4y2−z2+4yz (2) x2−y2+ax+ay(3) a2−2ab+b2−c2(4) x3+x2y−xy2−y3(五)十字相乘法分组(1) x2−4x+5+2xy−4y+y2(六)按“主元”分组(1) x2−2xy−6x+y2−6y−9(七)先展开再分组(1) (ax+by)2+(bx−ay)2(八)先拆项再分组(1) x3−6x+5(九)先添项再分组(1) a5+a+1(十)先换元再分组(1) (m+n)4+(m2−n2)2+(m−n)4五、添项法：例5、(1) a4+4 (2) x4+4y4(3) 4x4+1六、拆项法：例6、(1) x3+x−2 (2) m4−27m2n2+n4(3) p3−7p+6 (4) x4−7x2+1 (5) x3−3x2+4(6) x3−3x+2 (7) y4−4y+3七、换元法：例7、(1)(xy−1)2+(x+y−2)(x+y−2xy)(2) 4(2x2−x+1)(x2−2x+3)−(3x2−3x+4)2(3)(2x−y+3)(2x−y+1)−15(4)(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15(5)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1(6)(x+2)(x+6)(x+3)(x+7)+4.八、待定系数法：例8、(1) x2+xy−6y2+2x+11y−3 (2) x2−5xy+6y2−x+y−2(3) 6x2−7xy−3y2−x+7y−2 (4)把3−x化成部分分式.(2−x)2(1−x)(5)当a为何值时，多项式 x2+7xy+ay2−5x+43y−24可以分解为两个一次式的乘积？九、双十字相乘法：例9、(1) x2−xy−12y2+x+10y−2(2) 4x2−4xy−3y2−4x+10y−3(3) x2−3y2−8z2+2xy+2xz+14yz (4) x2+3xy+2y2+4x+5y+3(5) x2−2xy−3y2+3x−5y+2(6)2 x2+xy−y2−4x+5y−6(7) x2+xy−6y2+2x+11y−3(8) x2+xy−2y2+2x−5y−3(9) 2x2+xy−y2+4x−5y−6(10) x2+2xy+y2−2x−2y−31、判断3599是不是质数? 并说明理由.2、用简便方法计算：(1) 0.84×12+12×0.6−0.44×12 (2) 9972+29913、判定下列三角形分别属于哪一类三角形？（1）a、b、c是 ∆ABC 的边，且 a2+b2+c2=ab+ac+bc .（2）a、b、c是∆ABC的边，且a2+2ab=c2+2bc .因式分解中的“九忌”（一）忌“无中生有”如：12x2−xy+12y2=x2−2xy+y2=(x−y)2（二）忌“不翼而飞”如： am2+bm+m=m(am+b)（三）忌“背道而驰”如：(x+2)2+6(x+2)+8=[(x+2)+2][(x+2)+4]=(x+4)(x+6)=x2+10x+24（四）忌“半途而废”如：a2b−a2−ab+a=a(ab−a−b+1)（五）忌“张冠李戴”如：○1 4a2−9b2=(2a−3b)2○2 8+y3=(2+y)(4+2y+y2)（六）忌“断章取义”如：−3a2−4ab+4b2=−3(a2+4ab+4b2)=−3(a−2b)2（七）忌“顾此失彼”如： x2−4x−21=(x−3)(x+7)（八）忌“意义不清”如： x4+x2+1=(x4+x2)+1=x2(x2+1)+1（九）忌“关系不明”如： a(y−x)2−b(x−y)=−a(x−y)2−b(x−y)=−(x−y)(ax−by+b).分解因式的先与后1、先提取公因式后分解因式：m3−6m2+9m=m(m2−6m+9)=m(m−3)22、先分组后分解因式：(1) 4−x2−y2+2xy=4−(x2+y2−2xy)=4−(x−y)2=(2+x−y)(2−x+y)(2) a3+a2b−ab2−b3=(a3−b3)+(a2b−ab2)=(a−b)(a2+ab+b2)+ab(a−b)=(a−b)(a2+ab+b2+ab)=(a−b)(a+b)23、先变形（添、拆项）后分解因式：(1)4x4+1=4x4+4x2+1−4x2=(2x2+1)2−(2x)2=(2x2+1+2x)(2x2+1−2x)(2)m3−4m+3=m3−m−3m+3=(m3−m)−3(m−1)=(m−1)(m2+m−3)4、先十字相乘后运用公式法：(1) x 4−10x 2+9=(x 2−1)(x 2−9)=(x −1)(x +1)(x −3)(x +3)(2) a 6+7a 3−8=(a 3+8)(a 3−1)=(a +2)(a 2−2a +4)(a −1)(a 2+a +1) 5、 先展开后分组再分解因式：(1) (ax +by )2+(bx −ay )2=a 2x 2+2abxy +b 2y 2+b 2x 2−2abxy +a 2y 2=(a 2x 2+a 2y 2)+(b 2x 2+b 2y 2)=a 2(x 2+y 2)+b 2(x 2+y 2)=(x 2+y 2)(a 2+b 2)(2) x 2+(x +1)2+x 2(x +1)2=x 2+(x 2+2x +1)+x 2(x +1)2=[x(x +1)]2+2x (x +1)+1=(x 2+x +1)26、 先展开后合并同类项再分解因式：a 2+(a +1)2+(a 2+a )2=a 2+a 2+2a +1+a 4+2a 3+a 2=a 4+a 2+1+2a 3+2a 2+2a =(a 2+a +1)2；或=a 4+(2a 3+2a 2)+(a 2+2a +1)=a 4+2(a +1)a 2+(a +1)2=(a 2+a +1)2； 或=(a 4+2a 2+1)+(2a 3+2a )+a 2=(a 2+1)2+2a (a 2+1)+a 2=(a 2+a +1)2；或=(a 4+a 3+a 2)+(a 3+a 2+a )+(a 2+a +1)=a 2(a 2+a +1)+a (a 2+a +1)+(a 2+a +1) =(a 2+a +1)(a 2+a +1)=(a 2+a +1)2.因式分解的若干应用一、 计算：（1）求(1−14)(1−19)（1−116）⋯（1−1225）的值.（2）求 9999×2222+3333×3334的值. 二、化简：若x −3y +4z =1，2x +y −2z =2，化简：x 2−2xy −3y 2+2xz +10yz −8z 2.三、 求值：(1)已知：x 2−3y 2=2xy ，x >0，y >0，求代数式x+2y x−y的值.(2)已知：ac +bd =0，则 ab (c 2+d 2)+cd (a 2+b 2) 的值= .(3)实数a 与b 满足等式a 2b 2a 4−2b 4=1，则a 2−b 219a 2+96b 2= .四、证明：设a3+1a3=0，求证：(a+1a)2=3.五、解方程（组）：（1）(x+1)(x2−1)−(x+1)3=1−2x2（2）{(2x+y−1)2−(2x+y−3)2=8 (12x−13y+14)2−(12x−13y−14)2=1六、比较大小：实数a<b<c<d，x=(a+b)(c+d)，y=(a+c)(b+d)，z=(a+d)(b+c)，那么x、y、z的大小关系是（）A、x<y<zB、y<z<xC、z<x<yD、不能确定.十字相乘法的妙用1、ac+bc+2a+2b2、4x2+3z−3xz−4x3、x3−x2y−xy2+y34、4a2−b2+6a−3b。

因式分解常用方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

双十字相乘法、配方法、换元法、添拆项法1.将下列各式应用（双）十字相乘法分解因式（1）226y xy x -+ （2）10)(3)(2-+-+y x y x（3）()22222()x m n x mn m n -++- （4）abc x c b a abcx +++)(2222（5）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++ （6）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++（7）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ （8）223767126x xy y x y --++-（9）151411925622-+++-y y x xy x （10）613622-++-+y x y xy x2. 将下列各式应用配方法分解因式（1）3424422---++y x y xy x （2）2634422++-+-n m n mn m（3） 10364422-++--y y x xy x （4）yz z y x 2222---（4） 若实数,,a b c 满足2226344210a b c ab bc c ++---+=，求,,a b c 的值。

（5） 已知,,a b c 满足2221346a b c ab bc ++=+，求235532a b ca b c++++的值。

（6） 求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。

（7） 已知19952=+y x ，53=+y x 时，求229123y xy x ++的值。

3. 将下列各式应用换元法分解因式（1）3)5)(3(22-----x x x x （2）12)2)(1(22-++++x x x x（3）2223)67)(65(x x x x x -++++ （4）15)7)(5)(3)(1(+++++x x x x（5）90)384)(23(22-++++x x x x （6）22224()(2)12x xy y x xy y y ++++-（7）2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ （8）22222()4()x xy y xy x y ++-+（9）2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+- （10）2005)12005(200522---x x（11）262234+---x x x x (12)144234+++-x x x x4. 将下列各式应用添拆项法分解因式(1)x 3-9x+8 (2)4323+-x x (3)x ²-2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)（4）3292624x x x +++ （5）32332a a a +++ (6)6424936x x x --+（7）32374a a +- （8）22223345a b c ab ac bc +++++练习1．将下列各式分解因式（1）3522-+x x （2）12522--x x（3）35122-+x x （4）35922--x x（5）12632-+x x （6）1522482-+x x（7）x x 3234+- （8）x x x x x 54321-+-+-（9）22)1(y xy aa x +++ （0≠a ） （10）)6136()1(22+--++a a x a x（11）22(3)(5)3x x x x ----- （12）222(56)(76)3x x x x x ++++-（13）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ （14）2(3)5(3)14p p ----（15）224341256x x x x ⎡⎤⎡⎤-+--+⎣⎦⎣⎦ （16）22(815)(87)15x x x x +++++（17）22(1)(2)12x x x x ++++- （18） 20032002200324+++a a a（19）22(312)(712)120x x x x ++++- （19）893+-x x（20） 222(231)22331x x x x -+-+- （21）2200020063997*20011997*1999*2002*2003-+2（）（2000）（22）4322321x x x x ++++ （23）)(4)(22222y x xy y xy x +-++（24）90)384)(23(22+++++x x x x （25）222222)3(4)5()1(+-+++a a a（26）673676234+--+x x x x （27）)(2122234x x x x x +++++（28）3221215a a a +-+ （29）343115x x -+（30）444()x y x y +++ （31）()()a b c ab ac bc abc ++++-（32）x 4 +x ³+4x ²+3x+3 (33) x 2 +x+1(34) 6x 4 +7x ³-36x ²-7x+6 （35）4224)1()1()1(-+-++x x x（36）1724+-x x （37）22412a ax x x -+++（38）444)(y x y x +++ （39）444222222222c b a c b c a b a ---++（40）33221a b ab a b -+++ （41）326116x x x +++2.已知21,0632,12223++=+--+=aa x x x a a x 求的值。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---综合练习：1.a b b ab a 4912622-++- 2.92234-+-a a a 3. y b x b y a x a 222244+-- 4.222y yz xz xy x ++-- 5.122222++-+-ab b b a a 6.)1)(1()2(+---m m y y四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

因式分解的14 种方式因式分解没有普遍的方式，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则：1 分解要完全2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：3 .3 1. 2 . x . x . .x x . ）分解因式技能：1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技能掌握：①等式左侧必需是多项式；②分解因式的结果必需是以乘积的形式表示；③每一个因式必需是整式，且每一个因式的次数都必需低于原来多项式的次数；④分解因式必需分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在肯定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

大体方式：⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

若是一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方式叫做提公因式法。

具体方式：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

若是多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法大体步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并肯定另一个因式：①第一步找公因式可依照肯定公因式的方式先肯定系数在肯定字母；②第二步提公因式并肯定另一个因式，注意要肯定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式别离除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。

因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法•而在竞赛上，乂有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法,待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正(例如：-+ x = -x(3x-1) )分解因式技巧1•分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数：④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数.提出“一” 号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀:找准公因式，一次要提净;全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如:-am+bm+cm=-m(a-b —)；a(x-y)+b (y-x)=a(x—-b (x-y)= (x—O (a-b)o注意:把2/+丄变成2(/+丄)不叫提公因式2 4⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式:用一宀(血)(a~b)；完全平方公式±2ab ~bb2=(a ±b)2注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.立方和公式：a" + b' = (a+h) ( a~ -ab+ b2 ):立方差公式：a3 -b' =(a—-b) ( a2 +ab+b2 );完全立方公式：a' ±3a2 b ~/~3ab2±b' =(a±b) 2 .公式：+ c3-3abc=(a+b+c)( a2 +b2 + c2 -ab—be—a)例如:a~ +4ab+4b~ = (ci+2b) 2。

因式分解的14种方法1因式分解的14种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：??1332xxxx）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

因式分解的几种其它方法因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，再补充介绍二次项系数不为1的十字相乘法、添项、拆项法、换元法等有关内容和方法。

1、十字相乘法十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，特别是当二次项的系数不是1的时候，给我们的分解带来麻烦，这里主要就是讲讲这类情况。

分解时，把二次项、常数项分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的各等于一次项。

需要注意的是:⑴如果常数项是正数，则应把它分解成两个同号的因数，若一次项是正，则同正号；若一次项是负，则应同负号。

⑵如果常数项是负数，则应把它分解成两个异号的因数，交叉相乘所得的积中，绝对值大的与一次项的符号相同（若一次项是正，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是正号；若一次项是负，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是负号）。

ax c二次项常数项bx dadx+bcx=(ad+bc)x 一次项例1、把多项式3x2+11x+10分解因式。

分析：把二次项3x2分解成x与3x（二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x=x×5+3x×2。

解：原式＝(x+2)(3x+5)例2、把多项式5x2―6xy―8y2分解因式。

x －2y5x 4y－6xy解：原式＝(x－2y)(5x＋4y)双十字相乘法：实际上就是分组分解法中的二次六项式的分组方法：所有的二次项为一组，一次项为一组，常数项为一组，即：“三·二·一”式。

例3分解因式⑴x2+3xy+2y2－2x－2y－3 x+2y －3解：原式＝(x2+3xy+2y2)－(2x+2y)－3＝(x+2y)(x+y)－2(x+y)－3 x+y 1=(x+2y－3)(x+y+1) －3(x+y) + (x+2y)⑵6x2+6y2+13xy+x－6y－12解：(略)2、添项、拆项法添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式，解题时要注意观察分析题目的特点.例4、分解因式(1)x4+3x2y2+4y4(2)x4+4解：（1）原式=( x4+4x2y2+4y4)-x2y2=(x2+2y2)2-(xy)2=(x2+2y2+xy)(x2+2y2-xy)(2)原式=（x4+4x2+4）-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2+2x)(x2+2-2x)3.换元法例5、分解因式(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120令x2+5x=m, 代入上式,得原式=(m+6)(m+4)-120=m2+10m-96=(m+16)(m-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)练习：把下列多项式分解因式：1、3x2+17x+102、6x2－7x－53、5x2+6xy－8y24、x2－xy－2y2＋2x－7y－35、x3-3x+26、x4+x2-2ax+1-a27、x2+7xy-18y2-5x+43y-248、x2-2xy-3y2+3x-5y+29、(x2+x+1)(x2+x+2)-12 10、(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-35。

分解因式全部方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）[编辑本段]基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。

因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法。

例1】将$x^2+4x+8$看作一个整体，设为$y$，则原式变为$y^2+3xy+2x^2$。

将$y$代入可得$(x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2$。

最终结果为$(x^2+3x+4)^2-x+16$。

例2】设$x^2+5x+2=a$，$x^2+5x+3=b$，则原式变为$ab-12$。

将$a+b$代入可得$(x^2+5x+2)+(x^2+5x+3)=2x^2+10x+5$，最终结果为$(2x^2+10x+5)^2-169$。

例3】将$x+1$看作一个整体，设为$a$，则原式变为$(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+15$。

将$a+5$代入可得$(x+6)(x+4)(x+2)(x+10)+15$。

例4】将$a-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$。

将$x+2$代入可得$(a-2+2)(a-2+3)(a-2+4)(a-2+5)-24$，最终结果为$(a^2-5a+10)^2-24$。

例5】设$x^2+x+1=a$，$x^2+x+2=b$，则原式变为$ab-12$。

将$a+b$代入可得$(x^2+x+1)+(x^2+x+2)=2x^2+2x+3$，最终结果为$(2x^2+2x+3)^2-49$。

板块二：选主元例1】将$1+a+b+c$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x-1)^2+(a+1)(b+1)(c+1)$。

展开可得$x^2-2x+1+ab+ac+bc+2a+2b+2c+1$，最终结果为$(a+b+c+1)^2$。

例2】将$a(6a+11b+4)+b(3b-1)-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x-2$。

展开可得$6a^2+11ab+4a+3b^2-b-2$，最终结果为$(3a+b+1)^2$。

例3】将$2a^2-b^2-ab+bc+2ac$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x$。

因式分解的14种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

分解因式全部方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）[编辑本段]基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。

分解因式全部方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）[编辑本段]基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。